Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm ( ) ( ) ( ) ( ) A 1; 0 , B 2; 4 , C 1; 4 , D 3; 5 − − và đường thẳng d :3x y 5 0 − − = . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau. Lời giải: M thuộc d thi M(a;3a5 ) Mặt khác : ( ) ( ) 1 3;4 5, : 4 3 4 0 3 4 x y AB AB AB x y − = − ⇒ = = ⇔ + − = − ( ) ( ) 1 4 4;1 17; : 4 17 0 4 1 x y CD CD CD x y + − ⇔ = ↔ = = ⇔ − − = Tính : ( ) ( ) ( ) 1 2 4 3 3 5 4 4 3 5 17 13 19 3 11 , , 5 5 17 17 a a a a a a h M AB h + − − − − − − − = = = = = Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì : 1 2 11 13 19 3 11 5. 13 19 17. 3 11 1 1 . . 12 13 19 11 3 2 2 5 17 8 a a a a a AB h CD h a a a − = − − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔ − = − = Vậy trên d có 2 điểm : ( ) 1 2 11 27 ; , 8;19 12 12 M M − Bài 2:Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C Lời giải: Nếu C nằm trên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a1;2a). Ta có : ( ) 0 2 , 2 2 d B d − = = . Theo giảthiết : ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 . , 2 2 2 2 0 2 2 S AC d B d AC a a = = ⇒ = = − + − 2 2 1
LUYN THI I HC CP TC 2013 MoonTV Thy ng Vit Hựng Tham gia khúa TON t c 8 im Toỏn tr lờn! https://www.facebook.com/LyHung95 05. TA PHNG OXY Bi 1: Trong mt phng Oxy cho cỏc im ( ) ( ) ( ) ( ) A 1;0 , B 2; 4 , C 1; 4 , D 3;5 v ng thng d :3x y 5 0 = . Tỡm im M trờn d sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú din tớch bng nhau. Li gii: - M thuc d thi M(a;3a-5 ) - Mt khỏc : ( ) ( ) 1 3;4 5, : 4 3 4 0 3 4 x y AB AB AB x y = = = + = ( ) ( ) 1 4 4;1 17; : 4 17 0 4 1 x y CD CD CD x y + = = = = - Tớnh : ( ) ( ) ( ) 1 2 4 3 3 5 4 4 3 5 17 13 19 3 11 , , 5 5 17 17 a a a a a a h M AB h + = = = = = - Nu din tich 2 tam giỏc bng nhau thỡ : 1 2 11 13 19 3 11 5.13 19 17. 3 11 1 1 . . 12 13 19 11 3 2 2 5 17 8 a a a a a AB h CD h a a a = = = = = = - Vy trờn d cú 2 im : ( ) 1 2 11 27 ; , 8;19 12 12 M M Bi 2: Cho hỡnh tam giỏc ABC cú di n tớch b ng 2. Bi t A(1;0), B(0;2) v trung i m I c a AC n m trờn ng th ng y = x. Tỡm to nh C Li gii: - N u C n m trờn d : y=x thỡ A(a;a) do ú suy ra C(2a-1;2a). - Ta cú : ( ) 0 2 , 2 2 d B d = = . - Theo gi thi t : ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 . , 2 2 2 2 0 2 2 S AC d B d AC a a= = = = + 2 2 1 3 2 8 8 8 4 2 2 1 0 1 3 2 a a a a a a = = + = + = - V y ta cú 2 i m C : 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 ; , ; 2 2 2 2 C C + + Bi 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )5;2(,)1;1( BA , đỉnh C nằm trên đờng thẳng 04 = x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 0632 = + yx . Tính diện tích tam giác ABC. Li gii: - T a C cú d ng : C(4;a) , ( ) ( ) 5 3;4 1 1 : 4 3 7 0 3 4 AB AB x y AB x y = = = + = - Theo tớnh chỏt trng tõm ; 1 2 4 1 3 3 1 5 6 3 3 3 A B C G G A B C G G x x x x x y y y a a y y + + + = = = + + + + + = = = - Do G n m trờn : 2x-3y+6=0 , cho nờn : 6 2.1 3 6 0 2 3 a a + + = = . LUYN THI I HC CP TC 2013 MoonTV Thy ng Vit Hựng Tham gia khúa TON t c 8 im Toỏn tr lờn! https://www.facebook.com/LyHung95 - Vy M(4;2) v ( ) ( ) 4.4 3.2 7 1 1 15 , 3 . , 5.3 2 2 2 16 9 ABC d C AB S AB d C AB + = = = = = + (vdt) Bi 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )2;1(,)1;2( BA , trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 02 = + yx . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 . Li gii: - Ta cú : M l trung im ca AB thỡ M 3 1 ; 2 2 . G i C(a;b) , theo tớnh ch t tr ng tam tam giỏc : 3 3 3 3 G G a x b y + = = - Do G n m trờn d : ( ) 3 3 2 0 6 1 3 3 a b a b + + = + = - Ta cú : ( ) ( ) ( ) 3 5 2 1 1;3 : 3 5 0 , 1 3 10 a b x y AB AB x y h C AB = = = = - T gi thi t : ( ) 2 5 2 5 1 1 . , 10. 13,5 2 2 2 10 ABC a b a b S AB h C AB = = = = 2 5 27 2 32 2 5 27 2 5 27 2 22 a b a b a b a b a b = = = = = - K t h p v i (1) ta cú 2 h : ( ) 1 2 20 6 6 3 2 32 3 38 38 38 20 ; , 6;12 3 3 3 6 6 12 2 22 3 18 6 b a b a b a b a a C C a b a b b a b a a = + = + = = = = + = + = = = = = Bi 5: Trong mt phng oxy cho ABC cú A(2;1) . ng cao qua nh B cú phng trỡnh x- 3y - 7 = 0 .ng trung tuyn qua nh C cú phng trỡnh : x + y +1 = 0 . Xỏc nh ta B v C . Tớnh din tớch ABC . Li gii: - ng thng (AC) qua A(2;1) v vuụng gúc vi ng cao k qua B , nờn cú vộc t ch phng ( ) ( ) ( ) 2 1; 3 : 1 3 x t n AC t R y t = + = = - Ta C l giao ca (AC) vi ng trung tuyn k qua C : 2 1 3 1 0 x t y t x y = + = + + = Gii ta c : t=2 v C(4;-5). Vỡ B nm trờn ng cao k qua B suy ra B(3a+7;a) . M l trung im ca AB 3 9 1 ; 2 2 a a M + + . - M t khỏc M nm trờn ng trung tuyn k qua C : ( ) 3 9 1 1 0 3 1; 2 2 2 a a a B + + + + = = A(2;1) B(1;-2) C M( 3 1 ; 2 2 ) G d:x+y-2=0 A(2;1) B C x+y+1=0 x-3y-7=0 M LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 - Ta có : ( ) ( ) ( ) 12 2 1 1; 3 10, : 3 5 0, ; 1 3 10 x y AB AB AB x y h C AB − − = − − ⇔ = = ⇔ − − = = - Vậy : ( ) 1 1 12 . , 10. 6 2 2 10 ABC S AB h C AB = = = (đvdt). Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Lời giải: - Gọi B(a;b) suy ra M 5 2 ; 2 2 a b + + . M n ằ m trên trung tuy ế n nên : 2a-b+14=0 (1). - B,B đố i x ứ ng nhau qua đườ ng trung tr ự c cho nên : ( ) ( ) : x a t BC t R y b t = + ∈ = + . T ừ đ ó suy ra t ọ a độ N : 6 2 3 6 2 6 0 6 2 a b t x a t a b y b t x x y b a y − − = = + − − = + ⇒ = + − = + − = 3 6 6 ; 2 2 a b b a N − − + − ⇔ . Cho nên ta có t ọ a độ C(2a-b-6;6-a ) - Do C n ằ m trên đườ ng trung tuy ế n : 5a-2b-9=0 (2) - T ừ (1) và (2) : ( ) ( ) 2 14 0 37 37;88 , 20; 31 5 2 9 0 88 a b a B C a b b − + = = ⇒ ⇔ ⇒ = − − − − = = Bài 7: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy cho hai đườ ng th ẳ ng ∆ : 3 8 0 x y + + = , ':3 4 10 0 x y ∆ − + = và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’. Lời giải: - Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc ( ) 2 3 : 2 3 ; 2 2 x t I t t y t = − + ∆ ⇒ − + − − = − − - A thuộc đường tròn ( ) ( ) 2 2 3 3 IA t t R ⇒ = + + = (1) - Đường tròn tiếp xúc với ( ) ( ) 3 2 3 4 2 10 13 12 ' 5 5 t t t R R − + − − − + + ∆ ⇒ = ⇔ = . (2) - Từ (1) và (2) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 13 12 3 3 25 3 3 13 12 5 t t t t t t + + + = ⇔ + + = + Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2 ( ): – 2 – 2 1 0, C x y x y+ + = 2 2 ( '): 4 –5 0 C x y x + + = cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ') C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB Lời giải: * Cách 1. - G ọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương ( ) 1 ; : x at u a b d y bt = + = ⇒ = - Đường tròn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 : 1;1 , 1. : 2;0 , 3 C I R C I R = − = , suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 : 1 1 1, : 2 9 C x y C x y − + − = + + = A(5;2) B C x+y-6=0 2x-y+3=0 M N LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 - Nếu d cắt ( ) 1 C tại A : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 1 ; 2 t M ab b a b t bt A b a b a b t a b = → ⇒ + − = ⇔ ⇒ + + + = + - Nếu d cắt ( ) 2 C tại B : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 6 6 6 0 1 ; 6 t M a ab a b t at B a a b a b t a b = → ⇒ + + = ⇔ ⇔ − − + + = − + - Theo giả thiết : MA=2MB ( ) 2 2 4 * MA MB⇔ = - Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 4 ab b a ab a b a b a b a b + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 6 :6 6 0 4 36 4. 36 6 :6 6 0 b a d x y b a b a b a d x y a b a b = − → + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = → − − = + + * Cách 2. - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= 1 2 − . (Họ c sinh t ự làm ) Bài 9: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy , hãy vi ế t ph ươ ng trình các c ạ nh c ủ a tam giác ABC bi ế t tr ự c tâm (1;0) H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là (0; 2) K , trung điểm cạnh AB là (3;1) M . Lời giải: - Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến ( ) ( ) ( ) 1; 2 : 2 2 0 2 4 0 KH AC x y x y = − ⇒ − − = ⇔ − + = . - B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương ( ) ( ) 1; 2 1 ; 2 KH B t t = − ⇒ + − . - M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t). - Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2) - Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) , ( ) ( ) 2 2;4 , 3;4 BC t t HA = − + = . Theo tính chất đường cao kẻ từ A : ( ) ( ) . 0 3 2 2 4 4 0 1 HA BC t t t ⇒ = ⇒ − + + = → = − . Vậy : C(-2;1). - (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương ( ) ( ) ( ) 4 4 2;6 // 1;3 : 1 3 x y BA u AB − − = = ⇒ = 3 8 0 x y ⇔ − − = - (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến ( ) ( ) ( ) ( ) 3;4 :3 2 4 2 0 HA BC x y = ⇒ − + + = 3 4 2 0 x y ⇔ + + = . Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( T ): x 2 + y 2 – 9 x – y + 18 = 0 và hai điểm A (1; 4), B (−1; 3). Gọi C , D là hai điểm thuộc ( T ) sao cho ABCD là một hình bình hành. Viết phương trình đường thẳng CD . Lời giải: Ta có ( 2; 1), 5 AB AB= − − = ; (C) có tâm 9 1 ; 2 2 I và bán kính 10 2 R = ABCD là hình bình hành nên CD = AB và ph ươ ng trình CD: x – 2y + m = 0 7 2 ( , ) 2 5 m d I CD + = ; 2 2 2 ( , ) CD R d I CD = − 2 2 5 (7 2 ) 5 2 7 6 0 1; 6 2 20 m m m m m + ⇔ = − ⇔ + + = ⇔ = − = − V ậ y ph ươ ng trình CD: x – 2y − 1 = 0; x – 2y − 6 = 0 H(1;0) K(0;2) M(3;1) A B C LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 10 và hai điểm B(1; 4), C(−3; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc (T) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 19. Lời giải: Giả sử A(x; y) ∈ (C) ⇒ (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 10 Ta có: 2 5 BC = và phương trình BC: x – 2y + 7 = 0 2 7 ( , ) 5 x y d A BC − + = Diện tích tam giác ABC: 1 . ( , ) 19 2 ABC S BC d A BC = = ⇔ 2 12 2 7 1 .2 5. 19 2 26 2 5 x y x y x y = + − + = ⇔ = − TH1: x = 2y + 12 th ế vào (1), ta đượ c 2 23 5 48 115 0 5; 5 y y y y+ + = ⇔ = − = − + v ớ i 5 2 y x = − ⇒ = + với 23 14 5 5 y x = − ⇒ = TH2: x = 2y – 26 thế vào (1), ta được 5y 2 – 104y +723 = 0 (vô nghiệm) .Vậy (2; 5) A − ; 14 23 ; 5 5 A − Bài 12: Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy, cho tam giác ABC cân t ạ i đỉ nh A, ph ươ ng trình AB: x + 2y – 4 = 0, BC: 3x + y – 7 = 0. Tìm t ọ a độ các đỉ nh A và C, bi ế t r ằ ng di ệ n tích tam giác ABC b ằ ng 5 2 và đ i ể m A có hoành độ d ươ ng. Lời giải: Nh ậ n xét: Góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng BC và AB là 45 0 và ∆ABC cân t ạ i A nên ∆ABC vuông cân t ạ i A A ∈ AB ⇒ A(4 − 2a; a); C ∈ BC ⇒ C(c; 7 − 3c) (2 4; 3 7) AC a c a c = + − − − + , vtcp của AB là 1 (2; 1) u = − 1 . 0 3 AC u c a = ⇔ = − (1) Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình 2 4 0 2 3 7 0 1 x y x x y y + − = = ⇔ + − = = ⇒ B(2;1) Diện tích tam giác ABC: 2 1 5 2 2 ABC S AB = = ⇔ 2 2 2 0 (2 2) (1 ) 5 2 0 2 a a a a a a = − + − = ⇔ − = ⇔ = . Do x A > 0 nên chỉ nhận a = 0 ⇒ c = 3. Suy ra A(4; 0) và C(3;− −− −2) Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2 5 0 x y ∆ − + = và đường tròn 2 2 ( ): 2 4 5 0 C x y x y + − + − = . Qua điểm M thuộc ∆, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn 2 5 AB = . Lời giải: M ∈ ∆ ⇒ M(2m − 5; m); (C) có tâm I(1; −2), bán kính 10 R = Gọi H là trung điểm AB ⇒ 5 AH = và AH ⊥ MI Tam giác AIM vuông tại A có AH là đướng cao nên: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 10 5 10 AM AH AM AI AM = + ⇔ = + ⇒ = và 2 2 2 5 IM IA MA= + = 2 20 IM ⇒ = ⇔ 2 2 2 (2 6) ( 2) 20 4 4 0 2 m m m m m − + + = ⇔ − + = ⇔ = Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Lời giải: Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: ( ) 4 3 4 0 2 2;4 2 6 0 4 x y x A x y y + − = = − ⇔ ⇒ − + − = = Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình ( ) 4 3 4 0 1 1;0 1 0 0 x y x B x y y + − = = ⇔ ⇒ − − = = H I B M A LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nên phương trình có dạng: ( ) ( ) 2 4 0 2 4 0 a x b y ax by a b + + − = ⇔ + + − = Gọi 1 2 3 : 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0 x y x y ax by a b ∆ + − = ∆ + − = ∆ + + − = Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) 2 3 1 2 ; ; ∆ ∆ = ∆ ∆ . Do đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 2 2 |1. 2. | | 4.1 2.3| cos ; cos ; | 2 | 2 25. 5 5. 0 3 4 0 3 4 0 a b a b a b a b a a a b a b + + ∆ ∆ = ∆ ∆ ⇔ = ⇔ + = + + = ⇔ − = ⇔ − = + a = 0 0 b ⇒ ≠ . Do đ ó 3 : 4 0 y ∆ − = + 3a – 4b = 0: Có th ể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra 3 : 4 3 4 0 x y ∆ + − = (trùng v ớ i 1 ∆ ). Do v ậ y, ph ươ ng trình c ủ a đườ ng th ẳ ng AC là y - 4 = 0. T ọ a độ c ủ a C nghi ệ m đ úng h ệ ph ươ ng trình: ( ) 4 0 5 5;4 1 0 4 y x C x y y − = = ⇔ ⇒ − − = = Bài 15: Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy, cho tam giác ABC có hai đỉ nh − 1; 4 1 ),4;2( CA và tâm đườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác là 2 3 ; 2 1 I . Tìm to ạ độ đỉ nh B. Lời giải: pt đườ ng th ẳ ng AC là: 4x+3y-4=0. bán kính c ủ a đườ ng tròn n ộ i ti ế p là 2 1 ),( == ACIdr pt AB là: 3x+4y-10=0 pt BC là: y-1=0 To ạ độ đỉ nh B là B(2;1) . ABC có diện tích bằng 19. Lời giải: Giả sử A(x; y) ∈ (C) ⇒ (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 10 Ta có: 2 5 BC = và phương trình BC: x – 2y + 7 = 0 2 7 ( , ) 5 x y d A BC − + = Diện tích tam giác. Viết phương trình đường thẳng CD . Lời giải: Ta có ( 2; 1), 5 AB AB= − − = ; (C) có tâm 9 1 ; 2 2 I và bán kính 10 2 R = ABCD là hình bình hành nên CD = AB và ph ươ ng. M(3;1) A B C LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95 Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ