Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN... b Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2... Viết phương
Trang 1CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD,
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos 16
(Đại học khối A – 2006)
Giải
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ thì tọa độ các điểm là: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M(12; 0; 0), N(12 ; 1; 0)
A'C 1;1; 1 ,MN 0;1;0 ,A'M ;0; 1
2
A'C,MN 1;0;1
1 1
d A 'C,MN
2 2
1 0 1 A'C,MN
1 b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos
6
z
A
B(1; 0; 0) C
D(0; 1; 0)
A’(0; 0; 1)
D’
y
x
Trang 2A 'C có qua A'(0;0;1) VTCP là A'C (1;1; 1)
x -y 0
x y z 1 nên pt chính tắc A'C là pt tổng quát A'C là
y z 1 0
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm Vì mp (P) chứa A'C nên pt mp (P) dạng
2 2
Oxy
2
1
Mp Oxy có pt là z 0 n 0;0;1
Ycbt cos cos (P),(Oxy)
6
A 2B
A 2B Chọn B 1,A 2 pt mp (P ) :2x y z 1 0
A B
2 Chọn B1,A 1 pt mp (P ) :x 2y z 1 0
Trang 32) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x 1 2t
x y 1 z 2
z 3
a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1 và d2 (Đại học khối A – 2007)
Giải a) Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau.
d qua A(0;1; 2) có VTCP là a (2; 1;1),d qua B( 1;1;3) có VTCP là b (2;1;0)
Ta có : a,b 1;2;4 0 a và b không cùng phương (1)
AB -1;0;5 , a,b AB 1 0 20 21 0 3 vectơ a, b
, AB không đồng phẳng (2) Từ (1) & (2) d và d chéo nhau
b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2
1
2 2
Ta có PTTQ của d : ,d :
Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :
P
2
P
0
Chọn A 1 B 3 : pt : x 5y 3z 1 0
Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :
Chọn
M 4 N 5 : pt : 4x 8y 5z 3 0
x 5y 3z 1 0
Vậy ptđt d:
4x 8y 5z 3 0
Ro õràng : d cắt d tại M 2;0; 1 ,cắt d tại N 5; 1;3 nên ta nhận pt đt d trên
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:
a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2
(Đại học khối D – 2006)
Trang 4Giải a) Tìm tọa độ A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1
1
Trước tiên ta tìm H - hình chiếu vuông góc của A lên d
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d thì (P) có VTPT là n =a = 2; 1;1
Vậy pt mp (P) dạng : 2x y z m 0 Vì (P) q
ua A(1;2;3) nên 2 2 3 m 0 m 3 2x y z 3 0
Vậy pt mp (P) là : 2x y z 3 0 H thỏa x 2 y 2 z 3 H 0; 1;2
H là trung điểm của AA' nên y y 2y A' 1; 4;1
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2
2 1
2
2 2 2
(P) qua A (Q) chứa d
2x y 3 0 Viết pt mp (Q) : Ta có PTTQ của d :
x z 0
Vì (Q) chứa d nên pt mp (Q) dạng : A 2x y 3 B x z 0 A B 0
2A B x Ay Bz 3A 0
(Q) qua A(1;2;
2
3) nên 2A B 2A 3B 3A 0 A 4B 0 Chọn B 1,A 4, ta được pt mp (Q) : 7x 4y z 12 0
2x y z 3 0 Vậy pt đt :
7x 4y z 12 0
Ro õràng cắt d tại M 2; 1; 2 nên nhận pt đt trên
4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B1(-a;0;b), a>0, b>0
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a và b
b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn a+ b = 4 Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C
Giải
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng B 1 C và AC 1
ABC.A B C là hình lăng trụ đứng nên ta có : BB CC
B C a;1;b ,AC a;1;b , B C,AC 2b;0;
2a ,AC a;1;0
d B C,AC
B C,AC
Trang 5b) Tìm a và b để khoảng cách giữa hai đường thẳng trên đạt giá trị lớn nhất
2 2
2 2 max
Áp dụng BĐT Cau chy : a b 2 ab
2
Vậy d 2 khi a b 2
5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng dx 2y z 9 02y z 5 0
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, cắt đường thẳng d theo 1 dây cung AB có độ dài bằng 16
Giải
pt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R là : x 1 y 1 z 1 R
AB Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB Vậy R IA IH HA với HA 8;IH d I,d
2
1
2
d
;0; 5 d IM 13; 1; 6
n 1; 2;1
d có cặp VTPT là d có VTCP là a n ,n 4; 1;2 a 16 1 4 21
n 0;2;1
a ,IM
IH
2 d
21 a
Vậy pt mc (S) là x 1 y 1 z 1 81
6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1), mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 = 100 Viết phương trình đường thẳng d qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo dây AB thỏa MA = MB
Giải
P
Mặt cầu (S) có tâm O, bán kính là 10, OM 3 R M ở trong mặt cầu
Vì d mp(P) nên n 1;2;3 là 1 VTPT của d
MA MB nên OM AB nên OM 1;1;1 là 1 VTPT của d
,OM 1;2; 1 mà d qua M 1;1;1 nên pt đt d :
7) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng
x 1 y 2 z :
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất
(Đại học khối D – 2007) Giải
Trang 6a) Viết phương trình đường thẳng d qua G, vuông góc mp(OAB)
G
G
G
d
3
G là trọng tâm OAB nên G thỏa y 2 G 0;2;2
3
3 mp(OAB) có cặp VTCP là OA 1;4;2 ,OB 1;2; 4 n 12; 6;6 6 2; 1;1
d mp(P) nên a n 2; 1;1 mà d
qua G nên pt đt d :x y 2 z 2
2
P
AB Gọi E là trung điểm của AB thì MA MB 2ME
2 Vậy MA MB min ME min M H hình chiếu của E lên đt
E là trung điểm AB nên E 0;3;3 ;Gọi (P) là mp qua E và vuông góc đt thì n a
1;1;2
pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E nên 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0
x y 2z 9 0 Vậy H thỏa x 1 y 2 z y 0 M 1;0;4
z 4
8) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
x 1 t
x 2y z 4 0
x 2y 2z 4 0
z 1 2t
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2
b) Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất (Đại học khối A – 2002)
Giải
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2
1
2
n 1; 2;1 có cặp VTPT là có VTCP là a = n ,n 2;3;4
n 1;2; 2
Vì mp (P) chứa nên a = 2;3;4 la
1 2
ø 1 VTCP của (P)
(P) có VTPT là n a ,a 2;0; 1
mp (P) // nên a = 1;1;2 là 1 VTCP của (P)
pt mp (P) dạng : 2x z m 0 (P) qua A 0; 2;0 nên m 0
Vậy pt mp (P) là : 2x z 0
Trang 7
Kẻ ME Ta có ME MH Vậy MH min MH ME H E hình chiếu của M xuống
Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với thì (Q) có VTPT là n a 1;1;2
pt mp (Q) dạng : x y 2z m 0 Vì (Q) qua
M 1;2;4 nên m 11 Vậy pt mp (Q) : x y 2z 11 0
x 1 t
x 2
y 2 t
z 1 2t
z 3
x y 2z 11 0
9) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b
b) Xác định tỉ số ab để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau
(Đại học khối A – 2003) Giải
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M
Tọa độ của các điểm là : A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0) A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a;b2)
BDA'M
b
Ta có : BD a;a;0 ,BA' a;0;b ,BM 0;a;
2
a b 3a b BD,BA' ab;ab;a , BD,BA' BM a b
b) Xác định tỉ số a b để 2 mp (A’BD) và (MBD) vuông góc
2
(A'BD) có cặp VTCP A 'B a;0; b ,A 'D 0;a; b
2 (A 'BD) có VTPT n1 A'B,A'D ab;ab;a a b;b;a
b (MBD) có cặp VTCP MB 0; a; ; BD a;a;0
2 (MBD) có VTPT n MB
,BD ab ab; ; a2 a b b; ; a
b a(loại a, b 0)
a
KL : 1 thì 2 mp(A'BD) và (MBD) vuông góc
b
A
B(a; 0; 0) C
D(0; a; 0)
A’(0; 0; b)
D’
y
x
M z
Trang 810) Tìm m để hai mặt phẳng sau song song :
mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 và mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0
Giải
2
2
Ta có : n 2;m;3 và n m 3;2;5m 1
Để mp(P) // mp (Q) thì n // n n ,n 0 5m m 6; 7m 7;4 m 3m 0;0;0
Với m 1: mp(P) : 2x y 3z 5 0,mp(Q) : 4x 2y 6z
10 0 \ Nhận thấy mp (P) // mp (Q) nên nhận m 1
11) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC
= b, AB = c
Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : 2S abc a b c
(Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003) Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :
A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
2 2 2 2 2 2 BCD
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
đpcm a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c) Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)(đpcm)
c a a b 2ca b
12) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
(Đại học khối B – 2007) Giải
a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox, cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3
M.cầu (S) có tâm I(1; 2; 1),bán kính R 1 4 1 3 3
y 0
mp (Q) chứa trục Ox nên pt mp (Q) dạng : Ay Bz 0 A B 0
z 0
Vì mp (Q) cắt (S) theo 1 đường tròn bán kính bằng 3 nên (Q) phải qua tâm
I của m.c Vậy 2A B 0 Chọn A 1,B 2,ta được pt mp (Q) : y 2z 0
z
y
x
A
B
C D
Trang 9b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp (P) là max
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp (P) d cắt m.c tại A và B
Nếu d A,mp(P) d B,mp(P) thì d M,mp(P) max khi M A
x 1 y 2 z 1
d có VTCP là a 2; 1;2 ,qua I nên ptđt d là
Gọi l
1
à tiếp diện của m.c (S) và // mp (P) thì pt dạng: 2x y 2z m 0
2 2 2 m Để tiếp xúc m.c (S) đk là d I,mp( ) R 3 m 2 9
4 1 4 Với m 7,ta có pt : 2x y 2z 7 0 d cắt
1
2x y 2z 7 0 tại A thỏa hpt x 1 y 2 z 1 A 1; 1; 3
2x y 2z 11 0 Với m 11,ta có pt : 2x y 2z 11 0 d cắt tại B thỏa hpt x 1 y 2 z 1 B 3; 3;1
2 1 6 14
4 1 4
6 3 2 14
4 1 4 Vậy d M,mp(P) max khi M A 1; 1; 3
13) Tìm a, b để 3 mặt phẳng sau cùng chứa một đường thẳng :
Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0
Giải 3x 2y z 3 0 Gọi d là giao tuyến của mp (Q) và mp (R) thì pt đt d là :
x 2y 2z 5 0 Để 3 mp trên cùng chứa 1 đt thì mp (P) phải chứa đường d
Ta thấy đường d qua 2 điểm : A 4; ;0 ,B
2
11
; ;1
2 4 9
2 Để mp (P) chứa đường d thì A,B mp(P)
14) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
: y t và : y 4 2t
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2
(Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng – 2007) Giải
Trang 10
1
2
Gọi A d P ,ta thế x,y,z vào pt mp (P) : t 8t 0 t 0 A 1;0;0
Gọi B d P ,ta thế x,y,z vào pt mp (P) : 4 2t 2 0 t 3 B 5; 2;1
d (P) cắt cả d và d nên d qua A và B
Với VTCP AB 4; 2;1 ,ta được
15) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 2 ) Gọi M là trung điểm của cạnh bên SA
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM
b) Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N Tính thể tích khối tứ diện SCMN
(Đại học Sài Gòn – Khối A – 2007) Giải
a) Khoảng cách giữa SC và DM
Ta có tọa độ các điểm S(0;0; 2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 )
SC 2;0; 2 2 ,DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC,DM 2 2;0; 2
SC,DM SD 4 2 4 2 2 6 Vậy d SC,DM
3
12 2 3 SC,DM
b) Tính V SCMN
mp(CDM) có cặp VTCP là CD 2; 1;0 ,CM 3;0; 2
(CDM) có VTPT là n CD,CM 2; 2 2;3 pt(CDM) dạng : 2x 2 2y 3z m 0
(CDM) qua C 2;0;0 nên m 2 2 pt CDM : 2x 2 2y 3z 2 2 0
SB 0;1; 2 2 pt đ
SCMN
x 0
1
t SB: y 1 t Vì N SB CDM nên ta có tọa độ N 0; ; 2
2
z 2 2t
1
SC 2;0; 2 2 ,SM 1;0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0;4 2;0 , SC,SM SN 2 2
2 1
6
SN 1.2 2 2(đvtt)
16) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;-3), đường thẳng d : x 3 y 1 z 52 1 2 và mặt phẳng (P) : x + y – z – 1 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P)
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3
(Cao đẳng kinh tế – 2007) Giải
Trang 11a) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc d và // (P)
d P
d P
d nên có 1 VTPT là a 2;1;2
// mp(P) nên có 1 VTPT là n 1;1; 1
có VTCP là a a ,n 3;4;1
x 2 y 1 z 3 qua A 2;1; 3 nên pt đt : A P nên //(P)
b) Tìm tọa độ M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3
x 3 2t
Ta có pt đt d y 1 t Vì M d nên M 3 2t;1 t;5 2t
z 5 2t
3 2t 1 t 5 2t 1
1 1 1 Vậy M 13;6;15 ,M 1;0;3
17) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – y + z + 3 = 0 và hai điểm A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12)
a) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA + MB
(Dự bị 2 – Đại học khối A – 2002) Giải
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mp (P) thì
x 1 y 3 z 2
pt đt d :
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (P) thì
x 1 y 3 z 2
x y z 3 0
H là
trung điểm AA' nên y y 2y A' 3; 1; 4
b) Tìm min(MA + MB)
Thế tọa độ A, B vào pt mp (P) ta được 3, 3 Vậy AB nằm cùng phía với mp (P)
A' là đối xứng của A qua mp (P) nên MA MA'
MA MB MA' MB A'B MA MB 18 (A'B 2;8;16 )
Min MA MB 18 khi M A '
(P) : x y z 3 0
B mp (P) M thỏa hệ x 3 y 1 z 4 M 4;3;4
A'B:
A
H
A’
M B
P
Trang 1218) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) và D(4;-2;1)
Tìm MAB, NCD sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất
Giải
AB 1;1; 2 ,pt đt AB: y 2 t ,M AB M 1 t;2 t;3 2t
z 3 2t
x 2 t '
CD 2; 4;2 ,pt đt CD : y 2 2t ',N CD N 2 t ';2 2t '; 1 t '
z 1 t '
MN t ' t 3; 2t ' t;t ' 2t 4
MN min chỉ khi MN là đường vuông
MN.AB 0 góc chung của AB và CD vậy
MN.CD 0
4 13 5
7 2t ' 2t 6 8t ' 4t 2t ' 4t 8 0 12t ' 6t 2 t N 1;4; 2
3
19) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz, cho đường
3x ky k 0
1 k x kz 0
Chứng minh rằng d luôn đi qua 1 điểm cố định và luôn nằm trong 1 mặt phẳng cố định
Giải
a) CMR : d luôn đi qua 1 điểm cố định
b 1 0
k b 1 3a 0 3a kb k 0
a c 0
E 0;1;0 là điểm cố định của đường thẳng d
b) CMR : d luôn nằm trong 1 mp cố định
2 2
Gọi (P) là mặt phẳng cố định chứa đường d thì pt mp (P) dạng :
a 3x ky k b 1 k x kz 0 a b 0
3a b kb x kay kbz ka 0 k ay bz a bx 3a b x 0
Chọn 3a b 0.a 1,b 3 pt mp (P) là 3x y 3z 1 0
Đây là mp cố
định chứa đường d
20) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3;-1), đường thẳng d :x 5 y z 25
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất
Giải