Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế

Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế Bài tập đại số tuyến tính toán cao cấp 1 đại học kinh tế huế

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chương 1: Ma trận định thức Bài 1: Chứng minh hoặc đưa ra các phản ví dụ giải thích cho các khẳng định sau:

1 Det A B(  )  det( ) det( );A  B

2 Det A B( )  det( );B A

3 Nếu A B I thì Det A( )  0;

4 r A B( ) r B A( );

5 Nếu A khả nghịch thì 1

Det A B A Det B

Bài 2 : a Cho hai ma trận vuông

Chứng tỏ rằng :

à ( )T T. T

A B  B A v A B B A

b Chứng minh rằng:

( A A A k) A k A.A

Bài 3 : Cho

A

Tính A A v A, à

Bài 4: Cho ma trận

A

1 Tìm 1

A và tính 1

det(A )

2 Tìm ma trận X biết

1

1

A X

 

 

  

 

 

Bài 5: Cho ma trận

A

1 Tìm 1

A và 1

det(A )

2 Tìm ma trận X biết X A 1  1 1

Bài 6: a Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A



b Tính 1

Det A

c Cho ma trận

Tìm ma trận X sao cho:

.

X AB

Bài 7: Ma trận sau có khả nghịch không? Tại sao?

A







Bài 8: Cho ma trận

A





Ma trận A khả nghịch hay không? Tại sao?

Bài 9: Cho ma trận

A





Det A

Bài 10: Giải phương trình

0

x

x







Bài 11: Tính định thức











Bài 12: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm

1

( )

f x





Bài 13: Tính định thức









Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính Bài 1: Tìm tham số m để hệ phương trình có vô số nghiệm









Bài 2: Tìm tham số k để hệ phương trình có nghiệm duy nhất









Bài 3: Giải hệ phương trình









Bài 4: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình

0









Bài 5: Cho hệ phương trình có dạng

.

A X B

với

A

k



và

1 2 0 2

B



 

1 Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số k

2 k 0: tính 1

A và tìm nghiệm của hệ

3 Kiểm tra nghiệm tìm được khi k  0 bằng cách tính 1

.

X A B

Chương 3: Không gian véc tơ Bài 1: Cho v v v1 , 2 , 3 hệ véc tơ độc lập tuyến tính của n(n 3)và k tham số Hệ ba véc tơ v v1, 1v v2, 1 v2 kv3 có độc lập tuyến tính không? Hãy biện luận theo k

Bài 2: Cho v1, v2, v3 là ba véc tơ độc lập tuyến tính trong n.Chứng minh rằng a) v1v v2, 1v3 và v2v3độc lập tuyến tính;

b) v1v v2, 1v3 và v2v3 phụ thuộc tuyến tính

Bài 3: Chứng minh rằng các véctơ v1, v2 và v3 độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu các véc tơ v1v2v v3, 2 và v3 độc lập tuyến tính

Bài 4: Trong  4xác định số chiều của không gian con sinh bởi hệ véctơ (1,2, -1,0), (-3,0,-2,4), (2,10,-7,4).Xác định một cơ sở và mở rộng cơ sở này thành một cơ sở của  4

Bài 5: Tìm các số thực a và b để  2, , ,3a b  thuộc không gian con của  4 sinh bởi hai véctơ 1, 1,1, 2   và  1, 2,3,1

Bài 6: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con

0,1, 0 , 1,1,1 , 2, 0,1    

V 

Bài 7: Các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay là phụ thuộc tuyến tính

1

1

2

3

4

1, 2, 3, 4

2, 3, 4,1

3, 4,1, 2 4,1, 2, 3

X X X X



















1

2

3

4

1,1,1,1

1, 1, 1,1

1, 1,1, 1 1,1, 1, 1

X X X X















Bài 8: Tìm hạng và hệ véc tơ ĐLTT cực đại ( cơ sở) của các hệ vectơ sau

1

1

2

3

4

1, 2, 3, 4

2, 3, 4, 5

3, 4, 5, 6

4, 5, 6, 7

X X X X



















1

2

3

3

2, 1, 3,1

4, 2, 6, 2

6, 3, 9, 3 1,1,1,1

X X X X













Bài 9: a Chứng minh hệ véc tơ sau là một cơ sở của KGVT

 1 (1, 2,1), 2 ( 1, 1,1), 3 (2,3, 1)

b Tìm tọa độ của véc tơ X  (4, 7, 6) đối với cơ sở trên;

c Tìm ma trận chuyển từ cơ sở trên sang cơ sở chính tắc

Bài 10: Trong  3, các tập hợp sau có phải là không gian véc tơ con? Nếu là không gian con hãy xác định số chiều và một cơ sở

(1,x x2 , 3 ) x x2 , 3 

     ( ,x x x1 2 , 3 ) ax1 bx2 cx3  0

( , 1 2 , 1 2 ) 1 , 2 

1 2 3 1 2 3

F  x x x x x x 

Bài 11: Xét tập hợp

1 2 3 4

x x x x

1 Chứng minh rằng Wlà không gian con của  4

2 Tìm một cơ sở và số chiều của W

Bài 12: Cho V và W là hai không gian véctơ con của n Chứng minh rằng

V + W :  v  w v V , w W

là không gian véctơ con của n

Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

:

f    xác định bởi

 1 , 2 , 3 , 4  1 2 2 4 , 1 2 3 , 3 2 2 3 4

f x x x x  x  x x   x x x  x x x

1 Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;

Bài 2: Cho ánh xạ 4 3

:

f    xác định bởi

 1 , 2 , 3 , 4  1 2 , 2 2 2 , 3 3 2 4

f x x x x  x  x x  x x  x

1 Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính

2 Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở sau:

Bài 3: a Chứng minh ánh xạ sau là toán tử tuyến tính trên  3

f x x x   x x x  x x  x x

b Tìm ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở

Bài 4: Cho D P: 3P2 là ánh xạ đạo hàm D p  p'.Hãy mô tả Ker(D)

Bài 5: Trong không gian  3 cho cơ sở

và ánh xạ 3 3

:

f    xác định bởi

 1 , 2 , 3   2 1 2 3 , 1 2 2 3 , 2 1 2 3 3

x x x x  f x  x  x x x  x x x  x x

1 Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính (hay toán tử tuyến tính)

2.Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của  3

3 Tìm ma trận của f trong cơ sở B

Chương 5: Chéo hóa ma trận

Bài 1: Cho ma trận

A



1 Tìm tất cả VTR liên kết với GTR của ma trận A

2 Ma trận A chéo hóa được không? Giải thích

Bài 2: Ma trận sau có chéo hóa được không? Tại sao?

J





Bài 4: Không thực hiện phép tính, hãy chỉ ra GTR của hai ma trận sau

;



Hãy chỉ ra một VTR của mỗi ma trận

1 0

a C

chéo hóa được

Bài 6: Tìm một ví dụ về ma trận có tất cả các GTR thực nhưng không chéo hóa

được

Bài 7: Tìm một ma trận có hạng bằng 1 sao cho 1,1, 1  là một VTR liên kết với GTR 1