Tuy nhiên các vectơ riêng của chúng là khác nhau.Đối với một tự đồng cấu tuyến tính f, ta đã biết rằng các giá trị riêng của ma trậncủa f không thây đổi trong các cơ sở khác nhau.. Trong
Trang 1Đại số tuyến tính nâng cao
BIÊN SOẠN: NGUYỄN MINH TRÍ
ĐỒNG NAI - 2013
Trang 2Mục lục
1.1 Đa thức tối tiểu 4
1.2 Tổng trực tiếp các không gian con 9
1.3 Không gian con bất biến 15
1.4 Tự đồng cấu lũy linh 22
1.5 Dạng chuẩn Jordan 28
1.6 Bài tập 32
2 Không gian vectơ Euclide 37 2.1 Định nghĩa 37
2.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao 43
2.3 Tự đồng cấu đối xứng 50
3 Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương 55 3.1 Các khái niệm cơ bản 55
3.2 Ma trận và biểu thức tọa độ 56
3.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương 58
3.4 Luật quán tính và phân loại các dạng toàn phương 63 3.5 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao 64
Trang 3Cấu trúc của một tự đồng cấu
Bài toán: Cho một ma trận vuông A.Ta hãy tìm một ma trận đồng dạng với Amà
nó có dạng đơn giản nhất
Trước tiên ta cần nhắc lại khái niệm hai ma trận tương đương Hai ma trận
A và B được gọi là tương đương nếu có một ma trận P không suy biến sao cho
P−1AP = B.TíchP−1AP được gọi là phép biến đổi đồng dạng trênA
Ta nhận thấy rằng, các ma trận chéo là có dạng đơn giản nhất Vì thế ta tự hỏi
"Mọi ma trận vuông đều đồng dạng với ma trận chéo?" Trong học phần trước ta đãchứng minh rằng điều này là không đúng Ta có thể lấy ví dụ ma trận
Tiếp theo ta sẽ nhắc đến một số khái niệm có liên quan đến việc chéo hóa Một
tập đầy đủ các vectơ riêng của ma trậnAcấpnlà một tập bất kì gồmnvectơ riêngđộc lập tuyến tính củaA Chú ý rằng: Không phải mọi ma trận đều có một tập đầy
đủ các vectơ riêng
Ma trận vuông A cấp nchéo hóa được nếu và chỉ nếu A có một tập đầy đủ cácvectơ riêng Hơn nữa,P−1AP = diag(λ1, λ2, , λn)nếu và chỉ nếu các cột củaP
là các vectơ của tập đầy đủ các vectơ riêng củaA
Vì không phải mọi ma trận vuông đều chéo hóa được nên một câu hỏi được đặt ralà: "Mọi ma trận đều đồng dạng với ma trận dạng tam giác?" Câu trả lời là "Đúng."
Trang 4Ta chú ý rằng, nếu hai ma trận đồng dạng thì chúng có cùng các giá trị riêng kể cảbội Tuy nhiên các vectơ riêng của chúng là khác nhau.
Đối với một tự đồng cấu tuyến tính f, ta đã biết rằng các giá trị riêng của ma trậncủa f không thây đổi trong các cơ sở khác nhau Hay ta nói các giá trị riêng của f
độc lập đối với việc chọn cơ sở
Ta sẽ phát biểu một định lý quan trọng của Schur nói về phép biến đổi đồng dạngcủa ma trận như sau
Định lí 1.0.1 Định lý tam giác hóa của Schur Mọi ma trận vuông Ađều đồng dạngvới một ma trận tam giác trên Tức là tồn tại ma trận không suy biến P và ma trậntam giác trên T sao cho P−1AP = T Hơn nữa các phần tử nằm trên đường chéocủa ma trậnT chính là các giá trị riêng của ma trậnA
Như vậy, ta có thể đặt ra tiếp một câu hỏi là "Mọi ma trận vuông A có thể đồngdạng với một dạng ma trận nào đơn giản hơn dạng tam giác trên không?" Câu trả lời
là "Có" và ma trận đó được gọi là ma trận chuẩn Jordan Trong chương này chúng
ta sẽ thấy rằng nếu A ∈ Mn(C) (tức là ta xét ma trận vuông trên tập số phức) thì A
sẽ đồng dạng với một ma trận chuẩn Jordan nào đó
Đối với một tự đồng cấu f : V → V ta cũng có các câu hỏi như sau:
• Với mọi tự đồng cấuf, có tồn tại một cơ sở củaV sao cho sao cho ma trận của
f đối với cơ sở này là một ma trận chéo?
Nếu có một cơ sở thỏa yêu cầu như trên thì ta nóif chéo hóa được Tuy nhiên,
ta đã biết rằng không phải mọi tự đồng cấu đều chéo hóa được
• Trong trường hợp f không chéo hóa được thì ta tìm một cơ sở nào của V saocho ma trận củaf có đối với cơ sở đó có dạng đơn giản nhất có thể
1.1 Đa thức tối tiểu
Cho K là một trường, xét không gian vectơ các ma trận vuôngMn(K) trên K
sao chop(A) = 0
Đa thức nhận Alàm "nghiệm" bên trên có bậc n2, tuy nhiên ta có thể tìm được
đa thức có bậc nhỏ hơnn2 và nhậnAlàm nghiệm Đó chính là nội dung của Định lýCayley-Hamilton mà ta sẽ nói dưới đây
Trang 5Ta nhắc lại rằng nếu A ∈ Mn(K) là một ma trận vuông cấp n thì đa thức đặctrưng củaAlà
PA(x) = det(A − xI)
vớiPA(x) là đa thức có bậcn
Định lí 1.1.1 (Định lý Cayley-Hamilton) ChoA ∈ Mn(K).Khi đó PA(A) = 0
Chứng minh. Ta nhớ rằng nếuA ∈ Mn(K) và ta kí hiệu adjA là ma trận phụ hợpcủaA,thì ta có
A(adjA) = (detA)I
Đặc biệt đối với ma trậnA − xI,ta có
(A − xI)B(x) = det(A − xI)I
vớiB(x) = adj(A − xI)là ma trận phụ hợp củaA − xI Vì mỗi phần tử trong matrậnB(x)là định thức của ma trận con cấpn − 1của ma trậnA − xI,nên các phần
tử củaB(x)là các đa thức có bậc không quán − 1 Như vậyB(x) có thể phân tíchthành
Trang 6Bây giờ ta nhân bên trái các đẳng thức như sau: đẳng thức thứ nhất vớiA0 = I,đẳngthức thứ hai vớiA1 = A,đẳng thức thứ ba vớiA2, ,đẳng thức cuối cùng với An.
Điều này chứng tỏAlà nghiệm của đa thức đặc trưng
Chú ý: Ta có thể nhầm lẫn với một cách chứng minh đơn giản bằng cách thay matrận A vào x trong đa thức đặc trưng PA(x) = det(A − xI) để được PA(A) =det(A − AI) = det0 = 0 Ta thấy rằng việc thay thế như trên là không đúng Đầutiên, trong định lý Cayley-HamiltonPA(A)là một ma trận cấpntrong khi đó vế phải
là giá trị của một định thức, nó là một vô hướng (det0 = 0 là một phần tử thuộctrường K) Thứ hai, ta xét trong khai triển củadet(A − xI).Ta lấy
det(A − xI) =
1 − x 2
3 4 − x
... trình trên, lấy ảnh tổ hợp tuyến tính qua ánh xạfk−4, , f2, f
ta tất hệ số tổ hợp tuyến tính bên
VậyJ tập độc lập tuyến tính cónvectơ, sở củaV Ta... vai trị giống phần tử đơn vị trongL(V )
Ngồi tính chất chung khơng gian ánh xạ tuyến tính, khơng giancác tự đồng cấu tuyến tính có tính chất sau:
Bổ đề 1.1.6 Choα, β, γ ∈... thức với biếnx.Khi đó, vớibất kỳ tự đồng cấu tuyến tínhf ∈ L(V ), ta có tự đồng cấu tuyến tínhp(f ) ∈ L(V )
là đa thức mà tự đồng cấu tuyến tínhf thay vào biếnxnhư sau:
p(f ) = a0id