3 Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương
3.4 Luật quán tính và phân loại các dạng toàn phương
Một dạng toàn phương có thể đưa về dạng chính tắc bằng nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên người ta chứng minh được định lí sau đây gọi là luật quán tính của dạng toàn phương.
Định lí 3.4.1(Luật quán tính). Nếu một dạng toàn phương được đưa về dạng chính tắc bằng nhiều cách khác nhau thì các hệ số dương và các hệ số âm trong dạng chính tắc của chúng là như nhau chỉ khác nhau về cách sắp xếp.
Ta kí hiệu r(q) là số các hệ số khác 0 trong mỗi dạng chính tắc củaq; s(q)là số các hệ số dương trong mỗi dạng chính tắc củaq;t(q) là số các hệ số âm trong mỗi dạng chính tắc củaq.Khi đó cặp(s, t)gọi làchỉ số quán tínhcủaq vàs−tgọi là
chỉ số củaq.
• Nếu q(x) ≥ 0 với mọi x ∈ V và q(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0thì q gọi là dạng xác định dương.
• Nếu q(x) ≥ 0 với mọi x ∈ V và tồn tại 0 6= x ∈ V sao choq(x) = 0 thì q
gọi là dạng nửa xác định dương (không âm).
• Nếu q(x) ≤ 0 với mọi x ∈ V và q(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0thì q gọi là dạng xác định âm.
• Nếu q(x) ≤ 0 với mọi x ∈ V và tồn tại 0 6= x ∈ V sao choq(x) = 0 thì q
gọi là dạng nửa xác định âm (không dương).
• Nếu q(x) nhận cả giá trị âm và giá trị dương, tức là tồn tại x, y ∈ V sao cho
q(x) > 0vàq(y) < 0thì q gọi là dạng không xác định dấu.
Định lí 3.4.2(Định lí Sylvester). Giả sửq là dạng toàn phương trên không gian vectơ thực hữu hạn chiềuV vàAlà ma trận củaq đối với một cơ sở nào đó. Khi đó
(i) q xác định dương khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con góc trái trên củaAcó định thức dương, tức là∆1,∆2, . . . ,∆n = detAđều là các số dương.
(ii) q xác định âm khi và chỉ khi mọi ma trận vuông con góc trái trên của A cấp chẵn có định thức dương, cấp lẻ có định thức âm.
3.5 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao
Cho dạng toàn phương q trên Rn có ma trận trong cơ sở chính tắc là ma trận đối xứng cấpnlàA = (aij).
Gọi E = {e1, e2, . . . , en}là một cơ sở trực chuẩn của Rn gồm các vectơ riêng của A và P là ma trận có các cột tọa độ của e1, e2, . . . , en đối với cơ sở chính tắc. Khi đó P là ma trận trực giao và là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở E.
Trong cơ sở E, ma trận của dạng toàn phươngq là
P−1AP = λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · λn
trong đóλilà giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng ei. Vì vậy trong cơ sở nàyq có dạng chính tắc
f(x) =λ1x21+ λ2x22+· · ·+λnx2n
Ví dụ 3.5.1. Đưa dạng toàn phương
q(x) =x21 +x22+x23 + 4x1x2+ 4x1x3+ 4x2x3
về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. Giải: Ma trận của dạng toàn phương là
A = 1 2 2 2 1 2 2 2 1
Tiến hành các bước như trong ví dụ 2.3.1, ta được cơ sởE = {e1, e2, e3}và ma trận của phép biến đổi trực giao là
P = 1 √ 3 −√1 2 −√1 6 1 √ 3 1 √ 2 −√1 6 1 √ 3 0 2 √ 6 và dạng chính tắc củaf(x) là: f(x) = 5x21−x22−x23
Bài tập 3.1. Chof, glà hai ánh xạ tuyến tính từV vàoR.Xét ánh xạh : V ×V →R
xác định bởih(x, y) = f(x).g(y).Chứng minh rằnghlà dạng song tuyến tính trên
V.
Bài tập 3.2. ChoA = (aij) ∈ Mn(R).Ta định nghĩa ánh xạf : Rn ×Rn → Rxác định bởif(X, Y) =XtAY.Chứng minh rằng f là dạng song tuyến tính trênRn.
Bài tập 3.3. Với mọix, y ∈ R2,đặt
f(x, y) = 3x1y1−2x1y2 + 4x2y1 −x2y2.
a. Chứng minhf là dạng song tuyến tính trênR2.
b. Tìm ma trận củaf đối với cơ sở{e1 = (1,1), e2 = (1,2)}.
Bài tập 3.4. TrongR3cho dạng song tuyến tính
f(x, y) = x1y1+ 2x2y2+ 3x3y3
Bài tập 3.5. Cho V = M2(R) vàA = " 1 2 3 5 # . Đặt ánh xạ f : V ×V → R xác định bởif(M, N) = trace(MtAN).
a. Chứng minhf là dạng song tuyến tính trênV.
b. Tìm ma trận củaf trong cơ sở chính tắc củaV.
Bài tập 3.6. Chof là dạng song tuyến tính trên không gian vectơnchiềuV.Với mọi tập conN củaV,ta đặt
N0 = {y ∈ V | f(x, y) = 0với mọi x ∈ N}.
Chứng minh rằng
a.N0là không gian vectơ con củaV.
b. Nếu f(x, x) = 0với mọi x ∈ N, x 6= 0thì V = N ⊕N0.
Bài tập 3.7. Cho dạng song tuyến tính xác định trên R3 có ma trận trong cơ sở
{e1 = (1,0,1), e2 = (−1,1,0), e3 = (0,−1,1)}là 1 1 −1 1 1 −1 −1 −1 a
a. Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc.
b. Tìm dạng toàn phương tương ứng của f đối với cơ sở chính tắc.
Bài tập 3.8. Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc a.f(x1, x2, x3) = x1x2 +x1x3 +x2x3.
b. f(x1, x2, x3) = 4x21 +x22+x32 −4x1x2+ 4x1x3 −3x2x3.
Bài tập 3.9. Dùng phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc a.f(x1, x2, x3) = 6x21 + 3x22 + 3x23 + 4x1x2 + 4x1x3−8x2x3.
b. f(x1, x2, x3) = −x2 1 +x2
2−5x2
3+ 6x1x3 + 4x2x3.
Bài tập 3.10. Tìm mđể dạng toàn phương sau xác định âm
[1] T. S. Blyth, E. F. Robertson,Basic linear algebra, Springer, 2000. [2] T. S. Blyth, E. F. Robertson,Further linear algebra, Springer, 2006.
[3] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Lê Anh Vũ, Nguyễn Anh Tuấn,Toán cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục, 2009.
[4] Nguyễn Hữu Việt Hưng,Đại số tuyến tính.
[5] Ngô Thúc Lanh,Đại số tuyến tính, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, 1970.
[6] Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng, Bài tập toán cao cấp 2 (Đại số tuyến tính), NXB ĐHQG Tp.HCM, 2000.
[7] C. D. Meyer,Matrix analysis and applied linear algebra.
[8] Đoàn Quỳnh (cb), Giáo trình Toán đại cương - Phần 1: Đại số tuyến tính và hình học giải tích, NXB ĐHQG Hà Nội, 1998.
[9] Ngô Việt Trung,Giáo trình đại số tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2002.