Chuyên đề phuong trinh bat phuong trinh he phuong trinh

Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Chủ đề 10 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRỌNG TÂM KIẾN THỨC CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN (a  b)2  a2  2ab  b2 (a  b)2  a2  2ab  b2 a  b  (a  b)  2ab a  b  (a  b)  2ab a2  b2  (a  b)(a  b) (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 a  b3  (a  b)3  3ab(a  b) (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 ) a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 )  a  b  c   a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc Nhắc lại: 1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a) Chuyển vế biểu thức từ vế sang vế (nhớ đổi dấu biểu thức) b) Nhân chia hai vế phương trình với số (khác 0) với biểu thức (khác khơng) c) Thay biểu thức biểu thức khác với biểu thức Lưu ý: + Chia hai vế phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng nghiệm + Bình phương hai vế phương trình đề phòng dư nghiệm 2) Các bước giải phương trình Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận 241 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Các phương pháp giải phương trình đại số thường sử dụng a) Phương pháp 1: Biến đổi phương trình cho phương trình biết cách giải Biến đổi phương trình cho dạng tích số : A.B = 0; A.B.C = A  A  Định lý: ; A.B.C    B  A.B    B  C  c) Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho dạng biết cách giải b) Phương pháp 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Giải biện luận phương trình bậc nhất: Dạng : x : ẩn số  a, b : tham số ax + b = (1) Giải biện luận: Ta có : Biện luận: (1)  ax = -b (2) b a  Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b * Nếu b  phương trình (1) vơ nghiệm * Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x Tóm lại : b  a  : phương trình (1) có nghiệm x   a  a = b  : phương trình (1) vơ nghiệm  a = b = : phương trình (1) nghiệm với x  Nếu a  (2)  x   Điều kiện nghiệm số phương trình: Xét phương trình ax + b = (1) ta có: Định lý:    a 0 a  (1) vơ nghiệm   b  a  (1) nghiệm với x   b  (1) có nghiệm  242 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN II Giải biện luận phương trình bậc hai: x : ẩn số  a, b , c : tham số ax  bx  c  (1) Dạng: Giải biện luận phương trình : Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu a  (1) phương trình bậc : bx + c =  b  : phương trình (1) có nghiệm x   c b  b = c  : phương trình (1) vơ nghiệm  b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a  (1) phương trình bậc hai có Biệt số   b2  4ac ( '  b '2  ac với b'  b ) Biện luận:  Nếu   pt (1) vơ nghiệm  Nếu   pt (1) có nghiệm số kép x1  x   b 2a  Nếu   pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2  b   2a b' ) a  b'   '  ) a ( x1  x2   ( x1,2 Điều kiện nghiệm số phương trình bậc hai: Định lý : Xét phương trình : ax  bx  c  (1)  Pt (1) vơ nghiệm  Pt (1) có nghiệm kép  Pt (1) có hai nghiệm phân biệt  Pt (1) có hai nghiệm  Pt (1) nghiệm với x a  a    b     c   a      a      a      a    b  c   Đặc biệt Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) ln có hai nghiệm phân biệt 243 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN Định lý VIÉT phương trình bậc hai:  Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax  bx  c  ( a  ) có hai nghiệm x1, x2 b  S  x1  x   a  P  x1 x  c  a  Định lý đảo : Nếu có hai số x , y mà x  y  S x.y  P ( S  P ) x , y nghiệm phương trình X2  S.X  P   Ý nghĩa định lý VIÉT: Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm ( tức biểu thức chứa x1, x2 khơng thay x12  x 22 1 đổi giá trị ta thay đổi vai trò x1,x2 cho Ví dụ: A    ) mà khơng cần giải pt x1 x x1 x tìm x1, x2 , tìm hai số biết tổng tích chúng, Chú ý: c  Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a  b  c  pt (1) có hai nghiệm x1  x  a c  Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a  b  c  pt (1) có hai nghiệm x1  1 x   a Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Dựa vào định lý Viét ta suy định lý sau: Định lý: Xét phương trình bậc hai : ax  bx  c  (1)  >   Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt  P > S >   Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt  Pt (1) có hai nghiệm trái dấu   ( a  0)  >  P > S <  P B  A2 > B2 III Các phương trình bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối & cách giải: Phương pháp chung để giải loại KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI định nghĩa nâng lũy thừa * Dạng : A  B  A  B , B  * Dạng : A  B   , A  B * Dạng 4: B  , A B 2 A  B  * Dạng 5: B   A  B   B   A  B  A  B  A  B B  A B A  B B  , A B  B  A  B ,  A   A  B A B  A     A  B ,  A   A  B AB  A    A  B B   A  B   B    A  B  A  B 250 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số + Biến đổi phương trình hệ dạng f(u) = f(v) (u, v biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ơn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn)  x  y  1 y  1 x  Ví dụ Giải hệ phương trình   x  1 y  Bài giải  Điều kiện  x   y 1 (1) (2)   Khi đó: 1  x   x  y   y  Xét hàm đặc trưng: f  t   t   t với t   0;1  t   0;1 f liên tục đoạn  0;1 t 1 t Suy ra: f  t  đồng biến đoạn  0;1 Ta có: f '  t   (a)  a   f  x   f  y  x  y  Do đó:  Thay x  y vào phương trình (2) ta phương trình: x   x   x   x  x 1  x    x 1  x    x   1 1 Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    ;   2 2 8 x3  y  y  x  y   (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  2 (2) 4 x   x   y  1  y    Bài giải 1  Điều kiện   x  ,  y  2  Khi đó: (1)  x  x  y  y  y   (2 x )3  3(2 x)  ( y  2)  3( y  2) (a) 1  Do   x  nên 1  x   y  nên 1  y   2  Xét hàm đặc trưng f (t )  t  3t , với t   1; 1 Ta có f '(t )  3t   3(t  1)  , với t   1; 1 Suy f  t  nghịch biến đoạn  1; 1 275 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG a  HĐBM-TỔ TỐN  Do đó:  Thay y  2x  vào phương trình (2) ta phương trình: f (2 x )  f ( y  2)  x  y   y  x  x   x    x    x  16 x  24 x    x   3  Vậy nghiệm hệ phương trình  3    3 ;      x; y     ;      x; y       2     2  x  x y  x  x  y  (1) Ví dụ Giải hệ phương trình  3 (2)  x  y   x  y   15  x  Bài giải  Ta có: 1  x  x y  x  x  y   x  x  y    x  y   x    x  y  x   x      x  y   (vì x   0, x ) Thay y  x  vào phương trình (2) ta phương trình   x  x  x   3 x    x  1   x  1  x   3 x   Xét hàm đặc trưng f (t )  t  3t , với t   Ta có f '(t )  3t   , với t   Suy f  t  đồng biến   Do đó: a  f ( x  1)  f ( x  2)  x   x   x3  x  3x   3   x  1   x  1  x    x  1  x  3 1 1 1  y 1 1  Với x    1  Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    ;3    1 1  (a) (6 x  5) x   y  y  Ví dụ Giải hệ phương trình   y  x  x  x  23 (1) (2) Bài giải  2 x   2   Điều kiện  x   x 2 x  x  23    Khi đó: (1)  x     x  1   y   y   Xét hàm đặc trưng f (t )  t   3t   3t  2t , với t   0;   (a) Ta có f '(t )  9t   , với t   0;   Suy f  t  đồng biến  0;   276 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG a  HĐBM-TỔ TỐN f ( x  1)  f ( y )  x   y  Do đó:  Thay y  2x  vào phương trình (2) ta phương trình: x   x  x  x  23  x   2 x  x  x  x  23  x  x  2 x  x  24  x   2x2  x    x  x  36    x4 x    x  x  4    Với x   y  Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    4;3     x  x   y  3  y  Ví dụ Giải hệ phương trình  4 x  y   x  Bài giải  Điều kiện x  , y  2  Khi đó: (1)   x  1 x    y  1  y (a)  (1) Xét hàm đặc trưng f (t )   t  1 t  t  t , với t   Ta có f '(t )  3t   , với t   Suy f  t  đồng biến       x   Do đó:  a   f (2 x)  f (  y )  x   y    x2 y   2  4x Thay y  vào phương trình (2) ta phương trình: 2 5 2 4x    2x    4x   (b) 2  Nhận thấy x  x  khơng nghiệm phương trình (b) 5  3 2 Xét hàm số g ( x )  x    x    x  với x   0;  , đó: 2   4 (3)  b   g  x   g   2  3 Khảo sát tính đơn điệu hàm số g khoảng  0;   4 4 5   3 Ta có: g '( x)  x  x   x    x 4x2    x   0;   4x  4x 2   4  3 Do f đồng biến khoảng  0;   4   277 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN  3  x   Suy ra:  Với x   1  Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    ;   2   y2     x x2  y2  y y2 1  Ví dụ Giải hệ phương trình   x   y   Bài giải  Điều kiện x    Nhận thấy y  khơng thỏa mãn hệ (1) (2)   x x Khi đó: (1)      y  y (a)  y y Xét hàm đặc trưng f (t )  t  t , với t   Ta có f '(t )  3t   , với t   Suy f  t  đồng biến   Do đó:   x x f    f  y   y  x  y2 y  y Thay x  y vào phương trình (2) ta phương trình: a  4x   x     x   x    23  x  23  23   x  23   x  x       x 1 x 1 4  x   x     23  x   x  42 x  41       x  41 Với x   y  1  Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y   1;  1   x; y   1; 1  Bài tập tương tự  x  xy  y10 +y6 Giải hệ phương trình   x   y   278 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN 2 y  12 y  25 y  18   x  9 x  (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình   x   3x 14 x    y  y (2)  (Thi thử THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa) Bài giải   x   ♥ Điều kiện:  (*)  6  y  y  ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) ♦ y  12 y  25 y  18   x  9 x    y  2   y  2    x4  x4 (3) [Tại ?] ♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t  t  ta có: f 't   6t 1  0, t    f  t  đồng biến   y  2  y  2 x   y   x       y  2  x   x  y  y (4)  ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn 3x    x  x 14 x   (5) ♦ Phương trình (5) có nghiệm x  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp 5  3x     x 1  x 14 x   [Tại ?] Nên: 3  f  y  2  f       x  5  x 5   x  53 x 1  3x 1   x 1       x  5    3 x 1   x  x 1   x 1       0  ♦ Với x   y  (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   5;1     x  y  17 x  32 y  x  y  24 (1) Ví dụ Giải hệ phương trình   y  2 x    x  9 y  x   x  y  (2)  (Thi thử THPT Chun Vĩnh Phúc) Bài giải  x  4 ♥ Điều kiện:  (*) 2 y  x   ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) 279 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ♦ x  y  17 x  32 y  x  y  24  x  x  17 x 18  y  y  32 y  42   x     x  2   y     y   3 [Tại ?] (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  5t  ta có: f 't   3t   0, t    f  t  đồng biến  Nên: (4) 3  f  x  2  f  y  3  x   y   y  x  ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn (5)  x  3 x    x  9 x  11  x  x  10 ♦ Phương trình (5) có nghiệm x  nên biến đổi phương trình tích số kỹ thuật nhân liên hợp [Tại ?] 5   x  3 x     x  9 x  11   x  x  35    x  3    x  5       x 5 x 5   x  9   x  5 x  7 x 3 x  11   x 3 x9    x  7   x4 3 x  11   x 5     x3 x 9    x  7  (6)  x4 3 x 11   ♦ Chứng minh (6) vơ nghiệm x3 x5 x9 x 9    0 [Tại ?] 6  2 x  3 x 11    1 1   x  5     x  9     : phương trình VN  x     x 11   x      0 0 0 ♦ Với x   y  (thỏa điều kiện (*)) ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   5; 6  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình  x  y  x  x  y  1)   x  y  x  y 10  y   x  y   2012  x  x  6 y  2009   y   3)  2 x  y  14 x 18 y  x  x 13  17  x   x  3 y 14  y   5)  2 x  y   3x  y  11  x  x  13  53  x  10  x  5 y  48  y  2)   x  y   x  x  66  2 x  y 11   x  x  y y 1   4)   x  x3  x   x  y 13   280 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN  x   x   y   y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình   x  x  y  2  y  y   (2)  (Phạm Trọng Thư GV THPT Chun Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2) Bài giải ♥ Điều kiện: x  (*) ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ x   x   y4   y  x    x  2   y  y  (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f t   t  t  khoảng 0; f liên tục 0; f 't    Do 2t t4   0, t   0;   f  t  đồng biến 0; x   y   x  y  2  y  nên 3  f  x    f  y   x   y  x  y  (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn y 0 y   y  y  y  y  y  y  4     y  y4  y    ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Xét hàm số g  y   y  y  y  khoảng 0; (5) Do g liên tục 0; g' y   y  y   0, y  0;   g  y  đồng biến 0; Nên: 5  g  y   g 1  y  ♣ Với y   x  [thỏa (*)] ♣ Với y   x  [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  2; 0 3;1   x 1 0  x  x  y  y  y   ln y 1 Ví dụ 10 Giải hệ phương trình:   y  log  x  3  log y   x     1 2 (Thi thử THPT Chun Vĩnh Phúc) Bài giải  x 1  y 1   x  ♥ Điều kiện:  x     y  y    ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y ♦ 1  ♦  x  13   x  12  ln  x  1   y  13   y  12  ln  x  1 Xét hàm đặc trưng f  t   t  3t  ln t khoảng  0;   (3) 281 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN f   t   3t  6t   t   f  t  đồng biến khoảng  0;   t Do x 1  y   nên (4)  3  f  x  1  f  y  1  x   y   y  x  ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x   log  x  3  log3  x    x  (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số x 1 x 1  log  x  3  log  x     6  x2 x2 x 1 ♣ Xét hàm số g  x   log  x  3  log  x    khoảng  3;   x2 1 g x     x   x  3 ln  x   ln  x  2 5  log  x  3  log  x     g  x  đồng biến khoảng  3;   4 y3    g  x   g    x   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    5;3  Nên ♥  3 x  3y    y  x  y  xy  x   Ví dụ 11 Giải hệ phương trình:   x  y  13 3y  14  x      1 2  (Thi thử THPT Chun Vĩnh Phúc) Bài giải  x  1 x     14 3 y  14   y  ♥ Điều kiện:  * ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y 3 ♦ 1   x  1   x  1   y  1   y  1 (3) ♦ Xét hàm đặc trưng f  t   t  3t , t   f   t   3t   0, t    f  t  đồng biến  Do x 1  y 1  nên  3  f  x  1  f  y  1  x   y   x   y ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn  x  11   3x   x   (4)  5 ♦ Giải phương trình (5) phương pháp hàm số Ta nhận thấy x  11 khơng nghiệm phương trình  5 nên 282 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG  5  HĐBM-TỔ TỐN 3x   x    x  11 6 Xét hàm số g  x   3x   x   g x   3x   x 1   11   11  , x   ;    ;   x  11 2     10  x  11  x   3x   10  3x   x  1  x  11  11   11   x   ;  &  ;   3     11   11   g  x  đồng biến khoảng  ;  &  ;   2     11 11     ♣ Trên khoảng  ;  g  x  đồng biến,   ;  , g  3  nên 3      4 6  g  x   g  3  x   y  thoả mãn (*)  11  11   ♣ Trên khoảng  ;   g  x  đồng biến,   ;   , g 8   nên 2  2   4 y  10 thoả mãn (*) 6  g  x   g  8  x   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x, y    3;5  ,  x, y    8;10   BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải hệ phương trình 4 x  1 x   y  3  y   1)  4 x  y   x    x  y  y  y  x  2)   x  y  x  y 19  105  y  xy   x   y    3)  2  x 13  x 1   y  3 y   2 y  y  x 1 x  1 x  Ví dụ 12 Giải hệ phương trình    y  x  y   (1) (2) (Thi thử THPT Trần Phú – Thanh Hóa) Bài giải  x   ♥ Điều kiện:  (*)   y   2 ♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y (sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u   f v ) ♦ y  y  x  x  1 x  y  y   x  x  x   x  y  y  1 x  1 x  1 x (3) 283 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN ♦ Xét hàm đặc trưng f t   2t  t  ta có: f 't   6t 1  0, t    f đồng biến  Nên:  y   y  1 x 3  f  y   f  1 x   y  1 x   (4) ♥ Thế (4) vào (2) để phương trình ẩn x   x  x 1 (5) ♦ Giải phương trình (5) phương pháp đặt ẩn phụ chuyển hệ đối xứng loại II  Phương trình (5) viết lại thành: 2 x  3  x   11 Điều kiện  3 Đặt x   2t  t   , ta hệ phương trình:  2  x  32  4t  (6)   2t  32  x  (7)   Trừ theo vế (6) (7) ta được:  x  t  3 x  t   4t  x   x  t  x  t  2  [Tại ?] + Khi x  t , thay vào (7) ta được: x 12 x   x   x  x 1   x   So với điều kiện x t ta chọn x   [khơng thỏa (*)] + Khi x  t    t   x , thay vào (7) ta được: 1 x  x   x  x 1   x   (loại) So với điều kiện x t ta chọn x  1 ♦ Với x  1  y   [thỏa (*)]     ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  1 2;  1 2;  284 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp đánh giá Thường sử dụng bất đẳng thức bản: Cơ-si, bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình lại hệ để phương trình ẩn Bước 4: Giải phương trình ẩn (cần ơn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn)   x 12  y  y 12  x   12 Ví dụ Giải hệ phương trình    x  x 1  y  (1) (2) (Khối A - 2014) Bài giải 2  x  ♥ Điều kiện:   2  y  12  (*) ♥ Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên hệ x y Sử dụng BĐT Cơ-si ta có:   x 12  y  x  12  y   x 12  y  y 12  x   12 nên   y  12  x  y 12  x     x  1    y  12  x ♥ Thế y  12  x vào phương trình (2) ta phương trình ẩn: x  x 1  10  x (3) ♠ Phương trình (3) có nghiệm x  nên ta định hướng phân tích (3) thành dạng  x  3 f  x    (3)  x  x   1 10  x    x  3 x  3x  1  2  x  9  10  x 0 285 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN    x  3    x      10  x    x  3 x  3x   0 ♠ Với x   y  [thỏa (*)] ♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  3;3   5x2  2xy  2y2  2x2  2xy  5y2  3(x  y) Ví dụ Giải hệ phương trình   2x  y   7x  12y   2xy  y  Bài giải (1) (2) 5 x  xy  y   ♠ Điều kiện: 2 x  xy  y   x  y   x  y     ♠ Khi hệ có nghiệm  x; y   x y 0 Ta thấy x  xy  y  x  y  * dấu x  y Thật vậy: *  x  xy  y   x  y  Tương tự 2   x  y   ln với x, y   x  xy  y  x  y  ** dấu x  y Từ  * & **  VT 1  x  xy  y  x  xy  y   x  y   VP 1 Dấu đẳng thức xẩy x  y  3 ♠ Thế y = x vào (2), ta được: Ta có: 3x   19 x   x  x  (3) (3)  3x   ( x  1)   19 x    x     x  x   x2  x  3x   x  x2  x  3x   x  2  x  x  x  19 x    ( x  2) 19 x   ( x  2)  2x2  2x 2  x  x  ( x  7)  x2  x      3x   x   19 x    ( x  2) 19 x   ( x  2)  2( x  x )  2( x  7) 19 x    ( x  2) 19 x   ( x  2)   (*) Vì x ≥ nên (*) vơ nghiệm Do (3)  x = hay x = ♠ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y )   0;  , 1;1  286 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN  xy 17  x     2 Ví dụ Giải hệ phương trình  x  y  xy  y   x 16  y    y  21  x  (1) (2) Bài giải  x  16 ♥ Điều kiện:   y  ♥ Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên hệ x y Ta có: Đặt t  17  x    y   6  y y x 1  x y    x  x y x y  2  t   x  y  sử dụng BĐT Cơ-si ta có: y x y x 17  x     x y  6  y y x Dấu “=” xảy y  17     t   t  6  2t   2.2  x  t  t 6 8  t  6  t   x  y t 6 ♠ Thế y = x vào (2), ta được: x 16  x     x 16 x  9  37  x  x  25  Với x  25  y  25 [thỏa (*)] ♠ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y )   25; 25   287 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN IV PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) Bước 2: Biến đổi hai phương trình hệ cho có hai biểu thức giống Bước 3: Thay hai biểu thức hai biến u, v, chuyển sang hệ giải tìm u, v Bước 4: Với u, v tìm ta tìm x, y  x   y  x  y   y  Ví dụ Giải hệ phương trình   x 1 x  y  2  y  (1) (2) (*) Bài giải ♥ Biến đổi cho hai phương trình hệ xuất hai biểu thức giống Do y  khơng thỏa mãn hệ nên  x     x  y   y *    x    x  y  2   y ♥ Đặt ẩn phụ u  x 1 v  x  y  , hệ trở thành y u  v  u    u.v  v  u  ♥ Với  ta hệ phương trình v   x   1  x   x  2     y   y   y   x  y 1  ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y   1; 2; 2;5  Bài tập tương tự Giải hệ phương trình  x  xy  3x  y  1)    x  3x y  x  y    y  x  xy  y   2)    y x  y  x y  x   288 Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG HĐBM-TỔ TỐN  x  x y  y  y    3)   xy  x y  1  x3  y    x  y  1  y   4)   x y  x y  y  x 1  12 y 1   x  y  xy  x   5)   x  xy 4   y  24  17 x   x  y  x  y  1  25  y 1  6)   x  xy  y  x  y    x   y   x  y   7)   x   y   x  y    x  y    Ví dụ Giải hệ phương trình  3  x  y 1   x  y (1) (2) (*) Bài giải ♥ Điều kiện: x  y  ♥ Biến đổi hệ phương trình thành dạng có chứa hai biểu thức x  y x  y  x  y  x  y      x  y 1  3  x  y ♥ Đặt u  x  y v  x  y hệ phương trình trở thành   v  uv  u  3; v  v     u    u    u 1     u   ; v  8 u2  u  2u 1  8u 18u 18   v   35   x    x  y   ♥ Suy ra:      29  x  y  8  y      35 29  ♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    ;  ;  ;    2   8  Bài tập tương tự  x   x  y      x  y    y   Giải hệ phương trình  x  y  xy  x  y 1)    x  y    x  x   y  2)   x  xy  y   4  x  x y  x y   x  y   3)  3 x  xy  y   x  y  1  -Hết 289 [...]... x  2 y 2  2  Ví dụ 4 Giải hệ phương trình  2 x  2  4 y  8 y xy  2 y  34 15 x    (1) (2) (Thi thử của THPT Chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) Bài giải ♥ Điều kiện: –2 ≤ x ≤ 2 và y ≥ 0 ♥ Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Xem (1) là một phương trình bậc hai theo ẩn 2  x , phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được:  2x  y (1)  (2  x )  2  x y  2y 2  0    2  x ... trình (1) viết lại thành: 2 x  3   3x  1  x  4  3 Đặt 3x  1  2 y  3  y   , ta được hệ phương trình:  2  2 x  32  2 y  x  1 (2)    2 y  32  3x  1 (3)   Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được: 2  2 x  2 y  6 x  y   2 y  2 x   x  y  2 x  2 y  5  0 + Khi x  y , thay vào (3) ta được: 4 x 2 12 x  9  3x  1  4 x 2 15 x  8  0  x  15 ... 3: Giải phương trình  x 2  x  9  0 ♥ Điều kiện:  3  3 x  x 2  0 x 2  x  9  3  3x  x 2  x2  4 x  9 3 (1) (*) ♥ Khi đó: 1  3 x 2  x  9  33  3x  x 2   x 2  4 x  9 (1) Theo BĐT Cauchy ta có: x2  x  9  3 x2  x  6  2 3 x  x  9      2 2   2  3  3x  x  3 6  3x  x 2 2   33  3 x  x   2 2  265 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG Suy ra: HĐBM-TỔ... phân tích thành (a  0) có hai nghiệm x1, x 2 thì tam thức luôn có thể f(x)  ax 2  bx  c  a x  x1 x  x 2  Ví dụ: f ( x; y )  x 2  4 y 2  8 x  4 y  15 (1) ♥ Xem (1) là một tam thức bậc hai theo x : f ( x; y )  x 2  8 x  4 y 2  4 y  15 Ta có:  '  16 4 y 2  4 y  15  4 y 2  4 y  1  2 y 1  0 2 x  52 y Suy ra (1) có hai nghiệm:  x  3 2y  ♥ Vậy: f  x; y    x  5... bậc ba, các bậc bốn đặc biệt, Thành thạo các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu thức, bình phương hai vế, Chú ý: Các bài toán giải hệ 2 ẩn đa phần đều quy về việc tìm một pt một ẩn giải được 1 Phương pháp THẾ Kỹ thuật 1: Rút một biến để thế Cụ thể: Rút một ẩn từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được Kỹ...  y 2  x  4  2 x  y  x  4 y  (1) (2) (Khối B – 2013) Bài giải 2 x  y  0 ♥ Điều kiện:   x  4 y  0 (*) ♥ Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Xem (1) là một phương trình bậc hai theo ẩn y, phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được  y  x 1 (1)  y 2  3 x  2 y  2 x 2  3 x 1  0   y   x  1  y 2 x 1  0    y  2 x 1  (các hệ thức đơn giản chứa... liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN Bài giải  y  0  ♥ Điều kiện :  x  2 y  4 x  5 y  3 (*) ♥ Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Do y  1 luôn thỏa (1) nên định hướng phân tích theo nhân tử y 1 hoặc 1 y Ta được: 1  1 y  x  y 1   x  y 11 y   0   y 1 1 1   1 y  x  y 1    0   x  y 1 1  y    y  x 1  0 ♥ Thế... 2  2 x  15  28  Điều kiện: 2 x  15  0  x   Đặt  1 2 x  15  4 y  2  y    , ta được hệ phương trình:  2  4 y  22  2 x  15 (2)    4 x  22  2 y  15 (3)   Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được: 4 y  4 x  44 y  4 x   2  x  y    x  y  1  8 x  y  1  0 + Khi x  y , thay vào (3) ta được:  1 x  2  2 4 x  2  2 x  15  16 x 2  14... Giải hệ phương trình   2 2 x  xy  2   x  2 y  4 x  4  0 (1) (2) Bài giải ♥ Điều kiện: y 2  4 x  4  0 ♥ Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số Xem (1) là một phương trình bậc hai theo ẩn x 2  2 , phân tích 273 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM-TỔ TOÁN tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được: 1  x 2  2   y 2  y  1 x 2  2  y 3  y  0   x2  2  y   y  x2  2 