CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1 Phương Trình - Bất Phương Trình Khơng Chứa Căn Bài tập 2.1 Giải bất phương trình sau a) x2 − 6x + > c) x4 − 4x3 + 3x2 + 8x − 10 ≤ b) −4x2 + x − ≥ d) x4 + x2 + 4x − ≥ Lời giải √ √ √ x > + √3 Vậy tập nghiệm S = −∞; − ∪ + 3; +∞ a) Ta có x − 6x + > ⇔ x c) 2x − x+5 ∪ √ −1+ ; +∞ √ −1+ 2√ −1− x2 − 3x − ≥ 2x + x−1 1 d) < x − 5x + x − 7x + 10 b) Lời giải a) Ta có bảng xét dấu x x−2 x2 − 9x + VT −∞ − + − | || − − + | + − − | || +∞ + + + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1; 2] ∪ (8; +∞) x2 − 3x − − (x − 1) (2x + 2) −x2 − 3x b) Bất phương trình tương đương với ≥0⇔ ≥ x−1 x−1 Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x −x2 − 3x x−1 VT −∞ −3 | − − + 0 | + − − | || − − + +∞ − + − Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3] ∪ [0; 1) 2 (x + 5) + (2x − 1) − (x + 5) (2x − 1) x2 − 12x + 36 c) Bất phương trình tương đương với >0⇔ > (2x − 1) (x + 5) 2x2 + 9x − Ta có bảng xét dấu x x2 − 12x + 36 2x2 + 9x − VT −∞ + + + −5 | || + − − | || | + + + +∞ + + + Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5) ∪ ; ∪ (6; +∞) x2 − 7x + 10 − x2 + 5x − −2x + d) Bất phương trình tương đương với 0) Phương trình trở thành + = ⇔ (t + 2) (t + 6) + t (t + 6) = 6t (t + 2) ⇔ 4t2 − 2t − 12 = ⇔ t t+2 t+6 t=2 t = − (loại) x=1 x = −2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = − b) Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Với x = 0, phương trình tương đương với Với t = ⇒ 2x2 − x + = ⇔ 4x − + Đặt 4x − + x + x 4x − 10 + x =1 = t Phương trình trở thành + = ⇔ (t − 2) + 3t = t (t − 2) ⇔ t2 − 9t + = ⇔ t t−2 t=1 t=8 x = ⇔ 4x2 − 9x + = (vô nghiệm) x= Với t = ⇒ 4x − + x = ⇔ 4x2 − 16x + = ⇔ x= Vậy phương trình có hai nghiệm x = , x = c) Điều kiện: x = x2 + t = −2 Đặt = t Phương trình trở thành t + = − ⇔ t t = −2 x x2 + Với t = −2 ⇒ = −2 ⇔ x2 + 2x + = ⇔ x = −1 x x2 + 1 Với t = − ⇒ = − ⇔ 2x2 + x + = (vô nghiệm) x Vậy phương trình có nghiệm x = −1 d) Điều kiện: x = 1, x = −2 x−1 x−3 u=v Đặt = u, = v Phương trình trở thành u2 + uv − 2v = ⇔ u = −2v x+2 x−1 x−1 x−3 Với u = v ⇒ = ⇔ x2 − 2x + = x2 − x − ⇔ x = x+2 x−1 √ x−1 x−3 ± 37 2 Với u = −2v ⇒ = −2 ⇔ x − 2x + = −2x + 2x + 12 ⇔ 3x − 4x − 11 = ⇔ x = x+2 x−1 √ ± 37 Vậy phương trình có ba nghiệm x = 7, x = e) Điều kiện: x = −1 Phương trình tương đương với Với t = ⇒ 4x − + x− x x+1 + 2x x =3⇔ x+1 x2 x+1 +2 x2 −3=0 x+1 x2 t=1 = t Phương trình trở thành t2 + 2t − = ⇔ t = −3 x+1 √ x2 1± Với t = ⇒ = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = x+1 x2 Với t = −3 ⇒ = −3 ⇔ x2 + 3x + = (vô nghiệm) x+1 √ 1± Vậy phương trình có hai nghiệm x = f) Phương trình tương đương với Đặt 1 − 2+x+1 x x +x+2 ⇔ Đặt (x2 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) + 2 + x2 1 13 = +x+1 x +x+2 36 13 − =0 (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) 36 13 = t (t > 0) Phương trình trở thành t2 + 2t − =0⇔ + x + 1) (x2 + x + 2) 36 www.MATHVN.com t= t = − 13 (loại) www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Với t = 1 ⇒ = ⇔ x2 + x + + x + 2) (x + x + 1) (x x2 + x + = Đặt x2 + x + = u (u > 0) Phương trình trở thành u (u + 1) = ⇔ √ −1 ± Với u = ⇒ x + x + = ⇔ x = √ −1 ± Vậy phương trình có hai nghiệm x = Bài tập 2.10 Giải phương trình sau a) |x − 1| = x2 − 3x + c) x2 − 5x + − x = e) x2 − 5x + = x2 + 6x + u=2 u = −3 (loại) b) x2 + 4x − = x2 + √ d) x2 + 4x + = − x2 f) x2 − 5x + = −2x2 + 10x − 11 Lời giải √ x=2± x − = x − 3x + a) Ta có |x − 1| = x2 − 3x + ⇔ ⇔ x=0 x − = −x2 + 3x − x=2 √ Vậy phương trình có bốn nghiệm x = ± 2, x = 0, x =  x= 2 x + 4x − = x + b) Ta có x2 + 4x − = x2 + ⇔ ⇔ x=0 2 x + 4x − = −x − x = −2 Vậy phương trình có ba nghiệm x = , x = 0, x = −2 x≥4 x=0 c) Với x2 − 5x + ≥ ⇔ , phương trình trở thành x2 − 5x + − x = ⇔ (thỏa mãn) x≤1 x=6 2 Với x − 5x + < ⇔ < x < 4, phương trình trở thành −x + 5x − − x = ⇔ x − 4x + = (vơ nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = d) Phương trình tương đương với |x + 2| = − x2 √ x = −1+√13 2 Với x + ≥ ⇔ x ≥ −2, phương trình trở thành x + = − x ⇔ x + x − = ⇔ x = −1− 13 (loại)  f) Với x2 − 5x + ≥ ⇔ Với x2 − 5x + < ⇔ x≥ x≤ √ 5− √ 5+ √ 5− 2 x= x= √ 1+ 29 √ 1− 29 (loại) Với x + < ⇔ x < −2, phương trình trở thành −x − = − x ⇔ x − x − = ⇔ √ √ −1 + 13 − 29 Vậy phương trình có hai nghiệm x = ,x = 2 x≥4 e) Với x2 − 5x + ≥ ⇔ , phương trình trở thành x2 − 5x + = x2 + 6x + ⇔ x = − 11 (thỏa mãn) x≤1 Với x2 − 5x + < ⇔ < x < 4, PT trở thành −x2 + 5x − = x2 + 6x + ⇔ 2x2 + x + = (vơ nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệm x = − 11 , PT trở thành x2 − 5x + = −2x2 + 10x − 11 ⇔ x = √ 5+ , √ 15± 33 PT trở thành −x2 + 5x − = −2x2 + 10x − 11 ⇔ √ 15 ± 33 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = , x = 2, x = 0) Phương trình trở thành − t − = ⇔ t3 + 2t − = ⇔ t = 2x − t x+1 x + = 2x − x=2 Với t = ⇒ = ⇔ |x + 1| = |2x − 1| ⇔ ⇔ x + = −2x + x=0 2x − Với t = ⇒ x2 − x = ⇔ www.MATHVN.com (thỏa mãn) www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x =   x + 3x − 10 = ⇔ x2 − =  c) Ta có x2 + 3x − 10 + x2 − = ⇔ x=2 x−5 x = ±2 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x =   x + 3x − = ⇔ x2011 + 2011x − 2012 =  d) Ta có x2 + 3x − + x2011 + 2011x − 2012 = ⇔ x = (thỏa mãn) x = −4 (loại) x2011 + 2011x − 2012 = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập 2.12 Giải bất phương trình sau 2x − ≤ x−3 d) x − 2x + x2 − > a) |x − 2| < |2x + 1| b) c) x2 − 5x + ≤ x2 + 6x + Lời giải 2 a) Ta có |x − 2| < |2x + 1| ⇔ (x − 2) < (2x + 1) ⇔ 3x2 + 8x − > ⇔ x> x < −3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −3) ∪ ; +∞ b) Điều kiện: x = Bất phương trình tương đương với 2 |2x − 3| ≤ |x − 3| ⇔ (2x − 3) ≤ (x − 3) ⇔ 3x2 − 6x ≤ ⇔ ≤ x ≤ (thỏa mãn) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 2] x≥4 c) Với x2 − 5x + ≥ ⇔ , bất phương trình trở thành x≤1 x2 − 5x + ≤ x2 + 6x + ⇔ x ≥ − 1 ⇒ S1 = − ; ∪ [4; +∞) 11 11 Với x2 − 5x + < ⇔ < x < 4, bất phương trình trở thành −x2 + 5x − ≤ x2 + 6x + ⇔ 2x2 + x + ≥ (đúng ∀x ∈ (1; 4)) ⇒ S2 = (1; 4) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = − 11 ; +∞ x≥2 d) Với x2 − 2x ≥ ⇔ , bất phương trình trở thành x≤0 x2 − 2x + x2 − > ⇔ x>2 x < −1 (thỏa mãn) ⇒ S1 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Với x2 − 2x < ⇔ < x < 2, bất phương trình trở thành −x2 + 2x + x2 − > ⇔ x > (loại) ⇒ S2 = ∅ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = (−∞; −1) ∪ (2; +∞) Bài tập 2.13 Giải phương trình sau a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3| c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2| √ √ e) x2 − 2x + + x2 + 4x + = b) x2 − 5x + + x2 − 5x = d) |x − 1| − |x − 2| + |x − 3| = √ √ f) x + x − + x − x − = Lời giải a) Ta có bảng xét dấu x 9−x − 5x 4x + −∞ + + − −3 | | + + + | | + − + | | +∞ − − + Với x ∈ −∞; − , phương trình trở thành − x = − 5x − 4x − ⇔ x = − (thỏa mãn) Với x ∈ − ; , phương trình trở thành − x = − 5x + 4x + ⇔ = (đúng , ∀x ∈ − ; ) Với x ∈ ; , phương trình trở thành − x = −6 + 5x + 4x + ⇔ x = (loại) Với x ∈ (9; +∞), phương trình trở thành −9 + x = −6 + 5x + 4x + ⇔ x = − (loại) Vậy phương trình có tập nghiệm S = − ; b) Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số x x2 − 5x + x2 − 5x −∞ + + | | + − | − − | + − +∞ + + x = (thỏa mãn) x = (loại) Với x ∈ (0; 1], phương trình trở thành x2 − 5x + − x2 + 5x = ⇔ = (đúng , ∀x ∈ (0; 1]) x = (thỏa mãn) Với x ∈ (1; 4], phương trình trở thành −x2 + 5x − − x2 + 5x = ⇔ x = (loại) Với x ∈ (4; 5], phương trình trở thành x2 − 5x + − x2 + 5x = ⇔ = (đúng , ∀x ∈ (4; 5]) x = (loại) Với x ∈ (5; +∞), phương trình trở thành x2 − 5x + + x2 − 5x = ⇔ x = (loại) Vậy phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] ∪ [4; 5] c) Ta có bảng xét dấu Với x ∈ (−∞; 0], phương trình trở thành x2 − 5x + + x2 − 5x = ⇔ x − 2x − 3x x+2 −∞ + + − −2 | | + + + | | + − + | | +∞ − − + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành − 2x = − 3x − x − ⇔ x = −2 (thỏa mãn) 5 Với x ∈ −2; , phương trình trở thành − 2x = − 3x + x + ⇔ = (đúng , ∀x ∈ −2; ) Với x ∈ ; , phương trình trở thành − 2x = −5 + 3x + x + ⇔ x = (loại) Với x ∈ ; +∞ , phương trình trở thành −7 + 2x = −5 + 3x + x + ⇔ x = −2 (loại) Vậy phương trình có tập nghiệm S = −2; d) Ta có bảng xét dấu x x−1 x−2 x−3 −∞ − − − | | + − − | | + + − | | +∞ + + + Với x ∈ (−∞; 1], phương trình trở thành −x + − (−x + 2) + (−x + 3) = ⇔ x = (thỏa mãn) Với x ∈ (1; 2], phương trình trở thành x − − (−x + 2) + (−x + 3) = ⇔ = (đúng , ∀x ∈ (1; 2]) Với x ∈ (2; 3], phương trình trở thành x − − (x − 2) + (−x + 3) = ⇔ x = (loại) Với x ∈ (3; +∞), phương trình trở thành x − − (x − 2) + (x − 3) = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] ∪ {5} e) Phương trình tương đương với |x − 1| + |x + 2| = Ta có bảng xét dấu x x−1 x+2 −∞ − − −2 | − + | +∞ + + Với x ∈ (−∞; −2], phương trình trở thành −x + − x − = ⇔ x = (loại) Với x ∈ (−2; 1], phương trình trở thành −x + + x + = ⇔ = (vô lý) Với x ∈ (1; +∞), phương trình trở thành x − + x + = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = √ √ f) Phương trình tương đương với x − + + x − − = √ √ √ √ Với x − − ≥ ⇔ x ≥ 2, PT trở thành x − + + x − − = ⇔ x − = ⇔ x = (thỏa mãn) √ √ √ Với x − − < ⇔ ≤ x < 2, PT trở thành x − + − x − + = ⇔ = (đúng ∀x ∈ [1; 2)) Vậy phương trình có tập nghiệm S = [1; 2] §2 Phương Trình - Bất Phương Trình Chứa Căn Bài tập 2.14 Giải phương trình sau √ a) x − x − − = √ √ √ c) 3x − − − x = 2x − √ √ √ e) 2x − + x − = 3x + √ √ √ b) 2x + = − x + 3x + √ d) √ 2x + 6x2 + = √+ x √ f) x + + x + + x + = www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải a) Phương trình tương đương với √ x−1=x−7⇔   x≥7 x≥7 x = (loại) ⇔ x − = x − 14x + 49  x = 10 ⇔ x = 10 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Điều kiện: − ≤ x ≤ Phương trình tương đương với 2x + = − x + 3x + + (4 − x) (3x + 1) ⇔ = −3x2 + 11x + ⇔ − 3x2 + 11x + = ⇔ x=0 x = 11 (thỏa mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 11 c) Điều kiện: ≤ x ≤ Phương trình tương đương với √ √ √ 3x − = − x + 2x − ⇔ 3x − = − x + 2x − + ⇔ 2x − = (5 − x) (2x − 4) (5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x − 4) = (5 − x) (2x − 4) ⇔ (2x − 4) (2x − − 20 + 4x) = ⇔ x=2 x=4 (thỏa mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = d) Phương trình tương đương với   x ≥ −1    x=0 x ≥ −1 ⇔ 6x + = x + 2x +   x=2   x = −2 (loại) x + 1√ ≥ ⇔ 2x + 6x2 + = x2 + 2x + ⇔ x=0 x=2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = e) Phương trình tương đương với 2x − + x − + 3 (2x − 1) (x − 1) √ 2x − + √ x − = 3x + ⇒ (2x − 1) (x − 1) (3x + 1) = ⇒ 6x3 − 7x2 = ⇒ x=0 x= Thử lại ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = f) Phương trình tương đương với √ √ √ √ √ x + + x + = − x + ⇔ x + + x + + 3 (x + 1) (x + 2) x + + x + = −x − ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + ⇒ (x + 1) (x + 2) (x + 3) = x + ⇒ x = −2 Thử lại ta thấy x = −2 nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = −2 Bài tập 2.15 Giải bất phương trình sau √ a) √x2 − 4x − 12 > 2x + c) 6x − 9x2 < 3x √ b) √x2 − 4x − 12 ≤ x − d) x3 + ≥ x + Lời giải a) Bất phương trình tương đương với        x < −2  x≥6   x ≤ −2 ⇔   x ≥ −3 −3 < x < − 2x + < x2 − 4x − 12 ≥ 2x + ≥ x2 − 4x − 12 > 4x2 + 12x + ⇔ x ≤ −2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −2] b) Bất phương trình tương đương với    x≥4   x−4≥0  x≥6 x − 4x − 12 ≥ ⇔ x ≤ −2    x − 4x − 12 ≤ x − 8x + 16  x≤7 ⇔6≤x≤7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [6; 7] c) Bất phương trình tương đương với 6x − 9x2 < 27x3 ⇔ 27x3 + 9x2 − 6x > Ta có bảng xét dấu www.MATHVN.com 10 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Trừ theo vế (1) (2) ta có x3 − t3 = 2t − 2x ⇔ (x − t) x2 + xt + t2 = (t − x) x=t x2 + xt + t2 + = (vô nghiệm) ⇔ (x − t) x2 + xt + t2 + = ⇔ √ x=1 √ x = −1± √ −1 ± Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = √ d) Đặt 35 − x3 = t Phương trình trở thành Với t = x ⇒ 2x − = x ⇔ 2x − = x3 ⇔ xt(x + t) = 30 ⇔ t3 + x3 = 35 xt(x + t) = 30 ⇔ (t + x) − 3xt (x + t) = 35 xt(x + t) = 30 ⇔ (t + x) = 125 xt = ⇒ t+x=5 x=2 x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = Bài tập 2.27 Giải phương trình, bất phương trình sau √ x− x √ √ − 4x + ≥ x b) (A-2010) ≥ a) (B-2012) x + + x − (x2 − x + 1) √ √ d) x + (1 − x2 ) = − 2x2 c) x2 − = − x3 Lời giải ≤ x ≤ √− x≥2+ a) Điều kiện: √ Nhận thấy x = nghiệm bất phương trình Với x > 0, bất phương trình tương đương với Đặt √ x + √ = t (t > 0) ⇒ x + x x √ x+ √ + x x+ − ≥ x = t2 − 2, bất phương trình trở thành  3−t3 3−t≥0 ⇔ ⇔t≥ ≤t≤3 2 t2 − ≥ − 6t + t2 √ √ √ 5 x≥2 x≥4 Với t ≥ ⇒ x + √ ≥ ⇔ 2x − x + ≥ ⇔ √ ⇔ x≤ 0 Do PT tương đương với b) Điều kiện: x ≥ Nhận thấy x − x + ≥ ⇒ (x t2 − ≥ − t ⇔  √ x ≤ − (x2 − x + 1) ⇔ 2x2 − 2x + ≤ + x − x √ √ 1+ x−x≥0 x≥x−1 √ √ √ ⇔ √ ⇔ 2x2 − 2x + ≤ + x + x2 + x − 2x − 2x x + x + x2 − x − 2x + 2x x ≤ √ √ √ x≥x−1 x≥x−1 √ √x ≥ x − √ ⇔ ⇔ ⇔ 1− x−x=0 x=1−x (1 − x − x) ≤  √ √  x≥x−1 x≤1 √ 3− 1−x≥0 ⇔ ⇔ 3± ⇔ x =  x= x = − 2x + x2 √ √ √ √ x≥ √ c) Điều kiện: x ≤ Nhận thấy − x3 ≥ ⇒ x2 − ≥ ⇔ x≤− √ Từ điều kiện ta có x ≤ − Khi phương trình tương đương với x2 − = − x3 x− √ ⇔ x4 − 4x2 + = − 12x3 + 6x6 − x9 = ⇔ x9 − 6x6 + x4 + 12x3 − 4x2 − = ⇔ x9 − 5x6 − x3 − x 2 + 12x3 − 15 x − = (vơ nghiệm) Vậy phương trình vơ nghiệm Bài tập 2.28 Giải phương trình sau √ √ a) √ 4x − + √ 4x2 − = c) 2x − + x2 + 3√ − x = e) x3 + 4x − (2x + 7) 2x + = √ b) x − = −x3 − 4x + √ d) x5 + x3 − − 3x + = √ f) (CĐ-2012) 4x3 + x − (x + 1) 2x + = www.MATHVN.com 19 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải a) Điều kiện: x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình √ √2 4x Xét hàm số y = 4x − + 4x2 − ; +∞ có y = √4x−1 + √4x2 −1 > 0, ∀x ∈ 2 ; +∞ 2 ; +∞ suy x = nghiệm phương trình Do hàm số đồng biến Vậy phương trình có nghiệm x = √ b) Điều kiện: x ≥ Phương trình tương đương với x − + x3 + 4x = Nhận thấy x = 1√ nghiệm phương trình Xét hàm số y = x − + x3 + 4x [1; +∞) có y = 2√x−1 + 3x2 + > 0, ∀x ∈ (1; +∞) Do hàm số đồng biến [1; +∞) suy x = nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = √ √ c) Điều kiện: x ≥ Phương trình tương đương với 2x − + x2 + + x = Nhận thấy x = 1√ nghiệm phương trình √ Xét hàm số y = 2x − + x2 + + x ; +∞ có y = √2x−1 + √xx+3 + > 0, ∀x ∈ 2 ; +∞ ; +∞ Do hàm số đồng biến suy x = nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = 1 d) Điều kiện: x ≤ Nhận thấy x = −1 nghiệm phương trình √ Xét hàm số y = x5 + x3 − − 3x + −∞; có y = 5x4 + 3x2 + 2√1−3x > 0, ∀x ∈ −∞; 3 Do hàm số đồng biến −∞; suy x = −1 nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = −1 √ e) Đặt 2x + = u (u ≥ 0) Phương trình trở thành x3 + 4x − u2 + u = ⇔ x3 + 4x = u3 + 4u Xét hàm số f (t) = t3 + 4t [0; +∞) có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ [0; +∞) Do phương trình tương đương với u=x⇒ √ 2x + = x ⇔ x≥0 ⇔x=3 2x + = x2 Vậy phương trình có nghiệm x = √ f) Điều kiện: x ≥ − Phương trình tương đương với 8x3 + 2x = (2x + 2) 2x + √ Đặt 2x + = u (u ≥ 0) Phương trình trở thành 8x3 + 2x = u2 + u ⇔ (2x) + 2x = u3 + u Xét hàm số f (t) = t3 + t [0; +∞) có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ [0; +∞) Do phương trình tương đương với √ √ 1+ x≥0 u = 2x ⇒ 2x + = 2x ⇔ ⇔x= 2x + = 4x2 √ 1+ Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập 2.29 Giải phương trình sau √ √ a) x2 − 2x + + x − = √ √ √ c) x − − + x + + x − − = √ √ b) x − + − x = x2 − 6x + 11 √ 1 d) 5x3 + 3x2 + 3x − = x2 + 3x − Lời giải a) Phương trình tương đương với (x − 1) + + Ta có √ (x − 1) + ≥ ⇒ x−1≥0 (x − 1) + + √ √ x − = x − ≥ 2 (x − 1) + = ⇔ x = x−1=0 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Ta có x2 − 6x + 11 = (x − 3) + ≥ (1) √ √ 1 Xét hàm số y = x − + − x [2; 4] có y = √ − √ ; y = ⇔ x = x−2√ 4−x √ √ √ Ta có y(2) = 2, y(4) = 2, y(3) = ⇒ max y = y(3) = ⇒ x − + − x ≤ (2) Dấu xảy √ [2;4] Từ (1) (2) ta có phương trình tương đương với x2 − 6x + √ = 11 √ ⇔ x = x−2+ 4−x=2 Vậy phương trình có nghiệm x = √  x−2−1 ≥0 √ √ c) Điều kiện: x ≥ Khi ⇒2 x−2−1 x+6>2  √ x−2≥0 www.MATHVN.com 20 + √ x+6+ √ x − > www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Do phương trình cho vơ nghiệm d) Phương trình tương đương với (5x − 2) (x2 + x + 1) = x2 + 6x − Theo bất đẳng thức Cauchy ta có (5x − 2) (x2 + x + 1) ≤ x2 + 6x − √ √ Dấu xảy 5x − = x2 + x + ⇔ x2 − 4x + = ⇔ x=1 x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = §3 Hệ Phương Trình Đại Số Bài tập 2.30 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x + y + xy = x2 + y + x + y = c) (DB-05) x (x + y + 1) + y (y + 1) = b) d) x + y + xy = x3 + y + 3(x − y) − = x2 − xy + y = (x − y) x2 + xy + y = 7(x − y) Lời giải (x + y) − xy = x + y + xy = S − P = (1) Đặt x + y = S, xy = P (S ≥ 4P ) Hệ trở thành S + P = (2) S=3 Từ (2) ⇒ P = − S thay vào (1) ta có S + S − 12 = ⇔ S = −4 x+y =3 x=2 x=1 Với S = ⇒ P = ⇒ ⇔ Với S = −4 ⇒ P = (loại) xy = y=1 y=2 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) (x; y) = (1; 2) x + y + xy = b) Hệ cho tương đương với (x + y) − 3xy (x + y) + 3(x + y) − 12xy − = S+P =1 (1) Đặt x + y = S, xy = P (S ≥ 4P ) Hệ trở thành S − 3P S + 3S − 12P − = (2) Từ (1) ⇒ P = − S thay vào (2) ta có S − 3S (1 − S) + 3S − 12 (1 − S) − = ⇔ S = x+y =1 x=0 x=1 Với S = ⇒ P = ⇒ ⇔ xy = y=1 y=0 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 1) (x; y) = (1; 0) (x + y) − 2xy + x + y = c) Hệ cho tương đương với Đặt x + y = S, xy = P (S ≥ 4P ) (x + y) − xy + x + y = S − 2P + S = P = −2 S=0 S = −1 Hệ trở thành ⇔ ⇔ S2 − P + S = S2 + S = P = −2 P = −2 √ √ S=0 x+y =0 x= √ x=√ − Với ⇒ ⇔ P = −2 xy = −2 y=− y= S = −1 x + y = −1 x=1 x = −2 Với ⇒ ⇔ P = −2 xy = −2 y = −2 y=1 √ √ √ √ Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = 2; − , (x; y) = − 2; , (x; y) = (1; −2) (x; y) = (−2; 1) 2 (x − y) + xy = (x − y) (x − y) + xy = (x − y) d) Hệ cho tương đương với ⇔ 2 (x − y) + 3xy = 7(x − y) xy = 2(x − y) Đặt x − y = S, xy = P Hệ trở thành a) Hệ cho tương đương với S + P = 3S ⇔ P = 2S 3S − 3S = ⇔ P = 2S S=0 P =0 S=0 x−y =0 x=0 S=1 x−y =1 ⇒ ⇔ ; với ⇒ ⇔ P =0 xy = y=0 P =2 xy = Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (0; 0) , (x; y) = (2; 1) (x; y) = (−1; −2) Với Bài tập 2.31 Giải hệ phương trình sau a) x2 − 2y = 2x + y y − 2x2 = 2y + x   x − 3y = 4y  x b) 4x   y − 3x = y www.MATHVN.com 21 S=1 P =2 x=2 y=1 x = −1 y = −2 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu   3y = y +  x2 d) (B-03) x2 +  3x =  y2   2x + y =  x2 c)   2y + x = y Lời giải a) Xét hệ x2 − 2y = 2x + y (1) y − 2x2 = 2y + x (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có 3x2 − 3y = x − y ⇔ (x − y) (3x + 3y − 1) = ⇔ x=y y = 1−3x x=0 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) (x; y) = (−3; −3) x = −3 − 3x 2(1 − 3x) = 2x + ⇔ 9x2 − 3x + = (vô nghiệm) Với y = 1−3x thay vào (1) ta có x2 − Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) (x; y) = (−3; −3) x2 − 3xy = 4y (1) b) Hệ cho tương đương với y − 3xy = 4x (2) x=y Trừ theo vế (1) (2) ta có x2 − y = 4y − 4x ⇔ (x − y) (x + y + 4) = ⇔ y = −x − x=0 Với x = y thay vào (1) ta có −2x2 = 4x ⇔ ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) (x; y) = (−2; −2) x = −2 Với y = −x − thay vào (1) ta có x2 − 3x (−x − 4) = (−x − 4) ⇔ x = −2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −2) Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (0; 0) (x; y) = (−2; −2) 2x3 + x2 y = (1) c) Hệ cho tương đương với 2y + xy = (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có 2x3 − 2y + x2 y − xy = ⇔ (x − y) 2x2 + 3xy + 2y = ⇔ x = y Với x = y thay vào (1) ta có 3x3 = ⇔ x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) 3x2 y = y + (1) d) Từ vế phải phương trình ta có x, y > Hệ cho tương đương với 3xy = x2 + (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có 3x2 y − 3xy = y − x2 ⇔ (x − y) (3xy + x + y) = ⇔ x = y Với x = y thay vào (1) ta có 3x3 = x2 + ⇔ x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) Với x = y thay vào (1) ta có −x2 = 3x ⇔ Bài tập 2.32 Giải hệ phương trình sau x2 − xy = a) 2x2 + 4xy − 2y = 14 x3 + y = c) x2 y + 2xy + y = x2 − 2xy + 3y = x2 − 4xy + 5y = (x − y) x2 + y = 13 d) (DB-06) (x + y) x2 − y = 25 b) Lời giải 7x2 − 7xy = 14 (1) 2x2 + 4xy − 2y = 14 (2) x = 2y Trừ theo vế (1) (2) ta có 5x2 − 11xy + 2y = ⇔ y = 5x Với x = 2y thay vào (1) ta có 14y = 14 ⇔ y = ±1 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) (x; y) = (−2; −1) Với y = 5x thay vào (1) ta có −28x2 = 14 (vơ nghiệm) Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 1) (x; y) = (−2; −1) 5x2 − 10xy + 15y = 45 (1) b) Hệ cho tương đương với 9x2 − 36xy + 45y = 45 (2) x = 5y Trừ theo vế (1) (2) ta có −4x2 + 26xy − 30y = ⇔ x = 2y a) Hệ cho tương đương với Với x = 5y thay vào (1) ta có 90y = 45 ⇔ y = ± √2 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = ± √2 ; ± √2 Với y = x thay vào (1) ta có Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = c) Hệ cho tương đương với 95 x = 45 ⇔ x = ± √6 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = ± √6 ; ± √9 19 19 19 √ ; √ 2 , (x; y) = − √2 ; − √2 , (x; y) = √6 ; √9 19 19 (x; y) = − √6 ; − √9 19 19 2x + 2y = (1) x2 y + 2xy + y = (2)  x=y Trừ theo vế (1) (2) ta có 2x3 − x2 y − 2xy + y = ⇔  x = −y y = 2x Với x = y thay vào (1) ta có 4x3 = ⇔ x = √ ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = www.MATHVN.com 22 1 √ ; √ 32 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Với x = −y thay vào (1) ta có = (vơ nghiệm) Với y = 2x thay vào (1) ta có 18x3 = ⇔ x = Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = 1 √ ; √ 32 √ ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = √ ; √ 39 (x; y) = 25x3 − 25x2 y + 25xy − 25y = 325 (1) 13x3 + 13x2 y − 13xy − 13y = 325 (2)  x=y Trừ theo vế (1) (2) ta có 12x3 − 38x2 y + 38xy − 12y = ⇔  x = y x = 3y Với x = y thay vào (1) ta có = 325 (vô nghiệm) Với x = y thay vào (1) ta có 325 y = 325 ⇔ y = ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2) Với x = y thay vào (1) ta có − 325 y = 325 ⇔ y = −3 ⇒ hệ có nghiệm (x; y) = (−2; −3) 27 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (3; 2) (x; y) = (−2; −3) d) Hệ cho tương đương với 2 √ ; √ 39 x − x y + xy − y = 13 ⇔ x3 + x2 y − xy − y = 25 Bài tập 2.33 Giải hệ phương trình sau x + y = −1 a) x3 − 3x = y − 3y x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + c) (B-08) x2 + 2xy = 6x + b) (DB-06) d) (D-09) x2 + + y (y + x) = 4y x2 + (y + x − 2) = y x (x + y + 1) − = (x + y) − x2 + = Lời giải a) Xét hệ x + y = −1 (1) Từ (1) ⇒ y = −x − thay vào (2) ta có x3 − 3x = y − 3y (2)  x = −2 x3 − 3x = (−x − 1) − (−x − 1) ⇔ 2x3 + 3x2 − 3x − = ⇔  x = 1 x = −2 Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (−2; 1) , (x; y) = (1; −2) (x; y) = − ; 2 x + + y(y + x) = 4y (1) b) Xét hệ Từ (1) ⇒ x2 + = y(4 − y − x) thay vào (2) ta có (x2 + 1)(y + x − 2) = y (2) y (4 − y − x) (x + y − 2) = y ⇔ y (x + y) − 6(x + y) + = ⇔ y=0 y =3−x Với y = thay vào (1) ta có x2 + = (vơ nghiệm) x=1 x = −2 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 2) (x; y) = (−2; 5) 6x + − x2 (x2 + xy)2 = 2x + (1) c) Hệ cho tương đương với Từ (2) ⇒ xy = thay vào (1) ta có x + 2xy = 6x + (2) Với y = − x thay vào (1) ta có x2 + x − = ⇔ x2 + 6x + − x2 2 = 2x + ⇔ x4 + 12x3 + 48x2 + 64x = ⇔ x=0 x = −4 Với x = thay vào (2) ta có = (vô nghiệm).Với x = −4 thay vào (2) ta có y = 17 Vậy hệ có nghiệm (x; y) = −4; 17 x(x + y + 1) − = (1) d) Xét hệ Từ (1) ⇒ x + y = − thay vào (2) ta có (x + y)2 − x2 + = (2) x −1 x − +1=0⇔ − +2=0⇔ x2 x x x=0 ⇔ 2x2 − 6x + = Với x = thay vào (1) ta có y = 1; x = thay vào (1) ta có y = − Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = 2; − Bài tập 2.34 Giải hệ phương trình sau √ √ x−y = x−y √ a) (B-02) x+y = x+y+2 2xy x2 + y + x+y = √ c) x + y = x2 − y 1 x− x =y− y 2y = x + 6x2 − 3xy + x + y = x2 + y = b) (A-03) d) www.MATHVN.com 23 x=1 x=2 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Lời giải √ x − y = x − y (1) √ Điều kiện: x − y ≥ 0, x + y + ≥ a) Xét hệ x + y = x + y + (2) x=y Ta có (1) ⇔ (x − y) = (x − y) ⇔ (x − y) (x − y − 1) = ⇔ x=y+1 √ y≥0 Với x = y thay vào (2) ta có 2y = 2y + ⇔ ⇔ y = ⇒ x = (thỏa mãn) 4y = 2y + √ 2y + ≥ ⇔y= ⇒x= Với x = y + thay vào (2) ta có 2y + = 2y + ⇔ 4y + 4y + = 2y + Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = ; 2 1 x − x = y − y (1) Điều kiện: x = 0, y = b) Xét hệ 2y = x3 + (2) y=x Ta có (1) ⇔ x2 y − y = xy − x ⇔ xy (x − y) + x − y = ⇔ (x − y) (xy + 1) = ⇔ y = −x x=1 √ Với y = x thay vào (2) ta có 2x = x3 + ⇔ x = −1± √ √ √ −1± −1± ; 2 Suy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = Với y = −x thay vào (2) ta có −x Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = c) Xét hệ (thỏa mãn) = x3 + ⇔ x4 + x + = ⇔ x2 − √ √ −1± −1± ; 2 2 + x+ 2 + = (vô nghiệm) 2xy x+y x +y + = (1) √ Điều kiện: x + y > Ta có x + y = x − y (2) (1) ⇔ (x + y) − 2xy (x + y) + 2xy = x + y ⇔ (x + y) (x + y) − − 2xy (x + y − 1) = ⇔ (x + y − 1) [(x + y) (x + y + 1) − 2xy] = ⇔ (x + y − 1) x2 + y + x + y = ⇔ y =1−x x2 + y + x + y = (vô nghiệm) x=1 x = −2 Với y = − x thay vào (2) ta có x2 + x − = ⇔ Vậy hệ có hai nghiệm (1; 0) (−2; 3) 6x2 − (3y − 1)x + y − = (1) d) Hệ cho tương đương với x2 + y = (2) 2 Xét phương trình (1) có ∆ = (3y − 1) − 24 (y − 1) = 9y − 30y + 25 = (3y − 5) x= x = 3y−1−3y+5 12 Do (1) ⇔ 3y−1+3y−5 ⇔ x = (y − 1) x= 12 √ + y2 = ⇔ y = ± Với x = thay vào (2) ta có Với x = (y − 1) thay vào (2) ta có Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = √ 2 3; y − 2y + + y = ⇔ , (x; y) = √ 2 3; − y=1 y = −3 , (x; y) = (0; 1) (x; y) = − ; − Bài tập 2.35 Giải hệ phương trình sau xy + x + y = x2 − 2y x4 − x3 y − x2 y = √ √ a) (DB-07) b) (D-08) x y − x − xy = −1 x 2y − y x − = 2x − 2y x3 + 2y = x2 y + 2xy xy + x − = c) (D-2012) d) 2 2x − x y + x + y − 2xy − y = x2 − 2y − + y − 14 = x − Lời giải a) Xét hệ x4 − x3 y − x2 y = (1) x3 y − x2 − xy = −1 (2) Ta có (2) ⇔ x2 (xy − 1) = xy − ⇔ (xy − 1) x2 − = ⇔ x = ±1 y=x y=0 Với x = −1 thay vào (1) ta có y − y = ⇔ y = −1 √ thay vào (1) ta có x4 − x2 − = ⇔ x2 = ⇔ x = ± ⇒ y = ± √2 Với x = thay vào (1) ta có y + y = ⇔ Với y = x www.MATHVN.com 24 y=0 y=1 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Vậy hệ có sáu nghiệm x=1 , y=0 x = −1 , y=0 x=1 , y = −1 √ x = √2 y= x = −1 , y=1 x = √2 y = − √2 xy + x + y = x2 − 2y (1) √ √ Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ x 2y − y x − = 2x − 2y (2) Ta có (1) ⇔ y (x + y) + x + y = (x − y) (x + y) ⇔ (x + y) (y + − x + y) = ⇔ x = 2y + Với x = 2y + thay vào (2) ta có b) Xét hệ (2y + 1) 2y − y 2y = 2y + ⇔ (y + 1) 2y = (y + 1) ⇔ 2y = ⇔ y = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (5; 2) xy + x − = (1) c) Xét hệ 2x3 − x2 y + x2 + y − 2xy − y = (2) Ta có (2) ⇔ 2x x2 − y − y x2 − y + x2 − y = ⇔ x2 − y (2x − y + 1) = ⇔ y = x2 y = 2x + Với y = x2 thay vào (1) ta có x3 + x − = ⇔ x = ⇒ y = 1.√ √ Với y = 2x + thay vào (1) ta có 2x2 + 2x − = ⇔ x = −1± ⇒ y = ± √ √ √ √ Vậy hệ có ba nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) = −1+ ; (x; y) = −1− ; − 2 x3 + 2y = x2 y + 2xy (1) Điều kiện: x2 ≥ 2y + x2 − 2y − + y − 14 = x − (2) x=y Ta có (1) ⇔ x2 (x − y) = 2y (x − y) ⇔ (x − y) x2 − 2y = ⇔ x2 = 2y (loại) √ √ Với x = y thay vào (2) ta có x2 − 2x − + x3 − 14 = x − (*) √ √ Đặt x2 − 2x − = u ≥ 0, x3 − 14 = v ⇒ v − 6u2 = (x − 2) d) Xét hệ Phương trình (*) trở thành v − 6u2 = (2u + v) ⇔ 2u u2 + 3(u + v) + 3u = ⇔ u = ⇒ x = ± √ √ √ √ Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = + 2; + (x; y) = − 2; − Bài tập 2.36 Giải hệ phương trình sau x2 + y + xy = a) x3 + y = x + 3y x3 − 8x = y + 2y c) (DB-06) x2 − = y + √ x3 + 2xy + 12y = 8y + x2 = 12 2 5x y − 4xy + 3y − (x + y) = d) (A-2011) xy x2 + y + = (x + y) b) Lời giải x2 + y + xy = (1) x3 + y = x + 3y (2) Thay (1) vào (2) ta có x3 + y = x2 + y + xy (x + 3y) ⇔ 4x2 y + 4xy + 2y = ⇔ y = x2 = Với y = thay vào hệ ta có ⇔ x = ±1 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (−1; 0) x3 = x x3 + 2xy + 12y = (1) b) Xét hệ 8y + x2 = 12 (2) Thay (2) vào (1) ta có x3 + 2xy + 8y + x2 y = ⇔ x3 + x2 y + 2xy + 8y = (*) Nhận thấy y = nghiệm hệ Với y = 0, chia hai vế phương trình (*) cho y ta có a) Xét hệ x y + x y +2 x x + = ⇔ = −2 ⇔ x = −2y y y Với x = −2y thay vào (2) ta có 12y = 12 ⇔ y = ±1 ⇒ x = Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; −1) (x; y) = (−2; 1) 3x3 − 3y = (4x + y) (1) x3 − y = (4x + y) ⇔ c) Hệ cho tương đương với 2 x − 3y = x2 − 3y = (2) Thay (2) vào (1) ta có 3x3 − 3y = x2 − 3y (4x + y) ⇔ x3 + x2 y − 12xy = (*) Nhận thấy x = nghiệm hệ Với x = 0, chia hai vế phương trình (*) cho x3 ta có 1+ y y − 12 x x y x y x =0⇔ =1 = −1 ⇔ x = 3y x = −4y Với x = 3y thay vào (2) ta có 6y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3 Với x = −4y thay vào (2) ta có 13y = ⇔ y = ± 13 ⇒x= Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 3) , (x; y) = (−1; −3) , (x; y) = www.MATHVN.com 25 14 13 ; −4 13 (x; y) = − 13 ; 13 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu d) Xét hệ 5x2 y − 4xy + 3y − (x + y) = (1) xy x2 + y + = (x + y) (2) x= y x2 + y = Với x = y thay vào (1) ta có y − 6y + 3y = ⇔ 3y − 6y + = ⇔ y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1 Với x2 + y = (3) thay vào (1) ta có Ta có (2) ⇔ xy x2 + y + = x2 + y + 2xy ⇔ x2 + y (xy − 1) = (xy − 1) ⇔ 5x2 y − 4xy + 3y − x2 + y (x + y) = ⇔ x3 − 4x2 y + 5xy − 2y = (*) Nhận thấy y = nghiệm hệ Với y = 0, chia hai vế phương trình (*) cho y ta có x y −4 x y +5 x y x y x −2=0⇔ y =1 ⇔ =2 x=y x = 2y Với x = y thay vào (3) ta có 2y = ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±1 Với x = 2y thay vào (3) ta có 5y = ⇔ y = ± ⇒ x = ±2 Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 1), (x; y) = (−1; −1), (x; y) = Bài tập 2.37 Giải hệ phương trình sau xy + x + = 7y a) (B-09) x2 y + xy + = 13y 8x3 y + 27 = 9y c) 4x2 y + 6x + y = 5; (x; y) = −2 5; − 2x2 + x − y = y − y x − 2y = −2 x3 − y = x2 + 2y = x − 4y b) d) Lời giải a) Nhận thấy y = nghiệm hệ Với y = 0, hệ cho tương đương với x+ x + y =7 y ⇔ x2 + x + y12 = 13 y x+ y x+ + y x y =7 − x y = 13 S + P = (1) S − P = 13 (2) S=4 Từ (1) ⇒ P = − S thay vào (2) ta có S − (7 − S) = 13 ⇔ S = −5 x+ y =4 x=1 x=3 Với S = ⇒ P = ⇒ ⇔ x y=1 =3 y=1 y Với S = −5 ⇒ P = 12 (khơng thỏa mãn) Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = 1; (x; y) = (3; 1) 1 2x + x − y = 2x2 + x − y = (1) b) Điều kiện: y = Hệ cho tương đương với ⇔ 2 y − x − = − y2 y + y − x = (2) =x 1 Trừ theo vế (1) (2) ta có 2x2 − y22 + 2x − y = ⇔ x − y x+ y +1 =0⇔ y y = −x − 1 Với y = x thay vào (1) ta có 2x2 = ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±1 Đặt x + Với y y = S, x = P (S ≥ 4P ) Hệ trở thành y √ √ −1± ⇒ y = −1 √ √ (−1; −1) , (x; y) = −1+ ; −1− 2 = −x − thay vào (1) ta có 2x2 + 2x − = ⇔ x = Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (1; 1) , (x; y) = (x; y) = 3 c) Nhận thấy y = nghiệm hệ Với y = 0, hệ cho tương đương với √ √ −1− −1+ ; 2 8x y + 27 = 9y (1) 36x2 y + 54xy = −9y (2) Cộng theo vế (1) (2) ta có 8x3 y + 36x2 y + 54xy + 27 = ⇔ xy = − Với xy = − thay vào (1) ta có = 9y ⇔ y = (không thỏa mãn) Vậy hệ cho vô nghiệm x3 − y = (1) d) Hệ cho tương đương với 3x2 + 6y = 3x − 12y (2) Trừ theo vế (1) (2) ta có 3 x3 − 3x2 + 3x − = y + 6y + 12y + ⇔ (x − 1) = (y + 2) ⇔ y = x − Với y = x − thay vào (2) ta có 3x2 + 6(x − 3) = 3x − 12 (x − 3) ⇔ 9x2 − 27x + 18 = ⇔ Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; −2) (x; y) = (2; −1) www.MATHVN.com 26 x=1 x=2 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số Bài tập 2.38 Giải hệ phương trình sau x (3x + 2y) (x + 1) = 12 a) x2 + 2y + 4x − = √ 2x + y = − 2x − y c) (CĐ-2010) x2 − 2xy − y = x2 + y = √ √ e) y − (x + y − 1) = (y − 2) x + y √ xy x √+ y − √ = x+1+ y+1=4 √ √ 2x + y + − x + y = d) (DB-05) 3x + 2y = x2 + y + x3 y + xy + xy = − f) (A-08) x + y + xy (1 + 2x) = − b) Lời giải (3x + 2y) x2 + x = 12 x2 + x + 3x + 2y = SP = 12 S=2 S=6 Đặt 3x + 2y = S, x2 + x = P , hệ trở thành ⇔ S+P =8 P =6 P =2   3x + 2y = x = −3 S=2 3x + 2y = x=2 x=2 Với ⇒ ⇔ ⇔ P =6 x +x=6 y = −2 y = 11  x = −3   3x + 2y = x=1 x = −2 S=6 3x + 2y = x=1 Với ⇒ ⇔ ⇔ y=4 P =2 x2 + x = y = −2  x = −2 Vậy hệ có bốn nghiệm (x; y) = (2; −2) , (x; y) = −3; 11 , (x; y) = 1; − (x; y) = (−2; 4) 2 √ x+y− √ =3 xy b) Điều kiện: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ Hệ cho tương đương với x + y + x + y + xy + = 14 S − P√ = (1) √ Đặt x + y = S, xy = P (P ≥ 0), hệ trở thành S + S + P + = 14 (2) Từ (1) ⇒ S = P + thay vào (2) ta có a) Hệ cho tương đương với P + + P + + P + = 14 ⇔ ⇔ P + P + = 11 − P P ≤ 11 ⇔ P + P + = 121 − 22P + P P =3 P = − 35 (loại) x=3 x+y =6 √ ⇔ Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 3) xy = y=3 √ 2x + y = − (2x + y) (1) c) Hệ cho tương đương với x2 − 2xy − y = (2) √ t=1 Đặt 2x + y = t (t ≥ 0) Phương trình (1) trở thành 2t = − t2 ⇔ t = −3 (loại) x=1 Với t = ⇒ y = − 2x thay vào (2) ta có x2 − 2x (1 − 2x) − (1 − 2x) = ⇔ x = −3 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; −1) (x; y) = (−3; 7) √ √ u − v = (1) d) Đặt 2x + y + = u, x + y = v (u, v ≥ 0) ⇒ 3x + 2y = u2 + v − Hệ cho trở thành u2 + v = (2) v=1 Từ (1) ⇒ u = v + thay vào (2) ta có (v + 1) + v = ⇔ v = −2 (loại) √ 2x + y + = x=2 √ Với v = ⇒ u = ⇒ ⇔ Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; −1) x+y =1 y = −1 x2 + y = (1) √ √ e) Điều kiện: y ≥ 1, x + y ≥ Xét hệ y − (x + y − 1) = (y − 2) x + y (2) √ √ Đặt y − = u, x + y = v (u, v ≥ 0) Phương trình (2) trở thành Với P = ⇒ S = ⇒ u v − = u2 − v ⇔ uv (u − v) + u − v = ⇔ (u − v) (uv + 1) = ⇔ u = v Với u = v ⇒ y − = x + y ⇔ x = −1 Với x = −1 thay vào (1) ta có + y = ⇔ y=2 y = −2 (loại) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (−1; 2) x2 + y + xy x2 + y + xy = − f) Hệ cho tương đương với x + y + xy = − S + P S + P = − (1) Đặt x2 + y = S, xy = P , hệ trở thành S2 + P = − (2) Từ (2) ⇒ P = −S − thay vào (1) ta có S + −S − S − S2 − www.MATHVN.com 27 5 = −4 ⇔ S=0 S = −2 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Với S = ⇒ P = −5 ⇒ x2 + y = ⇔ xy = − x2 + y = − xy = − Với S = − ⇒ P = − ⇒ 2 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = √ 10 ;− √ 100 √ 10 x = 2√ y = − 100 x=1 ⇔ y = −2 (x; y) = 1; − Bài tập 2.39 Giải hệ phương trình sau √ √ √ √ x − − y = − x3 x + 10 + y − = 11 √ √ a) b) x − + y + 10 = 11 (x − 1) = y √ 4x2 + x + (y − 3) − 2y = x3 − 3x2 − 9x + 22 = y + 3y − 9y √ c) (A-2012) d) (A-2010) x2 + y − x + y = 4x2 + y + − 4x = Lời giải √ √ √x + 10 + y − = 11 (1) √ a) Điều kiện: x, y ≥ Xét hệ x − + y + 10 = 11 (2) √ √ √ √ Trừ theo vế (1) (2) ta có x + 10 − x − = y + 10 − y − (*) √ √ Xét hàm số f (t) = t + 10 − t − [1; +∞) có f (t) = 2√t+10 − 2√1 < 0, ∀t ∈ (1; +∞) t−1 Suy f (t) nghịch biến [1; +∞) Do (∗) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y Với x = y thay vào (1) ta có √ ⇔ x + 10 + √ x − = 11 ⇔ x + 10 + x − + x2 + 9x − 10 = 56 − x ⇔ (x + 10) (x − 1) = 121 x ≤ 56 ⇔ x = 26 (thỏa mãn) x2 + 9x − 10 = (56 − x) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (26; 26) √ √ x − − y = − x3 (1) b) Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ Xét hệ (x − 1) = y (2) √ √ Thay (2) vào (1) ta có x − − (x − 1) = − x3 ⇔ x − + x3 − x2 + 2x − = (*) Nhận thấy x = nghiệm phương trình (*) √ Xét hàm số f (x) = x − + x3 − x2 + 2x − [1; +∞) có f (x) = 2√x−1 + 3x2 − 2x + > 0, ∀x ∈ (1; +∞) Suy f (x) đồng biến [1; +∞) Do (*) có nghiệm x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) c) Hệ cho tương đương với (x − 1) − 12 (x − 1) = (y + 1) − 12 (y + 1) (1) 2 (2) x− + y+ =1 2 −1 ≤ x − ≤ −3 ≤ x − ≤ 2 ⇔ −1 ≤ y + ≤ −1 ≤ y + ≤ 2 Xét hàm số f (t) = t3 − 12t − ; có f (t) = 3t2 − 12 < 0, ∀t ∈ − ; 2 Suy f (t) nghịch biến − ; Do (1) ⇔ f (x − 1) = f (y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − 2 x= 2 Với y = x − thay vào (2) ta có x − + x − = ⇔ 4x2 − 8x + = ⇔ x= 3 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) = ; − (x; y) = ; − √ 4x2 + 2x √ (6 − 2y) − 2y (1) = d) Điều kiện: x ≤ , y ≤ Hệ cho tương đương với 4x2 + y + − 4x = (2) √ Đặt − 2y = u (u ≥ 0), phương trình (1) trở thành 4x2 + 2x = u2 + u ⇔ (2x) + 2x = u3 + u (*) Xét hàm số f (t) = t3 + t [0; +∞) có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ [0; +∞) √ x≥0 Suy f (t) đồng biến [0; +∞) Do (∗) ⇔ f (2x) = f (u) ⇔ 2x = u ⇒ 2x = − 2y ⇔ y = 5−4x 2 √ √ 2 Với y = 5−4x thay vào (2) ta có 4x2 + 5−4x + − 4x − = ⇔ 4x4 − 6x2 + − 4x − = (**) 2 Từ (2) suy Nhận thấy x = nghiệm phương trình (**) √ Xét hàm số f (x) = 4x4 − 6x2 + − 4x − 0; 4 4 Ta có f (x) = 16x3 − 12x − √3−4x = 4x 4x2 − − √3−4x < 0, ∀x ∈ 0; ⇒ f (x) đồng biến 0; Do phương trình (**) có nghiệm x = ⇒ y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = ; www.MATHVN.com 28 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §4 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số √ Bài tập 2.40 Tìm m để phương trình m − x2 − 3mx + m + = a) Có nghiệm b) Vơ nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu √ √ √ Lời giải Với m = 5, phương trình trở thành −3 5x + + = √ √ √ √ Với m = 0, ta có ∆ = 9m2 − m − (m + 1) = 5m2 + − m + > 0, ∀m = a) Phương trình có nghiệm với m ∈ R b) Khơng có giá trị m để phương trình vơ nghiệm √ √ c) Phương trình có hai nghiệm trái dấu m − (m + 1) < ⇔ −1 < m < Bài tập 2.41 Tìm m để phương trình x2 + (m + 1) x + 9m − = có hai nghiệm âm phân biệt Lời giải Ta có ∆ = (m + 1) − (9m − 5) = m2 − 7m + Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt    m>6    ∆ >0  m − 7m + >  m0 9m − >  m> Vậy với m ∈ 9; ⇔ m>6 0    20 m>2  m−2 >   m < −3 Vậy với m ∈ (−∞; −3) ∪ (2; 6) phương trình cho có hai nghiệm dương phân biệt Bài tập 2.43 Tìm m để phương trình (m − 2) x4 − (m + 1) x2 + 2m − = a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt Lời giải Với m = phương trình có hai nghiệm phân biệt Với m = 0, đặt x2 = t ≥ phương trình trở thành (m − 2) t2 − (m + 1) t + 2m − = Đặt f (t) = (m − 2) t2 − (m + 1) t + 2m − có ∆ = (m + 1) − (m − 2) (2m − 1) = −m2 + 7m − f (t) có nghiệm kép a) Phương trình cho có nghiệm ⇔ f (t) có nghiệm nghiệm âm −m2 + 7m − =    2m − = ⇔   −m2 + 7m − >   2m − =  2(m+1) m−2 <   ∆ =0    f (0) = ⇔  ∆ >0   f (0) =  S0 P 2m−1 m−2 <  m=2 √  m = 7+3 ⇔ 2 m>2 7+3 2(m+1) S>0 ⇔ ⇔ ⇔2    2m−1  P >0  >0 m>2  m−2  m< √ Vậy với m ∈ 2; 7+3 phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt √ √ x √+ y =1 √ có nghiệm x x + y y = − 3m √ √ x+ y =1 √ √ Lời giải Hệ cho tương đương với ⇔ √ √ √ x + y − xy x + y = − 3m √ √ Suy x, y hai nghiệm không âm phương trình t2 − t + m = (*) Do hệ cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm khơng âm    ∆≥0  − 4m ≥ S≥0 ⇔ 1≥0 ⇔ ⇔0≤m≤   P ≥0 m≥0 Bài tập 2.44 (D-04) Tìm m để hệ √ √ x+ y =1 √ xy = m Vậy với m ∈ 0; hệ cho có nghiệm √ √ Bài tập 2.45 Tìm m để bất phương trình 4x − + 16 − 4x ≤ m có nghiệm √ √ Lời giải Xét hàm số f (x) = 4x − + 16 − 4x ; √ √ 2 −√ ; f (x) = ⇔ 4x − = 16 − 4x ⇔ x = Bảng biến thiên: Đạo hàm f (x) = √ 4x − 16 − 4x x + f (x) √ − f (t) √ √ 14 14 Từ bảng biến thiên suy bất phương trình cho có nghiệm m ≥ f (x) ⇔ m ≥ [ ;4] Bài tập 2.46 Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + (x − 3) Lời giải Đặt (x − 3) x+1 x−3 x+1 x−3 √ 14 = m có nghiệm = t (t ∈ R) Phương trình cho trở thành t2 + 4t − m = (*) Phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ m ≥ −4 Vậy với m ≥ −4 phương trình cho có nghiệm √ √ Bài tập 2.47 (DB-07) Tìm m để BPT m x2 − 2x + + + x (2 − x) ≤ có nghiệm thuộc đoạn 0; + √ √ Lời giải Đặt x2 − 2x + = t Với x ∈ 0; + ⇒ t ∈ [1; 2] Bất phương trình cho trở thành m (t + 1) + − t2 ≤ ⇔ m ≤ t2 −2 t+1 t2 − (*) t+1 t2 +2t+2 (t+1)2 > 0, ∀t ∈ [1; 2] ⇒ lim f (t) = f (2) = [1;2] √ Vậy bất phương trình cho có nghiệm 0; + ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm [1; 2] ⇔ m ≤ √ √ √ Bài tập 2.48 (A-07) Tìm m để phương trình x − + m x + = x2 − có nghiệm thực Xét hàm số f (t) = [1; 2] có f (t) = x−1 x+1 Lời giải Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với −3 Đặt x−1 x+1 +24 x−1 x+1 = m = t Với x ≥ ⇒ t ∈ [0; 1) Phương trình trở thành −3t + 2t = m (*) Xét hàm số f (t) = −3t2 + 2t [0; 1) có f (t) = −6t + 2; f (t) = ⇔ t = Bảng biến thiên: www.MATHVN.com 30 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số t + f (t) − f (t) −1 Vậy phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm [0; 1) ⇔ −1 ≤ m ≤ √ Bài tập 2.49 (B-06) Tìm m để phương trình x2 + mx + = 2x + có hai nghiệm thực phân biệt x ≥ −2 2x + ≥ ⇔ 2 3x2 +4x−1 x + mx + = 4x + 4x + m= x 3x2 + 4x − 3x2 + 1 > 0, ∀x ∈ − ; +∞ \ {0} − ; +∞ \ {0} có f (x) = Xét hàm số f (x) = x x2 Bảng biến thiên: Lời giải Phương trình cho tương đương với −1 x +∞ + f (x) + +∞ +∞ f (x) −∞ Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≥ √ √ √ √ √ Bài tập 2.50 (B-04) Tìm m để PT m + x2 − − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 có nghiệm Lời giải Điều kiện: −1 ≤ x ≤ √ √ Đặt + x2 − − x2 = t có t = √ x 1+x2 − √ x ;t 1−x2 = ⇔ x = 0; t(0) = 0, t(±1) = √ √ ⇒ t ∈ [0; 2] +t+2 Phương trình cho trở thành m (t + 2) = −t + t + ⇔ m = −t t+2 (*) √ √ 2 +t+2 Xét hàm số f (t) = −t t+2 [0; 2] có f (t) = −t −4t ≤ 0, ∀t ∈ 0; (t+2)2 √ √ Suy f (t) = f = − 1; max f (t) = f (0) = √ √ [0; 2] [0; 2] √ √ Khi phương trình cho có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm [0; 2] ⇔ − ≤ m ≤ √ √ √ √ Bài tập 2.51 (A-08) Tìm m để phương trình 2x + 2x + − x + − x = m có hai nghiệm phân biệt √ √ √ √ Lời giải Điều kiện: ≤ x ≤ Xét hàm số f (x) = 2x + 2x + − x + − x [0; 6] Ta có f (x) = √ + Đặt √ = u(x), (2x)3 √ (6−x) (2x)3 − √1 2x 1 − √6−x = 2 (6−x)3 1 √ − √6−x = v(x) 2x √1 − √ (2x)3 − √ (6−x)3 + √1 2x − √1 6−x Nhận thấy f (2) = u(x), v(x) dương (0; 2), âm (2; 6) nên ta có bảng biến thiên x + f (x) √ 2+6 − f (x) √ √ 6+2 √ √ 12 + √ √ √ Do phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ + ≤ m < + √ Bài tập 2.52 (DB-07) Tìm m để phương trình x4 − 13x + m + x − = có nghiệm Lời giải Phương trình cho tương đương với x4 − 13x + m = − x ⇔ 1−x≥0 ⇔ x4 − 13x + m = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + x≤1 m = −4x3 + 6x2 + 9x + 1 Xét hàm số f (x) = −4x3 + 6x2 + 9x + [1; +∞) có f (x) = −12x2 + 12x + 9; f (x) = ⇔ x = − Bảng biến thiên www.MATHVN.com 31 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu −1 −∞ x − f (x) + +∞ 12 f (x) −3 Do phương trình cho có nghiệm m > 12 m = − Bài tập 2.53 (B-07) Chứng minh với m > 0, PT x2 + 2x − = m (x − 2) có hai nghiệm phân biệt Lời giải Điều kiện: x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình Với x > 2, phương trình tương đương với x2 + 2x − = m (x − 2) ⇔ x3 + 6x2 − 32 = m Xét hàm số f (x) = x3 + 6x2 − 32 (2; +∞) có f (x) = 3x2 + 12x > 0, ∀x > Bảng biến thiên x +∞ + f (x) +∞ f (x) Từ bảng biến thiên ta thấy với m > phương trình ln có nghiệm (2; +∞) Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm Bài tập 2.54 Chứng minh với m, phương trình x4 + x3 − 2x2 + 3mx − m2 = ln có nghiệm Lời giải Phương trình cho tương đương với m2 − 3xm − x4 − x3 + 2x2 = (*) Ta có ∆ = 9x2 − −x4 − x3 + 2x2 = 4x4 + 4x3 + x2 = 2x2 + x Do (∗) ⇔ m= m= 3x+2x2 +x 3x−2x2 −x ⇔ m = x2 + 2x ⇔ m = x − x2 x2 + 2x − m = (1) x2 − x + m = (2) ∆1 = + 4m ≥ ⇔ ∆2 = − 4m ≥ (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm với m Phương trình cho có nghiệm ⇔ Bài tập 2.55 (DB-04) Tìm m để hệ x2 − 5x +√ ≤ có nghiệm 3x2 − mx x + 16 = Lời giải Hệ cho tương đương với m ≥ −1 ⇔ m ∈ R m≤ 1≤x≤4 +16 m = 3x √x x √ x x2 − 16 3x2 + 16 √ [1; 4] có f (x) = Xét hàm số f (x) = ≤ 0, ∀x ∈ [1; 4] 2x5 x x Suy max f (x) = f (1) = 19; f (x) = f (4) = Do hệ cho có nghiệm ⇔ ≤ m ≤ 19 [1;4] x→∞ Bài tập 2.56 (D-2011) Tìm m để hệ 2x3 − (y + 2) x2 + xy = m có nghiệm x2 + x − y = − 2m x2 − x (2x − y) = m x2 − x + 2x − y = − 2m uv = m (1) Đặt x2 − x = u, 2x − y = v (u ≥ − ) Hệ trở thành u + v = − 2m (2) Từ (2) ⇒ v = − 2m − u thay vào (1) ta có u (1 − 2m − u) = m ⇔ m = −u +u 2u+1 √ −u2 + u 2u2 + 2u − −1 + Xét hàm số f (u) = có f (u) = ; f (u) = ⇔ u = Bảng biến thiên: 2u + (2u + 1) Lời giải Hệ cho tương đương với x √ −1+ −1 + f (x) +∞ − √ 2− f (x) −5 −∞ www.MATHVN.com 32 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số √ Vậy hệ cho có nghiệm m ≤ 2−2 √ √ Bài tập 2.57 Tìm m để hệ − x2 + − x2 = m có nghiệm Lời giải Nhận thấy x0 nghiệm phương trình −x0 nghiệm phương trình Do giả sử phương trình có nghiệm √ nghiệm ⇒ m = √ Với m = phương trình trở thành − x2 + − x2 = (*) √ √ Đặt − x2 = t (t ≥ 0) Phương trình (*) trở thành t3 + 2t2 − = ⇔ t = ⇒ − x2 = ⇔ x = Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x = Bài tập 2.58 Tìm m để hệ x = y2 − y + m có nghiệm y = x2 − x + m x = y − y + m (1) y = x2 − x + m (2) Nhận thấy hệ có nghiệm (x; y) có nghiệm (y; x) Do hệ có nghiệm x = y, thay vào (1) ta có x2 − 2x + m = (*) Vậy hệ có nghiệm (*) có nghiệm kép ⇔ − m = ⇔ m = Lời giải Xét hệ www.MATHVN.com 33 ... www.MATHVN.com 28 www.MATHVN.com Chuyên đề Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §4 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số √ Bài tập 2. 40 Tìm m để phương trình m − x2 − 3mx... , x = √ d) Đặt x2 − 2x + 24 = t (t ≥ 0) ⇒ x2 = t2 + 2x − 24 Phương trình trở thành t2 + 2x − 24 + 4x = (x + 2) t ⇔ t2 − (x + 2) t + 6x − 24 = ⇔ √ √ x2 − 2x + 24 = ⇔ x2 − 2x − 12 = ⇔ x = ± 13 √... x3 + = 2x3 + 2x + √ b) x2 − = 2x x2 +√ 2x d) x2 + 4x = (x + 2) x2 − 2x + 24 Lời giải √ a) Đặt x2 − 2x = t (t ≥ 0) ⇒ x2 = t2 + 2x Phương trình trở thành t2 + 2x − = 2xt ⇔ (t − 1) (t + 1) = 2x (t