Bài tập vận dụng min, max hình học không gian có lời giải chi tiết

tài liệu tuyển chọn các bài tập vận dụng min – max hình học không gian có lời giải chi tiết, tài liệu được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo nhóm Strong Team Toán VD – VDC. Các bài toán thuộc chủ đề min – max (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất) trong hình học không gian đa phần là các bài toán khó, là câu phân loại học sinh khá giỏi trong các đề thi, đề kiểm tra và gần như không thể thiếu trong các đề thi THPT Quốc gia môn Toán

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi I là điểm thuộc đoạn

SO sao cho 1

3

SI  SO Mặt phẳng   thay đổi đi qua B và I   cắt các cạnh SA SC SD , ,

lần lượt tại M N P Gọi , , m n, lần lượt là GTLN, GTNN của .

Tác giả : Lưu Thị Thêm,Tên FB: Lưu Thêm

Chọn C

+) Đặt

SA x SM SC y SN

5

35

320

125

1 4

51

2

.

x x x

x xy xy y

x

y x V

V

ABCD S

BMPN S

+)  

35

1

0'

x f

N

m n

m n

 

Email: Vqdethi@gmail.com

Câu 2 Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

Tác giả: Phúc Minh Anh,Tên FB: Phúc Minh Anh

Do hình chópS ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD

Gọi M là trung điểm của CD ta có CDSHM nênSHM  SCD mà

SHM  SCDSM nên từ H dựng HK SM tại K thì HK SCD

Hay SK là hình chiếu của SH lên mặt phẳng SCD suy ra  SH SCD,  SH SK, HSK do

tam giác SHK vuông tại K theo giả thiết ta có HSM  với 0

D

C B

A

S

t

t     Xét hàm số

32

Câu 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA và vuông góc b

với ABCD Điểm  M thay đổi trên cạnh CD , H là hình chiếu vuông góc của S trên BM Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S ABH theo a b,

f (t)

f '(t) t

a b

V  khi HAHBH trùng với tâm đáy, hay M D

Email: tc_ngduychien2006@yahoo.com

Câu 5 Gọi x y z, , là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng giấy dạng hình hộp chữ nhật không

có nắp trên (hình vẽ) S là tổng diện tích xung quanh và đáy còn lại Trong các thùng có cùng diện tích S, tìm tổng xyz theo S của chiếc thùng có thể tích lớn nhất

.6

S

.6

S

x  y z

C 3

.3

S

.2

S

x  y z

Tác giả : Nguyễn Duy Chiến,Tên FB: Nguyễn Duy Chiến

Lời giảiChọn B

Ta có S xy2xz2yz

Theo Cauchy 2 2 3 2 2 2

43

a

C

2

369400

a

2

89

a

Lời giải

Tác giả : Nguyễn Thị Vân Tên Facebook: Vân Nguyễn Thị

Chọn D

Gọi H là hình chiếu của A trên MN, ta có AH MN AH, SO AH SMN

H

 là hình chiếu của Atrên mặt phẳng SMN

 Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SMN là góc HSA

Do góc 0  0

0 HSA90 nên HSA lớn nhất khi sin HSA lớn nhất 

Ta có 

313sin

2

2 33

Vậy sin HSA đạt giá trị lớn nhất bằng  1

2 khi H OHay góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  P đạt giá trị lớn nhất khi MN  AO

Khi đó đường thẳng MNđi qua Ovà song song với BC

Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung

điểm của SC Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại

D

C B

O A

S

M và N Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD Tìm S= max

Lời giảiChọn C

SM V

V

AMK S ABC

S

AMK

S

42

Vì

2

11

13

x





x

x x

BBT:

Câu 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông,AB 1, cạnh bên SA 1và vuông góc

với mặt phẳng đáy ABCD Kí hiệu  M là điểm di động trên đoạn CD và Nlà điểm di động trên đoạn CB sao cho MAN 45 Thể tích nhỏ nhất của khối chóp S AMN là ?

x y x

Email: thachtv.tc3@nghean.edu.vn

Câu 10 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC vuông tại A, AB3 ,a AC a Mặt phẳng

DBC , DAC , DAB lần lượt tạo với mặt phẳng  ABC các góc  90 , ,  trong đó

a

3

313

a

Lời giải

(Gv: Trịnh Văn Thạch, facebook: www.facebook.com/thachtv.tc3)

h x y F

Ta có

tancot

a h

Câu 11 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SCD) bằng 2 a Gọi 

là góc giữa mặt bên hình chóp với đáy của hình chóp đó Với giá trị nào của  thì thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất?

Chọn A

Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp S.ABCD

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Suy ra CD  (SMN)

Gọi K là hình chiếu của N lên SM Suy ra MK  (SCD) nên NKdN SCD,  

Dựa vào bảng biến thiên thì V S ABCD. nhỏ nhất

Câu 12 Cho lăng trụ đều ABC A B C có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a Lấy các điểm ' ' ' M N nằm ,

trên cạnh BC ; ,P Q lần lượt nằm trên cạnh AC AB sao cho MNPQ là hình chữ nhật Hình hộp ,chữ nhật MNPQ M N P Q nội tiếp trong lăng trụ đều ' ' ' ' ABC A B C có thể tích lớn nhất là : ' ' '

A

3

34

a

D

3

64

a

Nên chọn C Câu 13 Cho hình chóp S ABCD Một mặt phẳng song song mặt đáy cắt các cạnh SA SB SC SD; ; ; lần

lượt tại M N P Q, , , Gọi M N P Q', ', ', ' lần lượt là hình chiếu của M N P Q, , , lên mặt đáy Tìm

Câu 14 Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  , các cạnh còn lại đều bằng 2 3 Tìm x để thể tích x

khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

A x  6 B x  14 C x 3 2 D.x 2 3

Giáo viên: Trần Luật Facebook: Trần Luật

Lời giải Chọn C

Gọi M ,N lần lượt là trung điểm CD và AB; H là hình chiếu vuông góc của A lên BM

Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng (B’D’C) suy ra

Câu 16 Cho tứ diện ABCD có ABAC BDCD1 Khi thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất

thì khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC bằng

Tác giả : Trần Như Thanh Nhã, FB: Nhã Trần Như Thanh

Chọn D

Gọi H K, lần lượt là trung điểm của BC và AD

Theo giả thiết: ABC cân tại A và DBC cân tại D

 ,

Câu 17 Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1 Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao

cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM x AN;  y Tìm x y, để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất

N

Câu 18 Trong mặt phẳng   cho đường tròn  T đường kính AB2R Gọi C là một điểm di động

trên  T Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng   lấy điểm S sao cho

SAR Hạ AH SB và AK  SC Tìm giá trị lớn nhất Vmax của thể tích tứ diện SAHK

A

3 max

575

R

3 max

525

R

3 max

327

R

3 max

39

S

C

B H

K

Câu 19 Cho tứ diện ABCD có DA DB DC    6 và đôi một vuông góc với nhau Điểm M thay

đổi trong tam giác ABC Các đường thẳng đi qua M song song DA DB DC, , theo thứ tự cắt các mặt phẳng DBC , DCA , DAB lần lượt tại A B C1; 1; 1 Tìm thể tích lớn nhất của khối

tự diện MABC1 1 1 khi M thay đổi

MBCD ABCD

A1 M

D

A

B

C

Bình luận: Bài này hoàn toàn có thể làm mạnh giá thiết bằng cách chỉ cần cho tứ diện ABCD

có thể tích bằng 36 Kết quả bài toán không thay đổi

Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAa 3 và SA vuông góc

với mặt phẳng đáy M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho

Tác giả: Đặng Việt Đông Tên FB: Đặng Việt Đông

S

N

Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng DC tại P, khi đó ta chứng minh được AMN  ANPMN NP và BMCN MNMNNC CM 2a Vì

2

MN MC CN  MCCN từ đó suy ra 2 2 1 a  MNa Email: phuongnamthptqx1@gmail.com

Câu 21 Một người thợ gò làm một cái thùng đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp bằng tôn Biết

rằng đường chéo hình hộp bằng 6dm và chỉ được sử dụng vừa đủ 2

36dm tôn.Với yêu cầu như trên người thợ làm được cái thùng có thể tích lớn nhất là Vdm3 Giá trị của V gần giá trị nào nhất

trong các giá trị sau?

Câu 22 Gọi V là thể tích nhỏ nhất của khối chóp tứ giác đều trong số các khối chóp tứ giác đều có khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gồm một đường thẳng chứa một đường chéo của đáy và đường thẳng chứa một cạnh bên hình chóp bằng 3.Khi đó V bằng bao nhiêu?

C B

P

M

N

Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD

Theo bài ra, ta có dd SA BD , OH  OH  3

Tam giác SAO vuông tại O, có đường cao OH suy ra

S

O

C

D A

B

Cách 2 : (Tham khảo ý kiến Cô Lưu Thêm)

Từ giả thiết và cách dựng thiết diện ta có :



B 2 3 2

.4



C 2 3 2

.4



D 3(1 2)

.9



Lời giải

Tác giả : Lâm Điền An,Tên FB: Lâm Điền An

Chọn A

Kẻ DH  MN, do DMN  ABC suy raDH ABC

Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là trọng tâm của tam giác đều ABC

Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:

Câu 25 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 (m) như hình vẽ dưới đây Người ta cắt phần đậm của tấm

nhôm rồi gập lại thành một hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng x (m) sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể

Đường chéo hình vuông cạnh 1 là 2

22

2

2

OC x OE

Câu 26 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB3 ,a AC a Gọi  Q là mặt phẳng chứa BC và vuông

góc với mặt phẳng ABC Điểm  D di động trên  Q sao cho tam giác DBC nhọn và hai mặt

phẳng DAB và  DAC lần lượt hợp với mặt phẳng  ABC hai góc phụ nhau Thể tích lớn nhất của khối chóp D ABC bằng

A

3

3.4

a

3

3.8

a

3

3.13

Ta có S AHC S AHB S ABC 1 cot 90  1 cot 3 3

3tan 3cot



a DH

3.4

a

V

Email: luuthedung1982@gmail.com

Câu 27 Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a ; SASBSCa Khi đó thể

tích của khối chóp S ABCD lớn nhất bằng

A

3

.2

a

B

3

3.4

a

C

3

.4

a

D

3

3.2

Gọi O là giao điểm của AC và BD Theo giả thiết suy ra SAC là tam giác cân tại S nên

SO AC, đáy ABCD là hình thoi nên AC BD

SCBAa OCOA SOCBOASuy ra SOC BOASOBO BSD vuông tại S

H K

Đặt BOx x, ( 0), dựng SH (ABCD)HBD

.

1.3

Câu 28 Cho tứ diện OABCvuông tạiO gọi,    lần lượt là góc tạo bởi các mặt phẳng (, , OAB),

(OBC ), (OAC) với mặt phẳng (ABC).Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A 6 B 15

27.2Lời giải

Tác giả : Phạm Công Dũng,Tên FB:Phạm Công Dũng

Câu 29 Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Điểm M di động trong tam giác ABC Qua M kẻ các

đường thẳng song song với DA BD DC lần lượt cắt các mặt (, , DBC), (DCA),(DAB tại ', ',) A B C' Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện MA B C' ' ' bằng

Tác giả :Đoàn Phú Như,Tên FB: Như Đoàn

Chọn A

Phép tịnh tiến theo véc tơ MD

biến M D A, 'A B", 'B C", 'C", biến tứ diện ' ' '

Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AD/ /BC, BC 2a,

AB ADDC ,a a 0 Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và

BD Biết SD vuông góc với AC

Mặt phẳng   đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O và D ) và song song với đường thẳng SD và AC Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng  

biết MDx. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất

C B

I S

Câu 31 Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SAABC và

SAa M là một điểm thuộc cạnh AB Kẻ SH CM tại H Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện S AHC là

a

3 312

Tác giả :Lương Văn Huy FB: Lương Văn Huy

Chọn D

Ta có . 1

3

V  SA S

Do SAakhông đổi nên V S AHC. lớn nhất khi và chỉ khi SAHClớn nhất

Mà SAHClớn nhất  AHCvuông cân tại H

1

Câu 32 Cho tứ diện ABCDcó AB2a,CD2b và các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1 Giá trị lớn

nhất của diện tích toàn phần tứ diện ABCD là

Tác giả :Lương Văn Huy FB: Lương Văn Huy

Chọn C

J

I

D C

A

B

Gọi I ,Jlần lượt là trung điểm của ABvà CD Ta có

Hai tam giác cân ACD và BCD bằng nhau

Hai tam giác cân ABC và ABD bằng nhau

Câu 33 Hình hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ', có đường chéo AC 'd hợp với mặt phẳng

ABCD một góc , hợp với mặt bên BCC'B'góc  Biết d không đổi, A ' D 'CB là hình vuông và thể tích khối hộp lớn nhất Khi đó giá trị của biểu thức  +  bằng:

D C

Vậy  + 60

Daothihongxuandhsphnk55b@gmail.com

Câu 34 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a M thuộc đoạn thẳngAC' :C M' x C A ' , N

thuộc đoạn thẳngCD' :D N' 2 x CD' Giá trị của x để tứ diện CC NM' có thể tích lớn nhất là:

B' N

1

3 2(1 2 ) ( ' , ').sin( ' , ')6

Câu 35 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a M thuộc đoạn thẳngAC' :C M' x C A ' , N

thuộc đoạn thẳngCD' :D N' 2 x CD' Giá trị của x để tứ diện CC NM' có thể tích lớn nhất là:

Tác giả: Đào Thị Xuân, face: Hong Xuan

Chọn C

B' N

1

3 2(1 2 ) ( ' , ').sin( ' , ')6

1 6.2 (1 2 ) ( ' , ').sin( ' , ')6.2

BAD AB a Gọi H là trung điểm AB, trên đường thẳng d

vuông góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khácH Biết rằng góc giữa SC

vàSAD có số đo lớn nhất khi SH a.4 m

n

 ( với m n, là các số tự nhiên và m

n là phân số tối giản) Khi đó tổng m bằng: n

BC SAD d C SAD d SAD  d SAD

Gọi E là hình chiếu của H trên AD, Gọi F là hình chiếu của H trên SEta có

   Do HF là đường cao của tam giác

ax HF

Vậy  lớn nhất khi và chỉ khi sin lớn nhất khi và chỉ khi 4 21

Câu 37 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD=4a, các cạnh bên của hình

chóp bằng nhau và bằng a 6 Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của chóp S.ABCD lớn nhất bằng:

Chọn C

Tác giả : Đào Thị Hương,Tên FB: Hương Đào

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABCD)

Do SA=SB=SC=SD nên OA=OB=OC=OD  ABCDlà hình chữ nhật

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của O,D trên (SBC)

Do SO=OM nên H là trung điểm SM

Do OD=OB nên H là trung điểm KB SKC là hình chiếu củaSDC trên (SBC)

DE DF  Gọi V , V lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ' ABCD A B C D ' ' ' '

và khối tứ diện BDEF Khi đó GTNN của tỉ số V'

Tác giả : Hoàng Dũng,Tên FB: HoangDung

Câu 39 Cho hình chóp S ABCD có thể tích là V , ABCD là hình bình hành có tâm O Gọi I là trung

điểm của SO,  P là mặt phẳng qua I sao cho  P cắt các cạnh SA SB SC SD lần lượt tại , , ,các điểm M N P Q Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích của khối chóp , , , S MNPQ

C' D'

A

B

C D

F

E

Tác giả : Nguyễn Văn Thanh,Tên FB: Thanh Văn Nguyễn

D

C B

A

P' M'

34

Câu 41 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và đường cao SA2a MNPQ là thiết

diện song song với đáy, MSAvà AM  Xét hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác x

MNPQ và đường sinh MA Giá trị của x để thể tích khối trụ lớn nhất là

Tác giả : Trần Thị Thủy,Tên FB: Trần Thủy

Chọn B

Ta có MNPQ là thiết diện song song với đáy do đó MNPQ đồng dạng với đáy Suy ra MNPQ là

hình vuông

Chọn B

Gọi G là trọng tâm của tứ diện; E, F, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD

Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên AFBF suy ra EF AB, tương tự ta chứng minh được EF CD và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD Từ đó

Câu 43 AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x, y chéo nhau, A thuộc x, B thuộc y

Đặt độ dài AB  d M là điểm thay đổi thuộc x, N là điểm thay đổi thuộc y Đặt

AM  m, BN  n  m  0, n  0  Giả sử luôn có: m2  n2  k  0, k không đổi Với giá trị nào của m, n thì độ dài MN nhỏ nhất?

Tác giả : Phùng Nhung,Tên FB: Phùng Nhung

Câu 44 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA=BC=2a, hình chiếu vuông góc của S lên

mặt phẳng (ABC) là trung điểm E của AB, SE=2a Gọi I,J lần lượt là trung điểm của EC, SC,

điểm M di động trên tia đối của tia BA sao cho ECM 

90

  và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC Khi thể tích của khối tứ diện EHIJ đạt giá trị lớn nhất Thì thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện EHIJ là?

H0I

C

B E

A

K

L

N J

H

E

I

Có I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC Nên IJ là đường trung bình SCE

Suy ra IJ//SE, SEABC Suy ra IJABC, và

2

SE

Có SH MC, mà EH là hình chiếu của SH Suy ra EH MC

Có CE CB2EB2 a 5 không đổi Suy ra H thuộc đường tròn I đường kính CE

Gọi V1 là thể tích khối tứ diện J.EIH Tứ diện J.EIH có chiều cao IJ

1

3

Có ECH vuông tại H, I là trung điểm CE Suy ra IH ICIE

Nên dt EIH 12dt CEH 