Chuyên đề chỉnh hợp và tổ hợp có lời giải chi tiết

Bài viết này các thầy cô có kinh nghiệm đúc kết và giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi trắc nghiệm về chủ đề Chỉnh hợp và Tổ hợp Toán 11 có lời giải chi tiết, giúp các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BÀI 3: CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Video giảng lời giải chi tiết có vted.vn Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Mã đề thi 132 COMBO TOÁN 11 NỀN TẢNG VÀ NÂNG CAO – Đăng kí khố học đây: https://goo.gl/Dtu4zp 1) Chỉnh hợp: Cho tập A có n (n ≥1) phần tử Khi lấy k phần tử từ tập A xếp k phần tử theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu Ank , xác định Ank = n! = n(n−1) (n− k +1) (n− k)! Chứng minh Ta cần xếp vị trí k phần tử Bước 1: Vị trí thứ nhất, chọn n phần tử xếp vào vị trí có n cách Bước 2: Vị trí thứ hai, chọn ( n – 1) phần tử lại xếp vào vị trí có ( n – 1) cách Bước 3: … Bước k: Vị trí thứ k, chọn ( n – k +1) phần tử lại xếp vào vị trí có ( n – k + 1) cách n! = n(n−1) (n− k +1) Vậy tất có n(n−1) (n− k +1) cách hay Ank = (n− k)! { } Bài Cho tập A = 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số phân biệt thành lập từ tập A ? Giải *Mỗi số tự nhiên gồm chữ số khác thành lập từ tập A chỉnh hợp chập phần tử Vậy tất có A95 = 15120 số *Có thể hiểu việc thành lập số có chữ số khác phải thực qua hai công đoạn : - Chọn chữ số từ chữ số cho - Sắp xếp chữ số vừa chọn Bài Cần chọn học sinh 10 học sinh học sinh thực công việc khác Hỏi có cách ? Giải Chọn học sinh từ 10 học sinh sau phân cơng cho học sinh người công việc = 5040 cách chỉnh hợp chập 10 phần tử Vậy tất có A10 2) Tổ hợp: Cho tập A có n (n ≥1) phần tử Khi lấy k phần tử từ tập A ta tập A, gọi tổ hợp chập k n phần tử (gọi tắt tổ hợp chập k A) Số tổ hợp chập k A kí hiệu Cnk , xác định BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Cnk = Ank n! n(n−1) (n− k +1) = = k! k!(n− k)! k! Chứng minh Ta biết chỉnh hợp k n phần tử số cách lấy k phần tử từ tập hợp n phần tử xếp k phần tử lấy theo thứ tự *Số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank *Số cách lấy k phần tử từ tập hợp n phần tử tổ hợp chập k n Cnk *Số cách xếp k phần tử Pk = k! *Vậy ta có Ank = Cnk k!⇒ Cnk = Ank n! n(n−1) (n− k +1) = = k! k!(n− k)! k! Một số tổ hợp hay dùng: n(n−1) n(n−1)(n− 2) Cn0 = 1;Cn1 = n;Cn2 = ;Cn = Đẳng thức liên quan đến tổ hợp: k+1 Cnk = Cnn−k ;Cnk + Cnk+1 = Cn+1 ;Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = n 3) Số tập tập hợp Tập A gồm n phần tử đó: • Số tập gồm k phần tử A Cnk • Số tập A n • Số tập (khác rỗng) A n −1 Bài Có 10 học sinh gồm nam nữ, cần chọn học sinh để làm công tác xã hội Hỏi có cách, biết a) Chọn tuỳ ý b) Gồm Nam nữ c) Phải có nữ ba nam Giải = 252 cách a) Chọn em tuỳ ý từ 10 em tổ hợp chập 10 phần tử Vậy tất có C10 b) Thực qua hai cơng đoạn : Chọn nam có C73 cách Sau chọn nữ có C32 cách Vậy tất có C73 C32 = 105 cách c) Thực theo hai phương án : Phương án : Gồm nam nữ ; có 105 cách Phương án : Gồm nam nữ có 105 cách Vậy tất có 105 + 105 = 210 cách BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Bài Một đội niên tình nguyện có 15 người đó, có 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ C31 cách Giải *Chọn nam 12 nam nữ nữ giúp đỡ tỉnh thứ có C12 Tiếp theo chọn nam nam lại nữ nữ lại giúp đỡ tỉnh thứ có C84 C21 cách Cuối nam nữ (còn lại) cho giúp đỡ tỉnh thứ ba có cách C31 C84 C21 = 207900 cách Vậy tất có C12 Bài Một đội xây dựng gồm 10 công nhân kỹ sư, để lập tổ công tác cần chọn kỹ sư tổ trưởng, cơng nhân làm tổ phó cơng nhân làm tổ viên Hỏi có cách thành lập tổ cơng tác Giải *Có C31 cách chọn kỹ sư tổ trưởng Có 10 cách chọn cơng nhân 10 cơng nhân làm tổ phó; có C95 cách chọn cơng nhân làm tổ viên Vậy có C31 10.C95 = 3780 cách lập tổ công tác Bài Một nhóm học sinh gồm nam nữ có tổ tưởng nam tổ phó nữ Hỏi có cách chọn học sinh nam học sinh nữ có tổ trưởng có tổ phó khơng có hai người? Giải *Có hai khả sau: +) nam chọn có trưởng nữ chọn (khơng gồm tổ phó) có 1.C83 C53 cách +) nam chọn (khơng gồm tổ trưởng) nữ chọn có tổ phó có C84 1.C53 cách *Vậy có tất 1.C83 C53 + C84 1.C53 cách thoả mãn Bài Trong kì thi THPT Quốc Gia, lớp 12A có 10 học sinh đăng kí dự thi xét Tốt nghiệp THPT Các thí sinh xét tốt nghiệp THPT Quốc Gia cần thi mơn bắt buộc: Tốn, Văn Ngoại ngữ môn thi tự chọn các mơn: Lịch sử, Địa lí, Vật lí, Hố học, Sinh học Hỏi có cách đăng kí mơn thi 10 thí sinh biết có thí sinh trùng mơn thi tự chọn Giải *Cơng việc thực qua bước: - Chọn 10 thí sinh mơn thi tự chọn có C10 cách BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN - Chọn mơn thi tự chọn cho thí sinh có C51 cách - thí sinh lại lựa chọn môn thi tự chọn (khác với mơn thi tự chọn thí sinh trước) lại có 44 cách C51 44 cách *Vậy có tất C10 Bài Trong môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải đủ loại câu hỏi( khó,trung bình dễ) số câu hỏi dễ khơng 2? Giải *Số câu hỏi dễ khơng nên có trường hợp sau TH1: Đề kiểm tra gồm câu dễ, câu khó câu trung bình, trường hợp có C15 C52 C10 = 105.10.10 = 10500 đề TH2: Đề kiểm tra gồm câu dễ, câu trung bình câu khó, trường hợp có 2 C15 C10 C51 = 105.45.5 = 23625 đề TH3: Đề kiểm tra gồm câu dễ, câu khó câu trung bình, trường hợp có C15 C10 C51 = 455.10.5 = 22750 đề Vậy có tất 10500+23625+22750=56875 đề Bài Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn viên bi khơng có đủ màu? = 1365 cách Giải Số cách lấy viên bi từ hộp C15 *Cách lấy viên bi có đủ màu, có trường hợp TH1: Lấy viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng có C42 C51 C61 = 180 cách TH2: Lấy viên bi trắng, viên bi đỏ viên bi vàng có C41 C52 C61 = 240 cách TH3: Lấy bi vàng, bi đỏ bi xanh có C41 C51 C62 = 300 Vậy có 180+240+300=720 cách lấy viên bi có đủ màu Vậy có 1365 – 720 = 645 cách lấy viên bi khơng có đủ màu Bài Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc khơng q lớp Hỏi có cách chọn vậy? BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN = 495 cách Giải *Chọn tuỳ ý học sinh có C12 Ta tìm số cách chọn học sinh có mặt ba lớp: + Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có C52 4.3 = 120 cách + Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.C42 = 90 cách + Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.4.C32 = 60 cách ( ) Vậy số cách chọn học sinh không ba lớp 495 − 120 + 90 + 60 = 225 cách Bài Có 12 học sinh gồm học sinh khối A, học sinh khối B học sinh khối C Hỏi có cách chọn học sinh cho khối có học sinh? = 792 cách Giải Chọn học sinh tuỳ ý có C12 Do khối có học sinh cần chọn học sinh nên học sinh chọn thuộc hai khối Ta tìm cách chọn học sinh cho hai khối: + Chọn học sinh hai khối A B có C85 = 56 cách + Chọn học sinh hai khối B C có C85 = 56 cách + Chọn học sinh hai khối Cvà A có C85 = 56 cách Vậy có 792 − 3.56 = 624 cách chọn học sinh thuộc khối Bài 10 Có tem thư bì thư, cần chọn tem thư bì thư sau dán tem thư chọn lên bì thư ( bì thư dán tem thư) Hỏi có cách? Giải Chọn bì thư có C63 cách Chọn tem thư có C53 cách Sau dán tem thư lên bì thư có 3! cách Vậy tất có C63 C53 3! = 1200 cách Bài 11 Có 12 cặp vợ chồng tham gia lễ hội Hỏi có cách chọn cặp (mỗi cặp gồm nam nữ) để khiêu vũ người chọn không vợ chồng nhau? Giải Trước tiên chọn ơng chồng (trong 12 ơng chồng) có C12 cách Khi ta phải loại bà vợ ơng chồng vừa chọn(vì người chọn không vợ chồng nhau) Sau chọn bà vợ từ bà vợ lại có C84 cách Sau chọn ơng chồng bà vợ, ta tìm số cách ghép thành cặp Ta coi ông chồng ô trống, xếp bốn bà vợ vào trống có tất 4! cách, số cách ghép thành cặp(mỗi cặp gồm nam nữ) từ người C84 4! = 831600 cách Vậy tất có C12 Chú ý Ta chọn bà vợ trước tiên BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Bài 12 Có 100 sản phẩm có 90 sản phẩm đạt yêu cầu 10 sản phẩm không đạt yêu cầu Chọn 10 sản phẩm để kiểm tra chất lượng sản phẩm, hỏi có cách? a) Chọn tuỳ uý b) Trong có sản phẩm đạt yêu cầu Giải 10 a) Chọn 10 sản phẩm tuỳ ý tổ hợp chập 10 100 phần tử có C100 cách b) Chọn sản phẩm đạt yêu cầu từ 90 sản phẩm có C90 cách Chọn sản phẩm không đạt yêu cầu từ 10 sản phẩm có C10 cách C10 Vậy tất có C90 cách Bài 13 Cho 15 bánh khác hộp, bỏ 15 bánh vào hộp (mỗi hộp bánh) Hỏi có cách, biết a) hộp khác b) hộp giống Giải a) Chọn bánh bỏ vào hộp có C15 cách Chọn bánh 10 lại bỏ vào hộp có C10 cách Cuối bỏ vào hộp có cách 5 C10 = 756756 cách Vậy tất có C15 b) Vì hộp giống nên số cách bỏ bánh 5 C15 C10 3! = 126126 cách Bài tập rèn luyện: Bài Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ Cần chọn nhóm gồm học sinh Hỏi có cách: a) Chọn học sinh b) Chọn học sinh gồm nam nữ c) Chọn học sinh có nam = 9880 cách; b) C25 C15 = 2625 ; c) 9425 cách chọn có nam Đ/s: a) C40 Bài Một tổ sinh viên có 20 em, em biết Tiếng Anh, em biết Tiếng Pháp em biết Tiếng Đức Cần lập nhóm thực tế gồm em biết Tiếng Anh, em biết Tiếng Pháp em biết Tiếng Đức Hỏi có cách lập nhóm thực tế từ tổ sinh viên ấy? Đ/s: C83 C74 C52 cách Bài Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân cơng Đ/s: C93 C62 cách Bài Có viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng có kích thước đơi khác BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN a) Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ? b) Có cách chọn viên bi, cho số bi vàng số bi đỏ? c) Có cách chọn viên bi có bi vàng? Đ/s: a) C52 C44 ; b) C53 C43 ; c) C53 C43 + C52 C44 Bài Có học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Có cách chọn học sinh từ lớp cho lớp có học sinh chọn Đ/s: C32 4.5 + 3.C42 + 3.4.C52 cách Bài Có Nam nữ, cần chọn Nam nữ ghép thành cặp nhảy (mỗi cặp gồm nam nữ) Hỏi có cách? Đ/s: C74 C54 4! Bài Có bì thư tem thư Chọn tem thư bì thư, sau dán tem thư lên bì thư Hỏi có cách? Đ/s: C74 C84 4! Bài Nhóm học sinh gồm 11 em, có nam nữ Hỏi có cách chọn học sinh có nữ? − C73 = 130 cách Đ/s: C11 Bài Trong 100 vé số có vé trúng thưởng Chọn 12 vé, hỏi có cách, biết a) Chọn tuỳ ý b) Khơng có vé trúng thưởng c) Có vé trúng thưởng 12 2 − C98 Đ/s: a) C100 ; b) C98 ; c) C100 Bài 10 Có 10 nữ có chị Bình nam có anh An Cần thành lập tổ cơng tác gồm nữ nam An Bình khơng có đồng thời An Bình Hỏi có cách? Đ/s: 3480 cách Bài 11 Có 12 bánh khác Hỏi có cách xếp chúng vào hộp giống nhau, hộp gồm bánh? Đ/s: 2 C12 C10 C82 C62 C42 C22 6! = 9085768 cách CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Số chỉnh hợp chập n phần tử n(n−1) n(n− 2) B n(n−1) A C 2 Câu Tìm nghiệm phương trình Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2Px ) A x = B x = C x = D n(n− 2) D x ∈ {3;4} BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 2 2 + 2Cx+2 + 2Cx+3 + Cx+4 = 149 Câu Tìm nghiệm phương trình Cx+1 A x = B x = C x = y y ⎪⎧2 A + 5Cx = 90 Câu Giải hệ phương trình ⎪⎨ xy ⎪⎪5A − 2C y = 80 x x ⎪⎩ A (x; y) = (5;2) B (x; y) = (4;3) C (x; y) = (6;2) 1 2019 Câu Tìm n thoả mãn + + + = A2 A3 An 2020 A n = 2018 B n = 2019 C n = 2020 1 2019 Câu Tìm n thoả mãn + + + = C2 C3 Cn 1010 A n = 2018 B n = 2019 C n = 2020 Câu Cho tập hợp A = {1,2,3,4} Mệnh đề ? A Bộ số (1,2,4) chỉnh hợp chập C Chỉnh hợp (1,2,4) giống với chỉnh hợp (2,4,1) D x = D (x; y) = (5;3) D n = 2021 D n = 2021 B Bộ số (1,2,3) chỉnh hợp chập D Bộ số (1,3) chỉnh hợp chập Câu Cho tập A = {a,b,c} Mệnh đề sai ? A Tập A có tất hốn vị B (a,b);(b,a);(a,c);(c,a);(b,c);(c;a) chỉnh hợp chập A C (a,b,c);(b,c,a) hai hoán vị khác A D (a;b) chỉnh hợp chập Câu Có tất véctơ khác véctơ – khơng có điểm đầu điểm cuối 2019 điểm phân biệt cho trước ? 2 1 A C2019 B 2C2019 C 2C2019 D C2019 Câu 10 Số tập gồm phần tử tập A gồm 10 phần tử B C102 C A102 A 210 −1 D 210 Câu 11 Số tổ hợp chập 10 phần tử 10! A C103 B A103 D C 103 3! Câu 12 Cho tập A gồm n phần tử Biết số tập gồm phần tử A gấp sáu lần số tập gồm phần tử A Giá trị n A B 18 C 38 D 20 Câu 13 Trên mặt phẳng có n điểm phân biệt khơng có ba điểm thẳng hàng Số tam giác tạo thành từ n điểm cho n(n−1)(n− 2) n(n +1)(n + 2) n(n−1)(n− 2) n(n +1)(n + 2) A B C D 6 3 Câu 14 Một giải đấu bóng đá có tất n đội tham gia, thi đấu vòng tròn lượt Hỏi có tất trận đấu ? n(n +1) n(n−1) C n(n +1) D n(n−1) A B 2 Câu 15 Một giải đấu bóng đá có tất n đội tham gia, thi đấu vòng tròn hai lượt gồm lượt sân khách lượt sân nhà có tất trận đấu ? n(n +1) n(n−1) A n(n +1) D n(n−1) B C 2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 16 Một buổi hội có n cặp vợ chồng tham dự, trước bắt đầu biểu tiệc cặp vợ chồng bắt tay làm quen với tất ông chồng bà vợ cặp vợ chồng khác, biết vợ chồng không bắt tay với Hỏi có tất bắt tay ? A n(n +1) B n(n−1) C 2n(n−1) D n(2n−1) Câu 17 Cho đa giác lồi (H ) có n (n ≥ 4) cạnh Số đường chéo đa giác (H ) ? n(n−1) n(n−3) n(n +1) n(n− 2) B C D 2 2 Câu 18 Cho đa giác lồi n cạnh Số tam giác tạo thành từ đỉnh đa giác lồi cho ? n(n−1)(n− 2) n(n−1)(n− 2) n(n−1)(n− 2) n(n−1)(n + 2) A B C D 6 Câu 19 Cho đa giác lồi (H ) có n(n ≥ 4) cạnh Số tam giác tạo thành từ đỉnh (H ) có cạnh cạnh (H ) là? A n(n−1) B n(n− 2) C n(n−3) D n(n− 4) Câu 20 Cho đa giác lồi (H ) có n(n ≥ 4) cạnh Số tam giác tạo thành từ đỉnh (H ) có hai cạnh cạnh (H ) ? A n B n−1 C n− D n−3 * Câu 21 Cho đa giác lồi (H ) có n(n ≥ 4) cạnh Số tam giác tạo thành từ đỉnh (H ) khơng có cạnh cạnh (H ) ? A n(n2 −9n + 20) n(n2 + 9n + 20) n(n2 −9n + 20) n(n2 + 9n + 20) B C D 6 3 Câu 22 Một đa giác (H ) có 2n cạnh Hỏi có hình chữ nhật tạo thành từ đỉnh (H ) ? A n(n−1) n(n +1) n2 n2 B C D 2 Câu 23 Trên hai đường thẳng song song a b Có m điểm phân biệt đường thẳng a n điểm phân biệt đường thẳng b Số tam giác tạo thành từ tất (m + n) điểm cho là? mn(m+ n + 2) mn(m+ n− 2) mn(m+ n +1) mn(m+ n−1) A B C D 2 2 Câu 24 Trên hai đường thẳng song song a b Có m điểm phân biệt đường thẳng a n điểm phân biệt đường thẳng b Biết m+ n = 2016 Số tam giác tạo thành từ tất 2016 điểm cho lớn ? A 2017.20182 B 1008.1007 C 1007.10082 D 1006.10102 Câu 25 Đa giác lồi có số cạnh số đường chéo ? A Thập giác B Lục giác C Ngũ giác D Bát giác Câu 26 Đa giác lồi n cạnh có 27 đường chéo Tìm n A n = B n = 12 C n = D n = 15 Câu 27 Trong hệ trục toạ độ Oxy có điểm nằm tia Ox điểm nằm tia Oy Nối điểm tia Ox với điểm tia Oy ta 40 đoạn thẳng Hỏi 40 đoạn thẳng cắt giao điểm nằm góc phần tư thứ hệ trục toạ độ xOy (biết khơng có đoạn thẳng đồng quy điểm) A 260 B 270 C 280 C 290 Câu 28 Có tem thư khác bì thư khác nhau, người ta chọn tem thư bì thư sau dán tem thư chọn lên bì thư chọn cho bì thư dán tem Hỏi có cách? A 1200 B 1000 C 1800 D 200 A BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 10 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 29 Trên mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm phân biệt Hỏi lập ! véc tơ khác véc tơ mà điểm đầu điểm cuối thuộc P ? A Cn2 B 2Cn1 C Cn1 D 2Cn2 Câu 30 Bạn An đặt mật cho laptop dãy kí tự gồm chữ số dạng a1a2 a3a4 a5a6 với ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,i = 1,6 a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 Hỏi bạn An có cách đặt mật cho Laptop ? A 84 B 210 C D 151.200 Câu 31 Một giải đấu bóng đá có 12 đội bóng tham dự chia thành ba bảng A, B, C bảng gồm đội Hỏi có tất cách chia bảng? A 369.600 B 34.650 C 11.550 D 5775 Câu 32 Một đội sinh viên tình nguyện gồm 15 người có 12 nam nữ Cần phân cơng đội sinh viên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh gồm nam nữ Hỏi có tất cách phân công? A 207900 B 69300 C 103950 D 34650 Câu 33 Một nhóm học sinh có em nam em nữ Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn thể dục Trong em chọn đồng thời nam nữ Hỏi có cách chọn? A 770 B 792 C 771 D 791 Câu 34 Mỗi người sử dụng mạng máy tính có mật Giả sử mật gồm kí tự, kí tự chữ số (trong 10 chữ số từ đến 9) chữ (trong bảng 26 chữ tiếng anh) mật phải có chữ số Hỏi lập mật ? A 366 B 266 C 366 + 266 D 366 − 266 Câu 35 Trong trường THPT, khối 11 có 160 học sinh tham gia câu lạc Tin học, 140 học sinh tham gia câu lạc Ngoại ngữ, 50 học sinh tham gia hai câu lạc 100 học sinh không tham gia câu lạc hai câu lạc Hỏi khối 11 trường có tất học sinh ? A 450 B 350 C 400 D 250 ⎧⎪⎪a < b < c Câu 36 Giả sử dãy kí tự mật két abc ⎨ a,b,c ⎪⎪⎩a + b+ c = 10 chữ số từ đến Hỏi có tất mật ? A B 10 C D 12 Câu 37 Bạn An thiết kế kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Bạn An muốn thiết lập mật để mở cửa phòng dãy kí tự gồm chữ số tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Hỏi có cách đặt mật khẩu? A B C D 12 Câu 38 Xét tập hợp A gồm n (n ≥ 3) phần tử Biết số tập tập A chứa 1, 2, phần tử theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị n ? A B C 12 D 14 Câu 39 Trong mặt phẳng chứa n điểm phân biệt có hai điểm A, B Biết khơng có ba điểm thẳng hàng Hỏi từ n điểm cho tạo thành tam giác nhận A nhận B đỉnh ? n(n−1)(n− 2) (n−1)(n− 2)(n−3) A B 10 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 11 C (n− 2)2 D (n−1)(n− 2) Câu 40 Các đường chéo đa giác lồi n cạnh gặp điểm, biết đường chéo khơng đồng quy điểm ? D CC2 2−n A Cn2 B Cn2 − n C Cn4 n Câu 41 Có cách chọn số nguyên dương x1 , x2 , x3 , x4 từ tập hợp S = {1,2, ,500} cho x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng công bội chúng số nguyên dương ? A 94 B 62 C 32 D 31 Câu 42 Cho tập X = {1,2, ,2016} Hỏi có số (a,b,c) thoả mãn a < b,a < c a,b,c ∈ X ? A 1+ + + 2016 B 12 + 22 + + 20152 C 12 + 22 + + 20162 D 1+ + + 2015 Câu 43 Cho bốn điểm A, B,C, D phân biệt thuộc mặt phẳng (α), khơng có ba điểm thẳng hàng điểm S nằm ngồi mặt phẳng (α) Hỏi có mặt phẳng chứa S hai bốn điểm A, B,C, D cho ? A B 10 C D Câu 44 Cho tập A = {1,2,3,5, x} (trong x chữ số từ đến 9) Biết tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác thành lập từ tập A 25308, tìm x A x = B x = C x = D x = Câu 45 Có sách khác bút khác nhau, thầy giáo muốn lấy sách bút để tặng cho học sinh cho học sinh nhận sách bút Hỏi có cách ? A 462 B 332640 C 200 D 144000 Câu 46 Trong số từ 1000 đến 9999 có tất số tự nhiên mà chữ số tăng dần giảm dần (kể từ trái qua phải) ? A C94 B C104 C C94 + C104 D 2C94 Câu 47 Có tất số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số tăng dần giảm dần (kể từ trái qua phải)? Đ/s C105 + C95 = 378 Câu 48 Có tất số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số tăng dần giảm dần (kể từ trái qua phải)? Đ/s C106 + C96 = 294 Câu 49 Có tất số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số tăng dần giảm dần (kể từ trái qua phải)? Đ/s C107 + C97 = 156 Câu 50 Có tất số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số tăng dần giảm dần (kể từ trái qua phải)? Đ/s C108 + C98 = 54 Câu 51 Có tất số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số tăng dần giảm dần (kể từ trái qua phải)? Đ/s: C109 + C99 = 11 Câu 52 Một nhóm giáo viên gồm 16 người có cặp vợ chồng Hiệu trưởng muốn chọn giáo viên vào hội đồng giáo dục nhà trường Hỏi có cách hội đồng có cặp vợ chồng? BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 11 12 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN A 924 B 1848 C 1846 D 5016 Câu 53 Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 10 học sinh thành nhóm, nhóm gồm học sinh làm công tác xã hội, nhóm gồm học sinh làm cơng tác vệ sinh nhóm gồm học sinh làm cơng tác giữ trật tử Hỏi có tất cách? A 2520 B 2518 C 2524 D 2516 Câu 54 Tìm số cách chọn học sinh gồm nam nữ từ nhóm học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ A 2971 B 2972 C 2973 D 2974 Câu 55 Có 15 ngựa tham dựa đua Nếu không kể trường hợp có hai ngựa đích lúc có kết xảy vị trí thứ nhất, nhì ba? A 2730 B 2724 C 2736 D 2727 Câu 56 Trong buổi tiệc ông bắt tay với tất người khác trừ vợ mình, bà khơng người bắt tay với Có tất 15 cặp vợ chồng Hỏi có tất bắt tay? A 435 B 330 C 315 D 300 Câu 57 Trong số từ 100 đến 999 có tất số tự nhiên mà chữ số tăng dần giảm dần (kể từ trái qua phải)? Đ/s C103 + C93 = 204 Câu 58 Hỏi có cách chọn số nguyên x1 , x2 , x3 , x4 , x5 từ tập hợp A = {1,2, ,2016} cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng công bội chúng số nguyên dương ? A 126 B 11 C 161 D 31 Câu 59 Hỏi có cách xếp nam nữ vào ghế dài đánh số từ đến cho nam ngồi vị trí đánh số 1, 2, A 17280 B 4320 C 2880 D 60480 ⎧⎪a < b < c Câu 60 Hỏi có tất số tự nhiên gồm chữ số dạng abcdef với ⎪⎨ với ⎪⎪⎩d > e > f a,b,c,d,e, f chữ số từ đến ? A 14400 B 10800 C 7056 D 1680 ĐÁP ÁN 1B 2D 3B 4A 5C 6C 7B 8D 9B 10B 11A 12D 13A 14B 15D 16C 17B 18C 19D 20A 21A 22B 23B 24C 25C 26A 27C 28A 29D 30B 31B 32A 33A 34B 35D 36A 37B 38A 39C 40C 41A 42B 43D 44C 45D 46C(3) 58C(4) 59A(2) 60B(3) 12 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 13 Câu Số chỉnh hợp chập n phần tử An2 = n! = n(n−1) Chọn đáp án B (n− 2)! n(n−1)(n− 2) n(n−1) =6 ⇔ n = 20(n ≥ 3) Chọn đáp án D n(n−1)(n− 2) Câu 13 Một tam giác tạo thành từ điểm phân biệt, có Cn3 = tam giác Chọn đáp án A n(n−1) Câu 14 Một trận đấu cách ghép cặp đội, có tất n đội nên số trận Cn2 = Chọn đáp án B Câu 15 *Mỗi trận bóng đá gồm đội lấy từ n đội tổ hợp chập n phần tử, có n(n−1) trận đấu Cn2 = n(n−1) *Do đội đá với hai trận (lượt lượt về) nên số trận đấu = n(n−1) Chọn đáp án D Câu 12 Theo giả thiết có: Cn3 = 6Cn2 ⇔ Câu 16 Tổng số bắt tay 2n người C2n = n(2n−1), có n bắt tay cặp vợ chồng Nên có tất n(2n−1)− n = 2n(n−1) bắt tay Chọn đáp án C n(n−1) Câu 17 Số đường thẳng nối tất n đỉnh (H) Cn2 = n(n−1) n(n−3) Trong có n đường thẳng cạnh (H), nên số đường chéo (H) −n= 2 Chọn đáp án B Câu 18 Đáp án C Câu 19 Với cạnh (H) có tất (n -4) đỉnh với cạnh tạo thành tam giác, có tất n cạnh có n(n-4) tam giác thoả mãn Chọn đáp án D Câu 20 *Đa giác (H) có tất n cặp cạnh liền kề *Với cặp cạnh liền kề tạo thành tam giác thoả mãn Vậy có tất n tam giác thoả mãn Chọn đáp án A Câu 21 Số tam giác có đỉnh đỉnh (H) Cn3 *Số tam giác có đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh (H) n(n− 4) *Số tam giác có đỉnh đỉnh (H) có hai cạnh cạnh (H) n *Vậy số tam giác có đỉnh đỉnh (H) khơng có cạnh cạnh (H) n(n2 −9n + 20) Cn3 − n(n− 4)− n = Chọn đáp án A Câu 22 (H) đa giác nội tiếp đường tròn, đường tròn có tất n đường kính Một n(n−1) hình chữ nhật tạo thành từ hai đường kính, có tất Cn2 = hình chữ nhật Chọn đáp án B mn(m+ n− 2) Câu 23 Số tam giác tạo thành n.Cm2 + m.Cn2 = Chọn đáp án B BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 13 14 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 24 *Số tam giác tạo thành từ 2016 điểm cho C = mn(m+ n− 2) ⎛ m+ n ⎞⎟2 ⎟ = 1007.10082 *Với m+ n = 2016 ta có C = 1007mn ≤1007 ⎜⎜ ⎜⎝ ⎟⎟⎠ Chọn đáp án C Câu 25 Số cạnh n; số đường chéo Cn2 − n = n(n−1) − n n(n−1) − n ⇔ n = 5(n > 0) Chọn đáp án C n(n−1) Câu 26 Số đường chéo Cn2 − n = 27 ⇔ − n = 27 ⇔ n = 9(n > 0) Chọn đáp án A Câu 27 *Mỗi giao điểm đoạn thẳng nằm góc phần tư thứ góc xOy tương ưng với tứ giác tạo thành từ điểm cho *Một tứ giác tạo thành từ điểm cho xác định điểm tia Ox điểm tia Oy, số Vậy ta có phương trình n = giao điểm C82 C52 = 280(C) Câu 28 Trải qua bước: Bước 1: Chọn tem thư có C53 cách Bước 2: Chọn bì thư có C63 cách Bước 3: Dán tem thư lên bì thư có 3! cách Theo quy tắc nhân có tất C53.C63.3!= 1200( A) n(n−1) đoạn thẳng nối n điểm thuộc P ! n(n−1) Với đoạn thẳng có véc tơ khác véc tơ , có tất = n(n−1) véc tơ có điểm đầu điểm cuối thuộc P Chọn đáp án D Câu 30 Chọn chữ số từ 10 chữ số xếp lại theo thứ tự tăng dần ta có dãy kí tự thoả mãn Vậy có tất C106 = 210 Chọn đáp án B Câu 31 Chọn đội xếp vào bảng A có C124 cách Câu 29 Có tất Cn2 = Chọn đội đội lại xếp vào bảng B có C84 cách Bốn đội lại xếp vào bảng C có cách Vậy tất có C124 C84 = 34650 cách Chọn đáp án B Câu 32 Chọn nam nữ phân cơng tỉnh thứ có C124 C31 cách Chọn nam nữ 10 sinh viên lại tỉnh thứ hai có C84 C21 cách Còn lại sinh viên (4 nam nữ) phân cơng tỉnh thứ ba có cách Vậy tất có C124 C31.C84 C21 1= 207.900 cách Chọn đáp án A Câu 33 Số cách chọn em nhóm C125 = 792 cách Số cách chọn em toàn nam C75 = 21 C55 = cách chọn em toàn nữ Vậy số cách chọn thoả mãn 792− 21−1= 770 14 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 15 Chọn đáp án A Câu 34 Số mật có 366 , có 266 mật khơng thoả mãn Vậy có 366 − 266 mật thoả mãn Chọn đáp án D Câu 35 Gọi tập hợp học sinh khối 11 tham gia câu lạc Tin học câu lạc Ngoại ngữ A B Theo giả thiết ta có A = 160, B = 140, A ∩ B = 50 Số học sinh tham gia câu lạc (hoặc Tin học Ngoại ngữ) A ∪ B = A + B − A ∩ B = 160 +140−50 = 250 Số học sinh khối 11 trường tổng số học sinh tham gia câu lạc số học sinh không tham gia câu lạc có 250 +100 = 350 học sinh Chọn đáp án B 10 Câu 36 Ta có 3a < a + b+ c = 10 ⇒ a < ⇒ a ∈ {0,1,2,3} +) Nếu a = ⇒ b+ c = 10− a = 10 ⇒ (a,b,c) = (0,1,9),(0,2,8),(0,3,7),(0,4,6) +) Nếu a = 1⇒ b+ c = 10− a = ⇒ (a,b,c) = (1,2,7),(1,3,6),(1,4,5) trường hợp có tất số +) Nếu a = ⇒ b+ c = 10− a = ⇒ (a,b,c) = (2,3,5) trường hợp có số +) Nếu a = ⇒ b+ c = trường hợp khơng có số Vậy có tất + + = cách đặt mật có bảng điều khiển Chọn đáp án A Câu 38 Đáp án A Số tập A chứa 1, 2, phần tử Cn1 ,Cn2 ,Cn3 ⎡n = n(n−1)(n− 2) ⎢⎢ ⇔ ⎢n = *Theo giả thiết ta có 2C = C + C ⇔ n(n−1) = n + ⎢n = ⎢⎣ *Đối chiếu điều kiện nhận n = Chọn đáp án A Câu 39 Đáp án C n n n *Số tam giác nhận điểm A làm đỉnh 1.Cn−1 *Số tam giác nhận điểm B đỉnh 1.Cn−1 *Số tam giác nhận A B đỉnh 1.Cn−2 *Vậy số n−1 n−2 2C −C tam giác nhận A nhận B đỉnh = (n−1)(n− 2)−(n− 2) = (n− 2) Chọn đáp án C Câu 40 Mỗi giao điểm ứng với đỉnh đa giác lồi ngược lại với đỉnh đa giác lồi xác định giao điểm (đó giao điểm đường chéo tứ giác xác định đỉnh đó) n(n−1)(n− 2)(n−3) Vì số giao điểm tất đường chéo Cn4 = Chọn đáp án C 24 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 15 16 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 41 Gọi a1q ≤ 500 ⇒ q ≤ a1;a1q;a1q ;a1q (a1;q ∈ N;q ≥ 2) số cần chọn , ta có ⎡ 500 ⎤ 500 ≤ 500 Cho nên ≤ q ≤ 7;1≤ a1 ≤ ⎢ ⎥ ⎢ q ⎥ a1 ⎣ ⎦ *Với q cách chọn a1 ta có cách chọn bốn số x1 , x2 , x3 , x4 thoả mãn ⎡ 500 ⎤ Theo qui tắc cộng , số cấp số nhân thỏa điều kiện ∑ ⎢ ⎥ = 62 +18+ + + +1= 94 Chọn đáp ⎢ ⎥ q=2 ⎣ q ⎦ án A Câu 42 *Theo giả thiết a ≤ 2015 *Với a = k ∈ {1,2, ,2015} số cách chọn b 2016-k c 2016-k , Thế theo quy tắc nhân số số (a;b;c) cần tìm (2016− k)2 *Vì k lấy giá trị 1,2,….,2015 nên theo quy tắc cộng ta có số số thoả mãn 20152 + 20142 + + 22 +12 = 2.729.148.240 n(n +1)(2n +1) *Chú ý n2 + (n−1)2 + +12 = 2015 Hoặc nhấn máy tính ∑X = 2729148240 Chọn đáp án B X =1 Câu 43 Mỗi mặt phẳng gồm điểm S hai bốn điểm A, B,C, D Vậy chọn hai bốn điểm ta mặt phẳng thoả mãn Vậy có C42 = mặt phẳng *Chú ý Có thể liệt kê mặt phẳng (SAB),(SBC),(SCD),(SDA),(SAC),(SBD) Chọn đáp án D A53 (1+ + 3+ 5+ x) 102 +10 +1 = 25308 ⇔ x = Chọn đáp án C Câu 45 Trước tiên lấy sách bút có C53.C63 cách; tặng đồ cho học Câu 44 Ta có S = ( ) sinh, học sinh nhận có 6! cách Vậy có tất (C53 )(C63 )(6!) = 144000 cách Chọn đáp án D Câu 46 Số cần tìm có dạng abcd; +) Mỗi cách chọn chữ số từ tập {1,2, ,9} ta có tương ứng số tự nhiên có chữ số mà chữ số tăng dần kể từ trái qua phải; số số mà chữ số tăng dần C94 +) Mỗi cách chọn chữ số từ tập {0,1,2, ,9} ta có tương ứng với số tự nhiên có chữ số mà chữ số giảm dần kể từ trái qua phải; số số mà chữ số giảm dần C104 Theo quy tắc cộng ta có tất C94 + C104 = 336 Chọn đáp án C Câu 58 *Gọi x1 ,qx1 ,q x1 ,q x1 ,q x1 (x1 ,q ∈ !,q ≥ 2) số cần chọn *Theo giả thiết ta có q x1 ≤ 2016 ⇒ ≤ q ≤ *Ta có 1≤ x1 ≤ 16 2016 ≤ 2016 ⇒ q ∈ {2,3,4,5,6} x1 ⎡ 2016 ⎤ 2016 ⇒ 1≤ x1 ≤ ⎢ ⎥ ⎢ q ⎥ q ⎣ ⎦ BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 17 ⎡ 2016 ⎤ Vỡi q ∈ {2,3,4,5,6} , x1 có ⎢ ⎥ cách chọn ; x2, x3, x4, x5 số có cách chọn ⎢ q ⎥ ⎣ ⎦ Theo quy tắc cộng quy tắc nhân, số cách chọn cần tìm ⎡ ⎤ ⎢ 2016 ⎥ = 126 + 24 + + 3+1= 161 Chọn đáp án C ∑ ⎢ ⎥ q=2 ⎣ q ⎦ Câu 59 Có A43.6!= 17280 cách Chọn đáp án A Câu 60 abc có C93 cách, def có C103 cách Vậy tất có C93.C103 = 10.080 số Chọn đáp án B BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO Y CHO TEEN 2K2 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 17 ... Vậy có C31 10.C95 = 3780 cách lập tổ cơng tác Bài Một nhóm học sinh gồm nam nữ có tổ tưởng nam tổ phó nữ Hỏi có cách chọn học sinh nam học sinh nữ có tổ trưởng có tổ phó khơng có hai người? Giải. .. làm tổ phó cơng nhân làm tổ viên Hỏi có cách thành lập tổ cơng tác Giải *Có C31 cách chọn kỹ sư tổ trưởng Có 10 cách chọn cơng nhân 10 cơng nhân làm tổ phó; có C95 cách chọn cơng nhân làm tổ viên... Cho tập hợp A = {1,2,3,4} Mệnh đề ? A Bộ số (1,2,4) chỉnh hợp chập C Chỉnh hợp (1,2,4) giống với chỉnh hợp (2,4,1) D x = D (x; y) = (5;3) D n = 2021 D n = 2021 B Bộ số (1,2,3) chỉnh hợp chập