Phép tịnh tiến - Chuyên đề Hình học 11 - Tài liệu học tập - Hoc360.net

Cho tam giác ABC.[r]

(1)

PHÉP T

Ị

NH TI

Ế

N

A CHU

Ẩ

N KI

Ế

N TH

Ứ

C

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Định nghĩa.

Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' cho MM'=v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v

Phép tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu T v Vậy T Mv

( )

Nhận xét: T M0

( )

2 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x; y

( )

Gọi

(

)

( )

 

v

x' x a x' x a

M' x'; y' T M MM' v *

y' y b y' y b Hệ

( )

3 Tính chất phép tịnh tiến

• Bảo tồn khoảng cách hai điểm

• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với

đường thẳng cho

• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

• Biến tam giác thành tam giác tam giác cho

• Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính

v

(2)

B LUY

ỆN KĨ NĂNG GIẢ

I CÁC D

Ạ

NG BÀI T

Ậ

P

Bài tốn 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến

Các ví d

ụ

Ví dụ Cho tam giác ABC , dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến

theo vec tơ BC

Lời giải

Ta có TBC

( )

Để tìm ảnh điểm A ta dựng hình bình hành ABCD Do AD=BC nên TBC

( )

= CE BC

Suy TBC

( )

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v= −

(

)

điểm A 1; ,B 4; qua phép t

(

) ( )

Lời giải

Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến  = + = + 

x' x a y' y b

Gọi

(

)

( )

(

)

 

v

x' ( 2) x'

A' x'; y' T A A' 1;

y' y'

Tương tự ta có ảnh B điểm B' 2;

( )

B

A D

(3)

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v=

(

)

phương trình 2x 3y Vi− + = ết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép tịnh tiếnT v

Lời giải

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Lấy điểm M x; y tùy ý thu

( )

Gọi

(

)

( )

 

v

x' x x x' M' x'; y' T M

y' y y y'

Thay vào (*) ta phương trình

(

) (

)

Cách 2

.

Do d' T d nên d' song song ho= v

( )

Lấy điểm M 1;1

(

)

( ) (

) (

)

( )

Vậy ảnh d đường thẳng d' : 2x 3y − − =

(4)

Cụ thể: Lấy M 1;1 ,N 2; thu

(

) ( )

(

) ( )

M' 0; ,N' 3;0 Do d' qua hai điểm M',N' nên có phương trình

+

− =y 2 − − = x

2x 3y

3

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn

( )

+ + − − =

2

x y 2x 4y Tìm ảnh

( )

(

)

= −

v 2;

Lời giải

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ

Lấy điểm M x; y tùy ý thu

( )

+ + − − =

2

x y 2x 4y *

Gọi

(

)

( )

 

v

x' x x x' M' x'; y' T M

y' y y y'

Thay vào phương trình (*) ta

(

) (

)

(

) (

)

 + − + − =

2

x' y' x' y'

x' y' 2x' 2y'

Vậy ảnh

( )

C' : x y 2x 2y Cách 2. Sử dụng tính chất phép tịnh tiến

Dễ thấy

( )

(

)

( )

(

)

I' x'; y' ;r' tâm bán kính (C')

Ta có  = − + = = − = − 

(

)

x'

I' 1;

(5)

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến tức tìm tọa độ v Để tìm tọa độ v ta giả sử v=

( )

Các ví d

ụ

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường thẳng d : 3x y + − = Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ v có giá song song với Oy biến d thành d'

đi qua điểm A 1;1

( )

Lời giải

v có giá song song với Oy nên v=

( )(

)

Lấy M x; y

( )

(

)

( )

v

x' x M' x'; y' T M

y' y k thay vào

( )

Hay T dv

( )

(

)

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng

− + =

d : 2x 3y d' : 2x 3y 0− − = Tìm tọa độ v có phương vng góc

với d để T dv

( )

Lời giải

(6)

Gọi sử M' x'; y'

(

)

( )

 

x' x a x x' a

y' y b y y' b, thay vào (*) ta

được phương trình 2x' 3y' 2a 3b − − + + = Từ giả thiết suy − +2a 3b 3+ = − 5 2a 3b− = −8

Vec tơ pháp tuyến đường thẳng d n=

(

)

( )

Ta có hệphương trình

 = −   − = − 

 + = 

  =



16 a

2a 3b 13

3a 2b 24

b 13

Vậy = − 

 

16 24

v ;

13 13

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN DỰNG HÌNH

Phương pháp:

Để dựng điểm M ta tìm cách xem ảnh điểm biết qua phép tịnh tiến, xem M giao điểm hai đường

đường cốđịnh cịn đường ảnh đường biết qua phép tịnh tiến

Lưu ý:Ta thường dùng kết quả: Nếu T Nv

( )

trong

( )

( ) ( )

(7)

Ví dụ Cho đường trịn tâm O , bán kính R hai điểm phân biệt C, D nằm

( )

ABCD hình bình hành

Lời giải

Phân tích: Giả sửđã dựng dây cung AB thỏa mãn yêu cầu tốn Do ABCD hình bình hành nên AB=DC

( )

 =

CD

T A B

Nhưng A

( )

Cách dựng:

- Dựng đường tròn

( )

- Dựng đường thẳng qua B song song với CD cắt

( )

Chứng minh: Từ cách dựng ta có TDC

( )

Biện luận:

- Nếu CD 2R tốn vơ nghiệm - Nếu CD 2R có m= ột nghiệm - Nếu CD 2R có hai nghi ệm

Ví dụ Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d song song với BC , cắt hai cạnh AB,AC M,N cho AM=CN

Lời giải

0'

C

A B

(8)

Phân tích: Giả sửđã dựng đường thẳng d thỏa mãn toán Từ M dựng

đường thẳng song song với AC cắt BC P, MNCP hình bình hành nên

=

CN PM Lại có AM=CN suy =

MP MA, từđó ta có AP phân giác góc A

Cách dựng:

- Dựng phân giác AP góc A

- Dựng đường thẳng qua P song song với AC cắt AB M - Dựng ảnh N T= PM

( )

Đường thẳng MN đường thẳng thỏa yêu cầu toán

Chứng minh:Từ cách dựng ta có MNCP hình bình hành suy MN BC CN PM= , ta có MAP= CAP APM= ΔMAP cân M AM=MP Vậy AM=CN

Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình

Ví dụ Cho hai đường trịn

( )

=

MN 2l cho trước

Lời giải

Giả sửđã dựng đường thẳng d qua A cắt đường tròn

( ) ( )

các điểm M,N cho MN=2l Kẻ O H1 ⊥MN O I2 ⊥MN Xét

( )

1

HO

1

T I I' O I' HI MN l

2

P M

A

C B

N

I' I H

B A

O1

O2

(9)

Do tam giác I'O O vuông t1 2 ại I' nên = 2− 2 O I' O O l

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

Phương pháp:

Nếu T Mv

( )

Các ví d

ụ

Ví dụ Cho hai điểm phân biệt B,C cốđịnh đường tròn

( )

Điểm A di động

( )

Lời giải

Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm BC Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Vì =

BCD 90 , nên DC AH

Tương tự AD CH, ADCH hình bình hành.Suy

= =

AH DC 2OM không đổi

( )

 =

2OM

T A H , A di động dường tròn

( )

trên đường trịn

( )

Ví dụ Cho tam giác ABC có đỉnh A cốđịnh, BAC=α khơng đổi =

BC v khơng đổi Tìm tập hợp điểm B,C

Lời giải

Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, theo định lí sin ta có BC =2R

(10)

( BC=v không đổi) Vậy OA R= = BC

2sinα, nên O di động đường trịn tâm A bán kính = BC

AO

2sinα Ta có OB OC R= = khơng đổi BOC 2= α không đổi suy −

= =1800 2α OBC OCB

2 không đổi Mặt khác BC có phương khơng đổi nên OB,OC có phương không đổi

Đặt OB v ,OC v = 1 = 2 khơng đổi ,

( )

1

v v

T O B,T O C

Vậy tập hợp điểm B đường tròn  

 

BC A ;

2 sinα ảnh

 

 

 

BC A,

2 sinα qua

1

v

T , tập hợp điểm C đường tròn  

 

BC A ;

2 sinα ảnh

 

 

 

BC A,

2 sinα qua

2

v

T

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai đường thẳng d : 2x 3y , + − =

+ − =

1

d : 2x 3y vec tơ v=

(

)

a) Viết phương trình đường thẳng d' ảnh đường thẳng d qua T v

b) Tìm vec tơ u có giá vng góc với đường thẳng d để d 1 ảnh d qua T u

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng d : 3x 5y − + =

− + =

(11)

3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường tròn

( ) (

) (

)

(

)

= −

v 3; Tìm ảnh

( )

4 Cho đường trịn

( )

thay đổi Các đường thẳng AM,AN cắt tiếp tuyến B P Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ NPQ

5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn

(

)

(

)

6 Cho tam giác ABC cốđịnh có trực tâm H Vẽ hình thoi BCDE Từ D E vẽcác đường vuông góc với AB AC, đường thẳng cắt M Tìm tập hợp điểm M

7.Cho hai đường thẳng d ,d c1 A,B hai điểm không thuộc hai

đường thẳng cho AB khơng song song trùng với d ( hay 1 d ) 2 Tìm d 1 điểm M d 2 điểm N cho AMBN hình bình hành

8.Cho hai đường tròn

(

)

(

)

đường thẳng d vng góc với AB cắt

( )

a) Chứng minh CAE khơng phụ thuộc vào vị trí d