Cho tam giác ABC.[r]
(1)PHÉP TỊNH TIẾN
A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA
1 Định nghĩa.
Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' cho MM'=v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v
Phép tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu T v Vậy T Mv( )=M'MM' v=
Nhận xét: T M0( )=M
2 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x; y ( ) v=( )a; b
Gọi ( )= ( ) = − =− = = + = + ( )
v
x' x a x' x a
M' x'; y' T M MM' v *
y' y b y' y b Hệ ( )* gọi biểu thức tọa độ T v
3 Tính chất phép tịnh tiến
• Bảo tồn khoảng cách hai điểm
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với
đường thẳng cho
• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
• Biến tam giác thành tam giác tam giác cho
• Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
v
(2)B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài tốn 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến
Các ví dụ
Ví dụ Cho tam giác ABC , dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến
theo vec tơ BC
Lời giải
Ta có TBC( )B =C
Để tìm ảnh điểm A ta dựng hình bình hành ABCD Do AD=BC nên TBC( )A =D , gọi E điểm đối xứng với B qua C,
= CE BC
Suy TBC( )C =E Vậy ảnh tam giác ABC tam giác DCE
Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v= −( 2; Hãy tìm ) ảnh
điểm A 1; ,B 4; qua phép t( − ) ( ) ịnh tiến theo vectơ v
Lời giải
Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến = + = +
x' x a y' y b
Gọi ( )= ( ) = + −= − + = −= (− )
v
x' ( 2) x'
A' x'; y' T A A' 1;
y' y'
Tương tự ta có ảnh B điểm B' 2; ( ) B
A D
(3)Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v=(1; 3− )và đường thẳng d có
phương trình 2x 3y Vi− + = ết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép tịnh tiếnT v
Lời giải
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Lấy điểm M x; y tùy ý thu( ) ộc d , ta có 2x 3y * − + = ( )
Gọi ( )= ( ) = + = − = − = +
v
x' x x x' M' x'; y' T M
y' y y y'
Thay vào (*) ta phương trình
( − −) ( + )+ = − − = x' y' 2x' 3y' Vậy ảnh d đường thẳng d' : 2x 3y 0− − = Cách 2. Sử dụng tính chất phép tịnh tiến
Do d' T d nên d' song song ho= v( ) ặc trùng với d , phương trình đường thẳng d' có dạng 2x 3y c 0− + = (**)
Lấy điểm M 1;1(− )d Khi M' T M= v( ) (= − +1 1;1 3− ) (= 0; − ) Do M' d' 2.0 2− ( )− + = = −c c
Vậy ảnh d đường thẳng d' : 2x 3y − − =
(4)Cụ thể: Lấy M 1;1 ,N 2; thu(− ) ( ) ộc d, tọa độ ảnh tương ứng
( − ) ( )
M' 0; ,N' 3;0 Do d' qua hai điểm M',N' nên có phương trình
+
− =y 2 − − = x
2x 3y
3
Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn ( )C có phương trình
+ + − − =
2
x y 2x 4y Tìm ảnh ( )C qua phép tịnh tiến theo vectơ
( )
= −
v 2;
Lời giải
Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ
Lấy điểm M x; y tùy ý thu( ) ộc đường trịn ( )C , ta có ( )
+ + − − =
2
x y 2x 4y *
Gọi ( )= ( ) = + = − = − = +
v
x' x x x' M' x'; y' T M
y' y y y'
Thay vào phương trình (*) ta
( − ) (+ + ) + ( − ) (− + )− =
+ − + − =
2
2
x' y' x' y'
x' y' 2x' 2y'
Vậy ảnh ( )C đường tròn( ) 2+ 2− + − =
C' : x y 2x 2y Cách 2. Sử dụng tính chất phép tịnh tiến
Dễ thấy ( )C có tâm I(−1; bán kính ) r=3 Gọi ( )C' =Tv( )( )C
( )
I' x'; y' ;r' tâm bán kính (C')
Ta có = − + = = − = − ( − )
x'
I' 1;
(5)Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH
Phương pháp:
Xác định phép tịnh tiến tức tìm tọa độ v Để tìm tọa độ v ta giả sử v=( )a; b , sử dụng kiện giả thiết toán để thiết lập hệphương trình hai ẩn a, b giải hệ tìm a, b
Các ví dụ
Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường thẳng d : 3x y + − = Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ v có giá song song với Oy biến d thành d'
đi qua điểm A 1;1 ( )
Lời giải
v có giá song song với Oy nên v=( )(0; k k )
Lấy M x; y( ) d 3x y * G+ − = ( ) ọi ( )= ( ) == +
v
x' x M' x'; y' T M
y' y k thay vào ( )* 3x' y' k + − − =
Hay T dv( )=d' : 3x y k , mà d + − − = qua A 1;1( ) = −k Vậy v=(0; − )
Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng
− + =
d : 2x 3y d' : 2x 3y 0− − = Tìm tọa độ v có phương vng góc
với d để T dv( )=d'
Lời giải
(6)Gọi sử M' x'; y'( )=T M Ta có v( ) = + = + = − = −
x' x a x x' a
y' y b y y' b, thay vào (*) ta
được phương trình 2x' 3y' 2a 3b − − + + = Từ giả thiết suy − +2a 3b 3+ = − 5 2a 3b− = −8
Vec tơ pháp tuyến đường thẳng d n=(2; suy VTCP − ) u=( )3; Do v⊥ u v.u=3a 2b+ =0
Ta có hệphương trình
= − − = −
+ =
=
16 a
2a 3b 13
3a 2b 24
b 13
Vậy = −
16 24
v ;
13 13
Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN DỰNG HÌNH
Phương pháp:
Để dựng điểm M ta tìm cách xem ảnh điểm biết qua phép tịnh tiến, xem M giao điểm hai đường
đường cốđịnh cịn đường ảnh đường biết qua phép tịnh tiến
Lưu ý:Ta thường dùng kết quả: Nếu T Nv( )=M N( )H M( )H'
trong ( )H' =Tv( )( )H kết hợp với M thuộc hình ( )K (trong giả thiết) suy M( ) ( )H' K
(7)Ví dụ Cho đường trịn tâm O , bán kính R hai điểm phân biệt C, D nằm ( )O Hãy dựng dây cung AB đường trịn ( )O cho
ABCD hình bình hành
Lời giải
Phân tích: Giả sửđã dựng dây cung AB thỏa mãn yêu cầu tốn Do ABCD hình bình hành nên AB=DC
( )
=
CD
T A B
Nhưng A( )O B ( )O' =TDC( )( )O Vậy B vừa thuộc ( )O ( )O' nên B giao điểm
( )O ( )O' Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( )O' ảnh đường tròn ( )O qua TDC - Dựng giao điểm B ( )O ( )O'
- Dựng đường thẳng qua B song song với CD cắt ( )O A Dây cung AB dây cung thỏa yêu cầu toán
Chứng minh: Từ cách dựng ta có TDC( )A = B AB DC= ABCD hình bình hành
Biện luận:
- Nếu CD 2R tốn vơ nghiệm - Nếu CD 2R có m= ột nghiệm - Nếu CD 2R có hai nghi ệm
Ví dụ Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d song song với BC , cắt hai cạnh AB,AC M,N cho AM=CN
Lời giải
0'
C
A B
(8)Phân tích: Giả sửđã dựng đường thẳng d thỏa mãn toán Từ M dựng
đường thẳng song song với AC cắt BC P, MNCP hình bình hành nên
=
CN PM Lại có AM=CN suy =
MP MA, từđó ta có AP phân giác góc A
Cách dựng:
- Dựng phân giác AP góc A
- Dựng đường thẳng qua P song song với AC cắt AB M - Dựng ảnh N T= PM( )C
Đường thẳng MN đường thẳng thỏa yêu cầu toán
Chứng minh:Từ cách dựng ta có MNCP hình bình hành suy MN BC CN PM= , ta có MAP= CAP APM= ΔMAP cân M AM=MP Vậy AM=CN
Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình
Ví dụ Cho hai đường trịn ( )O 1 ( )O c2 A,B Dựng đường thẳng d qua A cắt đường tròn điểm thứ hai M,N cho
=
MN 2l cho trước
Lời giải
Giả sửđã dựng đường thẳng d qua A cắt đường tròn ( ) ( )O , O1 2 tương ứng
các điểm M,N cho MN=2l Kẻ O H1 ⊥MN O I2 ⊥MN Xét ( )= = = =
1
HO
1
T I I' O I' HI MN l
2
P M
A
C B
N
I' I H
B A
O1
O2
(9)Do tam giác I'O O vuông t1 2 ại I' nên = 2− 2 O I' O O l
Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Phương pháp:
Nếu T Mv( )=M' đểm M di động hình ( )H điểm M ' thuộc hình ( )H' , đó( )H' ảnh hình ( )H qua T v
Các ví dụ
Ví dụ Cho hai điểm phân biệt B,C cốđịnh đường tròn ( )O tâm O
Điểm A di động ( )O Chứng minh A di động ( )O trực tâm tam giác ABC di động đường tròn
Lời giải
Gọi H trực tâm tam giác ABC M trung điểm BC Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Vì =
BCD 90 , nên DC AH
Tương tự AD CH, ADCH hình bình hành.Suy
= =
AH DC 2OM không đổi ( )
=
2OM
T A H , A di động dường tròn ( )O H di động
trên đường trịn( )O' =T2OM( )( )O
Ví dụ Cho tam giác ABC có đỉnh A cốđịnh, BAC=α khơng đổi =
BC v khơng đổi Tìm tập hợp điểm B,C
Lời giải
Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, theo định lí sin ta có BC =2R
(10)( BC=v không đổi) Vậy OA R= = BC
2sinα, nên O di động đường trịn tâm A bán kính = BC
AO
2sinα Ta có OB OC R= = khơng đổi BOC 2= α không đổi suy −
= =1800 2α OBC OCB
2 không đổi Mặt khác BC có phương khơng đổi nên OB,OC có phương không đổi
Đặt OB v ,OC v = 1 = 2 khơng đổi , ( )= ( )=
1
v v
T O B,T O C
Vậy tập hợp điểm B đường tròn
BC A ;
2 sinα ảnh
BC A,
2 sinα qua
1
v
T , tập hợp điểm C đường tròn
BC A ;
2 sinα ảnh
BC A,
2 sinα qua
2
v
T
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai đường thẳng d : 2x 3y , + − =
+ − =
1
d : 2x 3y vec tơ v=(2; − )
a) Viết phương trình đường thẳng d' ảnh đường thẳng d qua T v
b) Tìm vec tơ u có giá vng góc với đường thẳng d để d 1 ảnh d qua T u
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng d : 3x 5y − + =
− + =
(11)3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường tròn ( ) (C : x 1+ ) (2+ y 2− )2=9
( )
= −
v 3; Tìm ảnh ( )C qua T v
4 Cho đường trịn ( )O với đường kính AB cốđịnh, đường kính MN
thay đổi Các đường thẳng AM,AN cắt tiếp tuyến B P Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ NPQ
5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O;R), AD R D= ựng hình bình hành DABM DACN Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm (O;R)
6 Cho tam giác ABC cốđịnh có trực tâm H Vẽ hình thoi BCDE Từ D E vẽcác đường vuông góc với AB AC, đường thẳng cắt M Tìm tập hợp điểm M
7.Cho hai đường thẳng d ,d c1 A,B hai điểm không thuộc hai
đường thẳng cho AB khơng song song trùng với d ( hay 1 d ) 2 Tìm d 1 điểm M d 2 điểm N cho AMBN hình bình hành
8.Cho hai đường tròn (O ;R 1 ) (O ;R c2 ) A,B Một
đường thẳng d vng góc với AB cắt ( )O t1 ại C, D cắt ( )O t2 ại E,F cho CD EF hướng
a) Chứng minh CAE khơng phụ thuộc vào vị trí d
oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/