Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM... Cho tam giác đề u ABC..[r]
(1)PHÉP QUAY
A CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA
1 Định nghĩa:
Cho điểm O góc lượng giác α Phép biến hình biến O thành biến điểm M khác O thành điểm
M ' cho OM' OM= góc lượng giác (OM;OM')=α
được gọi phép quay tâm O , α gọi góc quay Phép quay tâm O góc quay α kí hiệu Q(O;α) Nhận xét
• Khi α=(2k π,k+ ) Q(O;α) phép đối xứng tâm O
• Khi
( )
=
− n! α 2kπ,k
r! n r ! Q(O;α) phép đồng
2 Biểu thức tọa độ phép quay:
Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M x; y ( ) M' x'; y'( )=Q(O,α)( )M
= −
= +
x' x cosα y sin α y' x sinα y cos α
Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M x; y , ( ) I a; b ( ) M' x'; y'( )=Q( )I ,α ( )M
( ) ( )
( ) ( )
= + − − −
= + − + −
x' a x a cosα y b sin α y' b x a sinα y b cosα 3 Tính chất phép quay:
α O
(2)• Bảo tồn khoảng cách hai điểm • Biến đường thẳng thành đường thẳng
• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho • Biến tam giác thành tam giác tam giác cho • Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Lưu ý:
Giả sử phép quay tâm I góc quay α biến đường thẳng d thành đường thẳng d',
Nếu 0 α π
2 góc hai đường thẳng d d' α
Nếu π α π
2 góc hai đường thẳng d d' π α−
B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tốn 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP QUAY Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa , biểu thức tọa độ tính chất phép quay
Các ví dụ
Ví dụ Cho M 3; Tìm ( ) ảnh điểm M qua phép quay tâm O góc quay
0
30 Lời giải
d' d
α α
I
(3)Gọi M' x'; y'( )=Q(O;300).Ápdụng biểu thức tọa độ
= −
= +
x' x cosα y sin α y' x sinα y cos α ta có = − = − = + = + 0 0 3 x' 3cos 30 sin 30
2 y' 3sin 30 cos 30
2
− +
3 3
M' 2;
2
Ví dụ Cho I 2;1( ) đường thẳng d : 2x 3y 0+ + = Tìm ảnh d qua
( )I;450
Q
Lời giải
Lấy hai điểm M 2;0 ; N 1; 2(− ) ( − ) thuộc d
Gọi M' x ; y ,N' x ; y( 1 1) ( 2 2) ảnh M,N qua Q( )I;450
Ta có ( ) ( )
( ) ( ) = − = + − − − − = + − − + − = − 0 1 0 1 x x 2 cos 45 sin 45 2 y 2 sin 45 cos 45
y
− −
3 M' ;1
2
Tương tự ( ) ( ) ( ) ( ) = + − − − − = + = + − + − − = − 0 2 0 2
x 2 cos 45 sin 45 x 2 y 1 sin 45 cos 45 y 2
( )
N' 2+ 2;1 2 −
Ta có = = ( )
5 2
M' N' ; 5;1
(4)Gọi d' Q= ( )I;450 ( )d d' có VTCP u M' N'= =( )5;1 VTPT n= −( 1; 5)
Phương trình:
( ) ( )
− − − + − + = − + − + =
d' : x 2 y 2 x 5y 10
Ví dụ Cho hình vuông ABCD tâm O , M trung điểm AB , N trung điểm OA Tìm ảnh tam giác AMN qua phép quay tâm O góc quay
90 Lời giải
Phép quay Q(O;900) biến A thành D , biến M
thành M 'là trung điểm AD , biến N thành N' trung điểm OD Do biến tam giác AMN thành tam giác DM' N'
N' M'
N
M
O
D A
(5)Bài toán 02: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Phương pháp:
Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q( )I;α
Các ví dụ
Ví dụ Cho điểm A hai đường thẳng d ,d D1 2 ựng tam giác ABC vuông cân A cho B d ,C d 1 2
Lời giải
Phân tích:
Giả sửđã dựng tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu tốn Ta giả sử (AB,AC)=90 ,
đó Q(A; 90− 0)( )C =B , mà C d nên
2
B d ' với d ' Q2 = (A; 90− 0)( )d
Lại có B d nên 1 B d= 1d ' 2
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng d ' 2 ảnh
2
d qua Q(A; 90− 0)
- Dựng giao điểm B d= 1d ' 2
- Dựng đường thẳng qua A vng góc với AB cắt d t2 ại C Tam giác ABC tam giác cần dựng
Chứng minh:
Từ cách dựng suy Q(A;900)( )B =C nên AB AC= =
0
BAC 90 tam giác ABC vuông cân A
d1
d2
d'2
C B
(6)Biện luân:
- Nếu d ,d không vuông góc có m1 2 ột nghiệm hình
- Nếu d1⊥d A n2 ằm đường phân giác góc tạo d ,d có vơ s1 ố nghiệm hình
- Nếu d1⊥d A không n2 ằm đường phân giác góc tạo d ,d tốn vơ nghi1 2 ệm hình
Ví dụ Cho tam giác ABC có ( )= ( 0 0)
AB, AC α α 90 điểm M nằm cạnh AB Dựng đường thẳng CB,CA điểm N,P cho MN MP= đường tròn (AMP ti) ếp xúc với MN
Lời giải
Phân tích:
Giả sửđã dựng điểm N,P cho
N BC,P AC cho MN MP= đường tròn (AMP ) tiếp xúc với MN Khi MN tiếp xúc với đường trịn
(AMP nên ) PMN A= =α Từđó ta có (MP; MN)= −α lại có MP MN= nên Q(M ,−α)( )P =N
Giả sử O=Q(M ,−α)( )A I=ONAC
Theo tính chất phép quay ta có
( )
= = =
NIC ON,AP α NIC BAC IN AB
Cách dựng :
- Dựng điểm O Q= (M,−α)
- Dưng đường thẳng qua O song song với AB cắt BC N - Dựng tia MP cắt AC P cho NMP=α
Như vây điểm N,P điểm cần dựng
I
N P M
A
B C
(7)Chứng minh:
Vì ON AB nên AMO MON= =αPMN MAP= =α suy đường tròn
(AMN ti) ếp xức với MN Ta có Q(M;−α): MP→MN nên MP MN=
Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình
Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM
Phương pháp:
Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q( )I;α
Để tìm tập hợp điểm M ' ta tìm tập hợp điểm M mà Q( )I;α biến điểm M thành điểm M ', M( )H M'( )H' =Q( )I;α ( )( )H
Các ví dụ
Ví dụ Cho đường thẳng d điểm G không nằm d Với điểm A nằm d ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích điểm B,C A di động d
Lời giải
Do tam giác ABC có tâm G nên phép quay tâm G góc quay
120 biến A thành B C phép quay tâm G góc quay
240 biến A thành B C Mà A d nên B,C thuộc đường thẳng ảnh d hai phép quay nói
d
d' G d''
A
(8)Vậy quỹtích điểm B,C đường thẳng ảnh d hai phép quay tâm G góc quay
120
240
Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mằn tam giác ABC cho 2+ 2=
MA MB MC Lời giải.
Xét phép quay Q(B; 60− 0)thì A biến thành C , giả sửđiểm M biến thành M ' ,
khi MA M'C,MB MM' nên = =
+ = + =
2 2 2
MA MB MC M'C MM' MC tam giác M'MC vuông M 'suy =
BM'C 150
Lại có AM CM'= , BM=BM' AB=BC
( )
= − −
ΔAMB ΔCM' B c c c
= =
AMB CM' B 150 Vậy M thuộc cung chứa góc
150 với dây cung AB nằm tam giác ABC
Đảo lại lấy điểm M thuộc cung AB 150 = tam giác ABC , gọi M' Q= (B; 60− 0)( )M
Do Q(B; 60− 0): AMB→CM' B nên =
0
CM' B 150 Mặt khác tam giác BMM'
nên = 0 = 0− 0=
BM'M 60 CM'M 150 60 90 ΔM'MC vng
2+ 2=
M' M' B M'C MC , mà MA M'C,MB MM'= = MA2+MB2=MC2
Vậy tập hợp điểm M thỏa yêu cầu toán cung =
AB 150 tam giác ABC nhận AB làm dây cung
C
A B
M
(9)Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI TOÁN
Các ví dụ
Ví dụ Cho tam giác ABC Vẽ tam giác ABB' ACC' nằm phía ngồi tam giác ABC Gọi I, J trung điểm CB' BC' Chứng minh điểm A,I,J trùng tạo thành tam giác Lời giải
Giả sửgóc lượng giác (AB,AC)0 ( hình vẽ) Khi , xét phép quay Q(A;600) Ta có
(A;600)
Q : B' B,C C' Q(A;600): B'C BC'
mà I, J trung điểm B'C BC' nên Q(A;600)( )I =J
Vậy I, J khơng trùng A ΔAIJ Khi BAC 120 = I J A
Ví dụ Cho hai đường (O;R ) (O'; R c) hai điểm A,B cho OAO' 120= Đường thẳng d qua B cắt hai đường tròn ( )O ( )O' theo thứ tự M,M' cho M nằm ( )O' cịn M ' nằm ngồi ( )O Gọi S giao điểm tiếp tuyến với hai đường tròn
M M ' Xác định vị trí M,M' cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM' lớn
Lời giải
Giả sửgóc lượng giác (AO',AO)=120 ( hình vẽ)
J I
A
B C
C'
(10)Xét phép quay Q(A; 120− 0) Gọi B' Q= (A; 120− 0)( )B
=
BAB' 120 Dễ thấy =
OAB 60 suy
+ =
OAB BAB' 180 nên O,A,B' thẳng hàng
Ta có + =
MBA ABM' 180 ,
+ =
ABM' AB'M' 180 MBA AB'M' = Mà (O;R) (O'; R') nên
( )
=
AM AM' ; từđó ta có ΔOAM ΔO' AM'= OAM O'AM'=
+ = + =
O'AM O'AM OAM O'AM 120 hay = ( )
MAM' 120 Từ ( ) ( )1 ; suy Q(A; 120− 0)( )M =M' Do
phép quay tiếp tuyến MS biến thành tiếp tuyến M'S nên góc tù hai đường thẳng MS M'S
120 =
MSM' 60 Áp dụng định lí sin cho tam giác SMM' ta có R= MM'0 =MM'R
2 sin 60 lớn MM' lớn nhất.Gọi H,K hình chiếu O,O' MM' ta có
=
MM' 2HK 2OO' Đẳng thức xảy MM' OO'
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM' lớn M,M' giao điểm thứ hai đường thẳng d qua B song song với OO' với hai đường trịn
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
28 Tìm ảnh đường thẳng d : 5x 3y 15 0− + = qua phép quay Q(O;900)
29. Tìm ảnh đường trịn ( ) (C : x 1− ) (2+ y 2+ )2 =9 qua phép quay Q( )I;900
với I 3; ( )
K H
S
B' A
B
O
O' M
(11)30 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A 1; ,B 3; ( ) ( )
= =
cos A ,cos B
5 10
31.Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng B nằm A,C Dựng phía đường thẳng AC tam giác ABE BCF
a) Chứng minh AF EC= góc hai đường thẳng AF EC
60 b) Gọi M,N trung điểm AF EC , chứng minh tam giác
BMN 32
a) Cho tam giác ABC có tất góc nhỏhơn 1200 Tìm mặt phẳng chứa tam giác điểm M cho tổng MA MB MC+ + nhỏ
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= + 2+ − + − 2+ + + + 2+ +
T x y x y x y
33. Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ngồi tam giác dựng hình vng
ABMN,CBPQ,CDPS,DATU Gọi O i 1, theo thi( = ) ứ tự tâm hình vng Chứng minh O O1 2⊥O O O O1 2=O O
34. Cho hình vng ABCD tâm O Trên cạnh BC,CD lấy điểm M,N Gọi E,F hình chiếu B lên đường thẳng AM,AN; điểm I, J hình chiếu D lên AM,AN Chứng minh a) Xác định ảnh ΔBAF ΔBAE qua Q(O,900)
b) EF⊥IJ
(12) oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/