Phép quay - Chuyên đề Hình học 11 - Tài liệu học tập - Hoc360.net

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM... Cho tam giác đề u ABC..[r]

PHÉP QUAY

A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Định nghĩa:

Cho điểm O góc lượng giác α Phép biến hình biến O thành biến điểm M khác O thành điểm

M ' cho OM' OM= góc lượng giác (OM;OM')=α

được gọi phép quay tâm O , α gọi góc quay Phép quay tâm O góc quay α kí hiệu Q(O;α) Nhận xét

• Khi α=(2k π,k+ )  Q(O;α) phép đối xứng tâm O

• Khi

( )

= 

− n! α 2kπ,k

r! n r ! Q(O;α) phép đồng

2 Biểu thức tọa độ phép quay:

Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M x; y ( ) M' x'; y'( )=Q(O,α)( )M

 = −

 = +



x' x cosα y sin α y' x sinα y cos α

Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M x; y , ( ) I a; b ( ) M' x'; y'( )=Q( )I ,α ( )M

( ) ( )

( ) ( )

 = + − − −



 = + − + −



x' a x a cosα y b sin α y' b x a sinα y b cosα 3 Tính chất phép quay:

α O

• Bảo tồn khoảng cách hai điểm • Biến đường thẳng thành đường thẳng

• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho • Biến tam giác thành tam giác tam giác cho • Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Lưu ý:

Giả sử phép quay tâm I góc quay α biến đường thẳng d thành đường thẳng d',

Nếu 0 α π

2 góc hai đường thẳng d d' α

Nếu π α π

2 góc hai đường thẳng d d' π α−

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tốn 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP QUAY Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa , biểu thức tọa độ tính chất phép quay

Các ví dụ

Ví dụ Cho M 3; Tìm ( ) ảnh điểm M qua phép quay tâm O góc quay

0

30 Lời giải

d' d

α α

I

Gọi M' x'; y'( )=Q(O;300).Ápdụng biểu thức tọa độ

 = −

 = +



x' x cosα y sin α y' x sinα y cos α ta có  = − = −    = + = +  0 0 3 x' 3cos 30 sin 30

2 y' 3sin 30 cos 30

2

 

  − + 

 

3 3

M' 2;

2

Ví dụ Cho I 2;1( ) đường thẳng d : 2x 3y 0+ + = Tìm ảnh d qua

( )I;450

Q

Lời giải

Lấy hai điểm M 2;0 ; N 1; 2(− ) ( − ) thuộc d

Gọi M' x ; y ,N' x ; y( 1 1) ( 2 2) ảnh M,N qua Q( )I;450

Ta có ( ) ( )

( ) ( )  = −   = + − − − −     = + − − + −    = −  0 1 0 1 x x 2 cos 45 sin 45 2 y 2 sin 45 cos 45

y

 

  − − 

 

3 M' ;1

2

Tương tự ( ) ( ) ( ) ( )   = + − − − − = +     = + − + − − = −     0 2 0 2

x 2 cos 45 sin 45 x 2 y 1 sin 45 cos 45 y 2

( )

N' 2+ 2;1 2 −

Ta có = = ( )

 

5 2

M' N' ; 5;1

Gọi d' Q= ( )I;450 ( )d d' có VTCP u M' N'= =( )5;1 VTPT n= −( 1; 5)

Phương trình:

( ) ( )

− − − + − + =  − + − + =

d' : x 2 y 2 x 5y 10

Ví dụ Cho hình vuông ABCD tâm O , M trung điểm AB , N trung điểm OA Tìm ảnh tam giác AMN qua phép quay tâm O góc quay

90 Lời giải

Phép quay Q(O;900) biến A thành D , biến M

thành M 'là trung điểm AD , biến N thành N' trung điểm OD Do biến tam giác AMN thành tam giác DM' N'

N' M'

N

M

O

D A

Bài toán 02: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Phương pháp:

Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q( )I;α

Các ví dụ

Ví dụ Cho điểm A hai đường thẳng d ,d D1 2 ựng tam giác ABC vuông cân A cho B d ,C d  1  2

Lời giải

Phân tích:

Giả sửđã dựng tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu tốn Ta giả sử (AB,AC)=90 ,

đó Q(A; 90− 0)( )C =B , mà C d nên 

 2

B d ' với d ' Q2 = (A; 90− 0)( )d

Lại có B d nên  1 B d= 1d ' 2

Cách dựng:

- Dựng đường thẳng d ' 2 ảnh

2

d qua Q(A; 90− 0)

- Dựng giao điểm B d= 1d ' 2

- Dựng đường thẳng qua A vng góc với AB cắt d t2 ại C Tam giác ABC tam giác cần dựng

Chứng minh:

Từ cách dựng suy Q(A;900)( )B =C nên AB AC= =

0

BAC 90 tam giác ABC vuông cân A

d1

d2

d'2

C B

Biện luân:

- Nếu d ,d không vuông góc có m1 2 ột nghiệm hình

- Nếu d1⊥d A n2 ằm đường phân giác góc tạo d ,d có vơ s1 ố nghiệm hình

- Nếu d1⊥d A không n2 ằm đường phân giác góc tạo d ,d tốn vơ nghi1 2 ệm hình

Ví dụ Cho tam giác ABC có ( )= ( 0  0)

AB, AC α α 90 điểm M nằm cạnh AB Dựng đường thẳng CB,CA điểm N,P cho MN MP= đường tròn (AMP ti) ếp xúc với MN

Lời giải

Phân tích:

Giả sửđã dựng điểm N,P cho

 

N BC,P AC cho MN MP= đường tròn (AMP ) tiếp xúc với MN Khi MN tiếp xúc với đường trịn

(AMP nên ) PMN A= =α Từđó ta có (MP; MN)= −α lại có MP MN= nên Q(M ,−α)( )P =N

Giả sử O=Q(M ,−α)( )A I=ONAC

Theo tính chất phép quay ta có

( )

= =  =

NIC ON,AP α NIC BAC IN AB

Cách dựng :

- Dựng điểm O Q= (M,−α)

- Dưng đường thẳng qua O song song với AB cắt BC N - Dựng tia MP cắt AC P cho NMP=α

Như vây điểm N,P điểm cần dựng

I

N P M

A

B C

Chứng minh:

Vì ON AB nên AMO MON= =αPMN MAP= =α suy đường tròn

(AMN ti) ếp xức với MN Ta có Q(M;−α): MP→MN nên MP MN=

Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM

Phương pháp:

Xem điểm cần dựng giao đường có sẵn ảnh đường khác qua phép quay Q( )I;α

Để tìm tập hợp điểm M ' ta tìm tập hợp điểm M mà Q( )I;α biến điểm M thành điểm M ', M( )H M'( )H' =Q( )I;α ( )( )H

Các ví dụ

Ví dụ Cho đường thẳng d điểm G không nằm d Với điểm A nằm d ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích điểm B,C A di động d

Lời giải

Do tam giác ABC có tâm G nên phép quay tâm G góc quay

120 biến A thành B C phép quay tâm G góc quay

240 biến A thành B C Mà A d nên B,C thuộc đường thẳng ảnh d hai phép quay nói

d

d' G d''

A

Vậy quỹtích điểm B,C đường thẳng ảnh d hai phép quay tâm G góc quay

120

240

Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mằn tam giác ABC cho 2+ 2=

MA MB MC Lời giải.

Xét phép quay Q(B; 60− 0)thì A biến thành C , giả sửđiểm M biến thành M ' ,

khi MA M'C,MB MM' nên = =

+ =  + =

2 2 2

MA MB MC M'C MM' MC tam giác M'MC vuông M 'suy =

BM'C 150

Lại có AM CM'= , BM=BM' AB=BC

( )

= − −

ΔAMB ΔCM' B c c c

 = =

AMB CM' B 150 Vậy M thuộc cung chứa góc

150 với dây cung AB nằm tam giác ABC

Đảo lại lấy điểm M thuộc cung AB 150 = tam giác ABC , gọi M' Q= (B; 60− 0)( )M

Do Q(B; 60− 0): AMB→CM' B nên =

0

CM' B 150 Mặt khác tam giác BMM'

nên = 0 = 0− 0=

BM'M 60 CM'M 150 60 90 ΔM'MC vng

 2+ 2=

M' M' B M'C MC , mà MA M'C,MB MM'= = MA2+MB2=MC2

Vậy tập hợp điểm M thỏa yêu cầu toán cung =

AB 150 tam giác ABC nhận AB làm dây cung

C

A B

M

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI TOÁN

Các ví dụ

Ví dụ Cho tam giác ABC Vẽ tam giác ABB' ACC' nằm phía ngồi tam giác ABC Gọi I, J trung điểm CB' BC' Chứng minh điểm A,I,J trùng tạo thành tam giác Lời giải

Giả sửgóc lượng giác (AB,AC)0 ( hình vẽ) Khi , xét phép quay Q(A;600) Ta có

(A;600)

Q : B' B,C C' Q(A;600): B'C BC'

mà I, J trung điểm B'C BC' nên Q(A;600)( )I =J

Vậy I, J khơng trùng A ΔAIJ Khi BAC 120 = I J A  

Ví dụ Cho hai đường (O;R ) (O'; R c) hai điểm A,B cho OAO' 120= Đường thẳng d qua B cắt hai đường tròn ( )O ( )O' theo thứ tự M,M' cho M nằm ( )O' cịn M ' nằm ngồi ( )O Gọi S giao điểm tiếp tuyến với hai đường tròn

M M ' Xác định vị trí M,M' cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM' lớn

Lời giải

Giả sửgóc lượng giác (AO',AO)=120 ( hình vẽ)

J I

A

B C

C'

Xét phép quay Q(A; 120− 0) Gọi B' Q= (A; 120− 0)( )B

=

BAB' 120 Dễ thấy =

OAB 60 suy

+ =

OAB BAB' 180 nên O,A,B' thẳng hàng

Ta có + =

MBA ABM' 180 ,

+ =

ABM' AB'M' 180 MBA AB'M' = Mà (O;R) (O'; R') nên

( )

=

AM AM' ; từđó ta có ΔOAM ΔO' AM'= OAM O'AM'=

 + = + =

O'AM O'AM OAM O'AM 120 hay = ( )

MAM' 120 Từ ( ) ( )1 ; suy Q(A; 120− 0)( )M =M' Do

phép quay tiếp tuyến MS biến thành tiếp tuyến M'S nên góc tù hai đường thẳng MS M'S

120 =

MSM' 60 Áp dụng định lí sin cho tam giác SMM' ta có R= MM'0 =MM'R

2 sin 60 lớn MM' lớn nhất.Gọi H,K hình chiếu O,O' MM' ta có

= 

MM' 2HK 2OO' Đẳng thức xảy MM' OO'

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM' lớn M,M' giao điểm thứ hai đường thẳng d qua B song song với OO' với hai đường trịn

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

28 Tìm ảnh đường thẳng d : 5x 3y 15 0− + = qua phép quay Q(O;900)

29. Tìm ảnh đường trịn ( ) (C : x 1− ) (2+ y 2+ )2 =9 qua phép quay Q( )I;900

với I 3; ( )

K H

S

B' A

B

O

O' M

30 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A 1; ,B 3; ( ) ( )

= =

cos A ,cos B

5 10

31.Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng B nằm A,C Dựng phía đường thẳng AC tam giác ABE BCF

a) Chứng minh AF EC= góc hai đường thẳng AF EC

60 b) Gọi M,N trung điểm AF EC , chứng minh tam giác

BMN 32

a) Cho tam giác ABC có tất góc nhỏhơn 1200 Tìm mặt phẳng chứa tam giác điểm M cho tổng MA MB MC+ + nhỏ

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + 2+ − + − 2+ + + + 2+ +

T x y x y x y

33. Cho tứ giác lồi ABCD Về phía ngồi tam giác dựng hình vng

ABMN,CBPQ,CDPS,DATU Gọi O i 1, theo thi( = ) ứ tự tâm hình vng Chứng minh O O1 2⊥O O O O1 2=O O

34. Cho hình vng ABCD tâm O Trên cạnh BC,CD lấy điểm M,N Gọi E,F hình chiếu B lên đường thẳng AM,AN; điểm I, J hình chiếu D lên AM,AN Chứng minh a) Xác định ảnh ΔBAF ΔBAE qua Q(O,900)

b) EF⊥IJ

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/