SKKN tìm điều kiện một số bài toán qua giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM ĐIỀU KIỆN MỘT SỐ BÀI TOÁN QUA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Người thực hiện: Nguyễn Hữu Long Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực : Tốn học THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC Mục Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.2 Cơ sở lí luận: 2.3 Nội dung biện pháp thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 11 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 12 3.2 Kiến nghị 13 1 – MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: Khi mà em học sinh học qua chương trình tốn THPT với kiến thức kỹ giải tốn có được, tốn em học sinh giải nhiều cách khác nhau, điều em sử dụng phương pháp cho hiệu mang tính tư cao, mặt khác biết xếp dạng vào tuyến tìm phương pháp hay để giải điều cần thiết Trong năm gần tỷ lệ học sinh thi đậu tốt nghiệp trường nâng cao trường THPT Quảng Xương ln có thành tích cao việc dạy học, việc trì tỷ lệ đỗ tốt nghiệp THPT cao điều phải cần giữ vững, điều mà nhà trường cần quan tâm việc em học sinh khối 12 tốt nghiệp THPT, phải nâng tỷ lệ học sinh giỏi tỷ lệ học sinh thi đỗ vào trường đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp …; điều đòi hỏi đội ngũ giáo viên phải khơng ngừng phấn đấu nâng cao trình độ chun mơn, tích lũy kinh nghiệm tìm phương pháp hay, tối ưu để truyền đạt, hướng dẫn cho học sinh giúp cho em giải tốt kỳ thi Riêng với mơn tốn có vai trị quan trọng có mặt hầu hết kỳ thi tuyến tốn có dạng : Tìm điều kiện cho số phương trình bất phương trình dạng tốn thường xuất kỳ thi học sinh giỏi, THPT quốc gia …, với phương pháp thông thường việc giải dạng tốn tương đối khó, xong việc quy dạng hướng dẫn cho học sinh dùng phương pháp cực trị để giải mang lại hiệu cao nhiều, mà kinh nghiệm nhỏ giảng dạy ôn luyện thi cho học sinh, tơi xin mạnh dạn trình bày chun đề “Tìm điều kiện số toán qua giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ” phạm vi hạn hẹp với mong muốn góp thêm phần phương pháp, kỹ giải toán cho hoc sinh đứng trước kỳ thi quan trọng 1.2 Mục đích nghiên cứu: Học sinh nắm lựa chọn công cụ thích hợp , lựa chọn kiến thức học để vận dụng giải tập tìm điều kiện tốn thơng qua giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ngồi cịn giúp học sinh phân dạng tập, mối liên hệ tập với tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Các tốn phương trình, bất phương trình, toán hàm số - Đề tài áp dụng chương Hàm số sách đại số giải tích lớp 12, học sinh ơn thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Xuất phát từ đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu để đạt mục đích đề q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp chủ yếu sau: i) Phương pháp nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu tài liệu - Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giảng dạy - Nghiên cứu số quan điểm , tư tưởng sáng tạo 2i) Phương pháp nghiên cứu theo phân loại dạng tập - Nghiên cứu toán khai thác tri thức cội nguồn - Nghiên cứu tốn có cấu trúc tương tự – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: i)Thuận lợi: - Giai đoạn học sinh học kiến thức tương đối đủ, tập luyện tập - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học u thích mơn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực đề tài - Được quan tâm, động viên, khuyến khích ban giám hiệu nhà trường việc cố gắng nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường - Đặc biệt trường THPT vấn đề nâng tỷ lệ học sinh đạt điểm cao kỳ thi THPT quốc gia, học sinh giỏi… cần thiết đội ngũ giáo viên quan tâm - Được ủng hộ học sinh đồng nghiệp đóng góp ý kiến áp dụng phương pháp - Có thể mở rộng phương pháp để tìm điều kiện cho hệ phương trình bất phương trình ii) Khó khăn: - Trình độ học sinh chưa đồng đều, tính sáng taọ, khả tư duy, nhạy bén em chưa cao, tính tự học hạn chế - Giáo viên nhiều thời gian để soạn - Phần sáng kiến phù hợp với em học sinh mức trở lên 2.2 Cơ sở lý luận: - Khi định lý đảo dấu tam thức bậc hai không đưa vào chương trình sách giáo khoa tốn lớp 10, việc áp dụng phương pháp cực trị để giải tốn tìm điều kiện cho phương trình bất phương trình phương pháp tốt khơng giải tốn đơn giản mà cịn giải tương đối khó khó, phương trình bất phương trình chứa hàm mũ, lượng giác, logarit, bậc hai…v.v - Kiến thức cực trị học sinh học kỹ lưỡng chương trình tốn 12, gần gũi nhớ nhiều với học sinh em chuẩn bị kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia…do sau học kiến thức cực trị cố gắng lồng ghép chuyên đề vào tiết học tự chọn hay phụ đạo cho học sinh với mong muốn em giải toán nêu cách linh hoạt, sáng tạo 2.3 Nội dung, biện pháp thực hiện: Khi gặp tốn tìm điều kiện cho phương trình có dạng: f ( x, m)  hay bất phương trình có dạng f ( x, m)  , f ( x, m) �0 , f ( x, m)  , f ( x, m) �0 , giáo viên nên hướng dẫn học sinh thực bước: Bước 1: Biến đổi phương trình bất phương trình dạng sau: f ( x)  m , f ( x)  m , f ( x ) �m , f ( x )  m , f ( x ) �m Bước 2: Thông qua kiến thức cực trị để xét hàm số f(x) tùy theo toán mà giáo viên hướng dẫn em đưa kết tìm điều kiện cho phương trình bất phương trình dựa sở lý thuyết trình bày a) Phần lý thuyết : f ( x) �m �max f ( x) Phương trình: f ( x)  m có nghiệm D � D D Bất phương trình: f ( x) �m có nghiệm D � m �max f ( x) D f ( x) Bất phương trình: f ( x) �m có nghiệm x �D � m �min D f ( x) Bất phương trình: f ( x) �m vô nghiệm D � m  max D f ( x) Bất phương trình: f ( x)  m có nghiệm x �D � m  D f ( x) Bất phương trình: f ( x)  m có nghiệm x �D � m  max D f ( x) Bất phương trình: f ( x)  m vơ nghiệm D � m �min D b Một số tốn: Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x  x  m (1) có nghiệm x � 0;1 Giải: Đặt hàm số f ( x)  x  x , hàm số liên tục  0;1 Từ bảng biến thiên hàm số f(x)  0;1 x -∞ f’(x) - f(x) - +∞ + -1 m ax f ( x ) f ( x) � Ta có: � = 0, � = -1 0;1 0;1� � � � � � � � � Vậy điều kiện cần đủ để phương trình (1) có nghiệm  0;1 là: 1 �m �0 Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình 4x- x2 ≥ m nghiệm x � 0;5 Giải: Xét hàm số: f ( x)  x  x Ta có: - hàm số bậc hai biến x b = có f (0)  , f (4)  , f (5)  5 2a Bất phương trình nghiệm x � 0;5 m �5 Ví dụ 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4- 4x +m ≥ (3) nghiệm x �� Giải: 4x , phương pháp đạo hàm đặt x 1 Bất phương trình (3) � m � Xét bảng biết thiên g(x) x -∞ g’(x) + 43 g ( x)  4x x 1 +∞ - 27 g(x) -∞ -∞ g ( x )  27 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max R Do điều kiện cần đủ để bất phương trình nghiệm x ��là m �max g ( x)  27 � Đáp số : m � 27 Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y   x3  3x  3mx  m  nghịch biến  0; � Giải 2 Ta có y� 3x  x  3m    x  x  m  Vì hàm số liên tục nửa khoảng  0; � nên hàm số nghịch biến  0; � tương đương hàm số nghịch  0; � khi y� �0, x � 0, � � x 2�2x� m x   0;� �m f  x x� 2x  m f  x   f  1  1 x  0;   0;� Ví dụ 5: Tìm giá trị m để hàm số y  mx3  x  3x  m  đồng biến  3;0  Giải TXĐ: D  � Ta có y'  3mx  x  Hàm số đồng biến khoảng  3;0  khi: y' �0 , x � 3;0  (Dấu ''  '' xảy hữu hạn điểm  3;0  ) � 3mx  x  �0 , x � 3;0  2x   g  x  x � 3;0  3x 2 x  ; g�  x   x  � x  Ta có: g � 3x3 BBT x 3  ۳ m  � 1 1 � � m� Vậy m �� ; �� �3 � Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y  x   2m  1 x  2mx  đồng biến  0; � Giải: Điều kiện để hàm số đồng biến  0; � y��0, x �[0; �) � x  2(2m  1) x  2m �0, x �0  x2  2x ۳ m max g ( x) [0; �) 4x  2  x  2x Xét hàm số g ( x)  nửa khoảng [0; �) 4x  4 x  x  � g ( x )   0, x �[0; �) Ta có: (4 x  2) Do hàm số g ( x ) nghịch biến nửa khoảng [0; �) Suy max g ( x)  g (0)  ۳ m [0;�) Vậy m �0 x  3x  �m nghiệm Ví dụ 7: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình x 1 với x � 0;1 Giải x  3x  x  3x  �m nghiệm với Đặt f  x   Bất phương trình x 1 x 1 f  x x � 0;1 m �min  0;1  x  Ta có f � x2  x �0 với x � 0;1 � f  x  đồng biến  0;1  x  1 f  x   f    Vậy �  0;1 m �3 2x  m 1 Ví dụ 8: Tìm tất giá trị m để giá trị nhỏ hàm số f  x   x 1 đoạn  1; 2 Giải 3 m  x  Ta có f �  x  1 3 m  nên hàm số đồng biến  1;  ,  x  Nếu m  : f �  x  1 � f ( x )  f (1)  Vậy f ( x)  � f (1)  � m   � m  (nhận)  1;2  1;2 3 m  nên hàm số nghịch biến  1;  ,  x  Nếu m  : f �  x  1 � f ( x)  f (2)  Vậy � f ( x)  � f (2)  �  m  � m  (loại)  1;2  1;2 Ví dụ 9: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn 19 x  x  30 x  m  20 đoạn  0; 2 không vượt 20 Tính tổng phần tử S hàm số y  Giải 19 x  30 x  m  20 đoạn  0; 2 � x  5 � 0; 2 �  x   � �x   x   x  19 x  30 ; g � Ta có g � � x  � 0; 2 � Xét hàm số g  x   x  Bảng biến thiên g    m  20 ; g    m  � �g   �20 �m  20 �20 g  x  �20 � �  m 14 � ۣ Để max � �  0;2 �g   �20 �m  �20 Mà m �� nên m � 0;1; 2; ;14 Vậy tổng phần tử S 105 Ví dụ 10: Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x   x  m có nghiệm thực? Giải Điều kiện: x �1 Ta có x   x  m � x   x  m  * Số nghiệm phương trình  * số giao điểm hai đồ thị y  x   x  C  y  m Xét hàm số y  x   x với x �1 ta có y� 1 x 1 Giải phương trình y� � x   � x  1 Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có phương trình x   x  m có nghiệm m �2 Ví dụ 11: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x  cos x  3sin x cos x  m   có nghiệm thực? Giải Ta có sin x  cos x  3sin x cos x  m m   �  3sin x cos x  3sin x cos x    4 Đặt t  sin x , 1 �t �1 PT trở thành 3t  6t  12  m Xét hàm số f  t   3t  6t  12 , 1 �t �1 m   có nghiệm thực �m �15 Vậy có 13 giá trị nguyên tham số m Ví dụ 12: Cho hàm số y  f  x   x   x Tìm tất giá trị thực tham số m Phương trình sin x  cos6 x  3sin x cos x  thỏa mãn f  x  �m với x � 1; 1 Giải Hàm số y  f  x   x   x xác định liên tục đoạn  1; 1 x f�  x  1  x2  �x �0  x2  x ; � � x f  x   �  x2  x  � � 2 1 x  x  x2 � � � Ta có f � � ; f  1  1 f  1  �2� f  x   1 x  1 f  x   x  Suy max  1; 1  1; 1 f  x � m � Do đó, f  x  �m với x � 1; 1 m �max  1; 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Cho hàm số y   x3  3x  mx  Có giá trị nguyên âm m để hàm số nghịch biến � A B C D Vô số Bài 2: Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y  x  mx   m   x  đồng biến khoảng  0;  là: A  �;6 B  �;3 C  �;3 D  3;6 Bài 3: Tìm giá trị tham số m để hàm số y  x3  mx   2m  1 x  m  nghịch biến khoảng  2;  A m  B m � C m   D m  10 x3   m  1 x  x  nghịch biến  x1 ; x2  đồng biến khoảng lại tập xác định Nếu x1  x2  giá trị m là: Bài 4: Biết hàm số y  A 4 B   C 4 D Bài 5: Với tất giá trị thực tham số m hàm số y  x   m  1 x  3m  m   x nghịch biến đoạn  0;1 ? A 1 �m �0 B 1  m  C m �1 D m �0 Bài tập tự luận Bài 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x  x  m   x  x  có nghiệm Bài 2: Cho x, y � 0;  � , x  y  Biết m � a ; b phương trình  x  y   y  x   40 xy  m có nghiệm thực Tính T  25a  16b 3 2 Bài 3: Tìm m để phương trình x  x  m x   15  3m  x  6mx  10  có hai � � nghiệm phân biệt thuộc � ; � � �   2 2 Bài 4: Biết bất phương trình m x   x  �2 x  x  x   x  có nghiệm m � �; a  b � �, với a, b �� Tính giá trị T  a  b Bài 5: Cho hàm số y  x  3mx   2m  1 x  Với giá trị m f '  x   x  với x  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sau thời gian thực chuyên đề này, nhận thấy tinh thần học tập học sinh tiết học thực chuyên đề trội Trong năm học 2020- 2021 áp dụng chuyên đề cho lớp 12C1 Khi tơi đưa tốn liên quan, hướng dẫn cho em em quan tâm hứng thú học tập, xung phong nhiều hơn, dù bước đầu lúng túng Khi áp dụng phương pháp nhận thấy em giải nhanh gọn rõ ràng Chuyên đề thực giảng dạy tham gia giảng dạy ơn thi đại học.Trong q trình học chun đề này, học sinh thực thấy tự tin ,biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê u thích mơn tốn ,mở cho học sinh cách nhìn nhận ,vận dụng,linh hoạt ,sáng tạo kiến thức học , tạo tảng cho học sinh tự học , tự nghiên cứu Kết thực chuyên đề sau: 11 Năm học Lớp Trước thực đề tài Sĩ Số học sinh số Số học sinh lúng túng Tỉ làm không làm lệ tập tập 52 2020Tỉ 12C1 2021 lệ % Sau thực đề tài Số học sinh Số học sinh lúng túng làm không làm tập tập 15 37 45 28,85% 71,15% 86,5% 13,5% Bài học kinh nghiệm - Nên mở rộng phạm vi áp dụng - Áp dụng sau học sinh học kiến thức cực trị hàm số - Việc chia lớp theo trình độ năm gần nhà trường, để giáo viên có điều kiện bám sát, giảng dạy, bồi dưởng rèn luyện cho học sinh thuận lợi để thực chuyên đề Nên động viên khuyến khích động viên em, gợi cho học sinh niềm - say mê, sáng tạo học tốn hướng em đến mục đích cao thành công kỳ thi – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: - Việc sử dụng phương pháp cực trị để giải tốn tìm điều kiện phương trình bất phương trình khơng cho em lời giải rõ ràng ngắn gọn mà ngồi cịn phát triển rèn luyện cho học sinh phẩm chất tư khái qt hố, tư hàm, tư phân tích tổng hợp…, kỹ nhận dạng giải toán nâng cao Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh mơn Tốn lớp 12C1, trường THPT Quảng Xương 1, nhận thấy em học sinh hứng thú với mơn học Chính em cảm thấy hứng thú với mơn học nên tơi nhận thấy chất lượng mơn Tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Ngoài em học cách tìm tịi, khám phá, sáng tạo tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề nhanh gọn, xác hiệu 12 3.2 Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy cực trị nên để ý đến việc hướng dẫn học sinh biết cách rút đặc điểm dấu hiệu nhận biết đặc trưng để vận dụng giải tốn - Tơi mong chun đề bổ sung áp dụng rộng rãi sau này, nhằm góp phần hồn thiện thêm kiến thức, kỹ cho học sinh em đứng trước kỳ thi quan trọng - Thời gian nghiên cứu áp dụng đề tài năm học, phạm vi nghiên cứu lớp thuộc trường THPT, nên có nhiều vấn đề chưa phân tích cách đầy đủ Rất mong nhận giúp đỡ góp ý bổ sung đồng nghiệp để sáng kiến tơi có kinh nghiệm bổ ích áp dụng cho năm học sau XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 12 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Hữu Long 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa đại số lớp 10,11,12- Nhà xuất giáo dục [2] Giải tốn phương trình bất phương trình- Nhà xuất quốc gia TPHCM [3] Các vấn đề hàm số, ứng dụng đạo hàm luyện thi đại học – Nhà xuất trẻ [4] Dạy học toán cấp III - Nhà xuất giáo dục [5] Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Nhà xuất giao dục [6] Bất đẳng thức bất phương trình đại số-Thầy Nguyễn Thế Hùng Nhà in Thanh Niên [7] Phát triển tư cho học sinh qua mơn tốn-tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPTtrường đại học sư phạm thành phố HCM [8] Tạp chí tốn học tuổi trẻ [9] Nhóm Tốn THPT Thanh Hóa 14 ... pháp cực trị để giải mang lại hiệu cao nhiều, mà kinh nghiệm nhỏ giảng dạy ôn luyện thi cho học sinh, xin mạnh dạn trình bày chuyên đề ? ?Tìm điều kiện số toán qua giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ”... 1; 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Cho hàm số y   x3  3x  mx  Có giá trị nguyên âm m để hàm số nghịch biến � A B C D Vô số Bài 2: Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y... Xét hàm số f  t   3t  6t  12 , 1 �t �1 m   có nghiệm thực �m �15 Vậy có 13 giá trị nguyên tham số m Ví dụ 12: Cho hàm số y  f  x   x   x Tìm tất giá trị thực tham số m Phương