Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp

1 MỤC LỤC CHƯƠNG I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 7CHƯƠNG II MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 9CHƯƠNG III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 10 BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 11 12 13 14 15 16 17 I DẠNG 1: SỬ DỤNG HỆ THỨC SIN2X + COS2X = II.DẠNG 2: SỬ DỤNG ĐÁNH GIÁ III DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC IV DẠNG 4: SỬ DỤNG CÔNG THỨC SIN2T = V DẠNG 5: ĐỔI BIẾN SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC VI MỘT SỐ VÍ DỤ ĐẶC SẮC 10 12 16 16 18 20 18KẾT LUẬN 26 19 TRONG TOÀN BỘ ĐỀ TÀI CHÚNG TÔI ĐÃ HỆ THỐNG LẠI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CÓ THỂ DÙNG PHƯƠNG 20PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CHÚNG TÔI ĐÃ PHÂN LOẠI CHÚNG THEO TỪNG DẠNG, TRÌNH BÀY CỤ THỂ 21PHƯƠNG PHÁP ĐỂ CHỨNG MINH VÀ CĨ NHỮNG VÍ DỤ MINH HỌA KÈM THEO MỖI PHƯƠNG PHÁP NHỮNG VÍ DỤ ĐĨ 22ĐƯỢC SẮP XẾP TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN PHỨC TẠP VỚI LỜI GIẢI KHÁ CHI TIẾT, ĐA DẠNG, BAO QUÁT MỌI KHÍA CẠNH LÍ 23THUYẾT VÀ DỄ HIỂU, CĨ THỂ GIÚP BẠN ĐỌC NẮM BẮT NHANH VÀ HIỆU QUẢ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG 24CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ SAU KHI ĐỌC ĐỀ TÀI, BẠN ĐỌC SẼ CÓ THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP MỚI ĐỂ 25CHỨNG MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ MỘT CÁCH HIỆU QUẢ HƠN 26 26 TUY NHIÊN VÌ TRONG THỜI GIAN NGẮN VÀ KIẾN THỨC CHƯA SÂU RỘNG NÊN CĨ NHỮNG BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC 27DÙNG LƯỢNG GIÁC HĨA ĐỂ CHỨNG MINH NHƯNG KHƠNG THEO MỘT PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CỤ THỂ NÀO MÀ 28DỰA VÀO NHỮNG TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG YẾU TỐ TRONG BÀI TOÁN ĐỂ 29CHỨNG MINH KHƠNG ĐƯỢC CHÚNG TƠI TRÌNH BÀY CỤ THỂ VÀ CHI TIẾT TRONG ĐỀ TÀI NÀY CHÚNG TÔI RẤT MONG 30NHẬN ĐƯỢC SỰ ĐÓNG GÓP, NHẬN XÉT CỦA BẠN ĐỌC VỀ NỘI DUNG ĐỀ TÀI 26 31TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 32 LỜI NÓI ĐẦU Như biết, bất đẳng thức đại số đóng vai trò to lớn toán 4học Tuy nhiên, để vận dụng chúng q trình giải số vấn đề 5tốn học việc chứng minh tính đắn chúng vơ quan trọng Hiện nay, có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức đại số 7dụng bất đẳng thức quen thuộc bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski,…, 8hay vận dụng định lí dấu tam thức bậc hai, khảo sát hàm số,… Trong đề tài này, chúng tơi xin trình bày cách nhìn khác bất đẳng 10thức đại số, cách nhìn góc độ lượng giác Phương pháp gọi 11phương pháp lượng giác hóa Với phương pháp này, chứng minh 12một số bất đẳng thức cách hiệu cách thay đổi hình thức 13tốn chứng minh bất đẳng thức đại số trở thành toán chứng minh bất đẳng thức 14lượng giác 15 16 17 18 19 20 21 22 Đề tài chia làm chương: • Chương I: Một số tính chất hàm lượng giác • Chương II: Mối tương quan biểu thức đại số biểu thức lượng giác • Chương III: Chứng minh bất đẳng thức đại số phương pháp lượng giác Và số tập tự luyện Việc sai sót hạn chế trình thực đề tài điều khơng thể 24tránh khỏi Vì vậy, chúng tơi mong nhận phản hồi góp ý chân thành 25của độc giả Xin chân thành cảm ơn 23 Qui Nhơn, ngày tháng 11 năm 2009 26 Nhóm thực đề tài 27 CHƯƠNG I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC I Một số công thức lượng giác sin2x + cos2x = tanx.cotx = , x ≠ + tan2x = ,x≠ + cot2x = , x ≠ kπ, k sin2x = ; sinx = ; cosx = 10 11 12 ,k cos2x = 14 , ∀ x∈ , với t = tan Hàm số y = sinx y = cosx xác định với x ∈ , ∀x∈ 16 ; tanx = II Tính chất 13 15 + kπ, k Nếu x ∈ [-1;1] tồn a∈ x = cosb cho x = sina tồn b∈ cho Nếu x ∈ [0;1] tồn a ∈ cho x = sina tồn b∈ cho x = cosb Với số thực x, có số a ∈ Với x, y thỏa x2 + y2 = tồn a ∈ [0;2π] cho x = cosa y = sina cho x = tana 6CHƯƠNG II MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Việc lượng giác hóa tiến hành thông qua dấu hiệu đặc biệt biến tham 10gia biểu thức, mà việc nắm bắt dấu hiệu thơng qua miền giá trị công 11thức lượng giác thông dụng Sau xin đưa số biểu thức đại số biểu 12thức lượng giác tương ứng Biểu thức đại số x2 + y2 x2 – y2 2x2 – 1 – 2x2 4x3 – 3x 3x – 4x3 Biểu thức lượng giác tương ứng sin2t + cos2t cos2t – sin2t 2cos2t – 1 – 2sin2t 4cos3t – 3cost 3sint – 4sin3t + x2 + tan2t x2 – 1 Công thức lượng giác sin2t + cos2t = cos2t – sin2t = cos2t 2cos2t – = cos2t – 2sin2t = cos2t 4cos3t – 3cost = cos3t 3sint – 4sin3t = sin3t + tan2t = 2CHƯƠNG III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC Dựa vào mối tương quan bất đẳng thức đại số bất đẳng thức lượng giác, 6chúng xin trình bày số hướng lượng giác hóa chứng minh bất đẳng thức đại 7số nhằm giúp độc giả định hướng phương pháp chứng minh bất đẳng thức 8đại số hiệu 9I Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2x + cos2x = 101 Phương pháp 11 a Nếu tốn có x2 + y2 = ta đặt x = sinu y = cosu, với u∈[0;2π] 12 b Nếu tốn có x2 + y2 = r2 (r > 0) ta đặt x = rsinu y = rcosu, với u∈[0;2π] 13 c Nếu hai biến tham gia có ràng buộc a2x2 + b2y2 = c2, a, b, c > 0, ta đặt 14 x = sinu y = cosu , u [0;2π] 152 Ví dụ minh họa 16Ví dụ (Đề thi đại học năm 1972 – Khối A) 17Cho số thực u, v, x, y cho u2 + v2 = x2 + y2 = Chứng minh ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤ 2Nhìn vào giả thiết “4 số thực u, v, x, y” lại “u2 + v2 = x2 + y2 = 1”, liên tưởng 3rất nhanh đến bất đẳng thức lượng giác “lợi hại” : sin2A + cos2A = Và nảy ý định 4chuyển toán qua lượng giác 5Cách 1: Đặt u = cosα, v = sinα với α∈[0;2π] x = cosβ, y = sinβ với β∈[0;2π] 7Khi P = u(y – x) + v(x + y) = cosα(sinβ – cosβ) + sinα(cosβ + sinβ) = (sinαcosβ + cosαsinβ) – (cosαcosβ – sinαsinβ) = sin(α + β) – cos(α + β) = 10Vì sin nên 11 Vẫn với ý nghĩ đưa lượng giác ta tiến thêm bước Nhìn P ta thấy u 12và v đứng riêng lẻ, ta đặt chúng dạng lượng giác cách riêng lẻ, x y đứng 13với nhau, có “gắn bó” dấu + - Ta nảy ý nghĩ: để “gắn bó” 14mà chuyển qua lượng giác 15Nếu ta đặt ta có sin2α + cos2α = 16Cách 2: Đặt u = cosβ, v = sinβ với β∈[0;2π] 17 , 18Ta cần chứng minh ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤ 19 với α∈[0;2π] Hay 20Chuyển qua lượng giác ta phải chứng minh 1 -1 ≤ cosβsinα + sinβcosα ≤ ⇔ - ≤ sin(α + β) ≤ (hiển nhiên) 3Vậy đẳng thức chứng minh 4Ví dụ [2] Cho a2 + b2 – 2a – 4b + = Chứng minh A= ≤2 6Nhận xét: Nhiều toán ta chưa thấy yếu tố để chuyển dạng lượng giác, cần qua 7một trình biến đổi đặt ẩn phụ thích hợp chuyển dạng lượng giác 8thuận lợi cho q trình giải 9Ta có a2 + b2 – 2a – 4b + = (a – 1)2 + (b – 2)2 = 10 11Đặt a – = sint b – = cost, với t∈[0;2π] 12Khi A = = =2 13 14Ví dụ [8] Cho 15Chứng =2 ≤2 a, b thỏa mãn minh a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - 16Nhận xét: Khác với ví dụ trên, để giải ví dụ ta cần biến đổi bất đẳng thức 17cần chứng minh dạng lượng giác quen thuộc 18 a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - ⇔ (a – 1)2 + (b + 1)2 19Từ hình thành nên cách đặt 20 với R ≥ 1Ta có ⇔ ⇔1 = R 5Suy (a – 1)2 + (b + 1)2 = R2 ≥ ⇔ a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - 7Ví dụ 4[3] Cho x, y > x + y = Chứng minh (1) 9Nhận xét: x + y = 10Từ ta nảy cách đặt 11Khi đó,(1) trở thành: 12 13Ta có: + +( + +( 14 15Vì 0≤ 1+ với t∈ 1⇒ (đpcm) 2II.Dạng 2: Sử dụng đánh giá 31.Phương pháp: a) Nếu biến x tham gia có điều kiện đặt b) Nếu biến x tham gia có điều kiện m (m≥0) đặt 82.Ví dụ minh họa 9Ví dụ 1[1] Chứng minh 10Chứng minh 11Vì nên đặt x = cost, với = 12 13 14 15Ví dụ [7] Chứng minh A= 16Chứng minh 17Vì nên Khi 1Ví dụ [8] Chứng minh A= 2Chứng minh: Đặt a = ≤ 2, với t∈[0, \{ } 3Ta có A= =2 5Ví dụ [2] Chứng minh , 7Chứng minh: 8Đặt a = tanu, b = tanv, c = tanw, với – 9Ta có 10 = 11(1) trở thành: 12 13Ta có 14 ≤ (1) 1Do đó, (đpcm) 3Ví dụ [8] Chứng minh 4Chứng minh (1) ⇔ ⇔ (2) 7Đặt 8(2) trở thành 10 cosu.cosv + tanu.tanv.cosu.cosv ⇔ cosu.cosv + sinu.sinv ⇔ cos(u - v) ≤ (hiển nhiên) 11Dấu “=” xảy u = v ⇔ 12Ví dụ [3] Cho số thực x,y không đồng thời Chứng minh 13 14Chứng minh 15 + Nếu y = (1) (1) ⇔ + Nếu Đặt (2) trở thành ⇔ ⇔ (2) (hiển nhiên) 6Ví dụ 5[9] Cho a,b,c>0 thỏa mãn Chứng minh 8Chứng minh 9Ta có 10Đặt = = ; < A, B < π 11Từ giả thiết, ta có 12⇒ với A, B, C góc tam giác 1Vậy = = = sin = sin = 4IV Dạng 4: Sử dụng công thức sin2t = 61.Phương pháp: Nếu tốn có chứa biểu thức dạng Nếu tốn có chứa biểu thức dạng đặt x = tant, với x đặt x = tant,với x 92.Ví dụ minh họa 10Ví dụ [4] Chứng minh , ta có (1) 11 12Nhận xét (1) ⇔ (2) 1Các phân thức làm ta nhớ đến công thức nhân đôi biểu diễn sinx cosx 2theo tan 3Đặt a = tan 4⇒ với = 5Với , ta có 7Suy đpcm 8Ví dụ [4] Cho < x, y, z < xy + yz + zx = Chứng minh (*) 10Nhận xét: Các biểu thức làm ta liên tưởng đến công thức nhân đôi 11hàm tan2u, tan2v, tan2w 12Đặt x = tanu; y = tanv; z = tanw; với < u,v,w < 13Ta có (vì < x, y, z < 1) xy + yz + zx = ⇒ tanu.tanv + tanv.tanw + tanw.tanu = 14 ⇒u + v + w = 15 ⇒ 2u + 2v = 16 ⇒ tan2u + tan2v + tan2w = tan2u.tan2v.tan2w ⇒ 2Đặt S = P= 4Ta có S = P 5Theo Cauchy, ta có S ≥ P≥3 ⇒P ≥ ⇒S ≥ đpcm) 6V Dạng 5: Đổi biến số bất đẳng thức tam giác 71 Phương pháp 8a) Nếu 9b) Nếu 10c) Nếu 11 tồn ABC với tồn ABC với tồn ABC với 122 Ví dụ minh họa 13Ví dụ 1[6] Cho 14Chứng minh Chứng minh S= Đặt ; với u, v, w 2Do = x+y+z = nên ⇔ ⇔ = ⇔ u+v+w= 6Khi S = = = ≤ = + = 10Ví dụ 2[9] Cho a, b, c > 0, ab + bc + ca =1 Chứng minh 11 12Nhận xét: + Đẳng thức liên quan : tan tan 13 + Lượng giác hóa tan tan tan tan 1Đặt a = tan với A, B, C góc tam giác nhọn ABC 2Ta có = 3Ví dụ Cho a, b, c > thỏa a + b + c = abc Chứng minh (1) 5Nhận xét: Với a, b, c > thỏa a + b + c = abc làm ta liên tưởng đến công thức 6tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC A, B, C góc tam giác nhọn ABC 7Đặt a = tanA, b = tanB, c = tanC A, B, C góc tam giác nhọn ABC 8Ta có = 9Tương tự 10 tanA.cosA = sinA = sinB ; = sinC (1) ⇔ sinA + sinB + sinC với tam giác ABC) 11 12VI Một số ví dụ đặc sắc 13Ví dụ 1[7] Gọi m, n, p nghiệm thực phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0, a ≠ 14 Chứng minh 15 Dấu “=” xảy nào? 16Chứng minh 17Theo định lí Viét ta có mnp = 18Lấy α = 450, β = - 300, γ = 1650 α + β + γ = 1800 1Và 2Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Hay 2npcosα + 2pmcosβ + 2mncosγ (*) 5Ta có ⇔ p2 + m2cos2β + sin2β + n2(cos2α + sin2α) ≥ 2mncosβ + 2npcosα – 2mncos(α + β) ⇔ p2 + m2 + n2 ≥ 2mpcosβ + 2npcosα + 2mncosγ (Vì α + β + γ = 1800) 8Bất đẳng thức (*) chứng minh 9Dấu “=” xảy ⇔ 10 11Đặt ta có 12Suy m = ksinα = 13 ; n = ksinβ = p = ksinγ = 14Ví dụ 2[5] Chứng minh bất đẳng thức 1 2Chứng minh 3Với 4Hay ta có bất đẳng thức sinα < α < tanα (1) 5Dễ thấy số ;…; n nghiệm đa thức bậc n sau 7Do tổng nghiệm 9Vậy +…+ = (2) 10Suy 11 12 13Vậy = (3) 1Từ (1), (2), (3) ta có 3Chia tất số hạng bất đẳng thức cho ta 5Nhận xét: Từ bất đẳng thức trên, cho n ta 8Vậy BÀI TẬP THAM KHẢO 10 11Bài 1[2] Cho a2 + b2 = c2 + d2 = Chứng minh 12 13 a) b) – ≤ (a – b)(c + d) + (a + b)(c – d) ≤ 14Bài 2[2] Cho x, y thỏa mãn 3x + 4y = Chứng minh 15Bài 3[6] Chứng minh 16 1Bài [2] Chứng minh S= 3Bài 5[1] Chứng minh 4Bài 6[4] Chứng minh 5Bài 7[2] Chứng minh với a, b ∈ 6Bài 8[2] Chứng minh với cặp số thực x, y ta có 8Bài [6] Cho số thực x, y, z cho xyz > số thực a, b, c cho a+b+c≤ , 10Chứng tỏ 11Dấu “=” xảy nào? 12Bài 10[8] Cho x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1, với x, y, z > Chứng minh 13 a) xyz b) xy + yz + zx ≤ 14Bài 11[8] Cho x + y + z = xyz x, y, z > Chứng minh 15 1Bài 12[8] Cho xy + yz + zx = với x, y, z > Chứng minh 3Bài 13 (Đề thi toán Olyimpic 30-4,lần thứ 15-2009) 4Chứng minh với a, b, c > ta có 6Bài 14[8] Chứng minh với x,y thỏa mãn y ta có KẾT LUẬN Trong tồn đề tài chúng tơi hệ thống lại số bất đẳng thức đại số có 3thể dùng phương pháp lượng giác để chứng minh Chúng phân loại chúng theo 4từng dạng, trình bày cụ thể phương pháp để chứng minh có ví dụ minh họa kèm 5theo phương pháp Những ví dụ xếp từ đơn giản đến phức tạp với lời 6giải chi tiết, đa dạng, bao quát khía cạnh lí thuyết dễ hiểu, giúp bạn đọc 7nắm bắt nhanh hiệu phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức đại 8số Sau đọc đề tài, bạn đọc có thêm phương pháp để chứng minh số 9bài toán bất đẳng thức đại số cách hiệu 10 Tuy nhiên thời gian ngắn kiến thức chưa sâu rộng nên có 11bài tốn bất đẳng thức dùng lượng giác hóa để chứng minh khơng theo 12phương pháp đặt ẩn phụ cụ thể mà dựa vào tính chất đặc biệt hàm số 13lượng giác yếu tố toán để chứng minh khơng chúng tơi trình bày 14cụ thể chi tiết đề tài Chúng mong nhận đóng góp, nhận xét 15của bạn đọc nội dung đề tài 16 17 18 19 20 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO 4[1] Lê Hồng Đức(chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, Các 5phương pháp giải –Bằng phương pháp lượng giác hóa, NXB Hà Nội, 2006 6[2] Lê Hồng Đức(chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Phương pháp 7giải tốn Lượng giác hóa, Hàm số lượng giác, Hệ thức lượng, NXB ĐHSP, 82009 9[3] Vũ Thế Hựu, Phương pháp lượng giác hóa tốn, NXB GD, 2003 10[4] Võ Đại Mau, Tuyển tập 216 toán bất đảng thức, NXB Trẻ, 1996 11[5] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức-Định lí áp dụng, NXB GD, 2003 12[6] Nguyễn Vũ Thanh, 263 toán bất đẳng thức chọn lọc, NXB GD, 1997 13[7] Hội Toán học Việt Nam, Tuyển tập 30 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ, 14NXB GD, 1997 15[8] http://chihao.info/4rum/showthread.php?p=11269 16[9] http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=9626 17 ... CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC Dựa vào mối tương quan bất đẳng thức đại số bất đẳng thức lượng giác, 6chúng tơi xin trình bày số hướng lượng giác hóa chứng minh bất. .. đọc 7nắm bắt nhanh hiệu phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức đại 8số Sau đọc đề tài, bạn đọc có thêm phương pháp để chứng minh số 9bài toán bất đẳng thức đại số cách hiệu 10 Tuy nhiên... khác bất đẳng 1 0thức đại số, cách nhìn góc độ lượng giác Phương pháp gọi 1 1phương pháp lượng giác hóa Với phương pháp này, chứng minh 12một số bất đẳng thức cách hiệu cách thay đổi hình thức