Ứng dụng một bất đẳng thức đại số vào hình học

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Ứng dụng bất đẳng thức đại số vào hình học Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Trong viết trình bày số ứng dụng bất đẳng thức đại số đặc biệt để tìm bất đẳng thức hình học lạ Mở đầu Trên tờ báo mathematical reflections báo An unexpectedly useful inequality tác giả Phạm Hữu Đức [1] ,bất dẳng thức đại số chứng minh (b + c)x + (c + a)y + (a + b)z ≥ (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ∀a, b, c, x, y, z > Bât đẳng thức đại số dạng đẹp mắt báo trình bày nhiều ứng dụng bất đẳng thức để xây dựng bất đẳng thức mới, báo đưa chứng minh đơn giản cho bất đẳng thức đồng thời ứng dụng bất ngờ bất đẳng thức hình học Bài tốn Với số thực dương a, b, c, x, y, z, bất đẳng thức sau (b + c)x + (c + a)y + (a + b)z ≥ (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) Chứng minh Ta có (b + c)x + (c + a)y + (a + b)z = (a + b + c)(x + y + z) − (ax + by + cz) = ≥2 ≥2 [a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)][x2 + y + z + 2(xy + yz + zx)] − (ax + by + cz) (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) + [ (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) − (ax + by + cz)] Trong [1] số bất đẳng thức đại số hay suy từ bất đẳng thức trên, nhắc lại Bài toán Với số thực dương a, b, c, x, y, z bất đẳng thức sau x y z a+ b+ c≥ y+z z+x x+y Chứng minh Trong toán thay (x, y, z) by ( 3(ab + bc + ca) y z x , , ) ta ý y+z z+x x+y yz zx xy + + ≥ (z + x)(z + y) (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Thật bất đẳng thức tương đương 4[xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x)] ≥ 3(x + y)(y + z)(z + x) ⇔ xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) ≥ 6xyz Là hệ bất đẳng thức AM-GM Chúng ta không sâu vào ứng dụng mặt đại số mà quan tâm tới ứng dụng hình học bất đẳng thức thơng qua bất đẳng thức hình học sau Bài toán Cho tam giác ABC, với điểm P mặt phẳng bất đẳng thức sau PB · PC PC · PA PA · PB + + ≥1 bc ca ab Ở a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC Chứng minh Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức trên, xong cách đơn giản có lẽ phương pháp số phức đưa đây, giả sử tọa độ phức điểm A, B, C, P A(a), B(b), C(c), P (p) dễ dàng kiểm tra đẳng thức số phức sau (b − c)(p − b)(p − c) + (c − a)(p − c)(p − a) + (a − b)(p − a)(p − b) = (a − b)(b − c)(c − a) Và ứng dụng bất đẳng thức module số phức ta dễ dàng thu BC·P B·P C+CA·P C·P A+AB·P A·P B = |(b−c)(p−b)(p−c)|+|(c−a)(p−c)(p−a)|+|(a−b)(p−a)(p−b)| ≥ |(b−c)(p−b)(p−c)+(c−a)(p−c)(p−a)+(a−b)(p−a)(p−b)| = |(a−b)(b−c)(c−a)| = AB·BC ·CA Chia hai vế cho AB · BC · CA ta thu PB · PC PC · PA PA · PB + + ≥1 bc ca ab Chú ý đẳng thức xảy tam giác ABC tam giác nhọn P trùng với trực tâm tam giác Dưới đưa vài đẳng thức hay gặp tam giác dạng bổ đề, với ký hiệu thông thường a, b, c cạnh s, R, r nửa chu vi, bàn kính đường tròn ngoại tiếp bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bổ đề Cho tam giác ABC 1/ (p − a)(p − b) + (p − b)(p − c) + (p − c)(p − a) = r(4R + r) B C 4R + r A 2/ tan + tan + tan = 2 s A B C 3/ r(4R + r) = S(tan + tan + tan ) 2 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Các ứng dụng bất đẳng thức đại số Trong mục ứng dụng vào hình học bất đẳng thức đại số tốn thơng qua việc sử dụng toán Bài toán Cho tam giác ABC, x, y, z > P mặt phẳng, bất đẳng thức sau √ PB PC PA + (z + x) + (x + y) ≥ xy + yz + zx (y + z) a b c Chứng minh Áp dụng toán ta biến toán số dương (x, y, z), (a, b, c) ( PaA , PbB , PcC ), (a, b, c) tương ứng thu (y + z) (xy + yz + zx)( ≥2 PA PB PC + (z + x) + (x + y) ≥ a b c √ PB · PC PC · PA PA · PB + + ) ≥ xy + yz + zx bc ca ab Hệ 4.1 Cho tam giác ABC điểm P PA PB PC + + ≥3 a b c Chứng minh Thật toán hệ toán ta đặt x = y = z = thu bất đẳng thức Dấu đạt tam giác ABC P trùng tâm Chú ý bất đẳng thức bất đẳng thức hình học thơng dụng ta thường thấy chúng chứng minh qua cách sử dụng tích vơ hướng Hệ 4.2 Cho tam giác ABC, x, y, z > P mặt phẳng √ xP A yP B zP C + + ≥2 (y + z)a (z + x)b (x + y)c Hệ 4.3 Cho hai tam giác ABC, A B C với mọiP P mặt phẳng ( PB P C PA PC P A PB PA P C PC + ) +( + ) +( + ) ≥2 b c a c a b a b c Chứng minh Trong toán ta đặt x = điều phải chứng minh PA PB PC ,y = ,z = ứng dụng toán ta thu a b c Bài toán Cho tam giác ABCmọi x, y, z > R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tương ứng, bất đẳng thức sau √ xa + yb + zc ≥ xy + yz + zx r(4R + r) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Chứng minh Sử dụng toán ta thay số dương (a, b, c) (p − a, p − b, p − c) ta ý tốn viết dạng x(b + c) + y(c + a) + z(a + b) ≥ (ab + bc + ca)(xy + yz + zx) Vì ta nhận x(s − b + s − c) + y(s − c + s − a) + z(s − a + s − b) ≥ ≥ (xy + yz + zx)((s − b)(s − c) + (s − c)(s − a) + (s − a)(s − b)) Ứng dụng bổ đề ta thu điều phải chứng minh √ xa + yb + zc ≥ xy + yz + zx r(4R + r) Bài tốn có vài hệ thú vị Hệ 5.1 Cho hai tam giác ABC, A B C , với P , R, r bán kinh đường ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC ta có a b c P A + P B + P C ≥ r(4R + r) a b c Chứng minh Ở toán ứng dụng toán cho tam giác A B C điểm P ta đặt PA PB PC x= ,y = ,z = nhận a b c PA PB PC a+ b+ c≥ a b c ≥2 PB · PC PC · PA PA · PB + + ) r(4R + r) ≥ r(4R + r) bc ca ab Đó điều phải chứng minh Hệ 5.2 a/ Cho tam giác ABC A B C ta có tan A B C a + tan b + tan c ≥ 2 2 r(4R + r) b/ Cho tam giác ABC tam giác nhọn A B C ta có cot A a + cot B b + cot C c ≥ r(4R + r) Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN B C A , tan , tan > 0, bây giờta ứng dụng toán đặt x = 2 A B C B C C A A B tan , y = tan , z = tan đo ý tan tan + tan tan + tan tan =1 2 2 2 2 thu Chứng minh a/ Chúng ta ln có tan tan B A B C C C A A B a+tan b+tan c ≥ tan tan + tan tan + tan tan 2 2 2 2 r(4R + r) = r(4R + r) b/trong tam giác nhọn A B C ta có cot A , cot B , cot C > ý cot B cot C + cotC cot A + cot A cot B = áp dụng tốn √ cot A a+cot B b+cot C c ≥ ≥ cot B cot C + cotC cot A + cot A cot B r(4R + r) = r(4R + r) Các ứng dụng bất đẳng thức hình học Trong mục nhiều bất đẳng hình học ứng dụng bất đẳng thức đại số, thấy bất đẳng thức dạng tổng quát, phần tiếp tục trình bày ứng dụng bất đẳng thức hình học dạng hệ Đến có ý tốn tổng qt sau cho toán Fermat tam giác giải hoàn toàn báo thầy Nguyễn Minh Hà THTT [2] báo Extending the Fermat-Toricelli problem đăng tạp chí The mathematical gazette [4] Bài toán Cho tam giác ABC điểm P mặt phẳng tìm điểm cực trị cho biểu thức xP A + yP B + zP C x, y, z số thực dương Như mặt lý thuyết tìm cực trị biểu thức có dạng xP A + yP B + zP C, nhiên nhiều trường hợp cụ thể, ta cần đến đánh giá yếu để khơng phải xét q nhiều trường hợp, ta ví dụ vấn đề chưa có lời giải Bài toán Cho tam giác ABC với điểm P mặt phẳng chứng minh sin A B C 6r P A + sin P B + sin P C ≥ 2 R Bài toán Cho hai tam giác ABC, A B C điểm P bất kỳ, bất đẳng thức sau PC · PA + PC · PA PA · PC + PA · PB PB · PC + PB · PC + + ≥2 bc ca ab Chứng minh Áp dụng hệ toán cho P ≡ P , thu hệ Và ta ý thêm hệ lại mở rộng cho bất đẳng thức toán mà ABC ≡ A B C Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài toán Cho hai tam giác ABC, A B C sin B sin C sin A + + ≥2 sin A sin B sin C r(4R + r) 6r ≥ R R Chứng minh Trong hệ toán ta cho P ≡ O tâm đường tròn ngoại tiếp tam gaics A B C ứng dụng định lý sin tam giác A B C ABC ta thu điều phải chứng minh Bài toán 10 Cho tam giác ABC điểm P P A + P B + P C ≥ r(4R + r) Chứng minh Trong hệ toán ta cho ABC ≡ A B C thu bất đẳng thức Và ta ý dạng mạnh bất đẳng thức P A + P B + P C ≥ 6r mà ta gặp sơ viết THTT chứng minh dạng sử dụng bất đẳng thức Erdos-Mordell Mặt khác ta ý thêm sử dụng điểm cực trị Fermat F tam giác ta quy bất đẳng thức bất đẳng thức lượng tam giác dạng√sau F A + F B + F C ≥ r(4R + r), sử dụng đẳng thức 2(F A + F B + F C)2 = a2 + b2 + c2 + 3S √ ta nhận bất đẳng thức dạng a2 + b2 + c2 + 3S ≥ 2r(4R + r) để ý kỹ ta thấy mạnh bất đẳng thức tiếng Finsler-Hadwiger a2 + b2 + c2 ≥ √ bất2 đẳng thức 3S + (a − b) + (b − c)2 + (c − a)2 Bài toán 11 Cho tam giác ABC điểm P mặt phẳng c a b P A + P B + P C ≥ r(4R + r) a b c a b c b/ P A + P B + P C ≥ r(4R + r) a b c a/ Chứng minh Trong hệ toán ta cho A B C ≡ BCA ta thu phần a/ cho A B C ≡ BAC ta thu phần b/ Ta thấy bất đẳng thức không đối xứng tam giác, dạng gặp Bài tốn 12 Cho tam giác ABC điểm P PA PB PC + + ≥ r(4R + r) ≥ 6r A B sin sin sin C2 Chứng minh Chúng ta cộng hai vế bất đẳng thức phần a/ b/ hệ ta thu b+c c+a a+b PA + PB + P C ≥ r(4R + r) a b c Và định lý sin ta có cos A2 cos B−C sin B + sin C ≤ = A A sin A sin cos sin A2 Vì ta thu PA PB PC + + ≥ r(4R + r) ≥ 6r A B sin sin sin C2 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài toán 13 Cho hai tam giác ABC, A B C chứng minh tan tan A2 + tan B2 + tan C2 B C A a + tan b2 + tan c2 ≥ 4S 2 tan A2 + tan B2 + tan C2 Chứng minh Bằng bất đẳng thức Cauchy-Swart theo hệ toán A B C A B C a + tan b2 + tan c2 )(tan + tan + tan ) ≥ 2 2 2 B C A B C A ≥ (tan a + tan b + tan c)2 ≥ 4r(4R + r) = 4S(tan + tan + tan ) 2 2 2 (tan Do tan A2 + tan B2 + tan C2 A B C tan a + tan b + tan c ≥ 4S 2 tan A2 + tan B2 + tan C2 Ta ý bất đẳng thức thú vị Khi ta cho A B C ≡ ABC ta thu tan Khi ta cho A B C a + tan b2 + tan c2 ≥ 4S 2 A B C ≡ BCA ta thu tan B C A a + tan b2 + tan c2 ≥ 4S 2 Và tam giác A B C tam giác ta nhận bất đẳng thức a2 + b2 + c2 ≥ 4S(tan √ B C A + tan + tan ) ≥ 3S 2 bất đẳng thức quen thuộc cot A + cot B + cot C ≥ tan B C A + tan + tan 2 Chú ý Để kết thúc viết ta đưa nhận xét tất bất đẳng thức hình học mà ta trình bày hệ bất đẳng thức đại số chúng triển khai từ bất đẳng thức hình học trình bày tốn 2, ý tưởng tương tự ta áp dụng √ bất đẳng thức quen thuộc tam giác xa2 + yb2 + zc2 ≥ xy + yz + zxS kết hợp với bất đẳng thức hình học bản, ta thu nhiều dạng bất đẳng thức hình học thú vị khác Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tài liệu [1] Pham Huu Duc, An unexpectedly useful inequality, Mathematical reflections 2008, Issue [2] Tuyển tập năm tạo chí tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất giáo dục 2004 [3] Bottema, Oene; Djordjevic, R.Z.; Janic, R.; Mitrinovic, D.S.; and Vasic, P.M., Geometric Inequalities [4] Nguyen Minh Ha, Extending the Fermt-Toricelli problem, The mathematical gazette  ... KHTN Các ứng dụng bất đẳng thức đại số Trong mục ứng dụng vào hình học bất đẳng thức đại số tốn thơng qua việc sử dụng tốn Bài toán Cho tam giác ABC, x, y, z > P mặt phẳng, bất đẳng thức sau... sâu vào ứng dụng mặt đại số mà quan tâm tới ứng dụng hình học bất đẳng thức thơng qua bất đẳng thức hình học sau Bài toán Cho tam giác ABC, với điểm P mặt phẳng bất đẳng thức sau PB · PC PC ·... áp dụng tốn √ cot A a+cot B b+cot C c ≥ ≥ cot B cot C + cotC cot A + cot A cot B r(4R + r) = r(4R + r) Các ứng dụng bất đẳng thức hình học Trong mục nhiều bất đẳng hình học ứng dụng bất đẳng thức