Đại số CHƯƠNG IV: HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH CHÓP ĐỀU I Mở đầu về hình học không gian Đường thẳng, mặt phẳng – Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng – Qua hai đường thẳng cắt xác định một và chỉ một mặt phẳng – Đường thẳng qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng Hai đường thẳng song song không gian – Hai đường thẳng a, b gọi là song song với nếu chúng cùng nằm một mặt phẳng và không có điểm chung Kí hiệu a // b – Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt không gian có thể: – Cắt – Song song – Chéo (không cùng nằm một mặt phẳng) Đường thẳng song song với mặt phẳng – Một đường thẳng a gọi là song song với một mặt phẳng (P) nếu đường thẳng đó không nằm mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nằm mặt phẳng Kí hiệu a // (P) – Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung Hai mặt phẳng song song – Nếu mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) // (P) – Hai mặt phẳng song song với thì không có điểm chung – Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng qua điểm chung đó (đường thẳng chung đó đgl giao tuyến của hai mặt phẳng) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – Đường thẳng a gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (P) Kí hiệu a ⊥(P) – Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm (P) và qua điểm A Hai mặt phẳng vuông góc – Mặt phẳng (Q) gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) ⊥(P) II Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương • Hình hợp chữ nhật có: mặt đều là hình chữ nhật, đỉnh, 12 cạnh • Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có mặt đều là hình vng • Thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc • Thể tích hình lập phương cạnh a là: V = a3 III Hình lăng trụ đứng • Hình lăng trụ đứng có: – Hai đáy là hai đa giác bằng và nằm hai mặt phẳng song song – Các cạnh bên song song, bằng và vuông góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài cạnh bên đgl chiều cao của hình lăng trụ đứng – Các mặt bên là những hình chữ nhật và vuông góc với hai mặt phẳng đáy – Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng – Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành đgl hình hợp đứng • Diện tích - Thể tích – Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao: Sxq = 2ph (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao) – Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích Trang 34 Đại số hai đáy Stp = Sxq + 2S (S: điện tích đáy) – Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: V = S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) IV Hình chóp - Hình chóp cụt • Hình chóp có: – Đáy là mợt đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh – Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao • Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng có chung đỉnh – Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn qua các đỉnh của mặt đáy – Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều đgl trung đoạn của hình chóp đó • Hình chóp cụt đều là phần hình chóp đều nằm giữa mặt phẳng đáy của hình chóp và mặt phẳng song song với đáy và cắt hình chóp – Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân • Diện tích - Thể tích: – Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn: Sxq = pd (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn) – Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy: Stp = Sxq + S (S: diện tích đáy) – Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao: V = S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) * Đường tròn qua tất cả các đỉnh của một đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác đó VẤN ĐỀ I: Chứng minh tính chất song song - vuông góc Bài Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp(ABC) Nối S với A, B, C Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, SC, SA a) Chứng minh MQ // mp(SBC) NP // mp(SAB) b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Bài Cho hình thang vng ABCD, µB = µC = 900 AD không song song với BC Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) B, lấy điểm S nối S với A, C, D a) Chứng minh AB ⊥mp(SBC) b) Chứng minh mp(SBC) ⊥mp(ABCD) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD) Bài Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) O, lấy điểm S nối S với A, B, C, D a) Chứng minh mp(SAC) ⊥mp(SBD) b) Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Chứng minh mp(MNPQ) // mp(ABCD) c) Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác biết AB = a HD: c) MNPQ là hình vuông; SMNPQ = a2 Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH a) Đường thẳng BF vng góc với mặt phẳng nào? Trang 35 Hình học b) Chứng minh mp(AEHD) ⊥mp(CGHD) c) Gọi M, P theo thứ tự trung điểm AE, CG Chứng minh MP // AC d) Gọi N, Q theo thứ tự trung điểm BF, DH Chứng tỏ M, N, P, Q nằm mặt phẳng mp(MNPQ) song song với mặt phẳng nào? Bài a) VẤN ĐỀ II: Tính diện tích - thể tích Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′ C′ D′ có AB = 12cm, AD = 16cm, AA′ = 25cm a) Chứng minh ACC′ A′ , BDD′ B′ hình chữ nhật b) Chứng minh BD′2 = AB2 + AD2 + AA′2 c) Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′ C′ D′ Bài Một thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu nước 4dm Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm chiều cao 0,5dm vào thùng Hỏi nước thùng dâng lên cách miện thùng bao nhiêm dm? (giả thiết toàn gạch ngập nước gạch không thấm nước) ĐS: Nước dâng lên cách miệng thùng là 2,49dm Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′ B′ C′ có đáy tam giác cạnh a M trung điểm cạnh BC ·AMA ′ = 600 a) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ b) Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ 3a 9a2 a2 3 ĐS: a) AA′ = b) Sxq = ; Stp = (9 + 3) ; V = a 2 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′ B′ C′ D′ có đáy ABCD hình thoi cạnh a ·DAB = 600 , AA′ = a a) Chứng minh mp(A′ BD) // mp(CB′ D′ ) b) Chứng minh mp(ACCA′ ) ⊥mp(BDD′ B′ ) c) Tính diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ a3 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′ B′ C′ có đáy tam giác đều, AA′ = 5cm ·BAB′ = 450 Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ ĐS: c) Stp = (4 + 3)a2; V = 125 3 cm Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′ C′ D′ có cạnh AB = a, AD = b M N hai điểm cạnh AB, BC Mặt phẳng (MDD′ ) cắt A′ B′ M′ , mặt phẳng (NDD′ ) cắt B′ C′ N′ Các mặt phẳng chia hình hộp thành ba phần tích a) Tính AM, CN theo a, b b) Tính tỉ số thể tích hai hình lăng trụ đứng DMN.D′ M′ N′ BMN.B′ M′ N′ VDMN.D′M ′N′ 2a = ĐS: a) AM = ;CN = b Sử dụng giả thiết thể tích b) VBMN.B′M ′N′ 3 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 25cm, đáy hình vng có cạnh 30cm a) Tính độ dài đường cao, diện tích tồn phần thể tích hình chóp ĐS: Sxq = 75cm2; V = Trang 36 Đại số b) Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng, O′ trung điểm SO Cắt hình chóp mặt phẳng qua O′ song song với mp(ABCD) ta hình chóp cụt ABCD.A′ B′ C′ D′ Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp cụt ĐS: a) SO = 43cm; Stp = 2100cm2; V = 1500 43cm3 2625 43 cm Bài Cho hình chóp S.ABC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính R = OA = 3cm M, N, P trùng điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh ·SMO = ·SNO = ·SPO b) Sxq = 900cm2; V = b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp, biết ·SMO = 600 Bài Cho hình lập phương ABCD.A′ B′ C′ D′ cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo A′ C′ B′ D′ a) Chứng minh hình chóp S.ABCD hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.ABCD hình lập phương VS.ABCD = ĐS: b) VABCD.A′B′C′D′ Bài 10 Cho hình chóp lục giác S.MNOPQR H tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đáy có bán kính R = HM = 12cm, chiều cáo SH = 35cm a) Tính diện tích đáy thể tích hình chóp b) Tính độ dài cạnh bên SM diện tích tồn phần hình chóp ĐS: a) SMNOPQR = 108cm2; V = 70 108cm3 b) SM = 37cm; Stp = 36 1333 + 108(cm2) Bài 11 Cho hình chóp cụt ABC.A′ B′ C′ có cạnh AB = 2a, A′ B′ = a, đường cao mặt bên a a) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt b) Tính cạnh bên, chiều cao thể tích hình chóp cụt a 17 9a2 a ĐS: a) Sxq = b) AA′ = , OO′ = , VABC.A′B′C′ = a3 2 Bài 12 Cho hình hộp đứng ABCD.A′ B′ C′ D′ , đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo A′ C′ B′ D′ , M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh hình chóp S.MNPQ hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.MNPQ hình hộp đứng V ĐS: b) = V Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 8cm, chiều cao 10cm a) Tính diện tích tồn phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp 640 (cm3) ĐS: a) Sxq = 16 116(cm2), Stp = 16 116 + 64(cm2) b) V = Bài 14 a) BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Trang 37 Hình học Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′ B′ C′ D′ , đáy ABCD hình thang vng có µA = µD = 900 , AB = BC = AA′ = 4cm, µC = 600 a) Chứng minh mp(ABB′ A′ ) ⊥mp(ADD′ A′ ) b) Tính diện tích tồn phần, thể tích hình lăng trụ đứng ĐS: b) Sxq ≈ 34,92(cm2), V ≈ 69,20(cm3) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′ C′ D′ a) Tứ giác AA′ C′ C hình gì? b) Gọi O giao điểm AC′ A′ C Chứng minh ba điểm B, O, D′ thẳng hàng c) Tính thể tích hình hộp, biết AD = 4cm, AB = 3cm, BD′ = 13cm ĐS: a) AA′ C′ C là hình chữ nhật b) O là trung điểm của BD′ c) V = 144(cm3) Bài Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác có cạnh 4cm Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a) Chứng minh ·SAH = ·SBH = ·SCH b) Tính thể tích hình chóp, biết ·SAH = 450 ĐS: b) V ≈ 5,33(cm3) Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′ B′ C′ D′ có đáy hình thoi cạnh 6cm, góc ·ABD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA′ , CC′ a) Tứ giác B′ MDN hình gì? b) Khi tứ giác B′ MDN hình vng, tính thể tích hình lăng trụ ĐS: a) B′ MDN là hình thoi b) V ≈ 264,72(cm3) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B′ C′ D′ có đáy ABCD hình vng, AB = 20cm, AA′ = 19,4cm a) Chứng minh tứ giác ABC′ D′ , CDA′ B′ hình chữ nhật b) Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp c) Gọi S giao điểm hai đường chéo A′ C′ B′ D′ Chứng minh S.ABCD hình chóp d) Tính độ dài cạnh bên SA, diện tích tồn phần thể tích hình chóp ĐS: b) Stp = 2352(cm2),V = 7760(cm3) d) SA = 24(cm), Stp = 1272(cm2),V = 2586,7(cm3) Bài a) Trang 38 ... tích hình chóp 640 (cm3) ĐS: a) Sxq = 16 116(cm2), Stp = 16 116 + 64( cm2) b) V = Bài 14 a) BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Trang 37 Hình học Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′ B′ C′ D′ , đáy ABCD hình. .. hình chóp S.MNPQ hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.MNPQ hình hộp đứng V ĐS: b) = V Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 8cm, chiều cao 10cm a) Tính diện tích tồn phần hình. .. song với mp(ABCD) ta hình chóp cụt ABCD.A′ B′ C′ D′ Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp cụt ĐS: a) SO = 43 cm; Stp = 2100cm2; V = 1500 43 cm3 2625 43 cm Bài Cho hình chóp S.ABC Gọi O