Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 46 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
46
Dung lượng
873,08 KB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM MIN - MAX Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng năm 2021 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – MIN MAX Dạng 1: Dùng bất đẳng thức biến đổi tương đương Dạng 2: Dùng phương pháp tam thức bậc hai Dạng 3: Dùng bất đẳng thức AM-GM (Cô-si) Dạng 4: Dùng bất đẳng thức Cauchy dạng cộng mẫu số Dạng : Dùng bất đẳng thức Cauchy dạng nghịch đảo Dạng 6: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki DẠNG 1: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Câu Cho x, y, z thỏa ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1, y + z ≤ 2, x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn của: P = x2 + y + z Hướng dẫn Ta có y + z 2= (2 y + z ) y + ( z − y ) z ≤ y + z= 2y + z z + ≤ 2 x + y + z = (3 x + y + z ) x + (2 y + z )( y − z ) + ( z − y ) z ≤ x + 2( y − x) + ( z − y ) x + y + z y + z z 11 = x+ y+z = + + ≤ 6 x + y + z 2 y + z z 49 ⇒ x= +y +z + + ≤ 36 1 Vậy Max P = , khi= x = ;y = ; z Câu Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 1 1 M =x+ + y+ x y Hướng dẫn 1 1 Ta có: M = x + + y + x y 1 = x2 + + + y + + x y 2 x2 + y = + ( x + y ) 1 + 2 2 x y x y Vì x, y > nên ta viết: = + x2 + y2 + ( x− y ) ≥ x + y ≥ xy 1 ≥ 2 ≥ 16 (1) x y xy Dấu “=” xảy x= y= Ngồi ta có: ( x − y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇔ 2( x + y ) ≥ xy + x + y ⇔ 2( x + y ) ≥ ( x + y ) ⇔ 2( x + y ) ≥ (vì x + y = 1) Mà x + y = nên ≥ xy Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ x2 + y ≥ (2) Dấu “=” xảy x= y= Từ (1) (2) cho ta: M = + ( x + y )(1 + 1 25 ) ≥ + (1 + 16) = x y 2 25 Dấu “=” xảy đồng thời (1) (2) xảy dấu “=” nghĩa x= y= 25 Vậy GTNN M = x= y= 2 Câu Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b b + c c + a = Chứng minh Do đó: M ≥ ( ( a − ab + b )( b 2 + Ta chứng minh kết ( a − ab + b )( )( ) − bc + c )( c − ca + a ) ≥ Hướng dẫn ) 2 ≥ a + b (1) ( ) ( 2 Thật vậy, (1) ⇔ a + b + a 2b + 2a 2b − 2ab ( a + b ) ≥ a + b ⇔ a + b − 2ab ) ≥0 ⇔ ( a − b ) ≥ , bất đẳng thức đúng, dấu xảy a = b + Tương tự có (2): ( b − bc + c ) ≥ b + c , (3): ( c − ca + a ) ≥ c + a 2 + Thấy vế (1), (2), (3) không âm, nhân theo vế bất đẳng thức ta ( a − ab + b ) ( b − bc + c ) ( c − ca + a ) ≥ ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( 2 hay a − ab + b ) (b 2 − bc + c ) ( c − ca + a ) ≥ (*) 2 2 2 2 Do a − ab + b , b − bc + c , c − ca + a ≥ nên từ (*) suy (a − ab + b )( b − bc + c )( c − ca + a ) ≥ , có Đpcm Câu Cho số thực khơng âm a, b thỏa mãn a2 + b2 = Chứng minh a 3b + + b 3a + + 3a + 3b + ≤ Vì a2 + b2 = nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 8a 3b + + 8b 3a + + 3a + 3b + ≤ 72 ( ) ( ⇔ 2a 3b + − 3b + + + 2b 3a + − 3a + + ( ) ) +4 3a + − 3a + 3b + + 3b + + 11(a − a + 1) +11(b − 2b + 1) + 6(a − ab + b ) ≥ ⇔ 2a ( ) 3b + − + 2b ( ) 3a + − + ( 3a + − 3b + ) +11(a − 1) + 11(b − 1) + 6(a − b) ≥ (*) Bất đẳng thức (*) đúng, suy đpcm Đẳng thức xảy a = b = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu Cho hai số dương x y Chứng minh x + Hướng dẫn 2 y + ≥ y x 2 y x + y x + ≥ ⇔ ( xy + )( y + y ) ≥ xy Biến đổi BĐT dạng x ( y − ) + 2y ( x − 1) ≥ (Đúng với x, y >0) 2 Đẳng thức xảy khi= x 1;= y Câu Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca − 4abc Hướng dẫn Khơng tính tổng qt giả sử: a ≤ b ≤ c ⇒ a ( b − a )( b − c ) ≤ ⇒ ab + ca − abc ≤ a 2b P = ab + bc + ca − 4abc ≤ ( ab + ca − abc ) + bc ≤ a 2b + bc ⇒ P ≤ b ( a + c2 ) = b ( − b2 ) a = Mặt khác b ( − b ) = − ( b − 1) ( b + ) ≤ ⇒ P ≤ Dấu xảy ⇔ b = c = 2 ( ) Vậy max P = , đạt ( a; b; c ) = 0;1; hoán vị tương ứng Câu Cho x, y, z số thực thỏa mãn x ≥ , x + y ≥ 12 x + y + z = 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + z Ta có: ( x − ) ( y − 5) ≥ ( z − 3) ≥ 2 Hướng dẫn ≥ ∀x ⇔ x − 14 x + 49 ≥ ⇔ x ≥ 14 x − 49 ∀y ⇔ y − 10 y + 25 ≥ ⇔ y ≥ 10 y − 25 ∀z ⇔ z − z + ≥ ⇔ z ≥ z − ⇒ A = x + y + z ≥ 14 x + 10 y + z − 83 ⇒ A ≥ ( x + y + z ) + ( x + y ) + x − 83 ⇒ A ≥ 6.15 + 4.12 + 4.7 − 83 hay A ≥ 83 Dấu “ = ” xảy khi= x 7,= y 5,= z (thỏa mãn) Câu Chứng minh ( x + y + z ) + xyz ≥ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) với x , y, z số thực không âm Đẳng thức xảy nào? Chứng minh ( x + y + z) Hướng dẫn + xyz ≥ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) ( *) với x , y, z số thực không âm Đẳng thức xảy nào? (*) ⇔ x + y3 + z3 + 3xyz − x y − x z − y x − y z − z2 x − z2 y ≥ ⇔ x ( x − y )( x − z ) + y ( y − x )( y − z ) + z ( z − x )( z − y ) ≥ ( **) Khơng tính tổng qt, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ Khi ( **) ⇔ z ( z − x )( z − y ) + ( x − y ) x ( x − z ) − y ( y − z ) ≥ ( hiển nhiên đúng) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu xảy x= y= z hai số nhau, số lại DẠNG 2: DÙNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Câu Cho số thực x, y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= xy ( x − )( y + ) + 13 x + y − 26 x + 24 y + 46 Hướng dẫn Biểu thức P viết lại dạng P = x ( x − ) y ( y + ) + 13x ( x − ) + y ( y + ) + 46 Đặt= a x ( x − ) =( x − 1) − b= y ( y − +6= ) ( y + 3) − ta có P = ab + 13a + 4b + 46 = ( a + )( b + 13) − 2 = ( x − 1) + 3 ( y + 3) + − ≥ 3.4 − = Dấu đẳng thức xảy x = y = −3 Vậy P = Câu Cho hai số dương x, y thỏa mãn x ( x3 + y ) + xy ( x + y − ) = ( x + y ) ( xy + ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= Đặt S =+ x y, P = x y,S > 0, P > 1 x y + + 1 2 y x Hướng dẫn x y S − 2P S2 + 1 ⇒ P = T= + + 1= 2 y x 2 P 2T + ( x3 + y ) + xy ( x + y − ) = ( x + y ) ( xy + ) ⇔ S − 12 P = S ( P + ) S2 S2 ⇔ S − 12 = S + 4 2T + 2T + ⇔ S − ( 2T + 1) S + 8T + 16 = 0(1) x= + x= − S= Vậy T = ⇔ ⇔ P = y= − y= + ( 1) có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ 4T − 4T − 15 ≥ ⇒ T ≥ DẠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY) Dạng tổng quát (n số): ∀x1, x2, x3 …… xn ≥ ta có: • Dạng 1: • Dạng 2: x1 + x2 + xn n ≥ x1 x2 xn n x1 + x2 + xn ≥ n n x1 x2 xn x + x2 + xn Dạng 3: ≥ x1 x2 xn n Dấu “ = ” xảy khi: x= x= = xn Hệ 1: n • Nếu: x1 + x2 + + xn =S =const thì: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 S Max P = x1x2 xn = n ( ) n TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x= S x= = xn = n Hệ 2: Nếu: x1 x2 xn= P= const thì: x= Dạng cụ thể ( số, số ): n = 2: ∀ x, y ≥ đó: Min ( S = x1 + x2 + x2 ) = nn P n x= = xn = P n= 3, ∀x, y, z ≥ đó: x+ y ≥ xy x + y ≥ xy x+ y+ z ≥ xyz x + y + z ≥ 3 xyz 2.3 x+ y ≥ xy x+ y+ z ≥ xyz 2.4 ( x + y ) ≥ xy ( x + y + z ) ≥ 27 xyz 1 + ≥ x y x+ y ≥ xy ( x + y )2 1 + + ≥ x y z x+ y+ z ≥ xyz ( x + y + z )3 2.1 2.2 2.5 2.6 Câu Cho ( x + y) x, y > Tìm GTNN biểu thức : Q = xy Hướng dẫn Nhận xét: Ta nên nhớ mục đích đánh giá Q ≥ m nên nhìn vào biểu thức ta có hai hướng để khai thác : Hướng thư : Khai thác tử số dùng cauchy đánh giá mẫu, hướng thứ hai khai thác mẫu dùng cauchy đánh giá đưa tử sau rút gọn đến điều cần chứng minh Sau ta khai thác theo hướng hai Ta có: 1 4x + y + y 4 xy = x + y = x + y ( x )( y )( y ) ≤ ( ) ( ) = 27 16 16 16 3 27 Dấu xảy khi= x 1;= y 27 Vậy Q = ⇒Q≥ Câu 4c Tìm Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn điều kiện ( a + c )( b + c ) = giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = a b ab + + b + 3c a + 3c bc + ca Lời giải Do a , b , c số thực dương nên giả thiết toán viết lại thành Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( a + c )( b + c ) =4 ⇔ a + 1 b + 1 =4 c c2 Đặt x = c a b ; y = ( x > 0; y > ) Khi giả thiết trở thành ( x + 1)( y + 1) = c c Cũng từ a = cx ; b = cy , thay vào biểu thức P ta P= cx cy c xy x y xy + + = + + cy + 3c cx + 3c c x + c y y + x + x + y Đến ta xử lí tốn sau +) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ta xy =3 − ( x + y ) Đặt t = x + y > áp dụng bất đẳng thức Từ ( x + 1)( y + 1) = AM – GM ta có 1 ( x + y ) ≥ xy nên suy − t ≤ t hay t + 4t − 12 ≥ nên t ≥ 4 Như ta có ≤ t < Biểu thức P viết lại thành x2 + y + 3( x + y ) ( x + y ) + ( x + y ) − xy + xy x y xy xy P= + + = + = y+3 x+3 x+ y xy + ( x + y ) + x+ y ( x + 3)( y + 3) x + y t + 3t − ( − t ) − t t + 5t − − t ( t − 1)( t + ) − t t 3 P= + = + = + =+ − − t + 3t + t 2t + 12 t (t + 6) t t Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có Dấu xảy t = ⇔t= t t 3 + ≥2 =6 Do P ≥ − t 2 c x + y =6 a + b = 6⇔ ⇔ = ab c − xy= − Vậy giá trị nhỏ biểu thức P ( ) ( ) c 6; − , đạt a + b = = ab c − +) Tìm giá trị lớn biểu thức P Như ta có ≤ t < P = P= t 3 + − Do ta có biến đổi t ( t − )( t − 3) + t 3 t − 3t + t − 5t + + − = = +1 = t 2t 2t 2t Do ≤ t < nên ta có ( t − )( t − 3) ≤ Do suy 2t P ≤ Dấu xảy +y = x= x t =2 ⇔ ⇔ ⇔ a =b =c = xy 1= y Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu Vậy giá trị lớn biểu thức P 1, đạt a= b= c Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn a + b + c + ab= 2c ( a + b ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: = P c2 (a + b − c) + c2 ab + 2 a +b a+b Lời giải Trước hết từ giả thiết ta có biến đổi a + b + c + 2ab = 2c ( a + b ) ⇔ a + b + c + ab = 2ac + 2bc ⇔ a + b + c + 2ab − 2bc − 2ab = ab ⇔ ( a + b − c ) = ab Do ta viết lại biểu thức P thành c2 c2 ab c c2 ab P= + + =+ + 2 2 ( a + b − c ) a + b a + b ab a + b a + b Để ý ta có 4ab ≤ ( a + b ) nên ta có (a + b − c) (a + b) ab ≤ = ⇔− a+b a+b a+b ≤ a+b−c ≤ ⇔ ≤ c ≤ (a + b) 2 2 ( a + b ) + ab c2 c2 ab ( a + b ) Từ ta P = + + ≥ + ab a + b a + b 4ab ( a + b2 ) a + b 2 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (a + b) P≥ + 4ab (a + b) ≥ + (a + b) ≥ 1+ 8ab ( a + b2 ( a + b ) + ab ab ( a + b ) ( a + b ) + = + + a+b 8ab 8ab a+b a + b2 ) (a + b + a + b) 8ab (a + b) ( + 2ab (a + b) 2 ( 8ab + a + b 2 ) ( a + b ) + ab ( a + b ) ab 1+ + = 8ab a+b (a + b) ) ≥ 1+ (a + b) 8ab 2ab (a + b) = + = 2 Xảy a= b= c Vậy giá trị nhỏ P Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = 2017 Tìm giá trị lớn Câu biểu thức: M= a b 4c + + a +1 b +1 c +1 Lời giải 2 a + − b + − ( c + 1) − 6− + + = + + + Ta có M = a +1 b +1 c +1 a +1 b +1 c +1 c +1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho bốn số dương x , y , z , t ta có x + y + z + t ≥ 4 xyzt 1 1 , , , ta có x z t y Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho bốn số dương 1 1 + + + ≥ 44 x y z t xyzt 1 1 Từ ta suy ( x + y + z + t ) + + + ≥ 16 x y z t Áp dụng bất đẳng thức ta có ta có 2 c +1 c +1 +b + + + + + + a + 1 1 ≥ 16 2 a +1 b +1 c +1 c +1 1 16 ⇔ 2020 + + + + ≥ = ≥ 16 ⇔ a + b + c + 2020 505 a +1 b +1 c +1 Vậy ta M ≤ 6− 3026 = 505 505 Dấu xảy 2017 a + b + c = a= b= 504 c +1 ⇔ c = 1009 a + = b + = 3026 , xảy a= b= 504 ; c = 1009 505 Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ Do giá trị lớn M Câu biểu thức: M= 1 + 8a + 1 + 8b + 1 + 8c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có + 8a = (1 + 2a ) (1 − 2a + 4a ) ≤ Điều dẫn đến 1 + 8a ≥ + 2a Hồn tồn tương tự ta có Do ta có M ≥ (1 + 2a ) + (1 − 2a + 4a ) =+ 2a 1 + 8b3 ≥ ; + 2b 1 + 8c3 ≥ + 2c 1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có + + 2 + 2a + 2b + 2c 1 1 1 + + ≥ 3 2 2 + 2a + 2b + 2c + 2a + 2b + 2c Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (1 + 2a ) + (1 + 2b ) + (1 + 2c ) ≥ (1 + 2a )(1 + 2b )(1 + 2c ) 2 2 2 1 Suy 3 + ( a + b + c ) ≥ + + 2 2 a b c + + + Điều dẫn đến M ≥ = Đẳng thức xảy + ( a + b2 + c2 ) a= b= c= Vậy giá trị nhỏ M 1, xảy a= b= c= Câu Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn điều kiện 3a + 4b + 6c = 29 Tìm 2 giá trị nhỏ biểu thức P = 2a + b + c Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho số dương ta a + a + ≥ 3a b + 22 ≥ 4b c + 32 ≥ 6c Khi P + + + ≥ 3a + 4b + 6c Suy P ≥ 3a + 4b + 6c − − − = 15 a = Đẳng thức xảy b = c = Cho ba số a, b, c dương Câu Chứng minh rằng: 1 a+b+c + + ≤ a + bc b + ac c + ab 2abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a + bc ≥ 2a bc ⇒ ≤ = a + bc a bc Hướng dẫn 1 1 1 ≤ + ab ac ab ac 1 1 b + ac ≤ ba + bc Tương tự : ⇒ ≤ 1 + c + ab ca bc 1 1 1 a+b+c + + ≤ + + = ⇒ a + bc b + ac c + ab ab bc ca 2abc Dấu “=” xảy a= b= c Câu Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: A= x2 + y x− y Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do ( m + n + p ) ≥ 3(mn + np + pm) ⇒ ( x + y + 1) ≥ ( xy + x + y ) ⇒ a ≥ Vậy MinA = 10 a = ⇒ x = y =1 Ví dụ Cho x > 0, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức = A xy x2 + y + xy x+ y Hướng dẫn Có A= Đặt t = ( x + y) − xy xy xy + = x+ y ( x + y) xy 2 xy + − 2= x+ y x+ y x+ y ≥ 2⇒ t ≥ , x + y ≥ xy ⇒ xy xy x+ y xy −2 + xy x + y Cos i t2 1 t2 t + −2= + t −2 Ta A = + + t −2 ≥ t t t t 2 + t −2≥ + − 2= (do t ≥ ) 8 Vậy MinA = t = ⇒ x = y Ví dụ Cho a > 0, b > 0, c > thỏa mãn b + c ≤ a Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P = ( b2 + c2 ) + a + a b c Hướng dẫn bc a 1 2bc 2a = 2 + Có P= ( b + c ) + a + ≥ + a bc b c a a bc = a b + c 2bc Đặt t = ≥ ≥ =2 ta bc bc bc t 3t t 3t 1 3t 3.2 P = t + = + + ≥ + = + ≥ + = (do t ≥ ) 4 t t t b = c a ⇔ b =c = Vậy MinP = 2 a b + c = Ví dụ Cho x > 0, y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 2 P= + 1+ x y x y Hướng dẫn 1 Có P ≥ + x y = + xy x y x y x+ y Đặt a = xy , xy ≤ ≤ ⇒ < a ≤ , ta 4 P≥2 1 1 1 + a = + 16a − 15a ≥ 2 16a − 15a = − 15a ≥ − 15 = 17 < a ≤ a a 4 a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ví dụ 6: Cho x > 0, y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 = P + + xy 2 x +y xy Hướng dẫn 1 với ∀a, b > Có P = + + xy Sử dụng + ≥ + a b a+b xy xy x +y Vậy MinP = 17 x= y= Khi 1 4 + ≥ = ≥= (do < x + y ≤ ) 2 x +y xy x + y + xy ( x + y ) 12 x+ y Suy P ≥ + + xy Đặt a = xy, xy ≤ ≤ ⇒0 Cách 1: Sử dụng ≥ với ∀a, b + ≥ a b a+b c 2 2 1 1 1 x+ + y+ x+ x + y+ y 1 x y ≥ x+ y+ = ≥ ta K 2 x+ y 2 Đặt a= x + y , điều kiện < a ≤ , ta được: 2 1 3 1 3 K ≥ a + = a + + ≥ a + 2 a a a 2 a a 2 2 25 1 3 3 25 (do < a ≤ ) Vậy, MinK = x= y= = + ≥ + = 2 2 a 1 2 1 1 Cách 2: K = x + + y + =( x + y ) + + + ≥ xy + + x y y xy x x+ y Đặt a = xy, xy ≤ ≤ ⇒ < a ≤ Ta được: 4 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 15 25 25 15 (do < a ≤ ) Vậy MinK = x= y= K ≥ + + ≥ + + = 2 4a 4 Ví dụ 8: Cho x > 0, y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 S = 1 + x + + 1 + y + x y 3 Hướng dẫn 1 a +b a+b ∀a + b > Sử dụng ≥ với ∀a + b ≥ + ≥ a b a+b 3 3 1 1 1 1 x y + + + + + 1+ x + x +1+ y + y x y ≥ 2 Khi S 2 Đặt a= x + y , điều kiện < a ≤ , ta 1 4 1 3 S ≥ + a + = 2 + a + + a 4 a a 4 Vậy MinS = 3 3 1 3 3 1 343 ≥ + a + = + ≥ + = a a a 4 4 4 1 343 x= y= BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 1 1 1 Câu Cho biểu thức , B= = A + + + + + + + 1+ 2+ 24 + 25 24 a) Tính giá trị A b) Chứng minh B > Hướng dẫn a) Tính giá trị A 1 = A + + + 1+ 2+ 24 + 25 Nhận xét: ta nhận thất số đơn vị, bỏ dấu trừ cho mẫu số cộng, trừ Khi làm mẫu số Phương pháp quen thuộc bỏ nhận với biểu thức liên hợp 1 1− 2− 24 − 25 = A + + + = + + + 1− 2−3 24 − 25 1+ 2+ 24 + 25 = − + − + − − 24 + 25 Vậy A = b) Chứng minh B > 1 1 B= + + + + 24 Nhận xét: ta thấy dấu chứng minh B khơng có dấu bằng, khử mẫu số khơng đưa mẫu số để làm mẫu số Hướng giải toán tạo hai đại lượng cho toán giống câu a This image cannot currently be displayed Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 1 + + + + + + + + = 24 24 2 2 1 = + + + + 2+ 3+ 24 + 24 1+ 1 Vì: + < + ⇒ > 1+ 1+ 1 1 Khi B > + + + + 2+ 3+ 24 + 25 1+ 1 Mà + + + = theo câu a 1+ 2+ 24 + 25 Vậy B > (đpcm) Suy B > 2.4 = Câu Rút gọn biểu thức 1 1 a) A = , với n ∈ ; n ≥ + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n 1 1 b) = , với B − + − + − 1− 2− 3− 2n − − 2n − 2n − − 2n n ∈ ; n ≥ Hướng dẫn 1 1 a) Rút gọn A = + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n Nhận xét: toán tổng quát dạng toàn Phương pháp ta nhân liên hợp để khử thức mẫu số 1− 2− 3− n −1 − n A= + + + + 1− 2−3 3− n −1− n = − + − + − + − − n − + = n n −1 Vậy = A n −1 1 1 a Rút gọn = B − + − + − 1− 2− 3− 2n − − 2n − 2n − − 2n Ta có B = = B ( 1+ 2+ 3+ 2n − + 2n − 2n − + 2n − + − + − 1− 2−3 3− 2n − − ( n − 1) 2n − − 2n ) = − 1+ + + − ( ) + + − ( ) 2n − + 2n − + 2n − + 2n =− − + + − − + − 2n − − 2n − + 2n − + = 2n Vậy= B 2n − Câu Chứng minh: 1 1 + + + + < , với n ∈ * a) 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) b) 1 1 + + + + < , với n ∈ * 2 n 2n − Hướng dẫn 1 = − a) Ta có n ( n + 1) n n + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nên 1 1 1 1 n 1 1 = − + − + − + + − + + + + = 1− = < n n +1 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) 2 3 n +1 n +1 Vậy 1 1 + + + + < , với n ∈ * (đpcm) 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) b) Ta có < n − < n ⇒ ( n − 1) n < n.n ⇒ 1 1 < > , hay = n n.n ( n − 1) n ( n − 1) n n.n 1 1 1 1 1 1 − = + − < (vì > ) + + + + < + − + − + + 2 n −1 n n n n 1 1 Vậy + + + + < , với n ∈ * (đpcm) n Nên + + + + < , (vế trái có n dấu căn, n ∈ * ) Hướng dẫn Với n = Khi bất đẳng thức ⇔ < (luôn đúng) Câu Chứng minh n >1 Với Khi 2 < ⇔ 2+ < 2+2 = ⇔ 2+ < = ⇔ 2+ 2+ < 2+2 = ⇔ + + < Suy + + + < ( có n dấu n căn, n ∈ ) * + + + + < , (vế trái có n dấu căn, n ∈ * ) (đpcm) Vậy Câu Chứng minh < + + + + < , (có n dấu căn, n ∈ * ) n Hướng dẫn Với n = Khi bất đẳng thức ⇔ < < ⇔ < < (luôn đúng) Với n > + + + + > > = , (có n dấu căn, n ∈ * ) (1) Ta có n Và < ⇔ < ⇔ + < ⇔ + < ⇔ + + < Suy + + + + < (có n dấu căn, n ∈ * ) ( ) n Từ (1) ( ) < + + + + < n Vậy < + + + + < , (có n dấu căn, n ∈ * ) n Câu Chứng minh < − + + + + n − + + + + < n−1 (tử số có n dấu căn, mẫu số có n − dấu căn, n ∈ * , n > ) Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nhận xét: ta nhận thấy số tử số nhiều số mẫu số dấu Để so sánh đưa số để so sánh Phương pháp bớt dấu dùng phép nhân liện hợp Ta có VT = − + + + + n nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp tử − + + + + n −1 số + + + + + n − + + + + + + + + + n n Khi VT = − + + + + + + + + + n −1 n − + + + + + n −1 = − + + + + + + + + + n −1 n − + + + + = n −1 − + + + + + + + + + n −1 n = + + + + + n Mà ta lại có: Với n > 2, n ∈ N * Khi < < ⇔ < + < + = ⇔1< < 2+ < = ⇔ 3< 2+ 2+ < 2+2 = ⇔1< 2+ 2+ < Suy < + + + < ⇔ < + + + + < n Khi < n < < + + + + + n Vậy < − + + + + n − + + + + n−1 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com (tử số có n dấu căn, mẫu số có n − dấu căn, n ∈ * , n > ) 1 1 Câu Chứng minh 17 < + + + + < 18 100 Hướng dẫn Nhận xét: Bài toán phương pháp tạo mẫu số hai số để so sánh với số đứng liền trước số đứng liền sau 1 1 Ta có + + + + 100 This image cannot currently be displayed 1 1 = 2 + + + + 3+ 4+ 100 + 100 2+ 1 1 Khi + + + + 2+ 3+ 4+ 100 + 100 1 1 < + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 1− 2− 3− 99 − 100 = + + + + 1− 2−3 3− 99 − 100 = − + − + − + − − 99 + 100 =−1 + 10 =9 1 1 Suy + + + + < 18 (1) 3+ 4+ 100 + 100 2+ Và 1 1 1 1 + + + + > + + + + 2+ 3+ 4+ 100 + 100 2+ 3+ 4+ 100 + 101 2− 3− 4− 100 − 101 + + + + 2−3 3− 4−5 100 − 101 = = − + − + − + − − 100 + 101 = − + 101 > 100 − 17 = (vì 9 ⇔− 2>− 101 > 100 ) 4 1 1 Nên 17 < + + + + ( 2) 3+ 4+ 100 + 100 2+ 1 1 Vậy 17 < + + + + < 18 (đpcm) 100 1 1 Câu Chứng minh + + + + > 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 Hướng dẫn Nhận xét: ta nhận thấy vế trái, tổng số 2000 , số đầu tiền số thứ hai chạy từ 1999 đến , suy có 1999 phân số chạy từ đến 1999 2.1999 = = Vế phải 1,999 1000 2000 2< This image cannot currently be displayed Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a + b2 (với a, b ≥ ) Dấu “=” xảy khi a = b + 1999 2000 = Ta có 1.1999 < (bất đẳng thức khơng xảy dấu ≠ 1999 ) 2 Suy > 1.1999 2000 1 1 Khi VT = + + + + 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 2 2 > + + + + ( 1999 phân số) 2000 2000 2000 2000 Bất đẳng thức áp dụng ab ≤ 1999 2.1999 > = 1.999 2000 1 1 Vậy + + + + > 1,999 (đpcm) 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 1 1 Câu Chứng minh + + + + < 2 ( n + 1) n Hướng dẫn 1 1 Nhận xét: VT = + + + + ( n + 1) n MỘT SỐ KĨ THUẬT * Kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, tìm Min – Max 1) Kỹ thuật chọn điểm rơi Kỹ thuật chọn điểm rơi kỹ thuật quan trọng bước đầu nghiên cứu bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) Để áp dụng kỹ thuật này, người giải toán cần làm bước sau: Bước 1: Dự đoán biểu thức đề đạt dấu biến mấy, mối quan hệ biến xảy dấu (hay gọi điểm rơi) Bước 2: Khéo léo tách ghép để áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM) giá trị đại số số hạng phải điểm rơi Bước 3: Xử lý phần lại (phần dư sau tách, ghép) dựa vào kiện ban đầu tốn Thơng thường, dự đốn điểm rơi phần cịn lại dễ xử lý (thường cần thay điều kiện ban đầu tốn xong) VÍ DỤ MINH HỌA Bài Cho x ≥ Tìm Min P = 3x + 2x Hướng dẫn Dự đoán x = (việc dự đoán chủ yếu kinh nghiệm người giải bài, dùng máy tính Casio để dự đốn điểm rơi nhờ chức lập bảng giá trị (chức Table) thay số (chức CALC)) 1 Khi x = ⇒ = ;3 x= ⇒ Ta cần ghép cho giá trị đại số đối tượng đem Cô2x si phải bẳng nhau, phải ghép để áp dụng bđt biến triệt tiêu bớt đi, ví dụ ta Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 x với số hạng x = 1, ra, áp dụng bđt số 2 2x hạng nhân với triệt tiêu ẩn x Do đó, ta có Hướng dẫn sau: x 5x 5.1 x 5x ≥2 + ≥ + =(lưu ý điều kiện x ≥ đề để thay vào P= + + 2x 2 2 2x 5x ) Vậy Min P = ⇔ x = 1 Bài Cho a ≥ 10; b ≥ 100; c ≥ 1000 Tìm Min P = a + + b + + c + a b c Hướng dẫn 1 Bài toán chất tìm Min a + ; b + ; c + a b c 1 Xét a + , dự đoán điểm rơi a = 10 ⇒ = a a 10 a 99a 99 101 ⇒a+ = + + ≥ + = a 100 a 100 10 10 10 111 Tương tự ⇒ Pmin = 1110 + = a 10; = b 100; = c 1000 1000 Chứng minh rẳng: a + b + b + c + c + a ≤ Bài Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Hướng dẫn Dự đoán dấu xảy a= b= c= ⇒ a+b =b+c = c+a = 3 ⇒ Ta có cách nhóm sau: a+b+ ( a + b) ≤ 2 b+c+ (b + c ) ≤ 2 c+a+ (c + a) ≤ ghép 2 P ≤ a + b + c + ⇒ P ≤ ⇔ P ≤ 3 Dấu xảy ⇔ a = b = c = Bài Cho x, y ≥ Chứng minh rằng: x y − + y x − ≤ xy Hướng dẫn Dự đốn: Do bất đẳng thức có dạng đối xứng biến ⇒ Min thường xảy x = y Ta tìm điểm rơi sau: x y − + y x − =xy ⇒ ⇔ x x − =x (thay x = y ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔x= Vậy dấu xảy x= y= ⇒= x 2; y −= 1 Do cần xuất xy ⇒ ta xử lý sau: y − + xy x y −= x ( y − 1) ≤ x = 2 x − + xy y x −= = y ( x − 1).1 ≤ y 2 ⇒ P ≤ xy (đpcm) Dấu xảy ⇔ x = y = Bài Cho x, y > , thoả mãn x + y ≤ Tìm Min A = 1 − 1 − y x Hướng dẫn Bài tốn xử lý khó, ta sử dụng mẹo chọn điểm rơi sau Dự đoán dấu ⇔ x = y = ⇒ Min A = Vậy ta chứng minh 1 − 1 − ≥ điều x y Ta trình bày sau: Ta chứng minh 1 − 1 − ≥ ∀x, y > thoả mãn x + y ≤ x y ⇔ ( x − 1)( y − 1) ≥ x y ⇔ − ( x + y ) + ≥ x y ⇔ x + y + x y ≤ ⇔ x y ≤ xy ⇔ xy ≤ (luôn đúng) (luôn đúng) ⇒ đpcm Bài Cho x, y ∈ thoả mãn: x + y + xy = = x2 + y Tìm Min P Hướng dẫn Dự đoán dấu xảy x = y x = Từ điều kiện ⇒ x + x − = ⇔ x = −4 Thay x = y =2 ⇒ P =8 x =y =−4 ⇒ P =32 Dự đoán PMin = ⇔ x = y = Ta có Hướng dẫn sau: Vì xy ≤ x + y ≤ ⇒ xy ≤ Ta có: x + ≥ x (1) (Vì x = x = nên ta ghép x + ) y2 + ≥ y ( 2) x + y ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≤ xy ( 3) Cộng (1) , ( ) , ( 3) ⇒ ( x + y ) + ≥ ( x + y + xy ) ⇒ x + y ≥ Dấu xảy ⇔ x = y = Bài Cho a, b ∈ thoả mãn: ≤ a ≤ 3; ≤ b ≤ 11 a + b = 11 Tìm Max P = ab Hướng dẫn Dự đoán điểm rơi Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Bài tốn rơi vào điểm đặc biệt ( 0;11) ; (1;10 ) ; ( 2;9 ) ; ( 3;8 ) (nói nơm na tượng đặc biệt (Min-Max) thường xảy điểm đặc biệt) Dễ thấy cặp ( 3;8 ) cho ab đạt Max ⇒ a = 3; b = Khi ghép áp dụng Cô-si, ta cần cân hệ số Ta tách sau: a 3= b 24 khi= P = ( 8a )( 3b ) (vì 8= a 3,= b ) 24 2 3 ( a + b ) + 5a 11 + 5.3) ( ( 8a + 3b ) 24 (vì a ≤ ) ⇒P≤ = = ≤ 24 96 96 ⇒ Max P = 24 a + b 11 = = a Dấu xảy ⇔ ⇔ = a 3= b 27 Chứng minh abc ≤ Bài Cho a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ thoả mãn a + b + c = Hướng dẫn Dự đoán: đầu tiên, ta dự đốn c = Do vai trị a, b giống ⇒ a = b ⇒ Điểm rơi: a= b= ; c= c Xét= P abc = 2.a.b x+ y+z Do x + y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ c 3 a+b+ (a + b + c) + a + b 2a + 2b + c ⇒ P ≤ = ⇒ P ≤ 6 Do a + b + c = , mà c ≥ ⇒ a + b = − c ≤ 27 6+3 ⇒ P ≤ = (đpcm) BÀI TẬP ÁP DỤNG x Bài Cho x ≥ Tìm Min P= x + x Chứng minh Bài Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Bài Cho x ≥ Tìm Min P= x + a (b + 3c) + b(c + 3a ) + c(a + 3b) ≤ Chứng minh Bài Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = a2 b2 c2 + + ≥1 b+2 c+2 a+2 Bài Cho a, b > Chứng minh Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a b 8ab + + ≥4 b a ( a + b) Bài Cho a, b, c > thoả mãn a + 2b + 3c ≥ 20 Chứng minh P = a+b+c+ + + ≥ 13 a 2b c Hướng dẫn Bài Ghép x 8x 8.3 16 P= + + ≥2 + = x 9 Bài x x 3x 3.2 P= + + + ≥ 3 + = 8 x 64 4 Bài 4a + b + 3c Xét 4a ( b + 3c ) ≤ (Dự đoán a= b= c= ) 4b + c + 3a 4b ( c + 3a ) ≤ 4c + a + 3b 4c ( a + 3b ) ≤ ⇒ P ≤ ( a + b + c ) = 12 ⇒ P ≤ Bài Dự đoán a= b= c= a2 b+2 a + ≥ b+2 a+b+c+6 Tương tự P + ≥ (a + b + c) ⇒ P ≥ Bài Dự đoán dấu xảy a = b Ta thấy xử lý ngay, tốn có xu hướng bị ngược dấu ⇒ Nên biến đổi xử lý a + b2 8ab + Ta= có: P ab ( a + b) Đến đây, cần tạo = ⇒P ⇔ = P (a + b) ab có số hạng thứ Cơ-si a + b + 2ab − 2ab 8ab + ab (a + b) (a + b) ab + 8ab (a + b) −2 +) Đến đây, Cơ-si để triệu tiêu ẩn tốn khơng kết mà ta mong muốn, dấu không xảy ⇒ Xem xét a = b ( a + b ) 4a = = a2 ab ⇒ Phải tách hạng tử thứ để a2 8ab= 8= ( a + b ) 4a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com = ⇒P (a + b) 2ab + Dấu xảy 8ab (a + b) + − ≥ + − ⇒ P ≥ (đpcm) 2ab (a + b) ( a + b )4 = 16a 2b ⇔ ⇔a= b 4ab ( a + b ) = Bài Mò điểm rơi, ta thấy dấu xảy ⇔ a = 2; b = 3; c = ⇒ Tách 3a a b b c 3c P= + + + + + + + + a 2b c a b 3c a + 2b + 3c 20 ⇒ P ≥ 3+ +3+ + 2+ ⇒ P ≥ 8+ = 8+ = 13 (đpcm) 4 4 Dấu xảy ⇔ a = 2; b = 3; c = * Các toán phức tạp Trong trình giải bài, để tránh việc dự đoán điểm rơi dễ dàng áp dụng điều kiện dễ, người ta cho tốn có điều kiện phức tạp để đánh lạc hướng ⇒ cần phải xử lý điều kiện trước giải Bài Cho x, y > thoả mãn x + xy + y − x ≤ Tìm Min P = + − x − y x y Từ điều kiện ⇒ ( x + y ) + ( x − 1) ≤ 2 Do ( x − 1) ≥ ⇒ ( x + y ) ≤ ⇒ x + y ≤ 2 Dự đoán= x 1;= y 2 ⇒ P = + x + + y − x − y ≥ + − ( x + y ) ≥ + − 12 =−4 x y Min =−4 ⇔ x =1; y =2 Bài Cho T = a+b+c+ a , b, c > thoả mãn ( b + bc + c ) = ( − a ) Tìm Min 2 + + a b c Từ điều kiện ⇒ 3a + 2b = 2bc + 2c = ⇔ a + b + c + 2bc + 2ab + 2ca + a − 2ab + b + a − 2ac + c = 2 2 ⇔ (a + b + c) + (a − b) + (a − c) = ⇔ (a + b + c) ≤ ⇔ a + b + c ≤ Dấu xảy ⇔ a = b = c =1 * Phương pháp cân hệ số Cô-si loại: + Loại 1: nhẩm điểm rơi + Loại 2: không nhẩm điểm rơi x, y , z ∈ Loại 1: Cho Tìm Max S = xy + yz + zx 2 22 x + y + 5z = Xử lý: xy + yz + zx ≤ k ( x + y + z ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a = 9a = 4b b Mò điểm rơi= x 3;= y 2;= z ⇒ 9 (1 − a= ) c ⇔ = − = − b c ( ) c = Hướng dẫn Ta có x + y ≥ xy 2 x + z ≥ xz y + z ≥ yz x2 + y + 5z 11 ⇒ xy + yz + zx ≤ = Dấu xảy ⇔ x= 3; y= 2; z= x, y , z > Tìm Min P = Ví dụ Cho x + 28 y + 28 z xy + yz + zx = z Dự đốn: Do y, z vai trị giống ⇒ y = 2 Tìm tham số ay + az ≥ 2ayz ( 28 − a ) y + bx ≥ ( 28 − a ) b xy ( 28 − a ) z + (1 − b ) x ≥ ( 28 − a )(1 − b ).xz bx ( 28 − a ) y = Do y = z ⇒ b =1 − b ⇒ b = Dấu xảy ⇔ 2 (1 b ) x ( 28 − a ) z =− Do kỳ vọng đánh giá x + 28 y + 28 z ≥ k ( xy + yz + zx ) a = ( 28 − a ) b ⇒ a = ( 28 − a )(1 − b ) 1 − a + 14 Thay b = ⇒ a = ( 28 − a ) ⇒ a = 2 a= a ⇒ a + − 14 = ⇒ ⇒a= 2 a = −4 (l ) Hướng dẫn 7 y + z ≥ yz 2 49 2 y + x ≥ xy 2 49 2 z + x ≥ xz 2 7 ⇒ x + 28 y + 28 z ≥ ( xy + yz + zx ) = ⇒ y + y + y =28 2 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com y = z Dấu xảy ⇔ x 7= y 7z = x, y , z > Tương tự: Cho Tìm Min P = ( x + y ) + z + + = xy yz zx Dự đoán: x =y ⇒ ax + ay ≥ 2axy ( − a ) x + bz ≥ ( − a ) bxz ( − a ) y + (1 − b ) y ≥ ( − a )(1 − b ) yz b = ⇒ ⇒ a = 1; b = a = ( − a ) ⇒ a =− a + ⇔ 2a + a − =0 2 Hướng dẫn 2 x + y ≥ xy x + z ≥ xz 2 y + z ≥ yz ⇒ ( x + y ) + z ≥ ( xy + yz + zx ) = xy + yz + zx = Ví dụ Cho Tìm Min T = x + y + z x , y , z > Dự đoán: x = z ⇒ ax + az ≥ 2axz ( a > ) ( − a ) x + by ≥ ( − a ) bxy ( − a ) z + (1 − b ) y ≥ ( − a )(1 − b ) zx ( − a ) x = by ⇒ ⇒ b =1 − b ⇔ b = 2 (1 b ) y ( − a ) z =− ⇒ a= ( − a ) b ⇔ a= (6 − a) ⇔ 2a + a − 6= ⇔ a= 2 Hướng dẫn 3 x + z ≥ xz 2 2 x + y ≥ xy 2 2 z + y ≥ zx 2 ⇒T ≥9 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... = x= y= 2 Câu Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b b + c c + a = Chứng minh Do đó: M ≥ ( ( a − ab + b )( b 2 + Ta chứng minh kết ( a − ab + b )( )( ) − bc + c )( c − ca + a ) ≥ Hướng dẫn ) 2... Đpcm Câu Cho số thực không âm a, b thỏa mãn a2 + b2 = Chứng minh a 3b + + b 3a + + 3a + 3b + ≤ Vì a2 + b2 = nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 8a 3b + + 8b 3a + + 3a + 3b + ≤ 72 (... khi= x 7,= y 5,= z (thỏa mãn) Câu Chứng minh ( x + y + z ) + xyz ≥ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) với x , y, z số thực không âm Đẳng thức xảy nào? Chứng minh ( x + y + z) Hướng dẫn + xyz ≥ ( x