Một số bài toán bđt với các biến bị chặn trên một khoảng

kienqb2013@gmail com MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT VỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN Khi các biến bị chặn trên một đoạn, khoảng ta cần chú ý các cách đánh giá để chặn biến như sau + , ,m a b c n  thì[.]

kienqb2013@gmail.com MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT VỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN Khi biến bị chặn đoạn, khoảng ta cần ý cách đánh giá để chặn biến sau: + m  a, b, c  n Nếu cần đánh giá a , b , c theo a, b, c ta dùng:  a  m  a  n    a   m  n  a  mn  a  n  b  n   ab  n  a  b   n Nếu cần đánh giá để tạo ab ta dùng:   a  m b  m  ab  m a  b  m        Nếu cần đánh giá đồng thời biến ta dùng: 3  a  m  b  m  c  m   abc  m  ab  bc  ca   m  a  b  c   m     3  a  n  b  n  c  n    abc  n  ab  bc  ca   n  a  b  c   n  a  b   a  b  + Ngoài cần ý: Nếu giả thiết a, b, c số thực khơng âm thì:  3 a  b   a  b  + Nếu biết a  b  c  p Trong số a, b, c giả sử a số lớn ta suy a  b  c  p  3a  a  p Sau chứng minh phát sinh điều kiện biến ta quay lại để chặn biến nhằm tạo điều kiện Ví dụ 1) Cho số thực a, b, c thỏa mãn:  a, b, c  a  b  c  a) Tìm GTLN, GTNN P  a  b  c b) Tìm GTLN,GTNN P  a  b3  c3 c) Tìm GTLN, GTNN P  a  b  c  ab  bc  ca Giải: a) Ta viết lại P   a  b  c    ab  bc  ca     ab  bc  ca  Ta cần đánh giá ab  bc  ca kienqb2013@gmail.com Thật từ giả thiết:  a, b, c  ta suy  a   b   c    abc   a  b  c    ab  bc  ca     , cộng hai bất đẳng  abc   abc  thức chiều theo vế với ý a  b  c  ta có:   ab  bc  ca    ab  bc  ca  Dấu đẳng thức xảy số a, b, c có số 2, số 0, số Ta có:  a  b  c    ab  bc  ca   Suy ab  bc  ca  a  b  c 1 2  a  b    b  c    c  a    với a, b, c  2  Như  ab  bc  ca  Từ suy   P     P  Khi a  b  c  P  ,  a; b; c  hốn vị số  0;1;  P  b) Ta có bất đẳng thức sau: a3  3a    a  1  a  2  với a  Tương tự ta có bất đẳng thức với b, c Suy a3  b3  c3   a  b  c    , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Giả sử c số lớn số a, b, c suy a  b  c  3c  c  , kết hợp với điều kiện đề ta suy  c  3 Ta có: a3  b3   a  b     c   P    c   c3  27  27c  9c   c  1 c  2  Do  c  nên  c  1 c    suy P  , dấu đẳng thức xảy  a; b; c  hoán vị số  0;1;  c) Ta có: P    ab  bc  ca   , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Ta có P    dấu đẳng thức xảy  a; b; c  hoán vị số  0;1;  Ví dụ 2) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  a) Tìm GTLN P  ab  bc  ca b) Tìm GTLN P  a b3   b c   c a  Giải: kienqb2013@gmail.com a) Giả sử b số nằm a, c  b  a  b  c    b  ac  bc  ba  ab  a c  abc  a 2b  ab  bc  ca  bc  abc  a 2b 2 Suy ab2  bc2  ca  bc  2abc  a 2b  b  a  c   b   b  2 Ta chứng minh: b   b    b3  6b2  9b     b  1  b    Dấu đẳng thức xảy  a; b; c  hoán vị số  0;1;  b) Ta có a2  a    a  1  a  a  1  ab2  bc2  ca   Dấu đẳng thức xảy  a; b; c   hoán vị số  0;1;  Từ suy P   Ví dụ 3) Cho số thực khơng âm a, b, c cho a  b  c  Tìm GTLN, GTNN a) Tìm GTLN, GTNN P  5a   5b   5c  b) Tìm GTLN P  2a  a   2b  b   2c  c  Giải: a  a  1  a  a   a) Do a, b, c  0, a  b  c  nên b  b  1   b  b nên ta có:   c  c c  c  1  P  a  4a   b  4b   c  4c   a  b  c   Dấu đẳng thức xảy  a; b; c  hoán vị số 1;0;  Ta có 2 2  x  y  z    x  y  z    x  y    y  z    z  x     x  y  z    x2  y  z  Suy P   5a   5b   5c    3.17  P  51 , dấu đẳng thức xảy a abc b) Làm tương tự câu a ta có: P  2a  a   2b  b   2c  c   a  2a   b  2b   c  2c  kienqb2013@gmail.com   a  b  c  3  Dấu đẳng thức xảy  a; b; c  hoán vị số 1;0;  Ví dụ 4) Cho số thực khơng âm a, b, c cho a  b  c  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị a b bc ca   2 nhỏ P  Giải: Áp dụng bất đẳng thức  Ax  By  Cz    A2 B C  x  y  z  với x, y , z ta có:  ab bc ca   a b bc ca  P        3 a  b  c    2  2    2 Lại có:  a  b  c   1   1  a  b  c    a  b  c  P  3  P  27 dấu đẳng thức xảy a  b  c  Ta có: a, b, c  0, a  b  c    a, b, c  dẫn tới a  a , b  b , c  c a 1  a   0, b 1  b   0, c 1  c     Suy 2 a  b  c  a  b  c  P a  b2 b2  c2 c2  a2  c2 1 a2  b2        a2   b2   c2    2 2 2 Dấu đẳng thức xảy a, b, c hoán vị số 1;0;  Ví dụ 5) (Một số đánh giá quen thuộc) Cho số thực không âm a, b, c cho a  b  c  k  Chứng minh: a) k  2bc  2a  b  c  b)  a  b  c 2  2k 1  bc  c) a  b  c  abc  2k k Giải: kienqb2013@gmail.com a) Ta có: k  2bc  a2  b2  c2  2bc  a   b  c   2a  b  c  k k , c  a  c  ,b  2 Dấu đẳng thức xảy a  b  b) Ta có:  a  b  c   k  2a  b  c   2bc Lại có: 2 k  2bc  a2   b  c   2a  b  c  suy  a  b  c   2k  4bc Ta chứng minh: 2 2k  4bc  2k 1  bc   k  2bc  k 1  bc   kb2c  2kbc  2bc   bc  kbc  2k  2  c) Ta có:  2       a  b  c  abc  a 1  bc   b  c  a   b  c    bc   1     k  k  k    2  b c  bc   k k   k  2bc     Ta cần chứng minh:  k  2bc   b 2c  bc    2k  4b 2c  2bc  k   k k  Vận dụng: 1) Tìm GTLN,GTNN P  a b c   biết a, b, c  0, a  b  c   bc  ca  ab Giải: 2 2 2 Ta có  2bc  b c   b  c   a  b c   b  c   a a  b  c  2   bc  a bc a 2a   P  Dấu đẳng thức xảy  a; b; c  hoán vị  bc a  b  c  1  số  ; ;0   2  Suy Ta có a  abc  a  a  b2  c   a a 1  a  2  1  a  1  a     a 1  bc    a  a2  bc Suy P  dấu đẳng thức xảy  a; b; c  hoán vị số 1;0;  2) Cho số thực không âm a, b, c cho a  b2  c  Tìm GTLN kienqb2013@gmail.com P a b c    bc  ca  ab Ta có: a  b  c 2   2bc  2a  b  c    2bc  a   b  c    4bc  1  bc   1  bc  b 2c    bc  1 a bc a 2a   Từ suy P  , dấu đẳng thức xảy  bc a  b  c a, b, c hoán vị số 1;1;0  Suy bc   Hoặc ta nhận xét: 1  bc  a2  b  c  a  b  c a2  b2  c   bc   bc   2 suy a 2a   bc a  b  c 3) Cho a, b, c  a  b2  c  Tìm GTLN P a2 b2 c2   a  bc  b  ca  c  ab  Giải: Ta có : 2  2bc  a  b  c  2bc  a   b  c   2a  b  c    bc  a  b  c  Suy a2 a  Suy P  , dấu đẳng thức xảy a   bc a  b  c  a; b; c  hoán vị số 1;1;  a   bc  a  a  b  c   Ví dụ 6) Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a  4, b  5, c  a  b  c  90 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c Giải: Để đưa toán bất đẳng thức đối xứng ta đặt a  x  4, b  y  5, c  z  với x, y, z  Giả 2 thiết toán trở thành:  x     y  5   z    90 hay x  y  z  x  10 y  12 z  13 Nếu x  y  z  x  y  z  x  y  z  suy 13  x  y  z   x  y  z    y  z   z      13 Vô lý, x  y  z  , từ ta có: a  b  c   x   y   z  15   x  y  z   16 Dấu đẳng thức xảy a  4, b  5, c  kienqb2013@gmail.com Cách khác: Từ giả thiết ta có: c  90  a  b  90  16  25  49  c  Cũng từ giả thiết ta suy ra: a  9, b  suy  a    a    2  b    b    13  a  b  c   a  b  c  36  40  42  a  b  c  16   c    c   Ví dụ 7) Cho số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn: ab  bc  ca  0, a  2b  3c  Tìm GTNN P  1  ab  bc  ca ab  bc  c Giải: Ta có: P   ab  bc  ca   ab  bc  c   2 2ab  2bc  ca  c  2  a  c  2b  c  1 1 Ví dụ 8) Cho số thực  a, b  Tìm GTNN, GTLN P   a  b     a b Giải: 1 Ta có: a  b  ab ,    P  , dấu đẳng thức xảu a  b a b ab a b a Ta có: P    , đặt  t   t  b a b   t   2t  5t     t   2t  1  Dấu đẳng t thức xảy a  2, b  a  1; b  Ta chứng minh: P  Cũng làm theo cách:  a  1 a     a2  3a    a  ab  suy a 2 1 1 1 1 1 1      a  b  2    2 a  b     a  b     a b a b a b a b kienqb2013@gmail.com Một số tốn quy Ví dụ Vi dụ 8.1 Cho số thực a, b, c thỏa mãn:  a, b, c  Tìm GTLN,GTNN P a  b2 b2  c c2  a   ab bc ca Giải: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a  b  2ab , b  c  2bc, c  a  2ca suy P  , dấu đẳng thức xảy a  b  c a b b c c a      , khơng tính tổng qt ta giả sử  a  b  c  b a c b a c a b a c b c  b  a   b  c  thì:     1      , tương tự ta có:   1  1      c c b a a b  c  b   a  b  Ta viết lại P  a a c  1 Từ suy P      , để ý rằng:   nên P   t    , ta có: c c a  t 2t  5t   t   2t  1  1 2 t       , dấu đẳng thức xảy t t  t t   c  2a  2b Vậy GTLN P có số lần số cịn lại Ví dụ 8.2 Cho số thực a, b, c thỏa mãn:  a, b, c  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1   P   a  b  c  3      a 1 b 1 c 1  Giải: Đặt x  c  1, y  b  1, z  a  suy  x, y , z  Khi ta có: 1 1 x y y z z x A   x  y  z     3      y x z y x z x y z Vì x y   nên A  , dấu đẳng thức xảy x  y  z hay a  b  c y x Phần lại làm câu 19) Ta có A  10 kienqb2013@gmail.com Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a, b  0, c  a  b  c  Chứng minh rằng: 6  a  b  c    abc   Giải: P    a  b  c    abc      a  b  c    ab  bc  ca     abc   1  ab  bc  ca   abc    Từ giả thiết suy c    a  b    a  b    a, b  Suy  a  1 b  1 c  1   abc  a  b  c   ab  bc  ca     ab  bc  ca   abc Nên P    abc   abc     a 2b c   , dấu đẳng thức xảy abc    a  1 b  1 c  1   c  0, a  b  b  0, a  c  a  b  c   Ví dụ 10) Cho số thực a, b, c thỏa mãn:  a, b, c  a  b  c  Tìm GTLN, GTNN P  a  b3  c3 Giải: Từ giả thiết ta có:  a  1 b  1 c  1  abc   ab  bc  ca    a  b  c        a   b   c    abc   ab  bc  ca    a  b  c   27  abc   ab  bc  ca     cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra:  abc   ab  bc  ca   27  ab  bc  ca  11 , lại có ab  bc  ca  a  b  c  12  11  ab  bc  ca  12 Ta có biến đổi quen thuộc sau:  a  b  c   a  b  c   a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Từ ta có: kienqb2013@gmail.com P  216  18  ab  bc  ca   3abc  216  18  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   27  hay P  135   ab  bc  ca   135  9.11  36 , hốn vị số 1; 2;3 dấu đẳng thức xảy Vậy GTLN P 36 Ta có đánh giá quen thuộc: x  y  xy  x  y  với x, y  3 x2  y  z2    x  y  z  Từ suy 23  a3  2a  a    a  2a  4a  Suy P   a  b  c    a  b  c   24  2  a  b  c   24 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy GTNN P 24 Ví dụ 12) Tìm số thực a, b, c thỏa mãn: a  b  c  26; a  b  5; b  c  Giải: Đặt s  b  c  a   b, c  s  b thay vào điều kiện a  b  c  26 ta thu được: 5  b 2  b   s  b   26  3b2   s  5 b  s   Coi phương trình bậc b điều kiện để phương trình có nghiệm  '   s     s  1   s  10 s  14    s   s    (*), s   s  nên bất s   phương trình (*) tương đương với   2  s  , theo giả thiết s  suy s   s   b  4, a  1, c  Vậy  a; b; c   1; 4;3 a  b  Ví dụ 13) Cho số a, b thỏa mãn:  Tìm GTLN,GTNN P  a  b  ab a  b  ab  Giải: a  b   x Đặt a  b   x với x  Ta cần tìm x để hệ  có nghiệm a  b  ab  a  b   x a  b   x Ta biến đổi giả thiết thành:   Do  a  b   4ab nên ta có:  2  a  b    ab ab    x   2  x 2    x   3   x    kienqb2013@gmail.com Vậy  P     x   , x  3; y   P  Khi x  y  x  y  1 P  Ví dụ 14) Cho số thực a, b, c, d thay đổi thỏa mãn:  a, b, c, d  Tìm giá trị lớn P a b c d    bcd  acd  abd  abc  Giải: Vì  a, b, c, d   abc   abcd   P  a bcc abcd  Do 1  a 1  b   a  b   ab    a  b  c  d   ab  cd    abcd 1  c 1  d    c  d   cd  ab  cd   abcd   abcd 1  ab 1  cd    Vậy P   abcd 1  abcd    , a  0, b  c  d  P  Vậy GTLN P  abcd  abcd MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 1) Cho số thực không âm a, b thỏa mãn: a  b  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  a b   b a  Giải:  Tìm GTLN: Ta có  b  1  b 1 b  b3   b 1  dấu đẳng thức xảy 2 2 b  Tương tự ta có: P 2  a  b  3  b  a  3   2 a3 , 2  2ab  3a  3b  , lại có 4ab   a  b    ab  Từ     2 , dấu đẳng thức xảy a  b  2 Tìm GTNN: Ta có suy P   a 1  P  a  b  1  b  a  1  2ab  a  1 b  1  ab  a  b   a  b  2ab  a  1 b  1 kienqb2013@gmail.com Do a, b   2ab  a  1 b  1  0, kết hợp với a  b  ta suy P  2ab  a  b   a  b    P  , dấu đẳng thức xảy a  0, b  a  2, b  Kết luận: GTLN P 2 , GTNN P Câu 2) Cho số thực a, b, c  Chứng minh rằng: 1 ab ac 4ca       2a  2b  2c  1  ab  bc  ca Giải: Đặt P  1 ab 4ac 4ca      2a  2b  2c  1  ab  bc  ca Vì a, b    a  1 b  1   ab   a  b Ta có  a  1   a  2a  suy 4ab  ab  1  4 1   4  4 , tương tự ta có đánh giá  , lại có 2a  a  ab  ab  ab ab 1 1   với biểu thức lại vế trái suy : P     12      a b c  a b bc ca  Từ  a  b   4ab bất đẳng thức Cauchy ta có: 1  2  suy a b ab  a  b 2 1 1  4 1       12        4      12 2 2 a b c  a  b b  c c  a   a  b b  c   c  a   a b bc ca  Ta có a  b  b  c   c  a 2 nên suy P  Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Câu 3) Cho số thực a, b  thỏa mãn: a  b  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn P a b  b 1 a 1 Giải: 1          4    1    1    1    12    ab bc c a   ab  bc   c a  kienqb2013@gmail.com Từ giả thiết a, b   ab  , lại có 4ab   a  b    ab  1 Vậy  ab  , ta viết lại 4 a  b  a  b  a  b   2ab  a  b  2ab    ab  P     2 a  b  ab  a  b  ab   ab  ab  ab 6 suy   ab        ,từ suy  P   ab 4 3  ab Khi a  b  P  , a  1, b  a  0, b  P  Vậy GTLN P 1, GTNN P Vì  ab  Câu 4) Cho số thực dương a, b thỏa mãn: a  b  4ab a, b  Tìm giá trị lớn P  a2  b2 Giải: Ta có P  a  b   a  b   2ab  16a 2b  2ab Với số thực a, b ta có:  a  b   4ab  16a 2b  4ab   4ab  4ab  1  Từ giả thiết: a, b    a  1 b  1   ab   a  b    1  ab  4ab    ab  ta có  ab  Ta biến đổi P sau: a, b   4ab   ab  10 P   4ab  1 3ab  1  4a 2b  5ab       Dấu đẳng thức xảy 9  a   1 10  b  hay a  1, b  a  , b  Vậy GTLN P  3 ab  , a  b  4ab  Câu 5) Cho số thực không âm a, b thỏa mãn điều kiện a  b  2ab  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b3 Giải: Ta có bất đẳng thức sau: Với x, y  x  y  xy  x  y  kienqb2013@gmail.com Chứng minh: x  y  xy  x  y    x  y  x  y   Dấu đẳng thức xảy x  y Trở lại tốn ta có: a3   a  a  1  a  a , b3   b2  b  a  b3  a  b2  a  b  , lại có a  b  2ab suy a3  b  a  b  2ab   , dấu đẳng thức xảy a  b  , Từ giả thiết ta suy a  b  , ta có P  a  b3  a  b3  3ab  a  b    a  b   33  27 , dấu đẳng thức xảy a  3, b  a  0, b  Câu 6) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c  2(ab  bc  ca )  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  ab bc ca  2  2 a b b c c  a2 Giải: ab  a  b  ab ab 2ab ab    2 Tương tự ta thu bất đẳng 2 2 2 a b a b a b a  b2 Ta có bc ca   2ab 2bc 2ca   ab thức suy P    2   2  2  2   a b b c c a   a b b c c a  Mặt khác ta có: 2  a  b b  c   c  a  2ab 2bc 2ca 2ab 2bc 2ca Q 2  2   2 1 2 1  1  2  2  3 2 a b b c c a a b b c c a a b b c c  a2  a  b b  c  c  a 2 2a  b  c  ab  bc  ca   2   2  2  Suy P  , dấu 2 2 2 a b b c c a a b c a b c đẳng thức xảy a  b, c  hoán vị Vậy GTNN P Câu 7) Cho số thực x thỏa mãn:  x  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  x  x  5  x  x  Giải: kienqb2013@gmail.com Đặt   a, b  8  x  a, x   b  x  suy  2 a  b  11 Biểu thức P có dạng P   a  3 b   b  3 a  ab  a  b    a  b  2 Đặt a  b  t từ giả thiết ta có:  a  b   2ab  11  4ab  2t  22   a  b   t  t  22 Mặt khác ta có:  a  a   a       b b  b             8b   a  24  3  11  24  24     a  b hay a  b  2  , 2   t  22 Ta có: P  2ab  a  b    a  b    t  11 t  6t  t  t  17  Từ ta có: 2P  2   2       17   2    10  P  , dấu đẳng thức     xảy a  3, b  a  8, b   x  x  Ta có: P  22  P  22 11 dấu đẳng thức xảy a  b  x 2 Cách khác: Ta có:  x  P  x  x    x  x   x    x   Dấu đẳng thức xảy x  x  Ta có: 2 P   x  x    x  x    x 8  x     x   x  3  x   x   Hay P  75   x  x  2 5x  x  x   x   P  75  8  x  x  3  1  x   x  25 ,2   x  x  3 Theo bất đẳng thức AM-GM tacó 8  x  x  3   x  x   11 nên: 25 275 22 10  P , dấu đẳng thức xảy  x  x  2 x   x hay x  5 22 Vậy GTNN P , GTLN P 2 kienqb2013@gmail.com Câu 8) Cho số thực a, b cho  a  b  biết a  b  10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  a  b Giải: Vì a, b   P  a  b  , dấu đẳng thức xảy a  b  Từ giả thiết suy 2a  a  b  10  a  Nếu a  P  a  b  32   58 , dấu đằng thức xảy a  3, b  Nếu  a  P  a  10  a   2a  20b  100   a  3 a    58 ,  a  nên  a  3 a    nên P  58 , dấu đẳng thức xảy a  3, b  Cau 9) Cho số thực x, y, z  thỏa mãn: x  y  z  xyz  Tìm giá trị lớn P  xy  yz  zx Giải: Cách 1: Giả sử x số lớn ta có: x  y  z  x, xyz  x Từ giả thiết ta có:  x  y  z  xyz  x  x  x  x     x  1  x  x     x  Ta có: P  xy  yz  zx  x  x  y  z   yz  x  x   xyz   yz  x    x     yz 1  x   Vậy GTLN P đẳng thức xảy x  0; y  z  hoán vị Cách khác: Gọi x số nhỏ Nếu yz  xy  yz  zx  Nếu yz  xyz  x ta có:  x  y  z  xyz  x  y  z  x   x  y  x  z   x  xy  yz  zx  x  P  P suy P  Câu 10) Cho số thực a  2; b, c  cho 2a  b  c  69 Tìm giá trị nhỏ P  12a  13b  11c ( Đề thi thử Archimes 2018) Giải: kienqb2013@gmail.com Đặt a   x, b   y , c   z suy x, y, z  thay vào giả thiết ta có: x  y  z  x  10 y  10 z  11 (*) Nếu số y , z tồn số lớn vế trái (*) lớn 11 Điều vơ lý, dẫn đến y , z  hay  y , z  Để ý rằng: 2a  69  b  c  69  50  19  a  10  a  dẫn đến  x  Suy 12a  13b  11c  12 x  13 y  11z  144  144  x  10 y  10 z  x  y  z  144  11   x  y  z   x  y  z  155  x   x   y   y   z 1  z   155 Dấu đẳng thức xảy x  0, y  0, z  hay a  2, b  5, c  MỘT SỐ CÁCH ĐÁNH GIÁ KHÁC Với số thực không âm a, b, c Giả sử c  a, b, c 2 2 c c c  c    + a  c   a   , b2  c   b   , a  b2   a     b   2 2 2  2    2 2 c  c  + a  b  c   a    b   2  2  c  c  + ab  bc  ca   a   b    2  2 2 c  + a  ac  c  a  c(c  a)  a   a   2  2 2 c  + b  bc  c  b  c (c  b)  b   b   2  2 c  c  c  c  + a  ab  b   a     a   b     b   2   2  2  2 Ví dụ 1) Cho số thực không âm a, b, c phân biệt thỏa mãn:  a, b, c  Chứng minh: 1    2 ( a  b ) (b  c ) (c  a ) Giải: Khơng tính tổng qt ta giả sử  a  b  c  Từ suy : kienqb2013@gmail.com + 0ca  2 1  2 , (c  a ) c +  c b  2b  + 0 ba b  1  (c  b) (b  2) 1 1  Cộng ba bất đẳng thức chiều ta có: VT    2 (a  b) b b (b  2) Cuối ta cần chứng minh: 1    với b  (0; 2) (dành cho học sinh tự làm) 2 b (b  2) 4 Dấu đẳng thức xảy  a; b; c    0;1;  hốn vị Ví dụ 2: Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: 3( a  b  c )  ab  bc  ca  12 Chứng minh rằng: 22  a  b2  c  ab  bc  ca  32 abc Giải: Đặt P  a  b2  c  ab  bc  ca abc Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN có dạng đối xứng nên ta tận dụng đẳng thức để quy ẩn Từ giả thiết ta có:  a  b  c   24  5(a  b  c )  a  b  c  24  5(a  b  c ) Như P  a  b2  c 2 2 24  5(a  b  c )  12   a  b  c  Ta cần đánh giá a  b  c Từ giả thiết ta có: 12  3( a  b  c )  ab  bc  ca  3( a  b  c )  a  b  c  a  b  c  Do a, b, c không âm nên ta có: 12  3( a  b  c )  ab  bc  ca  3( a  b  c )  a  b  c  Đặt t  24  5(a  b  c )  t   2;3 Khi ta có: 1 24  12 P   3t  t    Phần việc lại 5 t  chứng minh BĐT vế (dành cho học sinh) Ví dụ 3) Cho số thực không âm x, y , z cho xy  yz  zx  Chứng minh rằng:  1  P   xy  yz  zx    2  y z z  x2  x y kienqb2013@gmail.com Phân tích: Giả sử z   x; y; z ta dự đoán dấu xảy z  , ta có z  z 1   x  y  z  xy  yz  zx   x   y   Ta có: ; 2 2  2 x y  z  z  x 2  y 2     1 1 1   ;   ; Suy 2 2 2 z z y z z x z z 2     y  yz  x  xz  y  x    2 2     z  z  1   Đặt a   x  z  ; b   y  z  P   x   y     2 2 2 2       z  z  z  z   x     y    x    y    2  2  2  2   a 1 a t a  b   2     t  với t   Cuối a, b  P  ab  2 a b t 1 t b a b a b   a   b  1 b   t  t   ( dành cho học sinh) Dấu đẳng thức xảy t 1 t số số lại ta chứng minh: Ví dụ 4) Cho số thực không âm a, b, c cho ab  bc  ca  0; a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: P  1  2 2 a  b b  c c  a2 Phân tích: Giả sử c số nhỏ số a, b, c 1 1 1  2    2 2 Đặt 2 a b b c c a c  c  c  c   a    b   b    a   2  2  2  2  c c x  a  , y  b  x, y  x  y  Bài tốn trở thành Tìm giá trị nhỏ biểu 2 x y  2 2 2  x y  x y 1  x  y  x  y  x  y y x thức: Q         2       x y x  y2 x2 y2 x2  y2 x2 x2  y x  y x  y x P kienqb2013@gmail.com x y   Q  t  2t    10 (dành cho học sinh) Dấu đẳng thức xảy y x t có số số Đặt t  Ví dụ 5) Cho số thực a, b, c  cho a  b  c  Tìm GTLN biểu thức: P   a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a  Giải: Không tính tổng quát ta giả sử:  a  b  c  Khi ta có: 2 a(a  b)  0  a  ab  b  b    2 a(a  c )  0  a  ac  c  c Suy P  b 2c  b  bc  c   b 2c (b  c )2  3bc  Ta có: 2 b  c  a  b  c   P  b c   3bc  b  c  Đặt t  bc  bc   Cuối ta chứng minh: 3t  9t  12 với  t  a, b, c hoán vị số 9 0t  4 dấu đẳng thức xảy  0;1;2  Ví dụ 6) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a2  b  c   b2  c  a  c2   a  b Giải: Không tính tổng quát giả sử c  max a, b, c Ta có a b  c    a  b  c c  a  b  c  a  , b2  2 2 c c c c   c  c  2a  2b   a     b   Đặt x  a  , y  b  ,  x, y   a 2 2   1  x  y  Ta chứng minh được:   suy P  , dấu đẳng thức x y  x2  y  x  y 2 2 xảy a  b  0, c  hoán vị