Cđ17 đa thức – đa thức một biến cộng, trừ đa thức một biến nghiệm của đa thức một biến

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề 17 ĐA THỨC – ĐA THỨC MỘT BIẾN - CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN A Kiến thức cần nhớ Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức * Mỗi đơn thức coi đa thức * Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức Để cộng (hay trừ) đa thức ta dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” tính chất phép tính Phép cộng đa thức có tính chất giao hoán kết hợp Đa thức biến tổng đơn thức biến * Đa thức biến x ký hiệu f  x  ; g  x  … A  x  ; B  x  … * Mỗi số coi đa thức biến * Giá trị đa thức biến f  x  x a ký hiệu f  a  * Đa thức biến (sau rút gọn) thường theo lũy thừa giảm dần hay tăng dần biến * Bậc đa thức biến (khác với đa thức không) số mũ cao biến Đa thức biến bậc n có dạng thu gọn: f  x  an x n  an  x n   an  x n    a2 x  a1 x1  a0 (với an 0 ) Trong a1 ; a2 ; a3 ; ; an  ; an hệ số; a0 số hạng độc lập hay hệ số tự * f  x  ax  b  a 0  nhị thức bậc * f  x  ax  bx  c  a 0  tam thức bậc hai Để cộng hay trừ hai đa thức biến, ta có hai cách: a) Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” tính chất phép tính b) Sắp xếp hạng tử hai đa thức theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) biến, đặt phép tính theo cột dọc tương tự số (chú ý đặt đơn thức đồng dạng cột) Nếu x a , đa thức P  x  có giá trị ta nói a (hoặc x a ) nghiệm đa thức * a nghiệm P  x   P  a  0 * Một đa thức (khác đa thức khơng) có nghiệm, hai nghiệm, … khơng có nghiệm * Số nghiệm số đa thức không vượt bậc B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thu gọn đa thức sau cho biết bậc đa thúc: a) A 15 x y  3xy  16 x y  16 xy  15 x y  18 xy  3, 75 x y File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 2 2 b) B  xy  0, 25 x yz  13xy  6, 75 x yz  xy  2,5 x yz  xy 5  Tìm cách giải: Để thu gọn đa thức ta xem đa thức có đơn thức đồng dạng thực phép cộng đơn thức đồng dạng 3 3 3 a) A  15 x y  15 x y  16 x y     3xy  16 xy  18 xy   3,75x y ; 3  2 b) B  xy  xy  13 xy  xy     0, 25 x yz  6, 75 x yz  2,5 x yz  5   Giải a) A 16 x y  xy  3, 75 x y Bậc đa thức b) B  xy  x yz Bậc đa thức Ví dụ 2: Cho hai đa thức: C 9,5 x  xy  3, y D  3,5 x  xy  1,8 y a) Tính C  D sau tìm giá trị tổng x 1 y  ; b) Tính C  D ; c) Tìm đa thức E cho E  C  D ; 2 2 d) Tìm đa thức M biết: M   x  y   D 16 x  xy  y  C  Tìm cách giải: Thực phép toán cộng trừ hai đa thức ta làm tương tự việc dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” tính chất phép tính số để cộng trừ biểu thức số Giải 2 2 a) C  D  9,5 x  xy  3, y     3,5 x  xy  1,8 y  9,5 x  xy  3, y  3,5 x  xy  1,8 y  9,5 x  3,5 x     xy  xy    3, y  1,8 y  6 x  xy  1, y Tại x 1; y  C  D 6.12      1,    13, 2 2 b) C  D  9, 5x  5xy  3, y     3,5 x  xy  1,8 y  9,5 x  xy  3, y  3,5 x  xy  1,8 y  9,5 x  3,5 x     xy  xy    3.2 y  1,8 y  13x  xy  y 2 c) E  C  D  E  D  C   C  D   13x  xy  y 2 2 d) M   x  y   D 16 x  xy  y  C File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN M  16 x  xy  y    x  y   C  D 16 x  xy  y  x  y  13 x  xy  y  16 x  13 x  x     xy  xy    y  y  y  27 x  13 xy  18 y Ví dụ 3: Cho đa thức A  x  bx   b   x   a  12  x  0,5ax  x  bx  4cx  10  11x  x  ax  c  x  1 a) Viết đa thức dạng thu gọn với hệ số số, biết A  x  có bậc 5; hệ số cao 19 hệ số tự -15; b) Tính A  1  A   1  Tìm lời giải: a) Bậc đa thức biến (khác với đa thức không) số mũ cao biến A  x  có bậc nên hệ số x đa thức rút gọn phải Hệ số cao hệ số x5 hệ số tự  c  10  đa thức rút gọn Từ tìm a, b, c b) A  m  giá trị A  x  thay x m Giải 6 5 3 a) A  x  6 x   a  12  x  11x   b   x  4cx  0,5ax  bx  x   a  c  x  bx  c  10   a  18  x   b   x  4cx   0,5a  b  x3  x   a  c  b  x   c  10    a  18 0  Ta có b  19  c  10  15   a 18  b 10 c   A  x  19 x  20 x  x  x  33x  15 b) A  1 19  20    33  15 11 A   1 19   1  20   1    1    1  33   1  15  19  20    33  15  91 Nên A  1  A   1 3.11    91 33  182 215 Ví dụ 4: Cho f  x  2 x  10  x  1  20 x   x  x   1,5 x  10  x 4 g  x  2  x  x   x  x  11x  2,5 x   4, x  1,5 x  13 x a) Thu gọn xếp theo lũy thừa giảm dần đa thức; File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN b) Tính g  x   f  x  theo cách bỏ dấu ngoặc; c) Tính g  x   f  x  theo cách đặt đơn thức đồng dạng cột Giải a) f  x  2 x  10 x  10  20 x  x  x  1,5 x  10  x  x  20 x  x5  1,5 x  10 x3  x  10 4 g  x  2 x  x  x  x  11x  2,5 x   4, x  1,5 x  13 x 13x8  x  x  x  x3  2,8 x  b) g  x   f  x   13x  x  x  x  x  2,8 x      x  20 x  x  1,5 x  10 x  x  10  13x8    x  x   20 x   x5  x5    x  1,5 x     x  10 x3   2,8 x  x     10  13x8  10 x  20 x  3x  5,5 x  x3  2,8 x  x  19 c) g  x  13 x8  x f  x   x  x  x  2,8 x  x  20 x  x  1,5 x  10 x 9  x  10                                     g  x   f  x  13x  20 x  x  2,5 x  19 x  2,8 x  x  Ví dụ 5: a) Tìm đa thức A  x  ax  b biết A   1  15 A    b) Tìm hệ số a, b, c đa thức B  x  ax  bx  cx  d biết B   2; B   1 2; B  1 8 a  2c  Tìm cách giải: a) A   1  15 có nghĩa -15 giá trị A  x  x  Thay x  vào đa thức tìm  a  b  15 Tương tự thay x  vào đa thức ta tìm 2a  b  Từ hai đẳng thức ta tìm a b b) B   2 ta thấy d  Tìm a, b c tương tự câu a) lưu ý a  2c Giải a) Ta có A   1 a   1  b  a  b  15  b a  15 A   a.2  b  hay 2a  b  Thay b  a  15 vào ta có 2a  a  15   3a 6  a 2; b   15  13 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Vậy A  x   x  13 b) B    a.0  b.0  c.0  d 2 nên d  a  2c nên B  1 a.13  b.12  c.1  8  a  b  c 6  3c  b 6 (1) B   1  a   1  b   1  c   1  2   a  b  c 0   3c  b 0 (2) Từ (1) (2)  2b 6  b 3 Thay b 3 vào (1) ta có: 3c  6  c 1 Do a  2c nên a 2 Vậy đa thức B  x  2 x  3x  x  Ví dụ 6: Cho đa thức C  x   2015 x  mx  n (m n số) Biết C   1  2018 C   8069 Tính C     C  1 671  Tìm cách giải: Từ C   1  2018 C   8069 ta tìm hệ số m n đa thức Từ tính C  1 ; C    giá trị biểu thức cần tìm Giải Ta có C   1 2015   1  m   1  n  2018  n 3  m C   2015.2  m.2  n 8069  m  n 9 thay n 3  m vào ta có 2m    m  9  3m 6  m 2; n 5 Vậy C  x  2015 x  x  C  1  2015.12  2.1  2022 C    2015.        8061 C     C  1 8061  2022  9 671 671 Ví dụ 7: Hai đa thức đồng (ký hiệu ) hai đa thức có giá trị với giá trị biến xác định a, b, c để hai đa thức sau hai đa thức đồng nhất: f  x  ax  10  x  x   76 x   36 x  x   2019 g  x  15 x    b  x  8x  9x  c  2018  Tìm lời giải: Để hai đa thức đồng (tức hai đa thức có giá trị với giá trị biến) hệ số tương ứng với lũy thừa bậc biến phải Do trước hết rút gọn File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN đa thức tìm a, b, c để hệ số tương ứng lũy thừa bậc biến hai đa thức Giải 2 Ta có: f  x  ax  10  x  x   76 x   36 x  x   2019 ax  10 x  36 x  66 x  x  2019  a  26  x  68 x  2019 g  x  15 x    b  x  8x  9x  c  2018 6 x   11  b  x  c  2018  a  26 6   Để f  x   g  x  ta phải có 11  b  68  2019 c  2018  a 32  b 79 c 1  Ví dụ 8: Dạng tổng quát đa thức biến là: f  x  an x n  an  x n   an  x n    a3 x  a2 x  a1 x  a0 ( an ; an  1; ; a2 ; a1; a số) a) Chứng minh tổng hệ số đa thức f  x  giá trị đa thức x 1 ; b) Chứng minh giá trị đa thức f  x  x  tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn biến trừ tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ biến  Tìm lời giải: a) Tìm giá trị đa thức x 1 ; nhận xét kết rút kết luận b) Tìm giá trị đa thức x  ; lưu ý lũy thừa bậc chẵn (-1) số (+1) lũy thừa bậc lẻ (-1) (-1) Xét hai trường hợp: n chẵn n lẻ; nhận xét kết rút kết luận Giải n n n a) Ta có : f  1 an  an  1.1  an    a3.1  a2.1  a1.1  a0  an  an   an    a3  a2  a1  a0 Vậy tổng hệ số đa thức f  x  giá trị đa thức x 1 b) Với n chẵn ta có: n f   1 an   1  an  1.  1 n  an    1 n   a3.  1  a2   1  a1   1  a0 an  an   an    a3  a2  a1  a0  a0  a2  a4   an   an    a1  a3   an   an   Với n lẻ ta có: File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN n f   1 an   1  an  1.  1 n  an    1 n   a3.  1  a2   1  a1   1  a0  an  an   an    a3  a2  a1  a0  a0  a2  a4   an   an     a1  a3   an   an  Vậy giá trị đa thức f  x  x  tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn biến trừ tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ biến C Bài tập áp dụng 17.1 Cho hai đa thức: E  2,5 x  y  xy  y F 7,5 x  xy  1,5 y a) Tính E  F sau tìm giá trị tổng x  2; y  ; b) Tính E  F sau tìm giá trị hiệu x  y  1; y  1 , 17.2* a) Thu gọn đa thức sau: D  x  x y    x  x y    3x  x y     10 x  20 x y  b) Cho g  x  1  x  2017 với x Tính tổng g  x   g  x  1  g  x     g  x  99  17.3 Tìm đa thức M N biết: 2 2 a) M   15 x  22 y  16 x  25 xy  32 y ; 2 2 b)  47,5 x y  6,8 xy  1,2 xy   N 1,2 xy  22,5 x y  1,8 xy 17.4 Cho đa thức: T 2 x  y  xy  x  y  ; U  x  y  xy  x  y  Tìm đa thức R; S V cho: a) S  U T ; b) T  V U ; 2 c) R   T  U  5 x  xy  y 17.5 Cho đa thức P  x  12,5  3,5 x  28 x  15 x  x  16 x  x  4,5 x  x  19 x a) Thu gọn xếp đa thức sau theo lũy thừa giảm dần biến File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do, hệ số x5 , hệ số x P  x  với P  x  12,5  3,5 x  28 x  15x  x  16 x  x  4,5 x  x  19 x8 17.6 Cho đa thức: Q  x  15, x  2, x  1, x  x8  2,8 x  7, x  x    b   x G  x   x  3, x  ax8  2,3 x  7,5 x  5, x  x    a  4b   x a) Với a, b số, thu gọn xếp Q(x), G(x) theo lũy thừa giảm dần biến số Tính Q(x) + G(x) xếp tổng theo lũy thừa tăng dần biến số b) Tìm a b biết hệ số cao hệ số tự 2018 17.7* Tính giá trị đa thức sau x 1 : 2018  2019 x 2019 a) f  x   x  x  x   2018 x 100 101 b) g  x  2 x  x  x  8x   200 x  202 x 2 17.8 Cho A  x  2 x  12 x  2,5 x  3x  7,5 x  x  x  x  B  x  3x  x  2,8 x  x  x  0,8 x  15 a) Tính A  x   3B  x  ; b) Tính A  x   B  x  ; c) Tính B  x   A  x  ; d) Nhận xét hệ số A  x   B  x  với B  x   A  x  17.9 Cho C  x  5 x  4,8 x  2,5 x  16 x  25 Tìm đa thức D  x  ; E  x  ; F  x  cho: a) C  x   D  x  2 x  4,8 x  x  20 ; b) C  x   E  x   x  5,5 x  x ; c) F  x   C  x   12 x  4,5x  6,5x  4,5 x  18 2018 2019 17.10 Cho f  x  a0  a1x  a2 x   a2018 x  a2019 x ; g  x  b0  2b1 x  3b2 x   2019b2018 x 2018  2020b2019 x 2019 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN với a0 , a1 , , a2018 , a2019 , b0 , b1 , , b2018 , b2019 số a) Tính f  1  g  1 ; b) f   1  g   1 ; c) Tính f  n   g  n  với n số 17.11 Tìm nghiệm đa thức sau: a)  x  1   x     x  3    x  99    x  100  ; b) 3x  8x 2 17.12 Chứng minh đa thức f  x  2 x  5,2 g  x    x  3  khơng có nghiệm 17.13 Tìm nghiệm đa thức sau: a) h  x   x  2,5   x  2,5  ; b) k  x   x  1  x    x    x    x  30    c) p  x   x   x   d) q  x   x  17.14 Chứng minh: a) Nếu x 1 nghiệm đa thức A  x  a10 x10  a9 x   a2 x  a1x  a0 a10  a9   a2  a1  a0 0 ; 10 b) Nếu đa thức B  y  b10 y  b9 y   b3 y  b2 y  b1 y  b0 có b10  b8  b6  b4  b2  b0 b9  b7  b5  b3  b1 y  nghiệm đa thức 17.15 Tìm giá trị m biết đa thức: f  y  14 y  5my  6my  8m  y  1 có nghiệm y  17.16* Cho đa thức f  x  ax  bx  cx  dx  4a  a   a) Tìm quan hệ hệ số a c; b d đa thức f  x  để f  x  có hai nghiệm x  x  Thử lại với a 3; b 4 ; b) Với a 1; b 1 Hãy cho biết x 1 x  có phải nghiệm đa thức vừa tìm? File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 17.17 Hãy xác định a, b, c, d để hai đa thức sau hai đa thức đồng nhất: f  x  16 x  2bx  8x  5bx  10  x  x   24 ; g  x   a   x  15 x    3b  x  3cx  x  6. c  d  17.18 Cho số abc Ta gọi số có ba chữ số mà vị trí chữ số a; b; c đổi chỗ cho (chẳng hạn bac ) hoán vị Tìm số abc có ba chữ số khác khác có a  b  c Biết tổng số với tất hốn vị 1998 17.19 Tìm tổng tất nghiệm đa thức:      F  x   x  x    x    x  1  x  22   x  32   x  100    100      17.20 Tìm tổng hệ số đa thức sau bỏ dấu ngoặc biết: a) f  x    x  x  x  x  1 b) g  x   19 x  x  10  1945 2019 ;  30 x  x  1975 x  2010  2018 18 19 20 c) h  x  81  77 x  73x  69 x  65 x   x  5x  x 17.21* Cho đa thức f  x  ax  b với a, b  R a 0 a) Chứng minh đa thức có nghiệm x  x0 f  x  a  x  x0  ; b) Cho đa thức f  x  ax  bx  c với a, b, c  R a 0 có nghiệm -1 b a  c 17.22 Cho đa thức Q  x  ax  bx  c với  a, b, c   R Biết Q   , Q  1 , Q   số nguyên; a) Chứng minh c, a+b, 2a số nguyên; b) Chứng minh với x số nguyên Q  x  số nguyên (Đề thi vào trường THPT chuyên tỉnh Hà Tây năm học 2006-2007) 17.23 Cho hai đa thức: P  x  2 x  x  x  x  x  Q  x   x  5x  x  3x  x  2007 File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Tính giá trị P  x   Q  x  biết 2008 2010   x  1 2 2007  2008 2009 (Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp huyện Thường Tín Hà Nội, năm học 2008-2009) 2 17.24 Cho hai đa thức: f  x   x  x  g  x  3x  x  a) Tính h  x   f  x   g  x  ; b) Tìm nghiệm đa thức h  x  ; c) Tính giá trị đa thức h  x  với  x   2011   33   32010  3    81   81   81   81 4      2013  2010 17.25 Cho đa thức f  x  ax  bx  c a) Tính f  1 ; f    ; b) Cho biết 5a  b  2c 0 Chứng minh f  1  f   0 ; c) Cho a 1; b  2; c 3 Chứng minh đa thức f  x  khơng có nghiệm 17.26 Cho đa thức P  x  thỏa mãn P  x   3P   5 x với giá trị x Tính P(3) (Đề thi Olympic Tốn Tuổi Thơ 2012) 17.27 Cho đa thức f  x  ax  bx  cx  d với a số nguyên dương, biết: f    f    2012 Chứng minh f    f   hợp số (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, năm học 2012-2013) 17.28 Tìm nghiệm đa thức f  x    x   x (Đề thi học sinh giỏi Toán lớp huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc, năm học 2012-2013) File word: Zalo_0946 513 000 11 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 17.1 a) E  F 10 x  xy  y ; Nếu x 2 ta có x 2 + Với x 2 y  Ta có: E  F 10.22  4.2   1    1 34 + Với x  y  Ta có: E  F 10          1    1 50 b) E  F  x  xy  y ;  y 3 Nếu y  1 ta có y  1    y 1 + Với y 3 x 2 Ta có: E  F  5.22  8.2.3  35 271 + Với y 1 x 0 Ta có: E  F 15 1 17.2* a) Cách 1: D      10  x       20  x y 55 x  110 x y Cách 2: D  x  x y    x  x y    x  x y    10  x  x y       10   x  x y  55  x  x y  55 x  110 x y b) Do g  x  1 2 x  2017 với x nên: Đặt y  x  y   x g  y  2  y  1  2017 2 y  2019 Vậy g  x  2 x  2019 Ta có: g  x   g  x  1  g  x     g  x  99  2 x  2019    x  1  2019     x    2019      x  99   2019  2 x.100       198   2019.100 200 x    198 99 :  201900 200 x  9900  201900 File word: Zalo_0946 513 000 12 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 200 x  211800 17.3 2 2 a) M  16 x  25 xy  22 y    15 x  22 y   x  25 xy 2 2 b) N  47,5 x y  6,8 xy  1, xy    1, xy  22,5 x y  1,8 xy  25 x y  xy 17.4 a) S T  U 4 x  y  xy  y b) V U  T  y  xy  x  y  2 2 c) R 5 x  xy  y   U  T  5 x  xy  y  V 5 x  xy  x  y  17.5 a) P  x  19 x  15 x  x  x  20 x  x  16 x  12,5 ; b) Hệ số cao 19; hệ số tự 12,5; hệ số x5 1; hệ số x 17.6 a) Q  x  6 x  2, x  5 x  x  15, x  7, x  x    b  G  x  ax8  5, x  7,5 x  x  x  x  x    a  4b  Q  x   G  x    a  5b   x  8, x  15, x3  x  x  7,5 x  x   a   x8 b) Ta có: a  2018  a 2012  a  5b 2018  5b 2018  2012   b 805,  x 1 17.7 x 1    x  a) f  1 1     2018  2019   2019  2019 2039190 f   1       2017  2018  2019 1009  2019  1010 b) g  1 2     200  202  File word: Zalo_0946 513 000   202  101 10302 13 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN g   1              198  200   202 Có 50 cặp cặp có kết g   1 100  202  102 17.8 A  x  2 x  12 x  3x  10 x  3x  x  B  x  3x  x5  x  x  x  15 a) A  x   3B  x  13 x  30 x  x  38 x  3x  55 b) A  x   B  x   x  10 x  3x  x  5x  x  10 c) B  x   A  x   x  10 x  3x  x  x  x  10 d) Dấu hệ số lũy thừa tương ứng biến ngược dấu 17.9 a) D  x  2 x  x  2,5 x  20 x  b) E  x  5 x  8,8 x  x  22 x  25 c) F  x   6,5 x  4,5x  18  12 x  4,5 x  x  4,8 x  2,5 x  16 x  25  12 x5  x  0,3x3  x  11,5 x  43 17.10 a) f  1  g  1  2a0  b0    2a1  2b1    2a2  3b2     2a2018  2019b2018    a2019  2020b2019  ; b) f   1  g   1  a0  b0    2b1  a1    a2  3b2    4b3  a3     a2018  2019b2018    2020b2019  a2019  c) f  n   g  n   a0  b0    a1  2b1  n   a2  3b2  n    a2018  2019b2018  n 2018   a2019  2020b2019  n 2019 17.11 a) x 50,5 b) x 0 x  17.12 Do x 0 với giá trị x (ký hiệu: x ) nên x  5, 5, hay x  5, 0 x nên đa thức f  x  2 x  5, khơng có nghiệm File word: Zalo_0946 513 000 14 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Tương tự:   x  3  0 x nên g  x  nghiệm 17.13 a) x 2,5 x  2,5 hai nghiệm h  x  ; b) x  0,5; x 7; x 5; x  4,5 x 7,5 năm nghiệm k  x  ; c) x  nghiệm p  x  x  2 d) x  0  x 8    x  17.14 a) x 1 nghiệm đa thức A  x  nên A  1 0 10 hay a10  a9   a3  a2  a1  a0 0 hay a10  a9   a2  a1  a0 0 b) Theo đầu bài: b10  b8  b6  b4  b2  b0 b9  b7  b5  b3  b1 Hay b10  b9  b8  b7  b6  b5  b4  b3  b2  b1  b0 0 10 Xét B   1 b10   1  b9   1  b8   1  b7   1  b6   1  b5   1 b4   1  b3   1  b2   1  b1   1  b0 b10  b9  b8  b7  b6  b5  b4  b3  b2  b1  b0 0 Chứng tỏ (-1) nghiệm B  y  17.15 y  nghiệm f    0 Nghĩa là: 14     5m     6m     8m    1 0 Hay 224  40m  24m  8m 0  224  56m 0  m  17.16* a) f   16a  8b  4c  2d  4a 0 (1) f    16a  8b  4c  2d  4a 0 (2) Cộng (1) (2)  40a  8c 0 hay c  5a Trừ (1) (2)  16b  4d 0 hay d  4b File word: Zalo_0946 513 000 15 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ta có: f  x  ax  bx  5ax  4bx  4a Thử lại với a 3; b 4 c  15; d  16 Ta có: f  x  3 x  x  15 x  16 x  12 f   48  32  60  32  12 0 chứng tỏ x 2 nghiệm đa thức f    48  32  60  32  12 0 chứng tỏ x  nghiệm đa thức b) a 1; b 1 ta có: f  x   x  x  x  x  0 f  1  nên x 1 nghiệm f  x  f   1 3 nên x  nghiệm f  x  17.17 f  x  16 x   2b  10  x   28  5b  x  24 g  x   a   x  14 x    3b  3c  x   c  d   a  16  2b  10  14   Để f  x   g  x  ta phải có   28  5b 2  3b  3c 6  c  d  24  a 22  b   c 10  d 6 17.18  a, b, c  N ;  a, b, c   Ta có: abc  acb  bac  bca  cab  cba 222  a  b  c  1998  a  b  c 9  a 1; b 2; c 6 abc 126  a 1; b 3; c 5 abc 135  a 2; b 3; c 4 abc 234 1   ; ;  ;  ; 1; 2; 3; ; 100  17.19 Nghiệm: x     100  Tổng tất nghiệm 17.20 Tổng hệ số đa thức giá trị đa thức x 1 a) f  1   3.14  4.13  9.12  6.1  1 File word: Zalo_0946 513 000 2019   1 2019  16 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN b) g  1  19.12  8.1  10  11945   1 2018 1945  30.13  4.12  1975.1  2010  2018 1 c) h  1 81  77  73  69  65      81  1 21 861 17.21 a) Đa thức có nghiệm x  x0 nghĩa f  x0  ax0  b 0 hay x0  b b  Mà f  x  ax  b a  x   a  x  x0  (đpcm) a a  b) f  x  ax  bx  c với a, b, c  R a 0 có nghiệm -1 có nghĩa là: f   1 a   1  b   1  c 0 hay a  b  c 0 Suy b a  c (đpcm) 17.22 a) Ta có Q    Z nên c  Z ; Q  1 a  b  c  Z  a  b  Z Q   4a  2b  c  Z mà  a  b  c   Z   4a  2b  c    a  b  c   Z hay 2a  c  Z  2a  Z  a  Z b  Z b) Với x  Z x  x  Z , mà a  Z nên a  x  x   Z ; a  b  Z nên  a  b  x  Z 2 Do Q  x  a  x  x    a  b  x  c ax  bx  c  Z , x  Z 17.23 P  x   Q  x  3 x  2006 2008  2009  1  2008 2009  2007 2008 2010    1 2007  2008 2009 2007  2008 2009 2007  2008 2009 Nên x  2  x 1 P  x   Q  x  3x  2006 2009 17.24 a) h  x   x  x b) h  x   x  x   0  x 0 x 5 2011  36  0 c) Do   81 0 nên  x      x  0  x 9  x 3 File word: Zalo_0946 513 000 17 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Từ h  3 24; h   3  17.25 a) f  1 a  b  c; f    4a  2b  c b) f  1  f    5a  b  2c 0  f  1  f    f  1  f     f  1  0 c) Với a 1; b 2; c 3 f  x   x  x   x  x    x  1   x  x  1   x  1  2  x  1  x  1   x  1   x  f  x  khơng có nghiệm 17.26 Từ P  x   3P   5 x  P    3P   20  P   20  P   5 Như P  x  5 x  15  P  3 5.9  15 30 17.27 f    f    125a  25b  5c  d    64a  16b  4c  d  2012  61a  9b  c 2012 f    f    343a  49b  7c  d    8a  4b  2c  d  335a  45b  5c 305a  45b  5c  30a 5  61a  9b  c   30a 5.2012  30a 10  1006  3a  Vì a nguyên dương nên 10  1006  3a  10 Vậy f    f   hợp số 17.28 Nếu x  f  x   đa thức vô nghiệm + Với  x  f  x    x  x 2  x 0  x 2 (loại) + Với x 1 f  x    x  x * Với  x 4; f  x  4  3x 0  x  (thỏa mãn) * Với x  4; f  x   x  0  x  (loại) File word: Zalo_0946 513 000 18 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Vậy nghiệm f  x  x  File word: Zalo_0946 513 000 19 -File word: Zalo_0946 513 000