Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
290,5 KB
Nội dung
Sở GD Đt Hà nội Trờng THPH Chúc Động Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập tự do- hạnh phúc *** Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009- 2010 I- Sơ yếu lý lịch Họ tên: :Nguyễn Thị Kiều Anh Ngày tháng năm sinh: :20/11/1978 Năm ngành :2001 Chức vụ đơn vị công tác :Giáo viên trờng THPT Chúc Động Trình độ chuyên môn : Cử nhân Hệ đào tạo : Chính quy Bộ môn giảng dạy : Toán Trình độ trị Khen thởng : Sơ cấp : Đã đạt danh hiệu lao động tiên tiến II- Nội dungđề tài Tên đề tài: Sửdụnghìnhhọcđểchứngminhbấtđẳngthứcđạisố 1- Lý chọn đề tài: Trong chơng trình THPT, môn Toán đợc chia thành ba phân môn: Hình học, Đạisố Giải tích Sự phân chia mang tính chất tơng đối Bởi lẽ, có nhiều phần toán học có nội dung, đặc điểm, ý nghĩa hay hìnhthức thuộc hai ba phân môn Có nhiều toán giải đợc công cụ hình học, đạisố hay giải tích Nhiều toán hìnhhọcdùngđạisốđể giải ngợc lại nhiều toán đạisốdùnghìnhhọcđể giải Trong sáng kiến kinh nghiệm lần này, đề cập đến việc vận dụng công cụ hìnhhọc toán chứngminhbấtđẳngthứcđạisố Trong chơng trình toán 10 toán 11, học sinh đợc học phơng pháp đểchứngminhbấtđẳngthức nh toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nh sửdụng biến đổi sơ cấp, bấtđẳngthức sở, tính đơn điệu hàm số, dựa vào tập giá trị hàm số v.v Tuy nhiên, việc chứngminhbấtđẳngthứcsửdụng phơng pháp đạisố gây nên nhiều khó khăn cho học sinh phép biến đổi dài dòng, suy luận phức tạp Qua muốn đem đến cách nhìn khác nhằm làm phong phú phơng pháp chứngminhbấtđẳngthứcĐại số, lợng giác, sửdụnghìnhhọc nh công cụ hữu ích cho việc giải vấn đề nêu Lời giải toán đạisố có chứa yếu tố hìnhhọc nhiều thựcbất ngờ gọn, dễ hiểu có nhìn trực quan hìnhhọc đem lại Điều quan trọng qua muốn giúp em hoàn thiện phơng pháp chứngminhbấtđẳng thức, thấy đợc muôn màu muôn vẻ bấtđẳngthức em thấy đợc mối liên hệ đạisốhìnhhọc đồng thời tạo nên hứng thú cho em trình học Toán Phạm vi - thời gian thựcđề tài: Trong phm vi ti tụi i nghiờn cu, đề cập đến việc vận dụng công cụ hìnhhọc toán chứngminhbấtđẳngthứcđạisố Thc nghim i vi hc sinh lp 10A14,10A15 III - Quá trình thựcđề tài, khảo sát thực tế Qua việc khảo sát thực tế số lớp 10, trình giảng dạy, nhận thấy a, Thiếu tài liệu nghiêm trọng: Về đa sốhọc sinh có sách giáo khoa nhng tài liệu tham khảo tập chứngminhbấtđẳngthức ít, mặt khác sốhọc sinh su tầm đợc sách hay tập tập chứngminhbấtđẳngthức nhng không đồng phơng pháp giải, tức lời giải đợc sửdụng công cụ hìnhhọcđể giải dẫn em cha đợc khắc sâu phơng pháp giải định Đối với giáo viên không chịu khó su tầm, tham khảo thêm khó truyền đạt tốt đợc kiến thức phần cho học sinh dễ hiểu b, Sự hiểu biết hạn chế: Đa sốhọc sinh theo học trờng em nông thôn nên vất vả sống hàng ngày, việc dành thời gian thoả đángđểhọc toán nói chung giải tập bấtđẳngthức phơng pháp hìnhhọc nói riêng cha đợc tốt Số liệu điều tra: Về tình hình sách giáo khoa tài liệu học sinh phục vụ cho việc học giải toán bấtđẳngthức ( lớp 10) theo điều tra nh sau: Lớp 10A14 10A15 Sĩ số Sách giáo khoa Số lợng Tỉ lệ 32 84% 36 86% 38 42 Tài liệu tham khảo Số lợng Tỉ lệ 05 13% 07 17% Những biện pháp thực hiện: I Sửdụng tích vô hớng hai vectơ, độ dài véc tơ vào chứngminhBấtđẳngthức A Cơ sở lý thuyết Cho hai vectơ khác 0: a b , ta có a.b = a b cos a.b ( ) a.b a b (do cos( a , b ) 1) r r r r r Véc tơ a, b phơng, hớng a = kb ( k > 0; b 0) r r r r r r r a, b phơng, ngợc hớng a = kb k < 0; b ( ) r (Véc tơ phơng, hớng với véc tơ) r r r r a + b a + b B Các toán áp dụng Bài toán Cho 2n sốthực a1, a2, an, b1, b2, bn Chứngminh rằng: a12 + b12 + a22 + b22 + + an2 + bn2 ( a1 + a2 + + an ) + ( b1 + b2 + + bn ) (Bất đẳngthức Minkốpsky) Giải Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét véc tơ r Ui = ( , bi ) r r r Với i = 1, 2, , n Khi U1 + U2 + + Un = (a1 + a2 + + an; b1 + b2 + + bn) r r r r r r Ta có: U1 + U2 + + Un U1 + U2 + + Un a12 + b12 + a22 + b22 + + an2 + bn2 ( a1 + a2 + an ) + ( b1 + b2 + + bn ) Suy điều phải chứngminh r Đẳngthức xảy véc tơ Ui phơng, chiều a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Bài toán Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn x + y + z Chứngminh rằng: x2 + 1 + y2 + + z2 + 82 x y z (1) (Câu V - Đề thi tuyển sinh Đạihọc khối A năm 2003) r Giải Trên hệ toạ độ Đềcac vuông góc, xét a = x; ữ; b = y; ữ ; x y r r c = z; ữ z r r r 1 Khi a + b + c = x+ y+ z; + + ữ x y z r r r r r r Ta có: a + b + c a + b + c 1 ( x+ y+ z) + + + ữ x y z 1 x + + y2 + + z2 + x y z 2 (2) áp dụngbấtđẳngthức Trung bình cộng trung bình nhân cho ba số dơng x, y, z ta có: x + y+ z 33 xyz xyz 1 + + x y z xyz Đặt t = ( xyz) ta có 0< t 1 ( x+ y+ z) + + + ữ 93 ( xyz) + x y z ( xyz) = 9t + t Đểchứng minh(1), ta cần chứngminh 9t + 82 với 0< t t 9t2 - 82t + (9t - 1) (t - 9) Bấtđẳngthức 9t - 0; t - < Đẳngthức (1) xảy x = y = z = Bài toán 3: Chứngminh tam giác ABC ta có: cos A + cosB + cosC Giải: Chính xuất giá trị cosin mà gợi ý cho ta sửdụng tích vô hớng Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC Đặt véc tơ đơn vị có gốc I, hớng vuông góc với cạnh lần lợt e1 , e , e3 A Ta có ( e1 + e + e3 ) r r I e e3r e12 + e 22 + e32 + 2( e1e + e e3 + e3 e1 ) e2 B C - (cosA + cosB + cosC) cosA + cosB + cos C Chú ý: Từ cách chứngminh ta thấy: I chọn vị trí e1 , e , e3 hớng vào hớng miền e1 , e , e3 chọn cạnh (hớng chiều ngợc chiều quay kim đồng hồ) Từ toán (3) ta có toán (4): Bài toán 4: Chứngminh ABC ta có: sin A B C + sin + sin 2 2 Giải: Đa toán (4) toán (3) (3) cos Do A+C A+ B B+C + cos + cos 2 2 B+C A +C A + B ; ; số đo ba góc tam giác điều 2 phải chứngminh Nh bấtđẳngthức liên quan đến giá trị cosin ta nghĩ đến sửdụng tích vô hớng Bài toán 5: Chứngminh với ABC sốthực x, y, z ta có: x + y + z 2xy.cos C + 2xz.cosB + 2yz cosA Cách giải: Lựa chọn véc tơ đơn vị chung gốc e1 , e , e3 nh toán sửdụng tích vô hớng cho véc tơ xe1 , ye2 , ze3 ta có: ( xe1 + ye2 + ze3 ) x + y + z + 2( xye1e + yze e3 + xze1e3 ) x + y + z 2( xy cos C + yz cos A + xz cos B ) Suy điều phải chứngminh Bài toán 6: Chứngminh với ABC với sốthực dơng m, n, p bất kỳ, ta có: m sin A B C + n sin + p sin 2 1 1 m.n.p + + (5) m n p Cách giải: sin đa cosin áp dụng (3) Biến đổi vế phải (5) VP = 1 1 m2p2 + m2n + n 2p2 m.n.p ( + + ) = 2m.n.p m n p (5) m sin ( A B C m2p2 + m2n + n 2p2 + n sin + p sin 2mnp 2 m n + m p + n p 2mnp( m sin Do ) ( ) A B C + n sin + p sin ) (5') 2 B+C A +C A + B ; ; góc tam giác nên áp 2 dụng (4) ta có điều phải chứngminh Qua ta thấy phơng pháp sửdụng tích vô hớng độ dài vectơ nhiều toán nên giải phơng pháp khác tởng phức tạp dài dòng mà phơng pháp trở nên nhẹ nhàng việc trình bày chứngminh ii sửdụngBấtđẳngthức tam giác chứngminhBấtđẳngthứcđạisố A Cơ sở lý thuyết Với ba điểm A, M, B ta có AM + MB AB (Đẳng thức xảy A, M, B thẳng hàng, M nằm A B) MA MB AB (Đẳng thức xảy A, M, B thẳng hàng M nằm A, B) B Các toán áp dụng Bài toán 1: Cho x, y, z tuỳ ý Chứngminh rằng: x + xy + y + x + xz + z > y + yz + z Cách giải: Giả sử A (xA, yA) ; B(xB, yB); C(xC, yC) AB= ( xA xB ) + ( y A yB ) ; BC = ( xC xB ) + ( yC yB ) Vậy với điểm A, B, C ta có: ( x A xB ) + ( y A yB ) + ( xB xC ) + ( yB yC ) ( x A xC ) + ( y A yC ) * Bấtđẳngthức cần chứngminh có dạng giống (*) Từ có cách giải Hớng dẫn: 2 y x + xy + y = x + ữ + yữ 2 2 z Trong mặt phẳng toạ độ xét x + xz + z = x + ữ + zữ 2 điểm: y 3 y z A x+ ; z ữ; B 0, y+ z ữ;C ,0 ữ 2 2 2 AB = x + xy + y ; AC = x + xz + z ; BC = y + yz + z Do AB + AC BC (1) xA = xC = Dấu xảy A, B, C thẳng hàng hay x A 0; xC yB y A y A yC = x x B A x A xC y = z = 2x ( y z ) ( y + x ) x ( y + z ) = yz Chú ý: Việc chọn toạ độ A, B, C mà có nhiều cách chọn A, B, C thoả mãn phơng pháp cho: AB = x + xy + y ; BC = y + yz + z ; AC = x + xz + z y Ví dụ nh: A ( 0,0 ) ; B x + ; 2 z y ữ; C x + ; z ữ 2 10 Tuy nhiên xem x + xy + y dạng độ dài đoạn thẳng mà coi dạng tàng ẩn định lý cosin ta đợc gì? Phải bổ sung gì? x + xy + y = x ữxy + y = x 2cos1200 xy + y B x + xz + z = x 2cos1200 xz + z 120 Từ đó: Đặt OA = x; OB = y; OC = z (x, y, z, 0) 120 0 120 0 AOB = 120 , AOC = 120 BOC = 120 A AB = x + y xycos1202 = x + xy + y C AC = x + z xzcos1202 = x + xz + z BC = y + z xz cos1200 = y + z + yz Và AB + AC BC (điều phải chứng minh) Bài toán 2: Chứngminh rằng: a2 + a + + a2 a + 2, a R (1) Bàigiải: (1) a + ữ + + a ữ + 2 4 Đặt A = ; ữ ữ; 2 B ( a; 0); C = ; ữ ữ; 2 Khi đó: AB = a 2ữ + ; BC = a 2ữ + ; AC =2 Bấtđẳngthức cần chứngminh tơng đơng với AB + BC AC, bấtđẳngthức 11 Đẳngthức xẩy A, B, C thẳng hàng B nằm A C a = Nh bấtđẳngthức tởng chừng nh tầm cách giải thông thờng lại thật gọn nhẹ với phơng pháp sửdụng xem toán đoán mắt hìnhhọc */ Trên số kinh nghiệm thân trực tiếp tham gia giảng dạy Thực tế cho thấy đa sốhọc sinh hứng thú đợc họcdạng toán Cơ sở trực quan hìnhhọc phần giảm nhẹ đợc độ khó toán Vận dụnghìnhhọc toán đại số, giúp học sinh đỡ phải tính toán cồng kềnh phức tạp Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân trờng THPT Chúc Động với nội dung phơng pháp nêu giúp học sinh có nhìn toàn diện môn toán hình thành học sinh cách nhìn toán đạisố dới mắt hình học, đồng thời qua chuỗi toán giúp em học toán chủ động sáng tạo hơn, không lòng với làm để toán không dừng lại cách giải mà biết xung quanh toán kiến thức liên quan, kích thích em tìm tòi nhiều cách giải cho vấn đề Trong phần này, nhiều dạng ứng dụnghìnhhọc toán đạisố mà tác giả cha trình bày Tác giả hy vọng có điều kiện để trình bày năm Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết không tránh khỏi sai sót Chúng 12 mong nhận đợc góp ý đồng nghiệp bạn đọc nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập IV Kết thực có so sánh đối chứng: Sau cố gắng, nỗ lực kết hợp đồng biện pháp thực đặc biệt đổi phơng pháp vào giảng dạy cụ thể, thực tế cho thấy kết thu đợc khả quan Nhiều em thể hện hứng thú học tập phân môn Chính yêu thích, hứng thú học tập động lực thúc đẩy em tìm tài liệu, chuẩn bị vở, hăng hái thảo luận gìơ họcSự cố găng phấn đấu khiến kết học tập em tiến Sau bảng so sánh đối chứng kết điều tra qua hai học kì lớp: Lớp S Học kì I 2009- 2010 Khá giỏi Trungbình Yếu Học kì I 2009- 2010 Khá giỏi Trungbìn Yếu h ĩ Số Tỉ Số Tỉ Số l- Tỉ Số Tỉ Số Tỉ Số Tỉ 10A1 số 38 lợg 09 lệ 24% lợng 15 lệ 39% ợng 14 lệ 37% lợg 11 lệ 29% lợng 16 lệ 42% lợng 11 lệ 29% 10A1 42 10 24% 16 38% 16 38% 13 31% 19 45% 10 24% Thời đại ngày thời đại công nghệ thông tin, khoa học kĩ thuật Trong bối cảnh nhiều học sinh không ý đầu t mặn mà với việc mua sách tham khảo, tự giải tập toán, tự tìm tòi học hỏi điều dễ hiểu Trách nhiệm nặng nề ngời giáo viên giảng dạy toán trờng phổ thông đem tâm huyết mình, đánh thức, khơi gợi niềm say mê, hứng thú học tập môn toán, góp phần vào chiến lợc đào tạo ngời chủ nhân tơng lai đất nớc ngày mai 13 V Các kiến nghị sau qúa trình thựcđề tài Khi thực xong sáng kiến , xin kiến nghị với cấp ngành vài ý kiến nh sau: - Cung cấp, bổ sung nhiều hơn, thiết thực cho ngời dạy ngời học tài liệu , sách tham khảo môn toán Đạisố lớp 10, sách tham khảo chứngminhbấtđẳngthức nhiều phơng pháp Chơng Mỹ,ngày 10 tháng năm 2010 Tác giả ký tên Nguyễn Thị Kiều Anh 14 ý kiến đánh giá nhận xét hội đồng khoa họcsở ý kiến đánh giá nhận xét hội đồng khoa học cấp 15 ... dung đề tài Tên đề tài: Sử dụng hình học để chứng minh bất đẳng thức đại số 1- Lý chọn đề tài: Trong chơng trình THPT, môn Toán đợc chia thành ba phân môn: Hình học, Đại số Giải tích Sự phân chia... toán đại số dùng hình học để giải Trong sáng kiến kinh nghiệm lần này, đề cập đến việc vận dụng công cụ hình học toán chứng minh bất đẳng thức đại số Trong chơng trình toán 10 toán 11, học sinh... phú phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Đại số, lợng giác, sử dụng hình học nh công cụ hữu ích cho việc giải vấn đề nêu Lời giải toán đại số có chứa yếu tố hình học nhiều thực bất ngờ gọn, dễ