Sử dụng bất đẳng thức cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN A BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN DẠNG CÔ – SI 1  Bất đẳng thức 1: Cho hai số dương x, y Chứng minh  x  y      x y  Chứng minh Cách Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương x, y ta có x  y  xy (1) Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương 1 1 (2) ; ta có:   x y xy x y 1  Từ (1) (2) suy ra:  x  y     Dấu “=” xảy  x  y  x y  Cách Với hai số dương x,y Ta có:  x  y   xy  x  y   xy x y 1  x y 1       x  y      x y  xy x y x y x y Dấu “=” xảy  x  y Cách 1 1  y  x  Ta có:  x  y       x  y      x  y   xy  x y   xy   x  xy  y  xy  x  xy  y    x  y   (luôn x; y  ) 1   (1.1*) x y x y 1 1  Hệ Cho hai số dương x, y Chứng minh     (1.2*) x  y  x y  Hệ Cho hai số dương x, y Chứng minh B ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GTLN, GTNN 1 Sử dụng hệ 1: Với hai số dương x, y Khi ta có   x y x y Bài toán 1: Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1   16 ac bc (Trích đề thi vào 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh năm 2007 – 2008) Chứng minh Cách (khi chưa sử dụng hệ 1): 1 a  b  c a  b  c b a 1  b a 1 Ta có:                 ac bc ac bc c ac a bc c b c  ac bc  a b Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ 2 1 b a    (vì     ) c c ac bc c a b ab ab 1 1  4             a  b  c     c a  b   c a  b  c a b c a b  4.4  16 Cách (sử dụng hệ 1): Chứng minh 1  1 4 Ta có:          16 ac bc c  a b  c a  b c a  b  a  b  c 2      c  a  b   a  b  c  Vì c  a  b       (dạng biến đổi bđt Cô – si) 2     Khai thác: 2 Bài toán tổng quát 1: Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  k k  0 Chứng minh rằng: 1 16   ac bc k Bài giải 1 1 1 4 4 16 Ta có:           2  ac bc c  a b  c a  b c a  b  a  b  c  k  k          Sáng tạo: Từ toán tổng quát thầy, đề cách sau: Với k = 1, ta có tốn: Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1   16 ac bc Với k = 2, ta có tốn Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1  4 ac bc Với k = 3, ta có tốn: Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ 1 16   ac bc Với k = 4, ta có tốn: Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1  1 ac bc … … Bài toán tổng quát 2: Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  k k  0 Chứng minh rằng: m m 16m   ac bc k  m  0 Sáng tạo: Từ toán tổng qt thầy, đề cách sau: Cách Chọn k, m với số Chọn k = 1, m =1, ta có tốn: Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1   16 ac bc Chọn k = 2, m = 2, ta có toán: Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2  8 ac bc Cách Chọn k, m hai số khác Chọn k = 1, m =2, ta có tốn Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2   32 ac bc Chọn k = 2, m = 3, ta có tốn: Bài Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 3   12 ac bc … Bài toán 2: Cho hai số dương a, b thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: Chứng minh Ta có: 1  6 ab a  b Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ 1 1 1           6 ab a  b 2ab a  b 2ab a  b  2ab 2ab 2ab  a  b 2 2.   Bài toán tổng quát: Cho a, b > thỏa mãn a  b  k k  0 Chứng minh rằng: m n m  2n   Với m, n  2m  n ab a  b k2 Chứng minh m n 2m n n n 2m  n 4n 2m  n Ta có:         ab a  b 2ab a  b 2ab a  b 2ab 2ab a  b  2ab  4n a  b  2m  n  a  b 2 2.     4m  2n k2 Sáng tạo đề toán: Cách 1: Chọn k, m n giống Chọn k = 1; m = 1; n = ta có tốn: Bài Cho hai số dương a, b thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: Chọn k = 2; m = 2; n = ta có tốn: Bài Cho a, b > thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: … Cách 2: Chọn k, m n khác Chọn k = 2; m = 3; n = ta có tốn: Bài Cho a, b > thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: Chọn k = 2; m = 2; n = ta có toán: Bài Cho a, b > thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: … 1  6 ab a  b 2   ab a  b2   ab a  b 2   ab a  b Ví dụ 3: Cho hai số dương a, b thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: Chứng minh Cách (khi chưa sử dụng hệ 1): Ta có:  8 ab a  b  1 2   2    =      a  b       2ab a  b   2ab a  b2  ab a  b 2ab a  b Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ  1   a  b  2ab     2.4   2ab a  b    Cách (sử dụng hệ 1): Ta có:  2   8        2 2 2  ab a  b 2ab a  b  2ab a  b  a  b  2ab Ví dụ Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  xy 4x  y Bài giải 4 26 16 26 Ta có A        2 xy x  y 12 xy 3xy 2 x  y  3xy 4x  y Lại có: x  y   2 x  y    x  y  12 xy  Mặt khác: x  y  12 xy  12 xy  12 xy   xy  Vậy A  16 26    52  56 1 Vậy MinA = 56 Dấu “=” xảy x  ; y  Tổng quát: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  k k  0 Chứng minh rằng: 1 16   xy xz k BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh 1  1 xy xz với  a   a 1 2a Bài Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a c b d c a d b    4 ab bc c d d a Bài Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi Chứng minh rằng:  1 1 1         a b c  p  a p b p c Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ Bài Cho hai số dương a, b thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng:   14 ab a  b 1 16 64     a b c d abcd Bài Cho hai số dương a, b thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: 1   a 1 b 1 Bài Cho ba số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: Sử dụng hệ Với hai số dương x, y Khi ta có: 1 1      x  y  x y  Bài toán Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 1  1 1        a  b b  c c  a  a b c  Chứng minh Áp dụng kết có từ hệ 2, ta có: 1 1 1 1  1 1 1      ;     ;     a  b  a b  b  c  b c  c  a  c a  Suy ra: 1 1  1 1        a  b b  c c  a  a b c  Bài toán 2: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: ab bc ca a b c    a  b  2c b  c  2a c  a  2b Chứng minh Ta có: ab ab ab  1       a  b  2c a  c   b  c   a  c b  c  bc bc bc  1       b  c  2a b  a   c  a   b  a c  a  Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ ca ca ca  1       c  a  2b b  a   c  b  b  a c  b  Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: ab bc ca  ab ab bc bc ca ca            a  b  2c b  c  2a c  a  2b  a  c b  c b  a c  a b  a c  b  ab bc ca  ab bc   ab ca   bc ca                a  b  2c b  c  2a c  a  2b  a  c c  a   b  c c  b   b  a b  a  ab bc ca a b c    a  b  2c b  c  2a c  a  2b Bài toán Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh rằng: x y z     yz  zx  xy xyz Chứng minh Ta có: x x x 1        yz xy  yz  zx  yz  xy  yz yz  zx  Tương tự: y   zx y  1      xy  zx yz  zx  z z 1       xy  yz  xy zx  xy  Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: x y z 1 x x y y z z             yz  zx  xy  xy  yz yz  zx xy  zx yz  zx yz  xy zx  xy  x y z  x z   x y   y z                 yz  zx  xy  xy  yz yz  xy   yz  zx yz  zx   xy  zx zx  xy  x y z  1 1          yz  zx  xy  y z x  xyz Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a b c    a 1 b 1 c 1 1 Bài Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn    Chứng minh rằng: a b c 1   2 a b bc c a Bài Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1 a  b2  c    a b bc ca Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: ab bc ac A   c 1 a 1 b 1 ab bc ac a b c Bài Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng:    a b bc c a Bài Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 1  1 1        2a  b  c a  2b  c a  b  2c  a b c  1 1 Bài toán gốc 2: Cho ba số dương x, y, z Chứng minh  x  y  z       x y z  Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho ba số dương x, y, z ta có x  y  z  33 xyz (1) 1 1 1 (2) ; ; ta có:    3 x y z xyz x y z Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho ba số dương Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ 1 1 Từ (1) (2) suy  x  y  z      Dấu “=” xảy  x  y  z  x y z  1    (1.1*) x y z x yz 1 1 1 Hệ Cho ba số dương x, y, z Chứng minh      (1.2*) x  y  z  x y z  Hệ Cho ba số dương x, y, z Chứng minh Đang viết tiếp … B BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG a  b  c  d  ( a  c)  (b  d ) Bài toán Chứng minh với a, b, c, d ta có Việc sử dụng bất đẳng thức quen thuộc vào giải tốn tìm GTLN, GTNN nào? Để hiểu rõ ta xét ví dụ sau: Ví dụ áp dụng: Tìm GTNN biểu thức: a) A  x   x  x  17 Bài giải b) B  x  x   x  x  a) Ta có: A  x   x  x  17  x  2   A  x   x     1 2 4  x  12  Dấu “=” xảy x  x 4 x    Bài toán Chứng minh với a, b, c, d ta có:  ac  bd   a  b c  d Dấu “=” xảy a.d  b.c Ví dụ áp dụng: Tìm GTNN biểu thức: a) A    x  x  1  x 4  x b) B  x   x     x  x  1 c) C  16   x     x 2 Bài giải a) Điều kiện:  x  Với  x  , ta có: A   x x   x  x Xét hiệu   x  x  1  x   x   x   (do  x  )  A2  7  x    x    x   x    A  (do A > 0) Dấu “=” xảy   x  x   x  1  x   x  Bài toán Chứng minh với a, b, c, d ta có: a  b2  c2  d  a  c  b  d  Thầy giáo: Nguyễn Dương Thịnh Kênh youtube: https://www.youtube.com/channel/UCm_WYbedFz05JmJU1zWmMiQ a.d  b.c Dấu “=” xảy  a.c  b.d  Ví dụ áp dụng: Tìm GTLN biểu thức: A  x  x  13  x  x  Bài giải Ta có: A   x  2  32   x  1  x   x  1      2. x     x  1  x 1   x  1  x    3.2  A 2  22 Áp dụng bất đẳng thức ta được: Dấu “=” xảy khi: 10 ...  d ) Bài toán Chứng minh với a, b, c, d ta có Việc sử dụng bất đẳng thức quen thuộc vào giải tốn tìm GTLN, GTNN nào? Để hiểu rõ ta xét ví dụ sau: Ví dụ áp dụng: Tìm GTNN biểu thức: a) A  x... 1 1 Hệ Cho ba số dương x, y, z Chứng minh      (1.2*) x  y  z  x y z  Hệ Cho ba số dương x, y, z Chứng minh Đang viết tiếp … B BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG a  b  c ...  a b c  1 1 Bài toán gốc 2: Cho ba số dương x, y, z Chứng minh  x  y  z       x y z  Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho ba số dương x, y, z ta có x  y  z  33