Chuyên đề ỨNG DỤNG CỦA HÀM BẬC NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A Kiến thức cần nhớ Cho hàm số bậc f x ax b , với x1 x2 Ta có: f x1 0 1) f x 0, x : x1 x x2 f x2 0 x x1 x x2 Đẳng thức xảy f x1 0 f x2 0 f x1 0 2) f x 0, x : x1 x x2 f x2 0 x x2 x x1 Đẳng thức xảy f x1 0 f x2 0 Ý nghĩa hình học: Một đoạn thẳng nằm phía trục hoành hai điểm đầu mút nằm phía trục hồnh Một đoạn thẳng nằm phía trục hồnh hai điểm đầu mút nằm phía trục hồnh Nhận xét: Nếu hệ số a 0 f x b (hàm hằng) Khi tính chất đồ thị hàm đường thẳng Các tính chất khác hàm chúng tơi trình bày chương III sách B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho x, y, z 2 Chứng minh x y z xy yz zx 4 Giải Bất đẳng thức cho tương đương: x y z xy yz zx 4 x y z y z yz 0 Coi x biến số y, z tham số, đặt f x x y z y z yz Xét hàm f x với x 2 Ta có: f 2 y z yz y z 0 f yz 0 Như vậy, ta có f x 0 với x thõa mãn x 2 x 2 x 0 Đẳng thức xảy f x yz 0 f y z 0 x 0 x 0 x 2 x 2 y 2 z 2 y 0 z 0 Nhận xét: Để giải tốn chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất hàm bậc chia thành bước sau: Bước 1: Tạo hàm số dạng f t at b Bước 2: Xác định t1 , t2 cho: t1 t t2 Bước 3: 1) Chứng minh f t1 0 f t2 0 Từ suy f t 0 , với t thỏa mãn t1 t t2 2) Chứng minh f t1 0 f t2 0 Từ suy f t 0 , với t thỏa mãn t1 t t2 Ví dụ 2: Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x y z 1 Chứng minh rằng: xy yz xz xyz 27 Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với yz x x x 0 * 27 Đặt t yz , coi t biến x tham số Ta VT * f t t x x x 27 y z Theo bất đẳng thức Cô – si: t yz 1 x 1 x t 1 x x ; Mà f x x 27 108 2 1 x 3x 1 x 1 54 x3 27 x f 0 x 0 108 108 1 x Suy f t 0 với t thõa mãn t 4 2 1 x yz 1 x 1 1 1 x x 0 Dấu xảy f 2 3 6 y z x x y z y z Nhận xét: Với cách làm tương tự ta giải tổng quát sau: Cho số m x, y, z số thực không âm thõa mãn: x y z 1 Khi ta ln có mxyz xy yz zx m 9 27 Ví dụ 3: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 4a 4b 4c 1 1 1 25 Chứng minh b c c a a b Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 3a 3b 3c 1 25 1 a 1 b 1 c 27abc ab bc ca 25 ab bc ca 25abc 52abc 16 ab bc ca ab 52c 16 16c c * Do tính đối xứng với biến a, b, c nên khơng tính tổng qt, giả sử a b c Do a b c 1 nên c a b Với t ab, t ab 1 c Đặt f t t 52c 16 16c c VT * Ta lại có: f 16c 16c 4 2c 1 0 1 c f 13c 14c 5c c 13c 14c 7 16 13c c 0 13 168 1 c 3 Từ suy 52abc 16 ab bc ca 0 ab 0 Đẳng thức xảy (Vơ lý ab dương) f 4 2c 1 0 Nhận xét: Bài toán hệ số toán gốc sau đây: Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1 số m thỏa mãn m Chứng minh rằng: xy yz zx mxyz 9 4 Ví dụ 5: Cho a, b, c 1 Chứng minh rằng: a b c a b c 1 Giải Coi a biến b, c tham số Xét hàm số f a a b c a b c với a 1 f b c b c bc 0 Lại có: f 1 b c 0 Suy f a 0 , với a 1 Đẳng thức sảy a, b 0, b, c 0, c, a 0, Nhận xét: Từ tốn ta có toán tương tự: Cho a, b, c, d 1 Chứng minh a b c d a b c d 1 Ví dụ 6: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x y z 15 xyz 1 Giải Xét biểu thức x y z 1 Chứng minh rằng: P 4 x y z 15 xyz 4 x y 12 xy x y z 15 xyz 4 z 12 xy z z 15 xyz xy 27 z 12 z z 1 Đặt t xy , coi z biến ta hàm số: P f t t 27 z 12 z z 1 x y Lại có t xy 1 z f 4 z 1 0 với z 1 z f 27 z 18z 3z 3z z z 1 3z 3z 1 0 với số dương z Từ suy P 0 Đẳng thức xảy x y z Nhận xét: P 4 x y z 15 xyz 4 x y z 3xyz 27 xyz 4 x y z x y z xy yz zx 27 xyz 4 x y z xy yz zx 27 xyz 4 x y z xy yz zx 27 xyz 27 xyz 12 xy yz zx Đến đây, ta thấy toán hệ toán sau: Cho số m 9 x, y, z số thực không âm thỏa mãn: x y z 1 Khi ta có mxyz xy yz zx m 9 27 C Bài tập vận dụng 9.1 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 Chứng minh a b c abc 4 Hướng dẫn giải – đáp số * Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương a b c abc 0 Do a b c 3 a b 3 c Từ ta có: VT * a b c abc a b 2ab c abc c 2ab c abc ab c 2c 6c Do vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử c b a Mà a b c 3 c 1 Xét hàm số bậc biến t là: f t t c 2c 6c ,với t ab a b t ab c 9 3 Ta có: f 2c 6c 2 c 3c 2 c với c 4 2 2 c c c 3c c 1 c f 0 với c c 2c 6c 4 c Từ ta có: f t 0 với t 2 c Tức bất đẳng thức * Suy f t 0 với t a b c a b c 1 Đẳng thức xảy ab c 1 c 0 9.2 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1 Chứng minh xy yz zx xyz 4 Hướng dẫn giải – đáp số Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương xy yz zx Ta có: Do x y z 1 x y 1 z Khi xyz 0 4 * VT * xy yz zx xyz 4 xy z z x y xy z z z Do vai trò x, y, z nên khơng tính tổng qt ta giả sử 9 z y z z z z hay z 4 Xét hàm số bậc biến t : 2 1 x y z t xy f t t z z z , với t xy 4 4 1 Ta có: f z z 4 1 z với z 2 1 z 1 z z 3z 1 1 9z3 6z z f 0 z z z 4 16 16 Từ hai điều ta có * Đẳng thức xảy x y z 9.3 Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x y z 1 3 Chứng minh rằng: x y z xyz Hướng dẫn giải – đáp số Do vai trò x, y, z nhau, ta giả sử x y z z Mà x y z 1 x y 1 z Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: x y z 18 xyz 0 * Xét biểu thức: VT * 3 x3 y z 18 xyz 3 x y xy x y 3x 18 xyz 3 z xy z 3x 18 xyz xy 27 z z z Đặt t xy , coi t biến z tham số ta hàm số: f t t 27 z z z , với t xy x y z 4 Ta có: f 3z 3z 1 0 với z 1 z f z 1 0 với số dương z Từ hai điều ta có * Đẳng thức xảy x y z