Đs chuyên đề 9 ứng dụng của hàm bậc nhất để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề ỨNG DỤNG CỦA HÀM BẬC NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A Kiến thức cần nhớ Cho hàm số bậc f  x  ax  b , với x1  x2 Ta có:  f  x1  0 1) f  x  0, x : x1 x x2    f  x2  0   x x1  x  x2 Đẳng thức xảy     f  x1  0  f  x2  0  f  x1  0 2) f  x  0, x : x1 x x2    f  x2  0   x  x2  x x1 Đẳng thức xảy     f  x1  0  f  x2  0 Ý nghĩa hình học: Một đoạn thẳng nằm phía trục hoành hai điểm đầu mút nằm phía trục hồnh Một đoạn thẳng nằm phía trục hồnh hai điểm đầu mút nằm phía trục hồnh Nhận xét: Nếu hệ số a 0 f  x  b (hàm hằng) Khi tính chất đồ thị hàm đường thẳng Các tính chất khác hàm chúng tơi trình bày chương III sách B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho x, y, z 2 Chứng minh  x  y  z    xy  yz  zx  4 Giải Bất đẳng thức cho tương đương:  x  y  z    xy  yz  zx  4  x   y  z    y  z   yz  0 Coi x biến số y, z tham số, đặt f  x  x   y  z    y  z   yz  Xét hàm f  x  với  x 2 Ta có: f   2  y  z   yz    y   z   0 f    yz 0 Như vậy, ta có f  x  0 với x thõa mãn  x 2    x 2  x 0 Đẳng thức xảy     f  x   yz 0  f     y   z   0   x 0  x 0  x 2  x 2      y 2  z 2  y 0  z 0 Nhận xét: Để giải tốn chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất hàm bậc chia thành bước sau: Bước 1: Tạo hàm số dạng f  t  at  b Bước 2: Xác định t1 , t2 cho: t1 t t2 Bước 3: 1) Chứng minh f  t1  0 f  t2  0 Từ suy f  t  0 , với t thỏa mãn t1 t t2 2) Chứng minh f  t1  0 f  t2  0 Từ suy f  t  0 , với t thỏa mãn t1 t t2 Ví dụ 2: Cho số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z 1 Chứng minh rằng: xy  yz  xz  xyz  27 Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với yz   x   x   x   0  * 27 Đặt t  yz , coi t biến x tham số Ta VT  *  f  t  t   x   x  x  27  y  z Theo bất đẳng thức Cô – si: t  yz  1 x   1 x t  1    x      x    ; Mà f   x  x  27  108  2  1 x  3x  1  x  1  54 x3  27 x  f    0  x 0    108 108   1 x Suy f  t  0 với t thõa mãn t  4 2  1 x   yz     1 x  1 1  1     x    x   0 Dấu xảy  f   2 3  6      y z   x    x  y z    y z Nhận xét: Với cách làm tương tự ta giải tổng quát sau: Cho số m  x, y, z số thực không âm thõa mãn: x  y  z 1 Khi ta ln có mxyz  xy  yz  zx  m 9 27 Ví dụ 3: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1  4a   4b   4c   1   1   1  25 Chứng minh   b c  c a  a b  Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 3a  3b  3c 1  25 1 a 1 b 1 c  27abc   ab  bc  ca    25  ab  bc  ca   25abc  52abc  16  ab  bc  ca     ab  52c  16   16c   c     * Do tính đối xứng với biến a, b, c nên khơng tính tổng qt, giả sử a b c Do a  b  c 1 nên c   a  b Với t ab,  t ab  1 c  Đặt f  t  t  52c  16   16c   c   VT  * Ta lại có: f   16c  16c  4  2c  1 0  1 c  f  13c  14c  5c c  13c  14c        7 16  13c   c   0     13  168  1   c   3  Từ suy 52abc  16  ab  bc  ca   0  ab 0 Đẳng thức xảy  (Vơ lý ab dương)  f   4  2c  1 0 Nhận xét: Bài toán hệ số toán gốc sau đây: Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 số m thỏa mãn  m  Chứng minh rằng:  xy  yz  zx  mxyz  9 4 Ví dụ 5: Cho a, b, c 1 Chứng minh rằng:   a    b    c   a  b  c 1 Giải Coi a biến b, c tham số Xét hàm số f  a    a    b    c   a  b  c  với a 1 f     b    c   b  c  bc 0 Lại có: f  1 b  c 0 Suy f  a  0 , với a 1 Đẳng thức sảy  a, b   0,   b, c   0,   c, a   0,  Nhận xét: Từ tốn ta có toán tương tự: Cho a, b, c, d 1 Chứng minh   a    b    c    d   a  b  c  d 1 Ví dụ 6: Cho số dương x, y, z thỏa mãn  x  y  z  15 xyz 1 Giải Xét biểu thức x  y  z 1 Chứng minh rằng: P 4  x  y  z   15 xyz  4  x  y   12 xy  x  y   z  15 xyz  4   z   12 xy   z   z  15 xyz   xy  27 z  12    z  z  1 Đặt t xy , coi z biến ta hàm số: P  f  t  t  27 z  12    z  z  1  x  y Lại có  t xy  1 z   f   4  z  1 0 với z  1 z  f  27 z  18z  3z 3z  z  z  1 3z  3z  1 0 với số dương z     Từ suy P 0 Đẳng thức xảy x  y z  Nhận xét: P 4  x  y  z   15 xyz  4  x  y  z  3xyz   27 xyz  4  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   27 xyz  4  x  y  z  xy  yz  zx   27 xyz  4   x  y  z    xy  yz  zx    27 xyz    27 xyz  12  xy  yz  zx   Đến đây, ta thấy toán hệ toán sau: Cho số m  9 x, y, z số thực không âm thỏa mãn: x  y  z 1 Khi ta có mxyz  xy  yz  zx  m 9 27 C Bài tập vận dụng 9.1 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh a  b  c  abc 4 Hướng dẫn giải – đáp số  * Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương a  b  c  abc  0 Do a  b  c 3  a  b 3  c Từ ta có: VT  * a  b  c  abc   a  b   2ab  c  abc    c   2ab  c  abc  ab  c    2c  6c  Do vai trò a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử c b a Mà a  b  c 3  c 1 Xét hàm số bậc biến t là: f  t  t  c    2c  6c  ,với t ab  a  b  t ab    c  9 3   Ta có: f   2c  6c  2  c  3c    2  c     với c 4 2   2    c    c c  3c   c  1  c   f   0 với c  c    2c  6c     4     c Từ ta có: f  t  0 với t  2   c  Tức bất đẳng thức  * Suy f  t  0 với  t    a b   c    a b c 1 Đẳng thức xảy  ab     c  1  c   0   9.2 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 Chứng minh xy  yz  zx  xyz  4 Hướng dẫn giải – đáp số Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương xy  yz  zx  Ta có: Do x  y  z 1  x  y 1  z Khi xyz  0 4  * VT  * xy  yz  zx  xyz  4    xy   z   z  x  y        xy   z   z   z     Do vai trò x, y, z nên khơng tính tổng qt ta giả sử 9 z  y  z  z   z   z   hay  z  4 Xét hàm số bậc biến t : 2 1    x  y  z     t  xy f  t  t   z    z  z   , với  t xy   4    4 1  Ta có: f     z  z    4  1   z    với z  2   1 z   1 z     z  3z  1 1 9z3  6z  z f   0   z    z  z         4 16 16   Từ hai điều ta có  * Đẳng thức xảy x  y z  9.3 Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 3 Chứng minh rằng: x  y  z  xyz  Hướng dẫn giải – đáp số Do vai trò x, y, z nhau, ta giả sử x  y  z  z  Mà x  y  z 1    x  y 1  z Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: x  y  z 18 xyz  0  * Xét biểu thức: VT  * 3  x3  y  z   18 xyz  3  x  y   xy  x  y   3x  18 xyz  3   z   xy   z   3x  18 xyz   xy  27 z     z  z   Đặt t  xy , coi t biến z tham số ta hàm số: f  t  t  27 z     z  z   , với  t xy   x  y     z  4 Ta có: f    3z    3z  1 0 với z   1 z   f   z  1 0 với số dương z     Từ hai điều ta có  * Đẳng thức xảy x  y z 