TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN TIN HỌC ———————o0o——————– TIỂU LUẬN HÀM BẬC NHẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỰC TẾ Giảng viên hướng dẫn TS TẠ THỊ NGUYỆT NGA Lớp 20TTH Nhóm EleA Thành viên nhóm Nguyễn Thị Huệ Chi 19110275 Lê Thị Quỳnh Nhi 19110401 Phạm Ngọc Thanh Thảo 19110450 Trần Minh Thiện 19110452 Lê Thị Ngọc Thơm 19110458 TP HỒ CHÍ MINH, 52022 Mục lục I PHẦN MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài 2 3 Đối tượng và.
Định nghĩa hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y=ax+b trong đó a,b là các số cho trước và a ̸= 0.
Khi b=0 hàm số có dạng y=ax
Tính chất
Hàm số bậc nhất y=ax+b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau
Bảng biến thiên: Đồ thị Đồ thị của hàm số y=ax+b là đường thẳng có hệ số góc là a và có các tính chất sau:
•Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
•Khi b=0, đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0,0)
Ví dụ Đồ thị hàm y=2-x/2
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y=ax+b
Khi b = 0 thì y =ax là đường thẳng di qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A (1;a) đã biết
Xét trường hợp y= ax với a khác 0 và b khác 0
Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng, vì vậy để vẽ nó, chúng ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt trên đồ thị và nối chúng lại với nhau.
-Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị , chẳng hạn:
-Cho x = 1 tính được y = a + b, ta có điểm A ( 1; a+b)
-Cho x = -1 tính được y = -a + b, ta có điểm B (-1 ; -a + b)
-Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa dộ:
-Cho x = 0 tính được y = b, ta được điểm C (-b/a;0)
-Cho y = 0 tính được x = -b/ a, ta có điểm D (-b/a; 0)
-Vẽ đường thẳng qua A, B hoặc C, D ta được đồ thị của hàm số y = ax + b -Dạng đồ thị của hàm số y = ax + b ( a khác 0)
Ta cần xác định hai điểm phân biệt bất kì thuộc đồ thị.
•Bước 1: Cho x = 0 ⇒ y = b Ta được điểm P (0; b) ̸= Oy.
•Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q, ta được đồ thị của hàm số y=ax+b.
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y=ax+b(a ̸= 0)
Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến
Phương pháp: Ta có hàm số bậc nhất y=ax+b,(a ̸= 0)
Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
VD: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=(2m+3)x+m+3 nghịch biến trên R
Hàm số y=(2m+3)x+m+3 có dạng hàm số bậc nhất Để hàm số nghịch biến trên R ⇔ 2m + 3 < 0⇔ m < −3/2
Dạng 2: Đồ thị hàm số bậc nhất.
Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Dạng 4: Xác định hàm số bậc nhất.
VD: Biết đồ thị hàm số y=ax+b đi qua điểm M(1;4) và hệ số góc bằng -3 Tìm a,b.
Vì y=ax+b có hệ số góc bằng -3 nên a=-3.
Mà y = ax + b đi qua M(1:4)nên y = −3x + b ⇔ 4 = −3.1 + b⇔ b = 7
Dạng 5: Bài toán thực tế.
Một nông dân dự định trồng đậu và cà trên diện tích 8 ha trong vụ đông xuân Để trồng đậu, nông dân cần 20 công lao động và thu được 3 triệu đồng mỗi ha Trong khi đó, nếu trồng cà, cần 30 công lao động và thu 4 triệu đồng mỗi ha Với tổng số công lao động không vượt quá 180, nông dân cần xác định diện tích trồng mỗi loại cây sao cho lợi nhuận đạt được là cao nhất.
Gọi diện tích trồng đậu là x, vậy diện tích trồng cà là 8-x Số công phải bỏ ra là: 20x+30(8-x)$0-10x.
Do tổng số công không quá 180 nên ta có: 240 − 10x ≤ 180 Suy ra x ≥ 6
Số tiền thu được là g(x) = 3x + 4(8 − x) = 32 − x; g(x) nghịch biến trên đoạn [6,8]nên max g(x)& tại x=6 Vậy cần trồng 6 ha đậu và 2 ha cà.
1/ Tìm m để hàm số y = (−2m + 1)x + m − 3 đồng biến trên R.
2/ Đồ thị của hàm số y = (2/3)x + 1/3 là
3/ Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = (m 2 − 3)x + 3m + 1 song song với đường thẳng y = x−5?
4/ Đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 tạo với hệ trục tọa độ Oxy tam giác có diện tích bằng 25/2 Khi đó m bằng?
Một giá đỡ được gắn vào bức tường với tam giác ABC vuông cân tại đỉnh C Khi một vật nặng 10N được treo vào điểm A, lực tác động lên bức tường tại hai điểm B và C sẽ có cường độ khác nhau.
3 Ứng dụng thực tế của hàm bậc nhất
Phương trình bậc nhất
Phương trình tuyến tính, hay còn gọi là phương trình bậc nhất, có dạng f(x) = ax + b = 0, trong đó a là hệ số bậc một và b là một hằng số.
Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương trình này (xem hình bên dưới) là đường thẳng.
Nghiệm số của phương trình trên là: x = -b/a (a khác 0)
Trường hợp đặc biệt của phương trình tuyến tính f (x) = ax + b = 0 Với a = 0, phương trình có dạng 0x = -b
+Nếu b = 0 thì phương trình vô số nghiệm.
+Nếu b ̸= 0 thì phương trình vô nghiệm.
Khi a bằng 0, phương trình chuyển thành phương trình bậc 0, không còn là phương trình bậc nhất Ngược lại, khi a khác 0, phương trình này luôn có một nghiệm duy nhất.
Phương trình tuyến tính có thể được mở rộng cho n biến, được biểu diễn dưới dạng f(x₁, x₂, , xₙ) = a₁x₁ + a₂x₂ + + aₙxₙ + b = 0 Những phương trình này có vô số nghiệm và chỉ có thể giải được khi có giới hạn cho các nghiệm hoặc khi số lượng phương trình bằng số lượng nghiệm Trong trường hợp này, chúng ta gọi đó là các hệ phương trình.
Các dạng của phương trình tuyến tính
Dạng chuẩn của phương trình tuyến tính trong một biến được biểu diễn dưới dạng ax + b = 0trong đó, a ̸= 0 và x là biến. vd: 5x + 2 = 0.
Dạng chuẩn của một phương trình tuyến tính trong hai biến được biểu diễn dưới dạng ax + by + c = 0, trong đó, a ̸= 0, b ̸= 0, x và y là các biến. vd: x + 2y + 4 = 0.
Phương trình tuyến tính thường được biểu diễn dưới dạng y = ax + b, trong đó y và x là các điểm trên mặt phẳng xy Hệ số a đại diện cho độ dốc của đường thẳng, trong khi b là giao điểm, một giá trị cố định Đây là dạng phổ biến nhất của phương trình tuyến tính.
Ví dụ: y = 3x + 7 hệ số góc a = 3 và b = 7
Dạng điểm - độ dốc là một phương trình tuyến tính thể hiện mối quan hệ giữa các điểm trong mặt phẳng xy Công thức được sử dụng là y - y1 = m(x - x1), trong đó m đại diện cho độ dốc của đường thẳng.
Trong phương trình y − 5 = 2(x − 3), (x1, y1) là tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua, và m là độ dốc của đường thẳng Phương trình tuyến tính có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế.
Phương trình tuyến tính có nhiều ứng dụng trong thực tế, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán đố và bài toán dạng chữ Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách mà phương trình tuyến tính được áp dụng rộng rãi để giải quyết các vấn đề trong đời sống hàng ngày.
Trong cuộc sống thực, phương trình tuyến tính có nhiều ứng dụng quan trọng Để giải quyết các vấn đề thực tiễn bằng đại số, chúng ta cần chuyển đổi tình huống cụ thể thành các biểu thức toán học, giúp minh họa rõ ràng mối quan hệ giữa biến và thông tin đã cho Các bước sau đây sẽ hướng dẫn cách trình bày một tình huống thực tế thành một câu lệnh toán học.
Trong quá trình giải bài toán, bước đầu tiên là xác định các ẩn số và gán biến cho những đại lượng chưa biết Các biến này đại diện cho các giá trị có thể thay đổi tùy theo ngữ cảnh toán học, giúp chúng ta dễ dàng quản lý và xử lý thông tin trong bài toán.
• Đọc kỹ vấn đề nhiều lần và trích dẫn dữ liệu, cụm từ và từ khóa Sắp xếp thông tin thu được một cách tuần tự.
Để giải quyết bài toán, trước tiên cần lập một phương trình dựa trên biểu thức đại số và dữ liệu đã được cung cấp Sau đó, áp dụng các kỹ thuật giải phương trình để tìm ra nghiệm Việc này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về vấn đề mà còn rèn luyện kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.
Chúng ta hãy xem xét một ví dụ để phân tích sâu các ứng dụng của phương trình tuyến tính.
Tâm có tuổi lớn gấp đôi tuổi Vân 10 năm trước tuổi của Tâm gấp ba lần Vân. Tìm tuổi hiện tại của họ.
Trong bài toán này, tuổi của Tâm và Vân là chưa biết Do đó, trước tiên chúng ta chọn các biến cho ẩn số.
Chúng ta giả định rằng tuổi hiện tại của Vân là ‘x’ tuổi.
Hiện tại, tuổi của Tâm gấp đôi tuổi của Vân, tức là tuổi Tâm là ‘2x’ Mười năm trước, tuổi của Vân là ‘x - 10’ và tuổi của Tâm là ‘2x - 10’ Theo đề bài, mười năm trước, tuổi của Tâm bằng ba lần tuổi của Vân, nên ta có phương trình 2x - 10 = 3(x - 10).
Chúng ta có thể dễ dàng giải phương trình tuyến tính với biến 'x' và nhận được kết quả chính xác.
Vân hiện 20 tuổi, trong khi Tâm là 40 tuổi Nếu Vân 20 tuổi bây giờ, thì 10 năm trước, cô ấy 10 tuổi và Tâm 30 tuổi, điều này xác nhận thông tin đã cho.
Ví dụ: Cho bảng giá cước nhau sau:
Hỏi: Một hành khách thuê taxi đi quãng đường 40km phải trả số tiền là bao nhiêu?
Gọi y (đồng) là số tiền khách hàng phải trả sau khi đi x (km).
Nếu quãng đường khách hàng đi không quá 0,7km, ta có hàm số là: y = 11000.
Nếu quãng đường khách hàng đi trên 0,7km đến 30km, ta có hàm số là: y = 11 000 + (x – 0,7).15 800 = 15 800.x – 60
Nếu quãng đường khách hàng đi trên 30km, ta có hàm số là: y = 11 000 + (30 – 0,7).15 800 + (x – 30).12 500 = 12 500.x + 98940 Thay x
= 40 vào công thức y = 12 500.x + 98940 (vì 40km > 30km), ta được: y = 12 500.40 + 98940 = 598940
Vậy hành khách phải trả số tiền là 598940 đồng
Do đó, các ứng dụng của phương trình tuyến tính cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề trong thế giới thực là như vậy.
Một số bài toán thực tế:
Theo tài liệu của Tổng cục Dân số và Kế hoạch hóa gia đình, có mối quan hệ giữa tuổi thọ trung bình của phụ nữ và tỷ lệ biết chữ của họ được biểu diễn qua công thức y = 47,17 + 0,307x Theo báo cáo năm học 2015-2016 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tỷ lệ biết chữ của phụ nữ Việt Nam từ 15 đến 60 tuổi đạt 96,83%, tương ứng với tuổi thọ ước tính là 76,63 năm Để nâng cao tuổi thọ của phụ nữ tại 85 nước lên 77 tuổi, tỷ lệ biết chữ cần đạt khoảng 96,63%.
Để chuyển đổi từ nhiệt độ Fahrenheit (F) sang Celsius (C), ta sử dụng công thức C = 5/9 (F – 32) a) C là hàm số bậc nhất theo biến số F, vì nó có dạng y = mx + b, với m và b là các hằng số b) Khi F = 300F, nhiệt độ C được tính là 148.89C c) Biểu thức hàm số bậc nhất F theo biến số C là F = (9/5)C + 32 Khi C = 250C, nhiệt độ F tương ứng là 482F.
Bài 3:Hai người A và B cùng ở một phía và cách thành phố Hồ Chí Minh 50km.
Hồi quy tuyến tính
Hồi quy tuyến tính là phương pháp thống kê dùng để xác định mối quan hệ tuyến tính giữa một biến phụ thuộc (biến y) và một hoặc nhiều biến độc lập (x1, x2, x3, ) Mục tiêu của hồi quy tuyến tính là ước lượng hoặc dự đoán giá trị của biến phụ thuộc y dựa trên các giá trị đã biết của các biến độc lập.
Mối quan hệ tuyến tính phụ thuộc của tiền lương vào số năm đi học.
Mối quan hệ tuyến tính phụ thuộc của giá nhà vào diện tích nhà.
3.2.2 Mô hình hồi quy tuyến tính đơn a Định nghĩa
Trong nghiên cứu mối quan hệ giữa biến phụ thuộc y và biến độc lập x, mô hình hồi quy tuyến tính đơn được sử dụng với công thức y = β0 + β1x + u, trong đó β0 là hằng số, β1 là hệ số hồi quy, và u là sai số ngẫu nhiên.
• β 0 là hằng số, β 1 là hệ số độ dốc đều chưa biết và cần ước lượng.
• u là các yếu tố khác tác động lên y.
Mô hình tuyến tính theo tham số, như y = β 0 + β 1 √ x + u, thể hiện mối quan hệ giữa các biến Trong đó, β 0 đại diện cho giá trị của y khi x và u bằng 0, trong khi β 1 cho thấy tác động nhân quả của việc thay đổi 1 đơn vị trong x đối với y, với điều kiện u không thay đổi.
Ví dụ: Mô hình hồi quy tuyến tính đơn của tiền lương theo số năm đi học.
Tiền lương = β 0 + β 1 số năm đi học + u
Trong mô hình này, u đại diện cho các yếu tố khác ảnh hưởng đến tiền lương như kinh nghiệm và năng lực Hệ số β0 biểu thị mức lương khi số năm học bằng 0 và các yếu tố khác cũng bằng 0 Hệ số β1 đo lường sự thay đổi của tiền lương khi số năm học tăng thêm 1 năm, trong khi các yếu tố khác được giữ nguyên Các giả thuyết của mô hình là cơ sở để phân tích mối quan hệ giữa giáo dục và tiền lương.
• Tuyến tính theo tham số: y = β 0 + β 1 x + u
• Mẫu ngẫu nhiên {(x i , y i ), i = 1, 2, 3, } với {x i , y i } độc lập cùng phân phối
• Trung bình có điều kiện bằng không E[u|x]=0
• Các x i phải có sự biến thiên trong mẫu dữ liệu x i ̸= c c Các dạng hàm
Biến phụ thuộc là y, biến độc lập x
Sự tác động của x lên y: ∆y = β 1 ∆x
Nghĩa là khi x thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi β 1 đơn vị.
Biến phụ thuộc dạng logy, biến độc lập x.
Sự tác động của x lên y: %∆y = (100β 1 )∆x
Nghĩa là khi x thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi 100β 1 %.
Thật vậy, dù biến phụ thuộc là logy nhưng ta vẫn có thể suy ra từ mô hình log-level sự ảnh hưởng của x lên y như sau:
Có sự ảnh hưởng của x đối với logy:
Với cách biến đổi tương tự như trên cũng được áp dụng cho 2 dạng hàm sau:
Biến phụ thuộc y, biến độc lập x.
Sự tác động của x lên y: ∆y = (β 1 /100).%∆x
Tức là khi x thay đổi 1% thì y thay đổi β 1 /100 đơn vị.
Biến phụ thuộc có dạng logy, biến độc lập dạng logx
Sự tác động của x lên y: %∆y = β 1 %∆x
Nghĩa là khi x thay đổi 1% thì y thay đổi β 1 % d Các ước lượng OLS
Từ giả thiết E[u|x]=0, ta có được:
Từ đây bằng phương pháp Moment ta có thể tìm được ước lượng b 0 , b 1 cho các tham số β 0 , β 1 b 0 = ¯ y − b 0 x ¯ b 1 =
(Phương pháp moment tham khảo thêm tại: https://phuongphapdinhluong.blogspot.com/2017/12/phuong-phap-hoi-quy-gmm- va-ung-dung.html)
Chúng ta có thể xác định các ước lượng b0 và b1 thông qua phương pháp bình phương bé nhất thông thường (OLS), điều này có nghĩa là chúng ta tìm b0 và b1 bằng cách tối thiểu hóa tổng bình phương các phần dư.
is a statistical technique used for estimating the parameters of a mathematical model It minimizes the sum of the squares of the differences between observed and predicted values, providing the best fit for data This method is widely applicable in various fields, including economics, engineering, and the social sciences, as it helps in making predictions and analyzing trends Understanding key terms related to this method is essential for effective implementation and interpretation of results For more detailed information, refer to resources such as Wikipedia and educational websites.
Giá trị dự đoán: y ˆ i = b 0 + b 1 x i Đường hồi quy: y ˆ = b 0 + b 1 x
Phần dư: u ˆ i = y i − y ˆ i f Đường hồi quy, giá trị phù hợp và phần dư Đường hồi quy được hiểu đơn giản là đồ thị của mô hình tìm được.
Quan sát một số đường hồi quy sau đây:
Giá trị phù hợp là điểm thuộc hồi quy.
Phần dư là phần chênh lệch giữa giá trị phù hợp và giá trị thực tế (các chấm trên đồ thị).
Video trong liên kết sau giải thích chi tiết về các giá trị phù hợp và phần dư, cũng như độ phù hợp của mô hình.
Tổng bình phương toàn phần: SST =Pn i=1 (y i − y) ¯ 2 Tổng bình phương được giải thích: SSE =Pn i=1 (ˆ y i − y) ¯ 2 Tổng bình phương phần dư:SSR =Pn i=1 u ˆ 2 i Tính chất:
SST Để xem xét độ phù hợp của mô hình ta sử dụng R 2
R² là tỷ lệ phần trăm biến thiên mẫu trong y được giải thích bởi x, thường được diễn đạt dưới dạng 100.R² Điều này có nghĩa là R² cho biết mức độ mà biến x ảnh hưởng đến sự biến thiên của biến y.
• 0 ≤ R 2 ≤ 1 Khi R 2 = 1 nghĩa là tất cả y i đều thuộc đường thẳng hồi quy, khi đó x giải thích hoàn hảo cho y Khi R 2 = 0 có nghĩa là x không có tác động gì lên y.
Trong mô hình hồi quy, R² thấp cho thấy có nhiều biến khác ngoài biến x ảnh hưởng đến biến y Tuy nhiên, nếu mục tiêu chính là dự đoán chính xác, việc lựa chọn một mô hình có R² cao là rất quan trọng.
Độ phù hợp của mô hình được thể hiện qua sự gần gũi giữa các điểm dữ liệu thực tế và đường hồi quy; mô hình có độ phù hợp cao sẽ cho thấy các điểm dữ liệu tập trung gần đường hồi quy.
Tính không chệch của các ước lượng OLS
Tính không chệch của các ước lượng OLS:
Phương sai sai số không đổi: V ar(ux) = σ 2
Phương sai mẫu của các ước lượng OLS:
Từ phương sai mẫu của ước lượng OLS, nếu phương sai mẫu của biến x lớn, các ước lượng b0 và b1 sẽ chính xác hơn Vì vậy, việc lựa chọn các giá trị x có độ biến thiên cao nhất là cần thiết để nâng cao độ chính xác của các ước lượng βi.
3.2.3 Mô hình hồi quy tuyến tính bội a Định nghĩa
Để khảo sát mối quan hệ giữa biến phụ thuộc y và các biến độc lập x1, x2, x3, …, xk, chúng ta sử dụng mô hình hồi quy tuyến tính bội Mô hình này có dạng: y = β0 + β1x1 + + βkxk + u, trong đó β0 là hằng số, β1, β2, …, βk là các hệ số hồi quy tương ứng với các biến độc lập, và u là sai số ngẫu nhiên.
Trong mô hình, β₀ là hằng số, trong khi β₁ đến βₖ là các hệ số độ dốc Biến u đại diện cho các yếu tố không quan sát được ảnh hưởng đến y trong mô hình.
• β 0 là giá trị của y khi tất cả các x và u bằng 0.
• β k là tác động nhân quả của việc thay đổi 1 đơn vị biến x k lên y khi giữ nguyên u và các biến còn lại.
Mô hình hồi quy tuyến tính bội giữa giá nhà và diện tích nhà, tuổi của nhà.
Giá nhà=β 0 + β 1.diện tích+β 2.tuổi+u
Mô hình hồi quy tuyến tính bội cần xem xét các biến tác động đến giá nhà mà không được đưa vào mô hình, chẳng hạn như số phòng ngủ và nội thất Những yếu tố này có thể ảnh hưởng đáng kể đến giá trị bất động sản nhưng không được phản ánh trong phân tích.
• Tuyến tính theo tham số
• Mẫu ngẫu nhiên {(x i1 , , x ik , y i ), i = 1, 2, 3, , n} với {x i1 , , x ik , y i } độc lập cùng phân phối
• Trung bình có điều kiện bằng không E[ux 1 , , x k ] = 0
• x j ̸= c và không có qua hệ tuyến tính chính xác giữa các x j trong mẫu.
• Phương sai sai số không đổi: V ar[u|x 1 , , x k ] = E[u 2 |x 1 , , x k ] = σ 2 c Các ước lượng OLS
Tương tự như mô hình hồi quy tuyến tính đơn, ở mô hình hồi quy tuyến tính bội cũng có 2 cách để tìm các ước lượng cho các tham số β k
Cách một, ta có thể tìm các ước lượngb 0 , , b k bằng phương pháp Moment khi cho các trung bình mẫu tương ứng bằng 0.
Cách hai, ta sử dụng phương pháp OLS (phương pháp bình phương bé nhất thông thường) bằng cách là cực tiểu tổng bình phương các phần dư:
Với hai cách trên ta đều nhận được cùng các ước lượng OLS b 0 , b 1 , , b k b 0 = ¯ y − b 1 x ¯ 1 − − b k x ¯ k b j =
Khi thực hiện hồi quy OLS cho biến giải thích x_j với các biến độc lập khác và một hằng số, ta thu được các phần dư r ˆ ij Các phần dư này có các tính chất thông thường, được ký hiệu là r ˆ i 2 j, với j = 1, 2, , k.
Pn i=1 r ˆ ij x ik = 0 với j ̸= k d Tính không chệch
Ta có thể viết lại b j dưới dạng: b j = β j +
Tính không chệch của các ước lượng OLS: E[b j ] = β j với j=0,1, ,k e Giá trị phù hợp và phần dư
Giá trị phù hợp: y ˆ i = b 0 + b 1 x i1 + + b k x ik
Phần dư: u ˆ i = y i − y ˆ i f Độ phù hợp của mô hình Để đo tỉ lệ biến thiên mẫu trong y được giải thích bởi các biến độc lập ta sử dụng R 2
Quy hoạch tuyến tính
Quy hoạch tuyến tính trong toán học là một bài toán tối ưu hóa với hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc đều tuyến tính Thuật toán này giúp chúng ta tìm ra giải pháp tối ưu từ nhiều phương án khác nhau, đáp ứng các chỉ tiêu của doanh nghiệp trong khuôn khổ các hạn chế và ràng buộc liên quan.
Việc sắp xếp các nguồn lực khan hiếm giữa các hoạt động là cần thiết để tối ưu hóa hiệu quả Điều này không chỉ giúp gia tăng lãi gộp mà còn nâng cao doanh thu, đồng thời giảm thiểu chi phí.
Việc giải các bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ giúp người dùng có các ứng dụng đa dạng như:
Chúng ta có thể lựa chọn đầu vào với chi phí thấp để tạo ra sản phẩm tối ưu, đồng thời xác định ngân sách hợp lý và quyết định đầu tư hiệu quả Ngoài ra, việc phân bổ ngân sách cho các hạng mục và lập kế hoạch sử dụng máy móc cũng như phương thức vận chuyển tiết kiệm là rất quan trọng.
Một nhân viên giao hàng cần vận chuyển 6 gói hàng trong ngày, xuất phát từ kho tại điểm A đến 6 địa điểm giao hàng là U, V, W, X, Y và Z Để tiết kiệm nhiên liệu và thời gian, nhân viên này muốn tìm ra lộ trình ngắn nhất giữa các điểm giao hàng.
Người giao hàng sẽ phân tích nhiều tuyến đường để đến cả 6 điểm đến và xác định tuyến đường ngắn nhất Kỹ thuật này được gọi là quy hoạch tuyến tính, giúp tối ưu hóa lộ trình giao hàng.
Mục tiêu của người giao hàng là đảm bảo bưu kiện được giao đúng hạn tại 6 điểm đến Quá trình lựa chọn con đường tối ưu được gọi là Nghiên cứu hoạt động, đây là một phương pháp ra quyết định bao gồm các kỹ thuật nhằm tối ưu hóa hoạt động của hệ thống Trong trường hợp này, hệ thống mà chúng ta đang xem xét là mô hình Phân phối.
Quy hoạch tuyến tính là phương pháp tối ưu hóa nhằm tìm ra giải pháp tốt nhất cho các vấn đề có ràng buộc cụ thể Bằng cách chuyển đổi các tình huống thực tế thành mô hình toán học, quy hoạch tuyến tính giúp chúng ta phân tích và giải quyết hiệu quả các vấn đề trong cuộc sống.
Nó liên quan đến một hàm mục tiêu, các bất đẳng thức tuyến tính với các ràng buộc.
Biểu diễn tuyến tính của 6 điểm trên có phải là biểu diễn của thế giới thực không? Vì sao? Có và Không.
• Đó là một sự đơn giản hóa quá mức vì tuyến đường thực sẽ không phải là một đường thẳng.
Mặc dù có nhiều ngã rẽ, tín hiệu và tắc đường, chúng ta có thể đơn giản hóa vấn đề để tìm ra giải pháp phù hợp cho nhiều tình huống Để lập mô hình toán học cho vấn đề thực tế, bước đầu tiên là tìm kiếm thông tin gốc, nơi chúng ta thu thập các số liệu kinh tế - kỹ thuật quan trọng Bước này rất quan trọng vì tất cả các bước tiếp theo phụ thuộc vào độ chính xác của các số liệu này, quyết định tính chính xác của kết quả cuối cùng Mỗi bài toán kinh tế sẽ yêu cầu các thông tin gốc khác nhau.
Buớc 2: Xử lý số liệu
Buớc này có thể chia thành hai giai đoan:
1) Lập mô hình bài toán
Dựa trên các số liệu và yêu cầu về kinh tế - kỹ thuật, chúng ta cần xây dựng một mô hình toán học Bước này đòi hỏi phải thiết lập chính xác và đầy đủ các điều kiện của bài toán để đảm bảo tính khả thi và hiệu quả của mô hình.
Lựa chọn thuật toán phù hợp là bước quan trọng trong việc giải quyết bài toán, dựa vào các thành tựu và kiến thức toán học hiện có để thực hiện các phép tính trên mô hình toán.
Kết quả ở buớc này chính là lời giải cơ bản để đua ra phương án tối ưu về mặt kinh tế Vì vậy đây là bước rất quan trọng.
Bước 3: Thông tin kết quả:
Bước này chuyển đổi các thông tin toán học thành thông tin kinh tế, giúp các nhà làm chính sách dựa vào kết quả tính toán để đưa ra quyết định kinh tế hiệu quả.
Nhân dịp Tết Trung Thu, một xí nghiệp sản xuất bánh dự định sản xuất ba loại bánh truyền thống: bánh dẻo, bánh đậu xanh và bánh thập cẩm Để thực hiện kế hoạch này, xí nghiệp cần chuẩn bị các nguyên liệu như đường, đậu, bột, trứng và lạp xưởng Trong đó, lượng đường có thể cung cấp là 500 kg và đậu là 300 kg, trong khi các nguyên liệu khác không bị hạn chế Mỗi loại bánh sẽ mang lại lợi nhuận khác nhau, được thể hiện trong bảng số liệu kèm theo.
Để tối ưu hóa sản xuất bánh, cần xây dựng mô hình bài toán xác định số lượng từng loại bánh cần sản xuất, nhằm đảm bảo không bị thiếu hụt nguyên liệu như đường và đậu, đồng thời tối đa hóa tổng lợi nhuận thu được.
Hàm số bậc nhất là một chủ đề phổ biến, thu hút sự quan tâm của nhiều người Tuy nhiên, hầu hết các bài viết chỉ đề cập đến định nghĩa, tính chất và kiến thức cơ bản Do đó, nhóm chúng tôi đã mở rộng nghiên cứu không chỉ về hàm số bậc nhất cơ bản mà còn khám phá các ứng dụng thực tiễn của nó, bao gồm quy hoạch tuyến tính, hồi quy tuyến tính và phương trình tuyến tính bậc nhất.
Để đánh giá kiến thức, kỹ năng và khả năng tư duy trong giáo dục toán, việc phân loại các mục tiêu học tập là rất quan trọng Chúng tôi đã phân chia các mục tiêu này theo các mức độ nhận thức: Nhận biết (kiến thức và thông tin), Thông hiểu (chuyển đổi, giải thích) và Vận dụng (áp dụng giải quyết tình huống mới) Nhóm chúng tôi đã xây dựng các bài tập từ dễ đến khó, kèm theo ví dụ minh họa và lý thuyết, giúp người học dễ dàng tiếp cận Mỗi phần kiến thức đều có bài tập tương ứng, trình bày như một bài giảng để người học nắm vững phương pháp làm bài và cách trình bày Đề tài này không chỉ giúp người học hiểu rõ về hàm số bậc nhất mà còn khám phá các kiến thức nâng cao và ứng dụng thực tế trong đời sống.
