134 bai toan don dieu cuc tri gtln gtnn tuong giao cua do thi ham so vd vdc

HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, GTLN-GTNN TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM (VD-VDC) CÂU Cho hàm số y = f ( x) liên tục xác định R Biết f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình vẽ, y −1 O CÂU Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) hình bên y x khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x) đồng biến R B Hàm số f ( x) nghịch biến R C Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (−∞; 0) D Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (0; +∞) Lời giải Trong khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số y = f ′ ( x) nằm phía trục hồnh nên hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (0; +∞) □ Chọn đáp án D CÂU Cho hàm số y = f ( x) liên tục xác định R Biết f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình vẽ y π − −π O π −1 π x Xét (−π; π), khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x) đồng biến khoảng (−π; π) B Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (−π; π) C Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng −π π −π; ; π 2 D Hàm số f ( x) đồng biến khoảng (0; π) Lời giải Đại số giải tích 12 Trong khoảng (0; π) đồ thị hàm số y = f ′ ( x) nằm phía trục hồnh nên hàm số f ( x) đồng biến khoảng (0; π) □ Chọn đáp án D −2 −1 O x Khẳng định sau sai? A Hàm số f ( x) đồng biến (−2; 1) B Hàm số f ( x) đồng biến (1; +∞) C Hàm số f ( x) nghịch biến đoạn có độ dài D Hàm số f ( x) nghịch biến (−∞; −2) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x) ta thấy: f ′ ( x) > ⇔ −2 < x < ⇒ f ( x) đồng biến x>1 khoảng (−2; 1), (1; +∞) Suy A đúng, B f ′ ( x) < x < −2 ⇒ f ( x) nghịch biến khoảng (−∞; −2) Suy D Vậy C sai □ Chọn đáp án C CÂU Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình bên y y = f ′ ( x) −1 O x Hàm số y = g( x) = f (2 − x) đồng biến khoảng A (1; 3) B (2; +∞) C (−2; 1) D (−∞; −2) Lời giải Ta có: g′ ( x) = (2 − x) f ′ (2 − x) = − f ′ (2 − x) HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH Hàm số đồng biến g′ ( x) > ⇔ f ′ (2 − x) < ⇔ − x < −1 < 2− x < x>3 ⇔ −2 < x < Chọn đáp án C □ CÂU Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) hình bên y −2 CÂU Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) hình bên y x O Nhận thấy nghiệm g′ ( x) nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu □ Chọn đáp án C −1 Hàm số g( x) = f (3 − x) nghịch biến khoảng khoảng sau? A (0; 2) B (1; 3) C (−∞; −1) D (−1; +∞) Lời giải ′ Dựa vào đồ thị, suy f ( x) > ⇔ ′ −2 < x < x>5 Ta có g ( x) = −2 f (3 − x) ′ Xét g ( x) < ⇔ f (3 − x) > ⇔ − < − 2x < − 2x > Hàm số g( x) = f (1 − x) đồng biến khoảng khoảng sau? A (−1; 0) B (−∞; 0) C (0; 1) D (1; +∞) Dựa vào đồ thị, suy f ′ ( x) < ⇔ ⇔ ⇔ Vậy g( x) đồng biến khoảng − ; f ( x) f (−1) Ta < − 2x < x>1 − 10, − < x <   g 2x − 3 25 ⩽ 5, ⩽ x ⩽ 4 Do h′ ( x) = f ′ ( x + 4) − g′ x − CÂU Cho hai hàm số y = f ( x), y = g( x) Hai hàm số y = f ′ ( x) y = g′ ( x) có đồ thị hình vẽ bên dưới, đường cong đậm đồ thị hàm số y = g′ ( x) y 10 x Cách Kiểu đánh giá khác: Ta có h′ ( x) = f ′ ( x + 4) − g′ x − Dựa vào đồ thị, ∀ x ∈ 25 ; , ta có < x + < 7, 4 f ( x + 4) > f (3) = 10; 3 < f (8) = < x − < , g x − 2 Suy h′ ( x) = f ′ ( x + 4) − g′ x − > 0, ∀ x ∈ ; Do hàm số đồng biến ; y = f ′ ( x) O 3 > ⩽ x < Chọn đáp án B □ CÂU Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) xác định, liên tục R f ′ ( x) có đồ thị hình 1011 vẽ bên y −1 đồng biến −4 khoảng đây? 31 31 C ; +∞ Lời giải A 5; B D Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến (1; +∞) B Hàm số đồng biến (−∞; −1) (3; +∞) C Hàm số nghịch biến (−∞; −1) D Hàm số đồng biến (−∞; −1) ∪ (3; +∞) ;3 25 6; Cách Đặt X = x + 4, Y = x − Ta có h′ ( x) = f ′ ( X ) − g′ (Y ) Để hàm số h( x) = f ( x + 4) − g x − h′ ( x) ⩾ ′ ′ ⇒  f ( X ) ⩾ g (Y ) 3 ⩽ x + ⩽ 3 ⩽ x − ⩽ với X,Y đồng biến ∈ [3; 8] ⇒   −1 ⩽ x ⩽ −1 ⩽ x ⩽ 19 Vì ⇔ ⇔ ⇔ ⩽x⩽ 19 19  ⩽ 2x ⩽  ⩽x⩽ 4 2 4 9 19 ;3 ⊂ ; nên 4 Cách Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x) A (a; 10), a ∈ (8; 10) 3 x O y = g ′ ( x) Hàm số h( x) = f ( x + 4) − g x − Đại số giải tích 12 Lời giải Trên khoảng (−∞; −1) (3; +∞) đồ thị hàm số f ′ ( x) nằm phía trục hồnh □ Chọn đáp án B CÂU Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) xác định, liên tục R f ′ ( x) có đồ thị hình vẽ bên y x O Khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x) đồng biến (−∞; 1) HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH B Hàm số f ( x) đồng biến (−∞; 1) (1; +∞) C Hàm số f ( x) đồng biến (1; +∞) D Hàm số f ( x) đồng biến R Lời giải hàm số y = f ′ ( x) ta có bảng biến thiên sau: x −∞ g′ −2 − + +∞ − + g ′ Trên khoảng (1; +∞) đồ thị hàm số f ( x) nằm phía trục hoành Chọn đáp án C □ CÂU 10 Hàm số y = f ( x) liên tục xác định R Biết f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình vẽ, y Chọn đáp án D CÂU 12 Cho hàm số f ( x) xác định R có đồ thị hàm số f ′ ( x) hình vẽ y O −3 x Khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x) đồng biến R B Hàm số f ( x) nghịch biến R C Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (0; 1) D Hàm số f ( x) đồng biến khoảng (0; +∞) Lời giải □ −2 x O Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f ( x) đồng biến (−∞; −2); (0; +∞) B Hàm số y = f ( x) nghịch biến (−2; 0) C Hàm số y = f ( x) đồng biến (−3; +∞) D Hàm số y = f ( x) nghịch biến (−∞; 0) khoảng khoảng khoảng khoảng Lời giải Trong khoảng (0; 1) đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trục hồnh nên hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (0; 1) Trên khoảng (−3; +∞) ta thấy đồ thị hàm số f ′ ( x) nằm trục hoành □ Chọn đáp án C Chọn đáp án C CÂU 13 Cho hàm số f ( x) xác định R có đồ thị hàm số f ′ ( x) hình vẽ ′ □ CÂU 11 Cho hàm số f ( x) xác định R có đồ thị hàm số f ′ ( x) đường cong hình bên y −2 y O x −1 O x Mệnh đề đúng? A Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (−1; 1) B Hàm số f ( x) đồng biến khoảng (1; 2) C Hàm số f ( x) đồng biến khoảng (−2; 1) D Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (0; 2) Lời giải Cách 1: sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị −4 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f ( x) đồng biến (−4; 2) B Hàm số y = f ( x) đồng biến (−∞; −1) C Hàm số y = f ( x) đồng biến (0; 2) D Hàm số y = f ( x) nghịch biến (−∞; −4) (2; +∞) khoảng khoảng khoảng khoảng Lời giải Đại số giải tích 12 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH Trong khoảng (−∞; −1) đồ thị hàm số f ′ ( x) nằm trục hoành nên hàm số đồng biến (−∞; −1) □ Chọn đáp án B CÂU 14 Cho hàm số f ( x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (a ̸= 0) Biết hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình vẽ bên y x | x| < | x| > Lời giải Trên khoảng [−1; 1] đồ thị hàm số f ′ ( x) nằm phía trục hồnh □ Chọn đáp án B CÂU 15 Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình bên y y = f ′ ( x) x O −2 < x < x < −1 ∪ x > Hàm số y = f ( x2 ) đồng biến khoảng? −1 ; B (0; 2) 2 −1 C ;0 D (−2; −1) Lời giải Đặt g( x) = f (u), u = x2 ⩾ g′ ( x) = x · f ′ (u) nên x=0 g ′ ( x) = ⇔ ⇔ f ′ ( u) = ⇔ u = ±1; u = A x=0 x = ±1; x = ±2 Chọn đáp án C □ −1 g ′ ( x) −∞ −2 −1 −2 −4 Mệnh đề sai? A Hàm số g( x) nghịch biến khoảng (−∞; −2) B Hàm số g( x) đồng biến khoảng (2; +∞) C Hàm số g( x) nghịch biến khoảng (−1; 0) D Hàm số g( x) nghịch biến khoảng (0; 2) Lời giải Ta có g′ ( x) = x · f ′ ( x2 − 2); g′ ( x) = ⇔  x=0 x=0  x=0  ⇔  x − = −1 ⇔  x = ±1 f ′ ( x2 − 2) =  x = ±2 x −2 = ′ Từ đồ thị y = f ( x) suy f ′ ( x2 − 2) > ⇔ x2 − > ⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) ngược lại −∞ −2 −1 x +∞ − − − + + + 2x f ′ (2 − x2 ) g ( x) − − + + − − − + + − − + Chọn đáp án A □ CÂU 17 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) hình bên y +∞ + − + − + − O Lưu ý: Cách xét dấu g′ ( x) B1: Xét dấu f ′ (u): Ta có f ′ (u) > ⇔ x O Lập bảng xét dấu hàm số g′ ( x) x ⇔ x ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2) ngược lại tức khoảng lại f ′ ( u ) < B2: xét dấu x B3: Lập bảng xét dấu nhân dấu f ′ (u) x ta bảng Khi nhận xét sau sai? A Trên (−2; 1) hàm số f ( x) tăng B Hàm f ( x) giảm đoạn [−1; 1] C Hàm f ( x) đồng biến khoảng (1; +∞) D Hàm f ( x) nghịch biến khoảng (−∞; −2) −1 ⇔ CÂU 16 Cho hàm số y = f ( x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, đồ thị hình bên đồ thị hàm số y = f ′ ( x) Xét hàm số g( x) = f ( x2 − 2) y −1 O | x| < ⇔ 10 x=0 f ′ (3 − x2 ) = Từ đồ thị hàm số suy f ′ (3 − x2 ) = ⇔   − x2 = −6 x = ±3  3 − x2 = −1 ⇔   x = ±2  Trường hợp 1: ⇔ D (−2; −1) y′ = ⇔ f ′ (3 − x2 ) · (−2 x) = ⇔ f ′ (1 − x2 ) > − 2x > C (2; 3) Lời giải Ta có: y′ = −2 x · f ′ (3 − x2 ) y′ −∞ −3 −2 −1 +∞ − + − + − + − + y ←−−−−−−−−−−−→  x=0  1 − x = ⇔ x =  − x2 = Lập bảng xét dấu hàm số y = f (3 − x2 ) ta hàm số đồng biến (−1; 0) □ Chọn đáp án B Bảng biến thiên CÂU 19 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm R x g −∞ ′ +∞ + − Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f ′ ( x) y g −1 Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án Chú ý: Dấu g′ ( x) xác định sau: Ví dụ chọn x = ∈ (0; +∞) ○ x=1→ − −2 x < (1) ○ x = → − x2 = → − f ′ (1 − x2 ) = theo đồ thị f ′ (x) f ′ (0) −−−−−−−−−−−→ f ′ (0) = > (2) O x Xét hàm số g( x) = f (3 − x2 ) Mệnh đề đúng? A Hàm số g( x) đồng biến (−∞; 1) B Hàm số g( x) đồng biến (0; 3) C Hàm số g( x) nghịch biến (−1; +∞) D Hàm số g( x) nghịch biến (−∞; −2) (0; 2) Lời giải ′ Từ (1) (2), suy g (1) < khoảng (0; +∞) Nhận thấy nghiệm g′ ( x) = nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Chọn đáp án B □ CÂU 18 Cho hàm số y = f ( x) Biết hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình vẽ bên y g′ ( x) = −2 x · f ′ (3 − x2 ); f ′ (3 − − x2 = −1 x2 ) = ⇔ ⇔ − x2 = (nghiệm kép) x = ±2 ○ Ta có x = (nghiệm kép) ○ Ta có bảng xét dấu x O −6 −1 2x Hàm số y = f (3 − x ) đồng biến khoảng A (0; 1) B (−1; 0) −x f ′ (3 − x2 ) g ′ ( x) −∞ + −2 | + − | − + | +∞ − + − − + − | + Đại số giải tích 12 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ○ Hàm số g( x) nghịch biến (−∞; −2) (0; 2) Chọn đáp án D □ CÂU 20 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) hình bên y Lời giải Ta có g′ ( x) = (1 − x) · f ′ ( x − x2 ) Cách Hàm số g( x) nghịch biến ⇔ g′ ( x) < ⇔  − 2x <  ′  f ( x − x2 ) >    − 2x > f ′ ( x − x2 ) < O −1 ○ Trường x hợp − 2x < 1: f ′ ( x − x2 ) >    x >   Hàm số g( x) = f ( x3 ) đồng biến khoảng khoảng sau? A (−∞; −1) B (−1; 1) C (1; +∞) D (0; 1) ⇔x> x − x <     x−x >2 Lời giải ○ Trường ○ Ta có g′ ( x) = x2 · f ′ ( x3 ); g′ ( x) = ⇔ x2 =  x = x=0  ⇔ ⇔  ′ x = ±1 f (x ) =   x = −1 −∞ g ′ ( x) −1 − − 2x > 2: f ′ ( x − x2 ) < ⇔ (Bpt vô nghiệm) − 2x = Kết hợp hai trường hợp ta x > ○ Ta có bảng biến thiên x hợp  x <  < x − x2 < x2 = x3 = ⇔ + +∞ − Cách Ta có g′ ( x) = ⇔ +∞ 1 x =    x − x2 = ⇔ x =  2 x−x =2 +∞ g ( x) g(−1) ⇔  + g(0) f ′ ( x − x2 ) = Bảng biến thiên g(1) x ○ Hàm số g( x) đồng biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) Chọn đáp án C □ −∞ g ′ ( x) + g +∞ − g ( x) ′ CÂU 21 Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f ( x) có −∞ đồ thị hình bên y Cách 2 x Hàm số khoảng? y = f ( x − x2 ) nghịch A C 1 − ; +∞ −∞; Đại số giải tích 12 B D ; +∞ 1 − x− + ⩽ Hàm số g( x) nghịch biến khoảng y = f ′ ( x) O −∞ biến − ; +∞ ; +∞ Vì x − x2 = theo đồ thị f ′ (x) ′ −−−−−−−−−−−−−−→ f ( x − x2 ) > Suy dấu g′ ( x) phụ thuộc vào dấu 1 − x Do g′ ( x) < ⇔ − x < ⇔ x > Hàm số g( x) nghịch biến khoảng ; +∞ Chọn đáp án D □ HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH CÂU 22 Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình bên Ta có bảng biến thiên x y −∞ g ′ ( x) y = f ′ ( x) −1 +∞ − + + − − + +∞ +∞ g(1) g ( x) O x Hàm số y = f (1 + x − x2 ) đồng biến khoảng đây? A (−∞; 1) C (0; 1) B (1; +∞) D (1; 2) ′ ′ Ta có y = (2 − x) · f (1 + x − x ); y = ⇔   x=1 x=1   1 + x − x2 = ⇔  x =  x=2 + x − x2 = Hàm số g( x) đồng biến khoảng (−1; 0) −∞ y′ có đồ thị hình vẽ bên y + □ CÂU 24 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm hàm số f ′ ( x) R Biết hàm số y = f ′ ( x − 2) + Bảng biến thiên x g(3) Chọn đáp án D Lời giải ′ g(−1) − +∞ + O − y(0) x −1 y(2) Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng nào? y y(1) −∞ A (−∞; 2) C ; 2 −∞ Vậy hàm số đồng biến khoảng (1; 2) B (−1; 1) D (2; +∞) Lời giải Chọn đáp án D □ CÂU 23 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) R đồ thị hàm số f ′ ( x) hình vẽ y x −2 −4 Hàm số g( x) = f ( x2 −2 x−1) đồng biến khoảng đây? A (−∞; 1) C (0; 2) * Bước 1: Từ đồ thị hàm số f ′ ( x − 2) + tịnh tiến xuống đơn vị, ta đồ thị hàm số f ′ ( x − 2) sau y B (1; +∞) D (−1; 0) O x −1 Lời giải −2 ′ ′ ′ Ta  có g ( x) = (2 x − 2) f ( x − x − 1); g ( x) = ⇔ x=1 Đặt x∗ = x − f ′ ( x∗) < 0, ∀ x∗ ∈ (−1; 1) Vậy: Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (−1; 1) Cách 2: Phân tích: Cho biết đồ thị hàm số f ′ ( x) sau tịnh tiến dựa vào để xét đồng biến hàm số f ( x) bên −1 O Cách 1: Dựa vào đồ thị (C ) ta có: f ′ ( x − 2) + < 2, ∀ x ∈ (1; 3) ⇔ f ′ ( x − 2) < 0, ∀ x ∈ (1; 3)  x=0   x − x − = −1 ⇔   x = ±1  x = 2; x = x − 2x − = −3 * Bước 2: Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f ′ ( x −2) sang trái đơn vị, ta đồ thị hàm số f ′ ( x) Đại số giải tích 12 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH thiên hàm số f ( x) sau sau y −1 x O −1 y′ x −∞ + − +∞ + 0 − y −2 y(1) −∞ −3 * Bước 3: Từ đồ thị hàm số f ′ ( x), ta thấy f ′ ( x) < x ∈ (−1; 1) Chọn đáp án B □ CÂU 25 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm hàm số f ′ ( x) R Biết hàm số y = f ′ ( x + 2) − có đồ thị hình vẽ bên −1 −∞ Từ bảng biến thiên suy f ( x) ⩽ 0, ∀ x ∈ R Ta có g′ ( x) = −2 f ′ (3 − x) · f (3 − x) Xét g′ ( x) < ⇔ f ′ (3 − x) · f (3 − x) > ⇔ f ′ (3 − x) < f (3 − x) < ⇔ −2 < 3− x < ⇔ 2 ⇔ CÂU 26 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) hình bên y x −2 O f (−2) = f (2) = Hàm số g( x) = [ f (3 − x)]2 nghịch biến khoảng khoảng sau? A (−2; −1) B (1; 2) C (2; 5) D (5; +∞) f ′ ( x) < ⇔ x < −1 −1 < x < x>4 1 −1 < x−3 < 2 ⇒ hàm số g( x) đồng biến khoảng (3; 4), (7; +∞) Với x < g( x) = f (3 − x) ⇒ g′ ( x) = − f ′ (3 − x) > ⇔ f ′ (3 − x) < x > (loại) − x < −1 ⇔ ⇔ < 3− x < − < x < ⇒ hàm số g( x) đồng biến khoảng (−1; 2) Chọn đáp án B □ Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x), suy bảng biến Đại số giải tích 12 CÂU 28 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ; +∞ Lời giải y = f ′ ( x) hình bên D (−1; +∞) C y Ta có −1 x ×f ′ Hàm số g( x) = f x2 + x + nghịch biến khoảng khoảng sau? A −∞; −1 − 2 B (−∞; 1) D 2 − 1; +∞ C 1; 2 − ○ x2 + x + (1) ( x + 1)2 + + x=3 x+1  ′ f′ x2 + x + ; g ( x) = ⇔  theo đồ thị f ′ (x) ←−−−−−−−−−−→ x2 + x + =   x+1 = x = −1 (nghiệm bội ba)    x2 + x + = ⇔  x = −1 − 2   x = −1 + 2 x + 2x + = f′ Bảng xét dấu g′ ( x): −∞ g ′ ( x) −1 − 2 − −1 + 0 −1 + 2 − x2 + x + − x2 + x + = < ⩽ 2+1 ( x + 1)2 + +∞ + −∞ f′ +∞ g ′ ( x) + − g ( x) Chọn đáp án A □ CÂU 30 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục R hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình vẽ bên y < dựa vào đồ thị f ′ ( x) ta thấy x = ∈ (1; 3) f ′ < Các nghiệm phương trình g′ ( x) = nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu □ Chọn đáp án A CÂU 29 Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) hình bên y x O Hàm số g( x) = f x2 + x + − x2 + x + đồng B −∞; O −2 −1 x Mệnh đề sau đúng? A Hàm số y = f ( x) đạt cực đại điểm x = −1 B Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu điểm x = C Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu điểm x = −2 D Hàm số y = f ( x) đạt cực đại điểm x = −2 Lời giải biến khoảng sau đây? A (−∞; −1) (2) Chú ý: Cách xét dấu g′ ( x) sau: Ví dụ xét khoảng −1; −1 + 2 ta chọn x = Khi g′ (0) = < với x ∈ R Từ (1) (2), suy dấu g′ ( x) phụ thuộc vào dấu nhị thức x + (ngược dấu) Bảng biến thiên x x+1 = x2 + x + theo đồ thị f ′ (x)  Dựa vào đồ thị, suy f ( x) = ⇔  x = Ta có x2 + x + × −−−−−−−−−−−→ f ′ ( u) > 0, ∀ x ∈ R x = −1 ′ x − ○ < u = Lời giải  − x2 + x + x2 + x + x2 + x + − x2 + x + O g ′ ( x) = g′ ( x) = ( x + 1) Giá trị hàm số y = f ′ ( x) đổi dấu từ âm sang dương qua x = −2 Chọn đáp án C □ CÂU 31 Cho hàm số y = f ( x) xác định R có đồ thị hàm số y = f ′ ( x) đường cong Đại số giải tích 12 10 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH Hàm số g( x) = f ( x) + đạt cực tiểu điểm sau đây? A x = −1 B x = C x = ±1 D x = Lời giải Ta có g′ ( x) = f ′ ( x) Do điểm cực tiểu hàm số g( x) trùng với điểm cực tiểu hàm số y = f ( x) Vậy điểm cực tiểu hàm số x ± □ Chọn đáp án C CÂU 85 Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục R có bảng biến thiên sau x −∞ +∞ ′ − − + + y 0 y −1 +∞ −∞ Hàm số g( x) = f (3 − x) có điểm cực trị? A B C D Lời giải Ta có g′ ( x) = − f ′ (3 − x) 3− x = 3− x = ⇔ x=3 x = g + − + − −1 −∞ ′ f ( x) □ x Hàm số g( x) = f − + x nghịch biến khoảng khoảng sau? A (−4; −2) B (−2; 0) C (0; 2) D (2; 4) Đại số giải tích 12 + +∞ −2018 Hỏi đồ thị hàm số g( x) = | f ( x − 2017) + 2018| có điểm cực trị? A B C D −∞ 2016 + +∞ 2020 − + +∞ 4036 Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số g( x) = | u( x)| có điểm cực trị Chọn đáp án B □ CÂU 88 Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ x −∞ f ′ ( x) − −∞ + +∞ f ( x) +∞ −1 + −1 29 − −∞ Lời giải 2018 u ( x) CÂU 86 Cho hàm số f có đạo hàm liên tục R Bảng biến thiên hàm số f ′ ( x) hình vẽ + u ′ ( x) Vậy hàm số g( x) = f (3 − x) có ba điểm cực trị Chọn đáp án C −1 f ′ ( x) x g x CÂU 87 Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục R có bảng biến thiên sau −∞ x +∞ −1 Đồ thị hàm số u( x) = f ( x − 2017) + 2018 có từ đồ thị f ( x) cách tịnh tiến đồ thị f ( x) sang phải 2017 đơn vị lên 2018 đơn vị Suy bảng biến thiên u( x) +∞ +∞ Chú ý: Từ trường hợp ta chọn xét tiếp trường hợp xem thử Chọn đáp án A □ Lời giải Bảng biến thiên −∞ x > 2 x x TH1: f ′ − > ⇔ < − < ⇔ −4 < x < −2 2 Do hàm số nghịch biến (−4; −2) x x TH2: f ′ − > ⇔ −1 < − < a < ⇔ < 2 − 2a < x < nên hàm số nghịch biến khoảng (2 − 2a; 4) không nghịch biến toàn khoảng (2; 4) x Vậy hàm số g( x) = f − + x nghịch biến (−4; −2) −∞ ○ g′ ( x) không xác định ⇔ − x = ⇔ x = ′ x + Xét g′ ( x) < ⇔ f ′ 1− f ( x) ○ g′ ( x) = ⇔ f ′ (3 − x) = ⇔ x Ta có g′ ( x) = − f ′ − −3 Phương trình | f (1 − x) + 3| = có nghiệm A B C D HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH Lời giải Đặt g( x) = f (1 − x) + ⇒ g′ ( x) = −3 · f ′ (1 − x) = ⇔  1 − x = −1 ⇔ x =   − 3x = ⇔ x = − Bảng biến thiên x −∞ − g ′ ( x) − 3 + +∞ − +∞ g ( x) +∞ −∞ +∞ Hỏi đồ thị hàm số g( x) = | f (| x|)| có nhiều điểm cực trị? A B C 11 D 13 Lời giải −2 CÂU 90 Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục R có bảng biến thiên sau x −∞ +∞ −1 ′ − + + y 0 +∞ f (−1) y f (3) −∞ Ta có đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tối đa điểm có hồnh độ dương Khi | g( x)| 0 ○ Đồ thị hàm số f (| x|) cắt trục hoành tối đa điểm Vậy | g( x)| = có bốn nghiệm Chọn đáp án A □ CÂU 89 Cho hàm số y = f ( x) xác định R\{0} ○ Hàm số f (| x|) có điểm cực trị có bảng biến thiên hình vẽ x −∞ y′ y +∞ − − + +∞ +∞ +∞ −∞ Số nghiệm phương trình 3| f (2 x − 1)| − 10 = A B C D Suy hàm số g( x) = | f (| x|)| có tối đa điểm cực trị □ Chọn đáp án B CÂU 91 Cho hàm số y = f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ̸= 0) có đồ thị hình vẽ y Lời giải Đặt t = x − 1, ta có phương trình trở thành 10 Với nghiệm t có | f ( t )| = t+1 nghiệm x = nên số nghiệm t phương 10 trình | f ( t)| = số nghiệm 3| f (2 x − 1)|− 10 = Bảng biến thiên hàm số y = | f ( x)| x x0 −∞ y′ − + − +∞ +∞ +∞ +∞ + +∞ y 10 Suy phương trình | f ( t)| = có nghiệm phân biệt nên phương trình 3| f (2 x − 1)| − 10 = có nghiệm phân biệt Chọn đáp án C □ −2 −1 O x −2 Phương trình f ( f ( x)) = có nghiệm thực? choice Lời giải Đặt t = f ( x), phương trình f ( f ( x)) = trở thành f ( t) = 0(∗) (số nghiệm phương trình (∗) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với trục Ox) Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình (∗) có nghiệm t thuộc khoảng (−2; 2), với giá trị t phương trình f ( x) = t có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f ( f ( x)) = có nghiệm Lưu ý: t có giá trị thuộc (−2; 2) nghiệm phương trình f ( x) = t giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng y = t, t ∈ (−2; 2) (là hàm song song trục Ox) Chọn đáp án D □ CÂU 92 Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hìnĐại số giải tích 12 30 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH hvẽ f (| x|) Điều kiện −4 < − m < ⇔ < m < Do m ∈ Z ⇒ m ∈ {1; 2; 3} nên m có giá trị y −2 Chọn đáp án A O −1 CÂU 94 Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên 2x □ hình bên x −∞ +∞ ′ Hỏi có điểm đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm phương trình f ( f (cos x)) = ? choice f ( x) +∞ f ( x) Lời giải Từ đồ thị ta có f ( x) ⩽ 1, ∀ x ∈ R suy f (cos x) = ±a (a > 1) f (cos x) = TH1: Nếu f (cos x) = a > phương trình vơ nghiệm TH2: Nếu f (cos x) = −a < −1 |cos x| > 1, phương trình vơ nghiệm TH3: Nếu f (cos x) = ⇔ cos x = ±a (vơ nghiệm) cos x = có điểm vịng trịn lượng giác Vậy có điểm □ Chọn đáp án D CÂU 93 Cho hàm số f ( x) = x3 − x2 Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g( x) = f (| x|) + m cắt trục hoành điểm phân biệt? A Lời giải B C f ′ ( x) = x2 − x; f ′ ( x) = ⇒ x=0 x=2 D Bảng biến thiên hàm số y = f ( x) x −∞ f ( x) ′ 0 + − +∞ −∞ Lời giải Phân tích: Vì hàm số y = f (| x| + m) hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục O y đồ thị hàm số y = f ( x + m) có cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x) qua trái hay qua phải | m| đơn vị Do đó, ta cần chọn giá trị tham số m để phương trình f ( x + m) = có số nghiệm x > nhiều Áp dụng: Phương trình f ( x) = có ba nghiệm phân biệt nên phương trình f ( x + m) = có tối đa ba nghiệm phân biệt lớn Do phương trình f (| x| + m) = có nhiều nghiệm phân biệt Giả sử phương trình f ( x) = có ba nghiệm phân biệt x1 < < x2 < < x3 Ta cần chọn m < x1 < Khi hàm số y = f ( x + m) có bảng biến thiên x x1 − m − m −4 −2 + −4 0 − +∞ + +∞ −4 Đồ thị hàm số g( x) = f (| x|) cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ phương trình g( x) = có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình f (| x|) = − m có nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng d : y = − m cắt đồ thị hàm số f (| x|) điểm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số Đại số giải tích 12 f (x + m) −∞ −∞ x − f ( x) +∞ f (| x|) x2 − m − m x3 − m +∞ +∞ Bảng biến thiên hàm số y = f (| x|) 31 −∞ + +∞ −∞ −∞ −∞ Với giá trị thực tham số m, phương trình f (| x| + m) = có nhiều nghiệm? choice f ( x) ′ −∞ −∞ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x + m) = có nghiệm phân biệt lớn phương trình f (| x| + m) = có nghiệm phân biệt Chọn đáp án D □ x+1 Có x−2 giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g( x) = f (| x|)+ m cắt trục hoành điểm phân biệt? CÂU 95 Cho hàm số f ( x) = A B C D Lời giải TXĐ: D = R \ {2}; f ′ ( x) = − < 0, ∀ x ∈ D ( x − 2)2 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH Bảng biến thiên hàm số f ( x) x −∞ +∞ ′ − f ( x) − +∞ f ( x) −∞ Bảng biến thiên hàm số f (| x|) x −∞ −2 f ′ ( x) + − + +∞ +∞ − +∞ −1 f (| x|) −∞ −∞ Đồ thị hàm số g( x) = f (| x|) + m cắt trục hồnh điểm phân biệt ⇔ phương trình g( x) = có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình f (| x|) = − m có nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng d : y = − m cắt đồ thị hàm số f (| x|) điểm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số f (| x|) khơng tồn giá trị m thỏa mãn □ Chọn đáp án A x+1 Có x−2 giá trị nguyên m để đồ thị hàm số g( x) = f (| x|) + m cắt trục hồnh điểm phân biệt có 3 hồnh độ thuộc đoạn − ; ? 2 A B C D CÂU 96 Cho hàm số f ( x) = Lời giải < 0, ∀ x ∈ D ( x − 2)2 Bảng biến thiên hàm số f ( x) −∞ x +∞ ′ − − f ( x) □ CÂU 97 Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn 19 hàm số y = x4 − x2 + 30 x + m − 20 đoạn [0; 2] không vượt 20 Tổng phần tử S A 210 B −195 C 105 D 300 Lời giải 19 1 Đặt t = x4 − x2 + 30 x, ta xét hàm g( x) = − 4 19 x + 30 x với x ∈ [0; 2] g′ ( x) = x3 − 19 x + 30 = ( x − 2)( x + 5)( x − 3) ≥ 0; ∀ x ∈ [0; 2] Do g( x) hàm số đồng biến [0; 2] suy t ∈ [0; 26] Đặt f ( t) = | t + m − 20|, t ∈ [0; 26] f ( t) liên tục [0; 26] nên t∈[0;26] Nếu m ≥ max f ( t) = max {| m − 20| ; | m + 6|} = t∈[0;26] | m + 6|, ta có | m + 6| ≤ 20 ⇔ −26 ≤ m ≤ 14 nên m ∈ {7; 8; ; 14} +∞ Nếu m < max f ( t) = max {| m − 20| ; | m + 6|} = f ( x) t∈[0;26] | m − 20|, ta có −∞ | m − 20| ≤ 20 ⇔ ≤ m ≤ 40 nên m ∈ {0; 1; ; 6} Bảng biến thiên hàm số f (| x|) x Chọn đáp án C max f ( t) = max {| m − 20| ; | m + 6|} TXĐ: D = R \ {2}; f ′ ( x) = − 3 điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn − ; 2 ⇔ phương trình g( x) = có nghiệm phân biệt 3 thuộc đoạn − ; 2 ⇔ phương trình f (| x|) = − m có nghiệm phân 3 biệt thuộc đoạn − ; 2 ⇔ đường thẳng d : y = − m cắt đồ thị hàm số f (| x|) điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn 3 − ; 2 Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số f (| x|) Điều kiện −5 ≤ m < −1 ⇔ < m ≤ Do m ∈ Z nên m ∈ {2; 3; 4; 5} Vậy có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán −∞ f ′ ( x) − 32 −2 + + +∞ − + +∞ − − + + · · · + 14 = +∞ −1 f (| x|) −∞ −∞ Vậy tổng giá trị nguyên thỏa mãn Đồ thị hàm số g( x) = f (| x|) + m cắt trục hoành Tìm cơng Cho hàm số tìm giá trị Giả sử 14 · 15 = 105 thức cho toán tổng quát: y = | f ( x) + h( m)| với x ∈ [a; b] Hãy lớn hàm số theo m x ∈ [a; b] f ( x) ∈ [α; β] y = Đại số giải tích 12 32 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH | f ( x) + h( m)| liên tục [α; β] nên ta có max y = y y x∈[a;b] max |α + h( m)| ; β + h( m) Đặt u = h( m), đồ thị hàm g(u) = max |α + u| ; β + u mơ hình vẽ: O C u = h( m) Trong đồ thị g(u) mô đường liền nét; B −β; , C (−α; 0) , A − α+β β−α ; , dễ 2 β−α thấy hàm số g(u) đạt giá trị lớn u = − α+β 2 Cũng từ mô ta suy g(u) =  α+β    | u + α| ; u ≤ −  α +β   u+β ; u ≥ − Vận dụng vào toán trên: α = 0; β = 26; u = m − 20 ta có kết Chọn đáp án C □ CÂU 98 Cho hàm số y = f ( x) = ax4 + bx2 + c thoả ab < điều kiện Số nghiệm lớn ac b − 4ac > có phương trình | f ( x)| = m, m ∈ R A B C O x Dựa vào đồ thị ta thấy số nghiệm lớn phương trình | f ( x)| = m có □ Chọn đáp án C A B x D 12 Lời giải Do ab < nên hàm số cho có ba điểm cực trị tính tốn ba điểm cực trị CÂU 99 Cho hàm số bậc bốn f ( x) = ax4 + bx2 + c biết a > 0, c > 2018 a + b + c < 2018 Số cực trị đồ thị hàm số g( x) = | f ( x) − 2018| A B C D Lời giải Cách 1: Đặt h( x) = f ( x)−2018 = ax4 + bx2 + c−2018  a > a>0 ⇒ ⇒ đồ thị Từ giả thiết c >  b ⇔ −c · < a 4a Vẽ phát họa đồ thị ta thấy có điểm x O cực trị Cách 3: Ta có a > 0, c > 2018 nên a + c > 2018 ⇒ b < 2018 − a − c < Do hàm số f ( x) − 2018 có cực trị Vì f (0)−2018 = c −2018 > 0, f (±1)−2018 = a + b + c − 2018 < lim [ f ( x) − 2018] = +∞ nên phương x→+∞ trình f ( x) − 2010 có nghiệm Do đó, đồ thị hàm số y = | f ( x) − 2018| có cực trị Chọn đáp án D □ Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B, C nằm khác phía với A so với trục hoành Suy dạng đồ thị hàm số | f ( x)| lúc CÂU 100 Cho hàm số bậc ba f ( x) = ax3 + bx2 + cx+ d (a ̸= 0) biết a > 0, d > 2018 a + b + c + d − 2018 < Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g( x) = | f ( x) − 2018|  A (0; c), B  −    b ∆ b ∆ ; −  , C − − ; −  2a 4a 2a 4a với ∆ = b2 − 4ac Lại có ac( b2 − 4ac) > ⇔ c · 33 Đại số giải tích 12 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH A Lời giải B C D Cách 1: Hàm số g( x) = f ( x) − 2018 (là hàm số bậc ba) liên  tục R Ta có lim g( x) = −∞   x→−∞     g(0) = d − 2018 Vậy hàm số y = | f ( x)| có điểm cực trị Chọn đáp án D CÂU 102 Cho hàm số f ( x) = m218 + x4 + −2 m2018 − 22018 m2 − x2 + m2018 + 2018 , với m tham số Số cực trị hàm số y = | f ( x) − 2017|  g(1) = a + b + c + d − 2018 <      lim g( x) = +∞ ⇒ g( x) = có x→+∞ nghiệm phân biệt R Khi đồ thị hàm số f ( x) − 2018 cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số g( x) = | f ( x) − 2018| có điểm cực trị Cách 2: Hàm số g( x) = f ( x) − 2018 (là hàm số bậc ba) liên tục R Ta có g(0) = d − 2018 > 0; g(1) = a + b + c + d − 2018 < Vì lim g( x) = −∞ lim g( x) = +∞ nên ∀ x1 < x→−∞ x→+∞ : f ( x1 ) < ∀ x2 < : f ( x2 ) > nên phương trình g( x) = có nghiệm phân biệt R Khi đồ thị hàm số g( x) = f ( x) − 2018 cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số g( x) = | f ( x) − 2018| có điểm cực trị Chọn đáp án D □ A Lời giải  f (2) = + 4a + b + c <      lim f ( x) = +∞ D Nhận thấy phương trình h( t) = có ∆ = 22018 m2 + m2018 + 22018 m2 + > S > 0; P > nên ln có hai nghiệm dương phân biệt Do đó, phương trình g( x) = có nghiệm phân biệt Từ suy hàm số y = | g( x)| = | f ( x) − 2017| có điểm cực trị ○ Cách 2: Xét hàm số g( x) = f ( x) − 2017 = m2018 + x4 + −2 m2018 − 22018 m2 − x2 + m2018 + Nhận xét rằng, a = m2018 + > , với m b = −2 m2018 − 22018 m2 − < nên hàm số g( x) có điểm cực trị Ta có g′ ( x) = 4ax3 + bx Suy  ′  g ( x) = ⇔  ⇒ f ( x) = có x = ⇒ g(0) = a > 0, ∀ m m2018 + 22018 m2 + b x2 = = − · 2a m2018 + (2a − b)(2a + b) b2 +a = < 0, ∀ m 4a 4a 2018 2018 (Vì 2a − b = 4m +2 m +5 > 2a + b = −22018 m2 − < 0) Từ suy hàm số y = | f ( x) − 2017| có ⇒ g x2 = − x→+∞ nghiệm phân biệt R Khi đồ thị hàm số f ( x) cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm số g( x) = | f ( x)| có điểm cực trị Cách 2: Hàm số y = f ( x) (là hàm số bậc ba) liên tục R Ta có f (−2) = −8 + 4a − 2b + c > 0, f (2) = + 4a + b + c < Và lim f ( x) = −∞; lim f ( x) = +∞ x→−∞ x→+∞ Nên phương trình f ( x) = có nghiệm thực phân biệt Do đó, đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục hoành điểm phân biệt C m2018 + x4 + −2 m2018 − 22018 m2 − x2 + m2018 + Đặt t = x2 ( t ≥ 0) ta có h( t) = m2018 + t2 + −2 m2018 − 22018 m2 − t + m2018 + Cách 1: Hàm số f ( x) = x3 + ax2 + bx + c (là hàm số bậc ba)liên tục R Ta có B ○ Cách 1: Xét hàm số g( x) = f ( x) − 2017 = CÂU 101 Cho hàm số bậc ba f ( x) = x3 + ax2 + bx+ c với a, b, c ∈ R, biết −8 + 4a − 2b + c > + 4a + b + c < Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g( x) = | f ( x)| A B C D Lời giải lim f ( x) = −∞   x→−∞     f (−2) = −8 + 4a − b + c > □ điểm cực trị Chọn đáp án D □ CÂU 103 Cho hàm số f ( x) = x3 − (2 m − 1) x2 + (2 − m) x + với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số g( x) = f (| x|) có điểm cực trị A −2 < m < C < m < Lời giải B − < m < D < m ≤ Đại số giải tích 12 34 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH Ta có f ′ ( x) = x2 − 2(2m − 1) x + − m Hàm số g( x) = f (| x|) có điểm cực trị ⇔ hàm số f ( x) có hai cực trị dương f ′ ( x) = có hai nghiệm dương phân biệt   (2 m − 1)2 − 3(2 − m) >        2(2 m − 1) ∆ > >0 ⇔ < m < ⇔ S>0 ⇔     2−m  P >0    >0 Chọn đáp án C □ CÂU 104 Cho hàm số bậc ba f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ̸= 0) có đồ thị nhận hai điểm A (0; 3) B(2; −1) làm hai điểm cực trị Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g( x) = ax2 x +bx2 + c x|+ d | A Lời giải B C D 11 Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số g( x) = | f (| x|)| có điểm cực trị ○ Cách 2: Vẽ phác họa đồ thị f ( x) suy đồ thị f (| x|), tiếp tục suy đồ thị | f |(| x|)| có ba điểm cực trị? C (−∞; 0] Lời giải Đại số giải tích 12 CÂU 106 Cho hàm số bậc ba f ( x) = x3 + mx2 + mx − với m, n ∈ R, biết m + n > + 2(2 m + n) < Khi số điểm cực trị đồ thị hàm số g( x) = | f (| x|)| A B C D 11 Lời giải    f (0) = −1 ○ Cách 1: Ta có f (1) = m + n >   f (2) = + m + n < lim f ( x) = +∞ ⇒ ∃ p > cho f ( p) > Suy đồ thị hàm số f ( x) có hai điểm cực trị x1 ∈ ( c ; c ) x2 ∈ ( c ; c ) (2) Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số f ( x) có dạng hình bên y y = f ( x) O x −1 Từ suy hàm số f (| x|) có điểm cực trị ⇒ hàm số | f (| x|)| có 11 điểm cực trị y y = f (| x|) x O −1 ∪ (1 + ∞) D (1; +∞) B 0; (Học sinh tự vẽ hình tưởng tượng) Hàm số y = | x|3 − (2 m + 1) x2 + m| x| − có ba điểm cực trị hàm số y = x3 − (2 m + 1) x2 + 3mx − có hai điểm cực trị khơng âm Vậy phương trình x2 − 2(2m + 1) x + 3m = 35 □ □ CÂU 105 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = | x|3 −(2 m +1) x2 +3m| x|−5 −∞; Chọn đáp án B x→+∞ Đồ thị hàm số f ( x) có điểm cực trị A (0; 3) ∈ O y điểm cực trị B(2; −1) thuộc góc phần tư thứ IV nên đồ thị f ( x) cắt trục hồnh điểm (1 điểm có hồnh độ âm, điểm có hồnh độ dương) ⇒ đồ thị hàm số f (| x|) cắt trục hoành điểm phân biệt (2) A ⇒ Suy f ( x) = có ba nghiệm phân biệt c ∈ (0; 1), c ∈ (1; 2) c ∈ (2; p) (1) ○ Cách 1: Ta có g( x) = ax2 x +bx2 + c x|+ d | = | f (| x|)| Hàm số f ( x) có hai điểm cực trị có điểm cực trị điểm cực trị dương ⇒ hàm số f (| x|) có điểm cực trị (1) Chọn đáp án B  ′  ∆ = m − m + > 0≤m< ⇒  S = 2(2 m + 1) > 0; P = m ≥ m>1  0≤m<  m > y y = | f (| x O x HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH ○ Cách 2: Ta m+n >0 có ⇔ + 2(2 m + n) < f (1) > f (2) < Vì f (1) > > f (2) nên hàm số f ( x) đồng biến R Vậy hàm số f ( x) có hai điểm cực trị Ta có f (0) = −1, f (1) = m + n > 0, f (2) = + m + n < lim f ( x) = +∞ ⇒ ∃ p > Bình luận: Đây dạng tập đếm số điểm cực trị hàm số dạng | f (| x|)| số điểm cực trị hàm số f ( x) điều kiện liên quan bị ẩn Để giải toán bạn đọc cần dựa vào giả thiết toán để tìm ○ Số điểm cực trị n hàm số f ( x); ○ Số điểm cực trị dương m (với m < n) hàm số; x→+∞ cho f ( p) > Suy phương trình f ( x) = có ba nghiệm phân biệt c ∈ (0; 1), c ∈ (1; 2) c ∈ (2; p) Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị x1 ∈ ( c ; c ) x2 ∈ ( c ; c ), dễ thấy x1 , x2 số dương, hai giá trị cực trị trái dấu f ( x1 ) > > f ( x2 ) (vì hệ số cao 1) Đồ thị hàm số f ( x) có hai điểm cực trị x1 , x2 số dương nên đồ thị hàm số f (| x|) có điểm cực trị y ○ Số giao điểm p đồ thị hàm số với trục hồnh có q điểm có hồnh độ dương Bây giả sử ta tìm kiện ta suy ○ Đồ thị hàm số f (| x|) có m + điểm cực trị; ○ Đồ thị hàm số | f ( x)| có n + p điểm cực trị; ○ Đồ thị hàm số | f (| x|)| có 2m + q + điểm cực trị y = f ( x) Ngoài vấn đề tìm số điểm cực trị, tốn cịn có nhiều hướng để đề khác ví dụ hỏi số giao điểm với trục hồnh, tính đồng biến nghịch biến hàm số □ Chọn đáp án D O x −1 y CÂU  107 Cho số thực a, b, c thoả mãn  a + b + c < −1 y = f (| x | ) 4a − b + c >   bc < Đặt f ( x) = x3 + a2 + bx + c Số điểm cực trị hàm số | f (| x|)| lớn có A B C 11 D Lời giải Từ giả thiết tốn ta có f (1) < 0, f (−2) > lim f ( x) = −∞, lim f ( x) = +∞ ta suy phương x O −1 y x→−∞ hai giá cực trị trái dấu Khi O x→+∞ y = | f (trình | x|)| f ( x) = có ba nghiệm phân biệt, suy hàm số f ( x) có hai điểm cực trị x1 , x2 ( x1 < x2 ) x Do f ( x) có hai giá trị cực trị trái dấu f (0) = −1 nên phương trình f (| x|) = có nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số | f (| x|)| có 5+6 = 11 điểm cực trị b0 f (0) = c > nên f ( x) = có hai nghiệm dương Do đồ thị hàm số | f (| x|)| có điểm cực trị b>0 Khi ta có x1 · x2 > f (0) = c < nên c1 mãn + 2a + b < Số điểm cực trị hàm số y = | f (| x|)| A 11 B C D Lời giải Hàm số y = f ( x) (là hàm số bậc ba) liên tục R Ta có f (0) = −2 < 0, f (1) = −a + b − > 0, f (2) = a + b + < lim f ( x) = +∞ nên ∃ x0 > 2, f ( x0 ) > x→+∞ Do đó, phương trình f ( x) = có nghiệm dương phân biệt R Hàm số y = f (| x|) hàm số chẵn Do đó, hàm số y = f (| x|) có điểm cực trị Vậy hàm số y = | f (| x|)| có 11 điểm cực trị □ Chọn đáp án A CÂU 109 Cho hàm số bậc ba f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị điểm x1 , x2 thỏa mãn x1 ∈ (0; 1), x2 ∈ (1; 2) Biết hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm Khẳng định sau đúng? A a < 0, b > 0, c > 0, d < B a < 0, b < 0, c > 0, d < C a > 0, b > 0, c > 0, d < D a < 0, b > 0, c < 0, d < Lời giải Vì hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị điểm x1 , x2 hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) nên suy a < Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm nên d < Ta có y′ = 3ax2 + 2bx + c Hàm số đạt cực trị điểm x1 , x2 thỏa mãn x1 ∈ (0; 1), x2 ∈ (1; 2) nên suy y′ = có hai nghiệm dấu ⇒ 3ac < ⇒ c > Mặt khác x1 ∈ (0; 1), x2 ∈ (1; 2) nên x1 + x2 > ⇒ 2b > ⇒ b > − 3a Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < Chọn đáp án A □ CÂU 110 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x2 − 1)( x + 1)(5 − x) Mệnh đề sau đúng? A f (1) < f (4) < f (2) C f (2) < f (1) < f (4) Lời giải B f (1) < f (2) < f (4) D f (4) < f (2) < f (1) Dựa vào so sánh phương án, ta thấy cần xét biến thiên hàm số khoảng 37 Đại số giải tích 12 (1; 4) Ta có f ′ ( x) = ( x + 1)2 ( x − 1)(5 − x) > 0, ∀ x ∈ (1; 4) Nên hàm số y = f ( x) đồng biến (1; 4) mà < < ⇒ f (1) < f (2) < f (4) □ Chọn đáp án B CÂU 111 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = (1 − x)( x + 2) · t( x) + 2018 với x ∈ R, t( x) < với R Hàm số g( x) = f (1 − x) + 2018 x + 2019 nghịch biến khoảng khoảng sau? A (−∞; 3) B (0; 3) C (1; +∞) D (3; +∞) Lời giải Ta có g′ ( x) = − f ′ (1 − x) + 2018 Theo giả thiết f ′ ( x) = (1 − x)( x + 2) · t( x) + 2018 ⇒ f ′ (1 − x) = x(3 − x) · t(1 − x) + 2018 Từ suy g′ ( x) = − x(3 − x) · t(1 − x) Mà t( x) < 0, ∀ x ∈ R ⇒ − t(1 − x) > 0, ∀ x ∈ R nên dấu g′ ( x) dấu với x(3 − x) Vậy hàm số g( x) nghịch biến khoảng (−∞; 0), (3; +∞) □ Chọn đáp án D CÂU 112 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x x2 − x với x ∈ R Hàm số g( x) = f − + x đồng biến khoảng khoảng sau? A (−∞; −6) B (−6; 6) C −6 2; D −6 2; +∞ Lời giải Ta có x x x g ′ ( x) = − f ′ − + = − 1− −2 1− 2 2 2 x 4= − x2 Xét − > ⇔ x2 < 36 ⇔ −6 < x < Chọn đáp án B + □ CÂU 113 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x2 ( x − 9)( x − 4)2 Khi hàm số g( x) = f ( x2 ) đồng biến khoảng nào? A (−2; 2) C (−∞; −3) B (3 : +∞) D (−∞; −3) ∪ (0; 3) Lời giải Ta có f ′ ( x) = x2 ( x − 9)( x − 4)2 ⇒ g′ ( x) = x · x4 ( x2 − 9)( x2 − 4)2  x=0  ′ 2 g ( x) = ⇔ x ( x − 9)( x − 4) = ⇔  x = ±3 Ta có x = ±2 bảng biến thiên HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH x −∞ g′ −3 −2 (2; +∞) +∞ Vậy số thuộc khoảng đồng biến hàm số g( x) Chọn đáp án B □ − + + − − + CÂU 116 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x( x − 1)2 ( x − 2) với x ∈ R Hàm số g( x) = 5x đồng biến khoảng f x +4 g Vậy hàm số đồng biến khoảng (3; +∞) Chọn đáp án B khoảng sau? □ CÂU 114 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x2 ( x − 1)( x − 4) · t( x) với x ∈ R t( x) > với x ∈ R Hàm số g( x) = f x2 đồng biến khoảng khoảng sau? A (−∞ − 2) B (−2; −1) C (−1; 1) D (1; 2) ′ −2 −1 +∞ − + − + − + y  x=0 Ta có f ′ ( x) = ⇔ x( x − 1)2 ( x − 2) = ⇔  x = Xét g ′ ( x) = Bảng biến thiên −∞ B (−2; 1) D (2; 4) x=2 Lời giải Ta có g′ ( x) = x f ′ x2 Theo giả thiết f ′ ( x) = x2 ( x − 1)( x − 4) t( x) ⇒ f ′ x2 = x4 x2 − x2 − · t x2 Từ suy g′ ( x) = x5 x2 − x2 − · x2 Mà t( x) > 0, ∀ x ∈ R nên dấu g′ ( x) dấu x5 x2 − x2 − x A (−∞; −2) C (0; 2) Lời giải 20 − x x2 +        ′ g ( x) = c ⇔       ·f′ 5x x2 + , 20 − x2 = 5x  =0 x = ±2 x +4  5x x=0 =1 ⇔   x = 1( nghiệm bội chẵn) x2 +  5x = x = 4( nghiệm bội chẵn) x2 + 5x =2 x2 + Bảng biến thiên x −∞ g ′ ( x) −2 +∞ − + − − + + y g ( x) Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số đồng biến (−2; −1) Chọn đáp án B □ CÂU 115 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x − 1)2 x2 − x với x ∈ R Hỏi số thực thuộc khoảng đồng biến hàm số g( x) = f ( x2 − x + 2)? A −2 B −1 C D Lời giải Ta có x2 − x + − x=5→ 20 − x2 < (1) x2 + 25 25 25 5x 25 25 x=5→ = ⇒ f′ = −1 −2 < 29 29 29 29 x + 29 (2) Từ (1) (2) suy g′ ( x) > khoảng (4; +∞) Chọn đáp án D g′ ( x) = 2( x − 1) · f ′ x2 − x + = 2( x − 1) Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, suy hàm số đồng biến khoảng (2; 4) Chú ý: Dấu g′ ( x) xác định sau: Ví dụ xét khoảng (4 + ∞) ta chọn x = CÂU 117 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x2 − x + − x2 − (2xx−+1)(3 − x) với x ∈ R Hàm số y = f ( x) đạt cực = 2( x − 1)5 ( x − 1)4 − 0 ⇔ □ đại A x = Lời giải B x = C x = Ta có f ′ ( x) = ⇔ ( x − 1)(3 − x) = ⇔ D x = x=1 x=3 Đại số giải tích 12 38 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH Bảng biến thiên x −∞ f ′ ( x) − +∞ + − Lời giải Ta có g′ ( x) = f ′ ( x) − = ( x + 1) ( x − 1)2 ( x − 2)  x = −1  ′ g ( x) = ⇔ ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2) = ⇔  x = x=2 f ( x) Ta có bảng biến thiên x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x) đạt cực đại x = Chọn đáp án D □ h′ ( x) CÂU 118 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = x2 − ( x − 4) với x ∈ R Hàm số g( x) = f (3 − x) C D Lời giải Ta có g′ ( x) = − f ′ (3 − x) = (3 − x)2 − · [4 − (3 − x)] = (2 − x)(4 − x)( x + 1)  x = −1 g′ ( x) = ⇔ (2 − x)(4 − x)( x + 1) = ⇔  x = x=4 −∞ g ′ ( x) −1 − + − + Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g( x) đạt cực đại x = □ Chọn đáp án B CÂU 119 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x2 ( x − 1)( x − 4)2 với x ∈ R Hàm số g( x) = f x2 D 2 x5 x2 − x2 − = f ( x) · f ′′′ ( x) = x ( x − 1)2 ( x + 4)3 với x ∈ R Lời giải Ta có g′ ( x) = f ′′ ( x) · f ′ ( x) − f ′ ( x) · f ′′ ( x) − f ( x) · f ′′′ ( x) = −2 f ( x) · f ′′′ ( x)  x=0  g ( x) = ⇔ f ( x)· f ( x) = ⇔ x ( x − 1) ( x + 4) = ⇔  x = ′ ⇔ x=− Ta có bảng biến thiên x −∞ −4 − + +∞ + − g ( x) −∞ Ta thấy x = ±1 x = nghiệm bội lẻ, hàm số g( x) có điểm cực trị Chọn đáp án B □ CÂU 120 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x + 1) ( x − 1)2 ( x − 2) + với x ∈ R Hàm số g( x) = f ( x) − x có điểm cực trị? 39 ′′′ +∞ ( x − 2) ( x + 2) = A − CÂU 121 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp 3, liên tục R thỏa mãn ⇔ Ta thấy x = −1 x = nghiệm đơn x = nghiệm kép nên hàm số g( x) có điểm cực trị □ Chọn đáp án B Ta có g′ ( x) = x · y′ x2 = x5 x2 − x2 − + −∞ g ′ ( x) Lời giải g ′ ( x) =  x = ±1 x =  g ( x) có điểm cực trị? A B C + +∞ Hàm số g( x) = f ′ ( x) − f ( x) · f ′′ ( x) có điểm cực trị? A B C D +∞ − h( x) Lập bảng biến thiên x −1 +∞ ′ có cực đại? A B −∞ B Đại số giải tích 12 C D Ta thấy x = x = −4 nghiệm đơn nên hàm số g( x) có điểm cực trị Chọn đáp án B □ CÂU 122 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x + 1)4 ( x − 2)5 ( x + 3)3 Số điểm cực trị hàm số f (| x|) A B C D Lời giải Nhận xét Số điểm cực trị hàm số f (| x|) 2a + 1, a số điểm cực trị dương HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH hàm số f ( x) Ta có f ′ ( x) = ⇔ ( x + 1)3 ( x − 2)5 ( x + 3)3 = ⇔  x = −1 Ta có bảng biến thiên x −∞ ′ − y  x = +∞ −2 − + +∞ x = −3 Do f ′ ( x) đổi dấu x qua x = −3 x = nên hàm số f ( x) có điểm cực trị x = −3 x = có điểm cực trị dương Do f (| x|) = f ( x) x ≥ f (| x|) hàm số chẵn nên hàm số f (| x|) có điểm cực trị x = 2, x = Chọn đáp án B +∞ y f (0) Suy bảng biến thiên hàm số y = (| x|) x −∞ y′ □ +∞ − + +∞ +∞ y CÂU 123 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x − 1)( x − 2)4 ( x2 − 4) Số điểm cực trị hàm số y = f (| x|) A B C D Lời giải x=1  f ( x) = ⇔ ( x − 1)( x − 2) ( x − 4) ⇔  x = x = −2 Ta có bảng biến thiên x −∞ ′ −2 − + y +∞ Từ giả thiết suy f ′ (3 − x) = (3 − x)(2 − x)2 (3 − x)2 + m(3 − x) + Ta có g′ ( x) = − f ′ (3 − x) Do hàm số g( x) đồng biến (3; +∞) g′ ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ (3; +∞) + − + +∞ +∞ f (0) y f (−2) f (2) Suy bảng biến thiên hàm số y = (| x|) x −∞ ′ −2 −1 − + − y −∞ +∞ + − + f (−1) +∞ f (1) y f (−2) f (0) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (| x|) có điểm cực trị Chọn đáp án D □ CÂU 125 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x( x − 1)2 ( x2 + mx + 9) với x ∈ R m tham số Có số nguyên dương m để hàm số g( x) = f (3 − x) đồng biến khoảng (3; +∞)? A B C D Lời giải  ′ f (0) f (2) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (| x|) có điểm cực trị Chọn đáp án D □ ⇔ f ′ (3 − x) ≥ 0, ∀ x ∈ (3; +∞) ⇔ (3 − x)(2 − x)2 (3 − x)2 + m(3 − x) + ≥ 0, ∀ x ∈ (3; +∞) ( x − 3)2 + , ∀ x ∈ (3; +∞) ⇔ m ≤ h( x) ⇔m≤ (3;+∞) x−3 ( x − 3)2 + với h( x) = x−3 Theo bất đẳng thức Cô-si ta có h( x) = x−3+ ≥ x−3 ( x − 3) · = 6, ∀ x ∈ (3; +∞) x−3 Suy h( x) = x = Do m ≤ ⇒ m ∈ (3;+∞) {1, 2, 3, 4, 5, 6} Chọn đáp án B ′ CÂU 124 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = x( x + 2)4 ( x2 + 4) Số điểm cực trị hàm số y = f (| x|) A B C Lời giải f ′ ( x) = ⇔ x( x + 2)4 ( x2 + 4) ⇔ x=0 x = −2 D □ CÂU 126 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x2 ( x − 1)( x2 + mx + 5), ∀ x ∈ R m tham số Có số nguyên âm m để hàm số g( x) = f ( x2 ) đồng biến (1; +∞)? A B C D Lời giải Từ giả thiết suy f ′ ( x2 ) = x4 ( x2 − 1)( x4 + mx2 + 5) Ta có g′ ( x) = x f ′ ( x2 ) Đại số giải tích 12 40 HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH Để hàm số g( x) đồng biến khoảng (1; +∞) g′ ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ (1; +∞) ⇔ x f ′ ( x2 ) ≥ 0, ∀ x ∈ (1; +∞) ⇔ x · x4 ( x2 − 1)( x4 + mx2 + 5) ≥ 0, ∀ x ∈ (1; +∞) − x4 − , ∀x ∈ ⇔ x4 + mx2 + ≥ 0, ∀ x ∈ (1; +∞) ⇔ m ≥ x2 (1; +∞) − x4 − ⇔ m ≥ max h( x) với h( x) = (1;+∞) x2 − x4 − Khảo sát hàm số h( x) = (1; +∞) ta x2 max h( x) = −2 (1;+∞) Suy m ≥ −2 ⇒ m ∈ {−4, −3, −2, −1} Chọn đáp án B □ CÂU 127 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x( x − 1)2 (3 x4 + mx3 + 1), với x ∈ R m tham số Có số nguyên âm để hàm số g( x) = f ( x2 ) đồng biến khoảng (0; +∞) A B C D ′ 2 2 Từ giả thiết suy f ( x ) = x ( x − 1) (3 x + mx + 1) Ta có g′ ( x) = x f ′ ( x2 ) Để hàm số g( x) đồng biến khoảng (0; +∞) g′ ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ (0; +∞) ⇔ x f ′ ( x2 ) ≥ 0, ∀ x ∈ (0; +∞) ⇔ x · x2 ( x2 − 1)2 (3 x8 + mx6 + 1) ≥ 0, ∀ x ∈ (0; +∞) ⇔ x8 + mx6 + ≥ 0, ∀ x ∈ (0; +∞) −3 x8 − ⇔ m ≥ max h( x) với h( x) = ⇔ m ≥ (0;+∞) x6 −3 x8 − x6 −3 x8 + Khảo sát hàm h( x) = (0; +∞) ta x6 max h( x) = −4 Suy m ≥ −4 Vậy m ∈ (0;+∞) {−4; −3; −2; −1} Chọn đáp án B □ CÂU 128 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x − 1)2 ( x2 − x) với x ∈ R m tham số Có số nguyên m < 100 để hàm số g( x) = f ( x2 − x + m) đồng biến khoảng (4; +∞)? A 18 B 82 C 83 D 84 Lời giải x ⇔ x>2 Xét hàm số g′ ( x) = (2 x − 8) f ′ ( x2 − x + m) Để hàm số g( x) đồng biến khoảng (4; +∞) g′ ( x) ≥ 0, ∀ x > ⇔ (2 x − 8) f ′ ( x2 − x + m) ≥ 0, x > ⇔ f ′ ( x2 − x + m) ≥ 0, ∀ x > x2 − x + m ≤ 0, ∀ x ∈ (0; +∞) ⇔ ⇔ x ≥ 18 x − x + m ≥ 2, ∀ x ∈ (0; +∞) Đại số giải tích 12 □ CÂU 129 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x2 ( x + 1)( x2 + mx + 5) Có tất giá trị nguyên m để hàm số f ( x) có điểm cực trị? A B C D Lời giải f ( x) = ⇔ x2 ( x + 1)( x2 + mx + 5) = ⇔  x=0  x = −1  ′ x2 + mx + = (1) Để hàm số f ( x) có điểm cực trị có trường hợp sau: + Phương trình (1) vơ nghiệm: m2 − < ⇔ − < m < + Phương trình (1) có nghiệm kép −1: Lời giải 41 Vậy 18 ≤ m < 100 Chọn đáp án B m2 − = − 2m + = ⇔ m=± m=3 ⇒m∈∅ + Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm −1: ⇔   m>   m2 − > − 2m + = m < − ⇔ m = Vậy giá trị nguyên    m=3 m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3} Chọn đáp án C □ CÂU 130 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x − 1)2 ( x2 − x) với x ∈ R Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g( x) = f ( x2 − x + m) có điểm cực trị? A 15 B 16 C 17 D 18 Lời giải Cách 1: Xét f ′ ( x) = ⇔ ( x − 1)2 ( x2 − x) = ⇔  x=1  x = x=2 Ta có g′ ( x) = 2( x − 4) · f ′ ( x2 − x + m) g′ ( x) = ⇔ 2( x − 4) · f ′ ( x2 − x + m) = ⇔  x=4  x − 8x + m =    x − x + m = (1)  x2 − x + m = (2) Yêu cầu toán ⇔ g′ ( x) = có nghiệm bội lẻ ⇔ phương trình (1), (2) có hai nghiệm phân biệt khác (∗) Xét đồ thị (C ) hàm số y = x2 − x hai đường HÀM SỐ VD-VDC Trường PHTP THIÊN ĐÌNH thẳng d1 : y = −m, d2 : y = −m + (như hình vẽ) y  x2 = x=0   ⇔  x = −1 Xét f ( x) = ⇔  x + = 2 x + mx + = (1) x + mx + = Dođó (∗) ⇔ (1) có hai nghiệm dương phân biệt ′  ∆ = m − >  ′ x S = −2 m > ⇔   ⇔ m < − P =5>0 Suy m ∈ {−9; −8; −7; −6; −5; −4; −3} Chọn đáp án B y = 2−m y = −m −16 Khi (∗) ⇔ d1 , d2 cắt (C ) bốn điểm phân biệt ⇔ − m > −16 ⇔ m < 16 Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa Cách 2: Đặt g( x) = f ( x2 − x + m) Ta có f ′ ( x) = ( x − 1)2 ( x2 − x) ⇒ g′ ( x) = (2 x − 8)( x2 − x + m − 1)2 ( x2 − x + m)( x2 − x+ m − 2) x=4   x − x + m = 1(1)  g ′ ( x) = ⇔  Các phương  x − x + m = 0(2)  x2 − x + m − = 0(3) trình (1), (2), (3) khơng có nghiệm chung đôi ( x2 − x + m − 2)2 ⩾ với ∀ x ∈ R nên g( x) có cực trị (1)và (2) có hai nghiệm 16 − m >     16 − m − > phân biệt khác ⇔ ⇔  16 − 32 + m ̸=     16 − 32 + m − ̸=  m < 16      m < 18 ⇔ m < 16 Vì m nguyên dương m < 16  m ̸= 16     m ̸= 18 nên có 15 giá trị m cần tìm Chọn đáp án A □ CÂU 131 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x2 ( x + 1)( x2 + mx + 5) với x ∈ R Có giá trị nguyên tham số m > −10 để hàm số g( x) = f (| x|) có điểm cực trị? A B C D Lời giải Do tính chất đối xứng qua trục O y đồ thị hàm thị hàm số f (| x|) nên yêu cầu tốn ⇔ f ( x) có điểm cực trị dương (∗) □ CÂU 132 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = x2 ( x + 1)( x2 + mx + 5) với x ∈ R Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số g( x) = f (| x|) có điểm cực trị? A B C D Lời giải  x2 =  ⇔ Xét f ′ ( x) = ⇔  x + = x2 + mx + =  x=0  x = −1  x2 + mx + = 0(1) Theo yêu cầu tốn ta suy Trường hợp Phương trình (1) có hai nghiệm  ′  ∆ = m − > âm phân biệt ⇔ S = −2m < ⇔ m >   P =5>0 Trường hợp khơng có giá trị m thỏa u cầu tốn Trường hợp Phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆′ = m2 − ⩽ ⇔ − ⩽ m ⩽ Suy m ∈ {−5; −1} □ Chọn đáp án A CÂU 133 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x + 1)2 ( x2 + m2 − m − 4)3 ( x + 3)5 với x ∈ R Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g( x) = f (| x|) có điểm cực trị? A B C D Lời giải  x+1 =  Xét f ′ ( x) = ⇔  x2 + m2 − 3m − = ⇔ x+3 = x = −1  x = −3   x2 + m2 − m − = 0(1) u cầu tốn ⇔ (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ m2 − m − < ⇔ −1 < m < Suy m ∈ {0; 1; 2; 3} Đại số giải tích 12 42 HÀM SỐ VD-VDC Chọn đáp án B Trường PHTP THIÊN ĐÌNH □ CÂU 134 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) = ( x + 1)4 ( x − m)5 ( x + 3)3 với x ∈ R Có giá trị nguyên tham số m ∈ [−5; 5] để hàm số g( x) = f (| x|) có điểm cực trị? A B C D Lời giải   x = −1 x+1 =   ′ Xét f ( x) = ⇔  x − m = ⇔  x = m x = −3 Nếu m = −1 hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị âm ( x = −3; x = −1) Khi đó, hàm số g( x) = f (| x|) có cực trị x = Do m = −1 khơng thỏa x+3 = yêu cầu đề Nếu m = −3 hàm số y = f ( x) khơng có cực trị Khi đó, hàm số g( x) = f (| x|) có cực trị x = Do m = −3 khơng thỏa yêu cầu đề Khi m ̸= −1 hàm số y = f ( x) có hai điểm cực m ̸= −3 trị x = m x = −3 Để hàm số g( x) = f (| x|) có điểm cực trị hàm số y = f ( x) phải có hai điểm cực trị trái dấu ⇔ m > Suy m ∈ {1; 2; 3; 4; 5} Chọn đáp án C 43 Đại số giải tích 12 □ ... t) f ( t) Do đó, ta có bảng biến thi? ?n y = g( x) sau: x −∞ g ′ ( x) − − 2018 2018 + − +∞ + +∞ +∞ g ( x) x = Đại số giải tích 12 22 HÀM SỐ VD- VDC Trường PHTP THI? ?N ĐÌNH Từ bảng biến thi? ?n, ta... = t giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng y = t, t ∈ (−2; 2) (là hàm song song trục Ox) Chọn đáp án D □ CÂU 92 Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hìnĐại số giải tích 12 30 HÀM SỐ VD- VDC. .. f ′ ( x) = − < 0, ∀ x ∈ D ( x − 2)2 HÀM SỐ VD- VDC Trường PHTP THI? ?N ĐÌNH Bảng biến thi? ?n hàm số f ( x) x −∞ +∞ ′ − f ( x) − +∞ f ( x) −∞ Bảng biến thi? ?n hàm số f (| x|) x −∞ −2 f ′ ( x) + − +