Chuyên đề GTLN, GTNN của biểu thức bồi dưỡng toán 8

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A ln lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biểu thức thuộc khoảng xác định nói Xét biểu thức A( x) +) Ta nói A( x) có giá trị lớn M, (Chỉ giá trị được) A( x)  M x có giá trị x0 cho A( x0 ) = M +) Ta nói A( x) có giá trị nhỏ m, A( x)  mx có giá trị x0 cho A( x0 ) = m (Chỉ giá trị được) Như : a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần : - Chứng minh A  k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần : - Chứng minh A  k với k số - Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trị biến Ký hiệu: Min A giá trị nhỏ A Max A giá trị lớn A Ví dụ: Sai lầm A( x) = 2x2 − 2x + = x2 + ( x −1)2 +   GTNN = ( Không dấu = ) 5 Đáp án : A( x) = 2( x − )2 +   GTNN =  x = B Các dạng tốn Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai ax + bx + c Phương pháp: Áp dụng đẳng thức số số Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A( x) = x2 − 4x + 24 b B( x) = 2x2 − 8x +1 c C( x) = 3x2 + x −1 Lời giải a A( x) = x2 − 4x + 24 = ( x − 2)2 + 20  20x  A(x) = 20  x = b B( x) = 2x2 − 8x +1 = 2( x2 − 4x + 4) − = 2( x − 2)2 −  −7  minB = −7  x = c C ( x) = 3x + x − = 3( x + )2 − 13 −13 −1   x= 12 12 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a A( x) = −5x2 − 4x +1 b B( x) = −3x2 + x +1 Lời giải 5 9 a A( x) = −5 x − x + = −5( x + x − ) = −5( x + ) +   x = b B( x) = −3x + x + = −3( x − ) + 13 13  x= 12 12 −2 Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN đa thức có bậc cao Phương pháp: Ta đưa dạng tổng bình phương Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a A( x) = x4 − 6x3 +10x2 − 6x + b B( x) = x4 −10x3 + 26x2 −10x + 30 c C( x) = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x + 2017 d D( x) = x4 − x2 + 2x + e E( x) = x4 − 4x3 + 9x2 − 20x + 22 f F ( x) = x( x − 3)( x − 4)( x − 7) g G( x) = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) − 2006 Lời giải a A( x) = x4 − 6x3 +10x2 − 6x + = ( x4 − 6x3 + 9x2 ) + ( x2 − 6x + 9) = ( x2 − 3x)2 + ( x − 3)2  0x  x − 3x =  A( x) =    x=3 x − =  x2 − 5x =  x=5 b B( x) = x − 10 x + 26 x − 10 x + 30 = ( x − x) + ( x − 5) +    x − = 2 2 c C( x) = x2 ( x2 + 2) − 2x( x2 + 2) + ( x2 + 2) + 2015 = ( x2 + 2)( x −1)2 + 2015  2015  x = d D( x) = x4 − 2x2 +1+ x2 + 2x +1+ = ( x2 −1)2 + ( x +1)2 +   x = −1 e E ( x) = x − x3 + x − 20 x + 22 = ( x − x3 + x ) + 5( x − x + 4) + = ( x − x)2 + 5( x − 2) +   x = x = x = f F ( x) = x( x − 3)( x − 4)( x − 7) = ( x − x)( x − x + 12) = y − 36  −36  y =   x =  x = −5 g G( x) = ( x + x − 6)( x + x + 6) − 2006 = ( x + x)2 − 2042  −2042   Dạng : Đa thức có từ biến trở lên Phương pháp: Đa số biểu thức có dạng F ( x; y ) = ax2 + by + cxy + dx + ey + h ( a.b.c  0)(1) - Ta đưa dần biến vào đẳng thức ( a  2ab + b2 ) = ( a  b ) sau F ( x; y ) = mK  x; y  + nG  y  + r ( ) F ( x; y ) = mK  x; y  + nH  x  + r ( 3) 2 2 Trong G  y  , H  x biểu thức bậc biến, K  x; y  = px + qy + k biểu thức bậc hai biến x y Cụ thể: Ta biến đổi (1) để chuyển dạng (2) sau với a  0;4ac − b2  Ta có 4a.F ( x; y ) = 4a2 x2 + 4abxy + 4acy + 4adx + 4aey + 4ah = 4a x2 + b2 y + d + 4abxy + 4adx + 2bdy ( 4ac − b ) y 2 + y ( 2ae − bd ) + 4ah − d = ( 2ax + by + d ) 2ae − bd    2ae − bd  + ( 4ac − b )  y + + 4ah − d −    4ac − b    4ac − b  2 Vậy có (2) với b2 − 4ac 2ae − bd d ( 2ae − bd ) m = F ( x; y ) = 2ax + by + d ; n = − ; G( y ) = y + ; r = h − − 4a 4a 4ac − b2 4a 4a ( 4ac − b2 ) +) Nếu a  0;4ac − b2   m  0, n   ( 2) : F ( x; y )  r (*) +) Nếu a  0;4ac − b2   m  0, n   ( 2) : F ( x; y )  r (**) +) Nếu m > 0, n > ta tìm giá trị nhỏ +) Nếu m < 0, n