Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1: Cho : 4a + b = 5ab 2a b , Tính giá trị : A = HD : ab 4a − b 2 Từ : 4a + b2 = 5ab 4a − 4ab − ab + b2 = ( 4a − b )( a − b ) = TH 1: 4a − b = 4a = b ( mâu thẫn 2a > b) a2 TH 2: a − b = a = b = A = = 4a − a a −b Bài 2: Cho 3a + 3b2 = 10ab b a , Tính A = a+b HD: Từ: 3a2 + 3b2 = 10ab 3a2 − 9ab − ab + 3b2 = ( a − 3b )(3a − b ) = TH 1: a − 3b = a = 3b ( mâu thuẫn b > a > 0) a − 3a −1 = TH 2: 3a − b = 3a = b = A = a + 3a 3x − y Bài 3: Cho x2 + y = 20 xy ( y 3x 0) , Tính A = 3x + y HD: Từ: 9x2 + y = 20xy ( x − y )( 9x − y ) = 3x − x = 3x + x TH2: x = y (Mâu thuẫn 2y < 3x < 0) TH1: x = y = A = Bài 4: Cho x2 − y = xy, ( y 0, x + y 0) ,Tính A = HD: x− y x+ y Từ x2 − y = xy x2 − xy − y = ( x − y )( x + y ) = 2y − y = 2y + y TH2: x + y = ( mâu thuẫn x + y # ) x+ y Bài 5: Cho x y 2x2 + y2 = 5xy , Tính A = x− y HD: Từ: 2x2 + y = 5xy x2 − 5xy + y = ( x − y )( x − y ) = TH1: x − y = x = y = A = 2y + y =3 2y − y TH2: 2x = y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) TH1: x = y = A = x − xy Bài 6: Cho 3x − y = 3z x + y = z , Tính A = , x, y x + y2 HD: 3x − y = 3z x = 2z z − 12 z −8 = = A = = Từ gt ta có: z + z 13 2 x + y = z y = 3z GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 7: Cho xy = −1 , Tính P = HD: Ta có: P = 1 + y − xy x − xy −( x − y) 1 −x + y + = = =1 y ( y − x ) x ( x − y ) xy ( x − y ) −1( x − y ) Bài 8: Cho y − x = , Tính giá trị A = x 2x − y + y−2 x−6 HD: Ta có: y − x = = x = y − = A = y − (3 y − 6) − y + = + = 12 y−2 3y − − Bài 9: Tính biểu thức : x2 y2 z2 a, A = với x.y.z =1 mẫu khác + + y + z2 − x2 z2 + x2 − y x2 + y − z2 x y z b, P = với x.y.z =1 mẫu khác − + − xy + x + yz − y + xz + z − z x y Bài 10: Cho x, y, z khác x- y- z =0, Tính giá trị của: B = − − + x y z a+b Bài 11:Tình giá trị biểu thức: A = với b> a> 2a + 2b2 = 5ab a−b 2 x + y 10 x−y = Bài 12: Cho y x 0, , tính giá trị biểu thức: M = xy x+y 2a − − a 1 + , a , Tính giá trị P biết: 10a + 5a = Bài 13: Cho biểu thức: P = 3a − 3a + 3 2015a b c + + Bài 14: Cho abc=2015, Tính A = ab + 2015a + 2015 bc + b + 2015 ac + c + HD : a2bc b c A= + + ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + a 2bc b c ac + c + = + + = =1 ab (1 + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + ac + c + Bài 15: Cho abc=2, Tính B = a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + HD : B= a b abc a b abc + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac (1 + bc + b ) Bài 16: Cho abc=1, Tính A = a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + HD : A= a 2bc b c a 2bc b c + + = + + =1 ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + ab (1 + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính B = a b 2012c + − ab + a − 2012 bc + b + ac − 2012c − 2012 HD : GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức B= a b abc a b abc + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac (1 + bc + b ) Bài 18: Chứng minh xyz=1 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + zx HD : VT = xyz xyz xyz xyz + + = + + = = VP xyz + x yz + xy xyz + y + yz + z + zx xy ( z + xz + 1) y ( xz + + z ) + z + zx Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: 2010 x y z + + =1 xy + 2010 x + 2010 yz + y + 2010 xz + z + HD : x yz y z + + =1 xy + x yz + xyz yz + y + xyz xz + z + Bài 20 : Tính giá trị biểu thức sau biết : abc = 2016 2bc − 2016 2b 4032 − 3ac P= − + 3c − 2bc + 2016 − 2b + ab 3ac − 4032 + 2016a x + xy + y + yz + z + 2zx + Bài 21: Tính GTBT P = biết xyz = + + x + xy + xz + y + yz + yx + z + zx + zy + HD : yz ( x + xy + 1) xz ( y + yz + 1) xy ( z + 2zx + 1) P= + + yz ( x + xy + xz + 1) xz ( y + yz + xy + 1) xy ( z + zx + xy + 1) VT = = (1 + y) + y (1 + z ) + + z + z (1 + x ) + + x + x (1 + y ) (1 + y)(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y) y 1 z x + + + + + + 1+ y 1+ z 1+ x 1+ x 1+ z 1+ y 1+ x y +1 1+ z 1+ x = + + =3 y +1 1+ z x +1 16a − 40ab a 10 Bài 22: Cho = , Tính A = b 8a − 24ab HD : 100 10 50 16 b − 40 b a 10 10 = = a = b = A = = =5 100 10 10 b 3 .b − 24 .b 9 Bài 23: Cho a,b,c khác đôi a + b + c = , CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc HD : Ta có : a + b = −c ( a + b ) = −c3 a3 + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3 a3 + b3 + c3 = 3abc = Bài 24: Cho a,b,c khác đôi a3 + b3 + c3 = 3abc , CMR: a + b + c = HD : Ta có : a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a + b2 + c − ab − bc − ac ) + 3abc Vì a3 + b3 + c3 = 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = Mà a + b2 + c − ab − bc − ca = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = ( Mâu thuẫn a b c ) 2 Nên a + b + c = GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức a b c Bài 25: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc, ( a, b, c 0) , Tính P = 1 + 1 + 1 + b c a HD : Ta có : a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a + b2 + c − ab − bc − ca ) + 3abc , Mà a3 + b3 + c3 = 3abc Nên a + b b + c a + c −c −a −b = = −1 b c a b c a TH2 : a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = = a = b = c = P = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = TH1 : a + b + c = = P = Bài 26: Cho a,b,c khác đôi a+b b+c c+a a b c = = , Tính B = 1 + 1 + 1 + c a b b c a HD : a + b b + c c + a 2( a + b + c) = = = c a b a +b+c a + b b + c a + c −c −a −b = = −1 TH1 : Nếu a + b + c = = B = b c a b c a a + b b + c a + c 2c 2a 2b = =8 TH2 : a + b + c = gt = = B = b c a b c a a b c Bài 27: Cho a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a 2b2c , Tính A = 1 + 1 + 1 + b c a HD : ab = x a+b b+c c+a y + z x+ z x+ y = Đặt bc = y = x3 + y + z = 3xyz = x + y + z = = A = b c a bc ac ab ac = z −ab −bc −ac = = −1 Hoặc : x = y = z = a = b = c = A = bc ac ab a +b−c b+c −a c + a −b a b c = = Bài 28: Cho a,b,c số thỏa mãn: Tính A = 1 + 1 + 1 + c a b b c a HD : a +b −c b +c −a c + a −b a +b +c = = = Từ gt=> c a b a+b+c a+b b+c a+c = −1 TH1 : a + b + c = = A = a c a TH2 : a + b + c = gt = = a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b = A = ax + by = c Bài 29: Cho x,y hai số thỏa mãn: bx + ay = a , CMR : a3 + b3 + c3 = 3abc cx + ay = b HD : Cộng theo vế gt=> ( a + b + c ) x + ( a + b + c ) y = a + b + c = ( a + b + c )( x + y − 1) = Từ gt TH1: a + b + c = = a3 + b3 + c3 = 3abc TH2: x + y = = a = b = c a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 30: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c , Tính giá trị N = a + b2 + c2 (a + b + c) HD: GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Từ gt = a = b = c = N = 3a2 = 9a2 Bài 31: Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz , Rút gọn A = xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) HD: xyz x3 Từ gt=> TH1: x + y + z = = A = = −1 TH : x = y = z = A = = − xyz x.2 x.2 x Bài 32: Rút gọn : A = ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( c + a − 2b ) HD: 3 Đặt: a + b − 2c = x, b + c − 2a = y, c + a − 2b = z A = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = ( a + b − 2c + b + c − 2a + c + a − 2b ) ( x + y + z + ) = Bài 33: Cho a,b,c khác đôi 1 1 1 + + = , Rút gọn: A = + + a b c a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: 1 + + = ab + bc + ca = = a + 2bc = a + bc − ab − ca = ( a − b )( a − c ) a b c Tương tự: b2 + 2ac = ( b − a )(b − c ) , c2 + 2ba = ( c − a )( c − b ) Ta có: Khi đó: A = + + ( a − b )( a − c ) ( b − a )(b − c ) ( c − a )( c − b ) = c −b + a −c +b−a =0 ( a − b )(b − c )(c − a ) 1 1 1 + + = , Tính P = + + a b c a − 2bc b + 2ac c + 2ab 1 bc ac ab + + Bài 35: Cho a,b,c khác đôi + + = , Rút gọn: B = a b c a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo 26 => ab ( c − b ) + ac ( a − c ) + ab ( b − a ) bc ac ab B= + + = ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) ( a − b )(b − c )( c − a ) Phân tích tử => B a2 b2 c2 1 Bài 36: Cho a,b,c khác đôi + + = ,Rút gọn: C = + + a b c a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo 26 a2 ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c2 (b − a ) a2 b2 c2 = C = + + = ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b ) ( a − b )(b − c )( c − a ) Phân tích tử =>C 1 bc ac ab Bài 37: Cho a,b,c 0, + + = , Tính A = + + a b c a b c HD: 1 1 1 Từ gt = + + = = + + = a b c a b c abc abc abc abc 1 1 =3 Khi đó: A = + + = abc + + = abc a b c abc a b c yz xz xy 1 + + Bài 38: Cho x,y,z đôi khác + + = , Tính A = x + yz y + 2xz z + 2xy x y z Bài 34: Cho a, b, c đôi khác GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 39: Cho a+b+c=0 a,b,c 0, Rút gọn A = ab bc ac + 2 + 2 2 a + b − c b + c − a c + a − b2 HD: Từ a + b + c = = a + b = −c = a + b2 + 2ab = c = a + b2 − c = −2ab Tương tự: b2 + c2 − a2 = −2bc, c2 + a2 − b2 = −2ac , Khi đó: ab bc ac −3 A= + + = −2ab −2bc −2ac a2 b2 c2 Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn B = 2 + + a − b − c b − a − c c − a − b2 HD: Từ a + b + c = = b + c = −a = b2 + c + 2bc = a = a − b2 − c = 2bc , Tương tự: b2 − a2 − c2 = 2ac, c2 − a2 − b2 = 2ab , Khi đó: a2 b2 c2 3abc B= + + = a3 + b3 + c3 ) = = ( 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 1 + + Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn A = 2 2 b + c − a c + a − b a + b2 − c HD: Từ: a + b + c = = b + c = −a = b + c + 2bc = a = b2 + c − a = −2bc Tương tự: c2 + a2 − b2 = −2ac, a2 + b2 − c2 = −2ab , Khi đó: 1 −1 a + b + c A= + + = =0 −2bc −2ac −2ab abc a b2 c Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn A = + + bc ca ab HD: a3 b3 c3 3abc Từ a + b + c = = a3 + b3 + c3 = 3abc , đó: A = + + = =3 abc abc abc abc 1 yz xz xy Bài 43: Cho + + = 0, ( x 0, y 0, z 0) , Tính giá trị biểu thức: + + x y z x y z HD: 1 Với a = , b = , c = , Áp dụng kết câu a ta có: x y z 1 1 1 yz zx xy xyz xyz xyz + 3+ 3= = + + = + + = xyz + + = xyz =3 x y z xyz x y z x y z y z xyz x 1 Bài 44: Cho a+b+c=1, + + = , CMR: a + b2 + c = a b c HD: Từ a + b + c = a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) = , (1) 1 ab + bc + ca + + =0 = ab + bc + ca = , thay vào (1)=> ĐPCM Mà: a b c abc 1 1 1 Bài 45: Cho x,y,z 0, Thỏa mãn: x + y + z = xyz + + = , Tính A = + + x y z x y z HD: 1 1 x+ y+z 1 1 1 1 Từ: + + = + + + + + = + + + =3 x y z x y z x y z xy yz zx xyz GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Nên A + = = A = 1 1 Bài 46: Cho a,b,c + + = , a + b + c = abc , CMR: a b c HD: 1 1 1 1 1 + + = + + + 2 + + = a b c a b c a ab bc ca a b c Bài 47: Cho a + b + c = 0, x + y + z = + + = , CMR: x y z Bài 48: Cho a,b,c ba số thực khác 0, thỏa mãn : a + b + c = HD: 1 + + =2 a b2 c2 + 1 a+b+c + + 2 =4 b c abc a.x + b.y2 + c.z = 1 + + = , Tính A = a + b2 + c a b c Từ: a + b + c = a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) = , (1) 1 + + = ab + bc + ca = thay vào (1) A + 2.0 = = A = a b c 1 1 1 Bài 49: Cho + + = a + b + c = abc , Tính A = + + a b c a b c HD: 1 1 1 1 Từ: + + = + + + + + = a b c a b c ab bc ca a+b+c A + 2 = A+ = A = abc 1 1 1 Bài 50: CMR: Nếu + + = a+b+c=abc Thì ta có: + + = a b c a b c x y2 z2 a b c x y z Bài 51: Cho + + = + + = , Tính A = + + a b c a b c x y z HD: x y z x2 y z xy yz zx cxy + ayz + bzx Từ: + + = + + + + + = A + = (1) a b c a b c abc ab bc ca a b c Mà: + + = ayz + bxz + cxy = thay vào (1) ta được: A + 2.0 = A = x y z x y z a b c a b2 c Bài 52: Cho + + = 0, + + = , Tính A = + + x y z a b c x y z HD: ab bc ca abz + bcx + cay a b c a b2 c Từ: + + = + + + + + = A + = (1) x y z x y z xyz xy yz zx x y z Mà: + + = bcx + acy + abz = thay vào (1) ta được: A + 2.0 = = A = a b c a b c b2 c a Bài 53: Cho số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc = + + = + + , CMR ba số a,b,c b c a a b c phải có số bình phương số cịn lại HD: a b c b2 c a Đặt: x = , y = , z = = = , = , = = xyz = b c a a x b y c z 1 x + y + z = + + = xy + yz + zx x y z Mà: GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức Xét tích: ( x −1)( y −1)( z −1) = = x = 1, y = 1, z = Với x = = a = b2 (ĐPCM) x + y + z )( a + b2 + c ) ( x y z = = Bài 54: Cho , Rút gọn: A = a b c ( ax + by + cz ) HD: x y z = = = k = x = ak , y = bk , z = ck thay vào A a b c y + 2z − x 2z + 2x − y 2x + y − z = = Bài 55: Cho: , a,b,c thỏa mãn: a b c x y z = = 2b + 2c − a, 2c + 2a − b, 2a + 2b − c , CMR: 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c HD: ( 2z + 2x − y ) + ( 2x + y − z ) − ( y + 2z − x ) Từ gt = = 2b + 2c − a ( 2x + y − z ) + ( y + 2z − x ) − ( 2z + 2x − y ) Đặt 2c + 2a − b x y z = = = 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Bài 56: Cho yz zx xy 1 + + = 0, xyz , Tính A = + + x y z x y z a3 + b3 + c3 Bài 57: Cho a + b + c = , Tính ( a − b) + ( b − c ) + ( c − a) ( a + b + c ) ( a + b + c) + ( ab + bc + ca) Bài 58: Tính : A = ( a + b + c) − ( ab + bc + ca) 2 2 2 2 Bài 59: Cho c + 2ab − 2ac − 2bc = , Rút gọn biểu thức : Bài 60: Cho a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 1, a2 + ( a − c ) b2 + ( b − c ) 2 x y z = = , CMR: xy + yz + zx = a b c HD: x y z = = = k = xy + yz + zx = k ( ab + bc + ca ) (1) a b c Mà: a + b + c = a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) = ab + bc + ca = thay vào (1) ta được: xy + yz + xz = Đặt: Bài 61: Cho a,b,c thỏa mãn: a + b + c = 0, ab + bc + ca = , Tính A = ( a − 1) 2015 + b2014 + ( c + 1) 2013 HD: Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét: a + b + c = a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) = a + b2 + c2 = Do : a=b=c=0 thay vào A = ( −1) 2015 + 02014 + 12013 = Bài 62: Cho x,y,z ba số thỏa mãn: xyz=1 x + y + z = HD: 1 + + , Tính P = ( x19 − 1)( y − 1)( z1890 − 1) x y z Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét: ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Nên x=1 y=1 z=1 Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, z=1=>P=0 1 Bài 63: Cho xyz=1, x + y + z = + + , Tính A = ( x 2015 − 1)( y1006 − 1) ( z − 1) + 2016 x y z HD : xy + yz + zx Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có : x + y + z = = xy + yz + zx xyz Xét tích : ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = Nên x=1 y=1 z=1 Nếu x=1 P=2016, Nếu y=1 P=2016, Nếu z=1 P=2016 1 Bài 64: Cho x,y,z số thỏa mãn : xyz=1, x + y + z = + + , x y z Tính : A = ( x15 − 1)( y 27 − 1)( z 2016 − 1) HD : 1 + + = xy + yz + zx x y z Xét ( x −1)( y −1)( z −1) = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) −1 = Nên x=1 y=1 z=1 A=0 1 Bài 65: Cho x2 + y + z + + + = , Tính A = x2012 + y2013 + z 2014 x y z HD : Từ gt ta có : x + y + z = 1 1 1 1 Từ gt=> x + − + y + − + z + − = x − + y − + z − = x y z x y z 2012 2014 Vì x , y nhân giá trị x,y nhận giá trị -1 nên ta có TH : TH1 : y = = A = TH2 : y = −1 = A = 1 1 Bài 66: CMR a,b,c ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 + + = , ba số phải có a b c 2000 số 2000 HD : 1 1 a+b a +b 1 1 1 + + − + =0 Từ gt ta có : + + = =0 a b c a +b+c ab c ( a + b + c ) a b c a +b +c 2 ( a + b ) c ( a + b + c ) + ab = ( a + b )(b + c )( c + a ) = TH1 : a + b = c = 2000 TH2 : b + c = a = 2000 TH3 : c + a = b = 2000 Bài 67: Cho a,b,c số thực thỏa mãn : abc=1 a + b + c = 1 + + , a b c CMR có số a,b,c HD : 1 Từ gt ta có : a + b + c = + + = ab + bc + ca a b c Xét tích : ( a −1)( b −1)( c −1) = abc − ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) −1 = nên a=1 b=1 c=1 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 68: Cho số thực dương thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 , Tính P = a 2015 + b2015 HD : Từ : a100 = b100 = a101 + b101 a100 ( a −1) + b100 ( b −1) = (1) a101 + b101 = a102 + b102 a101 ( a − 1) + b101 (b − 1) = (2) Từ (1) (2) 2 => a101 ( a − 1) + b101 ( b − 1) − a100 ( a − 1) − b100 ( b − 1) = a100 ( a − 1) + b100 ( b − 1) = ( a − 1)2 = a = Do a, b = : P = 12015 + 12015 = b = ( b − 1) = a + b3 = Bài 69: Cho , Tính A = a 2014 + b2014 (CL) a + b = x + y = a + b Bài 70: Cho CMR: xn + yn = an + bn 2 x + y = a + b HD: Ta có: x2 + y = a2 + b2 ( x − a )( x + a ) + ( y − b )( y + b ) = (1) Mà x − a = b − y thay vào (1) ta được: ( b − y )( x + a − b − y ) = TH1 : b − y = b = y = x = a = xn + y2 = an + b2 TH2 : x + a − b − y = x − y = b − a = x = 2b x = b = y = a => xn + yn = an + bn Bài 71: Cho x+y+z=0, Rút gọn: A = HD : x2 + y + z ( y − z ) + ( z − x) + ( x − y) 2 Ta có : x + y + z = x2 + y + z + ( xy + yz + zx ) = x2 + y + z = −2 ( xy + yz + zx ) Mẫu : 2x2 + y + 2z − ( xy + yz + zx ) = x + y + z + x + y + z = ( x3 + y + z ) Khi : A = x2 + y + z = 2 3( x + y + z ) Bài 72: Cho số dương x, y, z thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = 3xyz , Tính giá trị biểu thức : T= x10 + y10 + z10 ( x + y + z) 10 Bài 73: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = 2016 , Tính giá trị biểu thức : bc ( y − z ) + ac ( z − x ) + ab ( x − y ) A= 2 ax + by2 + cz Bài 74: Cho a + b + c = ( a, b, c khác 2), CMR : c + ab a + bc b + ac bc + ac + ab + + + = 2 a + b + abc − b + c + abc − a + c + abc − ( a − )( b − )( c − ) Bài 75: Rút gọn : HD : (a A= + b2 + c ) ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) 2 ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) Ta có : Đặt : a + b2 + c = x ab + bx + ca = y : ( a + b + c ) = x + y , thay vào A ta có : 10 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức a −b c−a 1 1 = = + + , ( b − c )( b − a ) b − c a − b ( c − a )( c − b ) c − a b − c 1 1 1 + + + + + = VP Khi : VT = a −b c −a b−c a −b c −a b−c ab bc ca + + Bài 81: Cho a,b,c đôi khác nhau, Tính giá trị : A = ( b − c )( c − a ) ( c − a )( a − b ) ( a − b )(b − c ) HD : a b c = x, = y, = z : Đặt : b−c c−a a −b ( x +1)( y +1)( z +1) = ( x −1)( y −1)( z −1) xy + yz + zx = −1 a b c + + = , CMR ba số a,b,c phải có Bài 82: Cho số a,b,c đơi khác thỏa mãn : b −c c −a a −b số âm, số dương HD : 1 a b c + + Mà : + + =0 Vì a b, b c, c a = b−c c −a a −b b −c c −a a −b b c 1 a + + + + =0 b − c c − a a − b b − c c − a a − b a b c a+b a+c b+c + + + + + = 2 2 ( b − c ) ( c − a ) ( a − b ) ( b − c )( c − a ) ( a − b )( b − c ) ( c − a )( a − b ) a b c + + = 0, Nhận thấy Tổng B => 2 (b − c ) ( c − a ) ( a − b ) Tương tự : Do a,b,c khơng âm, dương, Nên phải có số âm số dương 1 + + Bài 83: Cho a,b,c số hữu tỉ đôi khác nhau, MCR : A = bình 2 ( a − b) (b − c ) (c − a ) phương số hữu tỉ HD : Ta có : 1 1 2 + + + + + + + = 2 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( a − b )( b − c ) ( b − c )( c − a ) ( c − a )( a − b ) A+ ( a − b) + (b − c ) + ( c − a ) = A + = A Vậy A bình phương số hữu tỉ : ( a − b )( b − c )( c − a ) Bài 84: Cho a+b+c=0, P = HD : a −b b −c c −a c a b + + + + Q = , CMR : P.Q=9 a −b b −c c −a c a b c c b−c c −a c b − bc + ac − a c ( a − b )( c − a − b ) Xét P = 1+ + = 1+ = 1+ a −b a −b a b a −b ab a −b ab a 2a3 b 2b3 2c 2c3 = 1+ = 1+ = 1+ , Tương tự : P P : b−c abc c−a abc ab abc ( a + b3 + c ) P.Q = + =9 abc 1+ 12 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 85: Cho a,b,c đơi khác nhau, Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 A= + + ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − b )( c − a ) HD : a2 ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c2 (b − a ) A= =1 ( a − b )( b − c )( c − a ) Bài 86: Cho số a,b,c thỏa mãn: b c, a + b c c2 = ( ac + bc − ab ) , CMR: a2 + ( a − c ) b + (b − c ) 2 = a−c b−c HD : Ta có : a + ( a − c ) = a + c − c + ( a − c ) = a + c − ( ac − bc − ab ) + ( a − c ) (a 2 + c − 2ac ) + 2b ( a − c ) + ( a − c ) = ( a − c ) + 2b ( a − c ) + ( a − c ) = ( a − c )( a − c + b ) 2 Tương tự ta có : b2 + ( b − c ) = ( b − c )( b − c + a ) Khi : a2 + ( a − c ) = a−c b−c b + (b − c ) Bài 87: Cho x,y,z đôi khác nhau, CMR: y−z z−x x− y 2 + + = + + ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x ) ( z − x )( z − y ) x − y y − z z − x HD: −( x − y) + ( x − z) y−z −1 1 = = + = + Ta có: ( x − y )( x − z ) ( x − y )( x − z ) x − z x − y x − y z − x 2 x− y z−x 1 1 = = + + ( y − z )( y − x ) y − z x − y ( z − x )( z − y ) z − x y − z Cộng theo vế ta được: Bài 88: Cho a+b+c=0, CMR: 3 2 a + b5 + c ( a + b + c ) ( a + b + c ) 5 2 = a, ( a + b + c ) = 5abc ( a + b + c ) b, HD: Ta có: a + b + c = = a3 + b3 + c3 = 3abc = 3abc ( a + b2 + c ) = ( a3 + b3 + c3 )( a + b2 + c ) Tương tự ta có: => 3abc ( a + b2 + c ) = a5 + b5 + c5 + a3 (b2 + c ) + b3 ( c + a ) + c3 ( a + b ) Mà: b + c = −a = b2 + c = ( b + c ) − 2bc = a − 2bc ,Tương tự ta có: c + a = b − 2ac a + b = c − 2ab Nên ta có : ( a3 + b3 + c3 )( a2 + b2 + c2 ) = a5 + b5 + c5 + a3 ( a2 − 2bc ) + b3 (b2 − 2ac ) + c3 (c2 − 2ab ) = ( a5 + b5 + c5 ) − 2abc ( a + b2 + c ) ( a5 + b5 + c5 ) = 5abc ( a + b2 + c ) a2 b2 c2 + 2 2= Bài 89: Cho a+b+c=0, CMR: 2 + 2 a −b −c b −a −c c −a −b HD: Từ a + b + c = = b + c = −a = b2 + c + 2bc = a = a − b2 − c = 2bc , Tương tự: b2 − a2 − c2 = 2ac, c2 − a2 − b2 = 2ab , Khi đó: a2 b2 c2 3abc + + = a3 + b3 + c3 ) = = ( 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 13 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức ( a + b ) + (b + c ) + ( c + a ) 2 2 ( a − b ) (b − c ) (c − a ) Bài 90: CMR: HD : 2 a+b b+c c+a = x, = y, = z = M = x + y + z , Ta cần CM : a −b b−c c−a ( x +1)( y +1)( z +1) = ( x −1)( y −1)( z −1) => xy + yz + zx = −1 (1) Đăt : Từ : ( x + y + z ) x + y + z −2 ( xy + yz + zx ) = −2 ( −1) = = M 2 a+b b+c c+a + + =0 a −b b−c c −a Bài 91: Cho a+b+c=0 a + b + c = 14 , Tính A = a + b4 + c HD : Dấu x + y + z = Ta có : 142 = ( a + b + c ) = a + b + c + ( a 2b + b 2c + c a ) (1) Ta lại có : a + b + c = = ( a + b + c ) = a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) = ab + bc + ca = −7 a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc ( a + b + c ) = 49 , Thay lên (1) 142 = A + 2.49 Bài 92: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 2010 , Tính giá trị biểu thức: A = a4 + b + c HD: (a + b + c) − (a Ta có: ab + bc + ca = 2 + b2 + c2 ) = − 2010 = −1005 = a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) = ( −1005) − 2abc.0 = 10052 2 2 2 ( = A = a4 + b4 + c4 = a2 + b2 + c2 Bài 93: Cho x>0 thỏa mãn: x + ) 2 ( ) − a2b2 + b2c2 + c2a2 = 20102 − 10052 = 2.10052 1 = , CMR: x + số nguyên x x HD : 1 1 = x + x + − x3 + x x x x 1 1 1 1 Ta tính : x + = x + + = = x + = , x3 + = x + x + − x + = 18 x x x x x x x 1 1 Và x + = x3 + x + − x + = 47 x x x x Bài 94: Cho x x + = a , Tính theo a giá trị của: x 1 a, x + b, x + c, x + x x x HD : 1 1 1 a, x + = a x + = a − Nên x3 + = x + x + − x + = a ( a − ) − a x x x x x x 1 b, x + = x3 + − x x 1 1 c, x7 + = x3 + x4 + − x + x x x x Ta có : x5 + 14 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 95: Cho x x + a, x + x3 = a , Tính theo a giá trị của: x2 1 b, x + c, x + x x HD : Ta có : x + 1 = x + − = x + = a + Làm giống 68 x x x Bài 96: Cho biết a, b hai số thực thỏa mãn : a + b = a + b = , Tính a + b 1 x + − x + −2 x x Bài 97: Cho x + = , x > Tính A = x 1 x+ +x + x x HD : 1 1 1 x + = x + + = = x + = x + = x + x + − x + = 2.2 − = x x x x x x x 2 3 1 = x + − = thay vào A x6 x Bài 98: Cho số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 x2 + y2 + z = a2 , Tính A = x4 + y4 + z theo a HD : x + Ta có : a = ( x + y + z ) = A + 2( x y + y z + z x ) , Mặt khác: ( x + y + z) = a + ( xy + yz + zx ) = −a a4 a4 2 2 2 xy + yz + zx = ( xy + yz + zx ) = x y + y z + z x + 2xyz ( x + y + z ) = 4 4 a a a Thay lên ta đươc : a = A + = A + x2 y + y z + z x2 = 4 Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 a2 + b2 + c2 = 2010, Tính giá trị biểu thức: A = a + b4 + c HD: ( a + b + c ) − ( a + b2 + c ) − 2010 = = −1005 Ta có: ab + bc + ca = 2 2 => a 2b2 + b2c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) = ( −1005) − 2abc.0 = 10052 => A = a + b + c = ( a + b + c ) − ( a 2b + b 2c + c a ) = 20102 − 10052 = 2020050 Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR: a + b + c = a+b+c=abc Thì ta có: HD : 1 1 a + b + c ) Bài 10: CMR: Nếu + + = ( a b c 1 + + =7 a b2 c2 Ta có : ( a + b + c ) = a + b2 + c + ( ab + bc + ca ) = a + b2 + c = −2 ( ab + bc + ca ) (a + b + c ) = ( ab + bc + ca ) 2 a + b4 + c + ( a 2b2 + b2c + c a ) = ( a 2b + b 2c + c 2a + 2abc ( a + b + c ) ) a + b4 + c = ( a 2b2 + b2c + c a ) ( a + b4 + c ) = a + b + c + 2a 2b + 2b 2c + 2c 2a 15 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức ( a + b + c ) = ( a + b + c ) => ĐPCM Bài 101: Cho số x,y thỏa mãn: xy + x + y = −1, x2 y + xy2 = −12 , Tính A = x3 + y3 HD : a = −4 xy + ( x + y ) = −1 a + b = −1 a = Từ gt ta có : = b = ab = −12 b = −4 xy ( x + y ) = −12 Khi A = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính a, x2 + y b, x3 + y3 c, x − y HD : a, x + y = ( x + y ) − xy = 81 − 28 d, x5 + y5 b, x3 + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 93 − 3.14.9 = 351 c, ( x − y) = ( x + y ) − xy d, x5 + y = ( x3 + y )( x + y ) − x y ( x + y ) ( ) Bài 103: Cho x-y=2, Tính : A = x3 − y − ( x + y ) HD : Ta có : x3 − y3 = ( x − y ) + 3xy ( x − y ) , Mà : ( x + y) = ( x − y ) + xy = A = 2.8 + 12 xy − ( + xy ) ( ) ( ) ) ( ) Bài 104: Cho a + b = , Tính giá trị biểu thức: C = a3 + b3 − a2 + b HD: ( ) ( ) = ( a − ab + b ) − ( a + b ) = ( a + b ) − 2ab − 3( a + b ) = − ( a ( Ta có: C = a3 + b3 − a2 + b2 = ( a + b ) a2 − ab + b − a2 + b 2 2 2 2 2 Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính a, x2 + y b, x3 + y3 HD : a, x + y = ( x − y ) + xy ) + b2 − 2ab = − ( a + b ) = −1 c, x − y , b, x3 + y3 = ( x + y ) ( x + y ) − xy ( x + y ) , mà : ( x + y ) = ( x − y ) + xy = 49 + 4.60 2 Bài 106: Cho a+b=1, tính A = a3 + b3 + 3ab ( a + b2 ) + 6a 2b2 ( a + b ) HD : Ta có : a3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) , a + b2 = ( a + b ) − 2ab Bài 107: Cho x2 − y2 = 1, Tính A = ( x6 − y ) − ( x + y ) HD : ( x6 − y = ( x − y )( x + y ) + x y ( x + y ) , mà : x + y = x − y Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị biểu thức C = ( a3 + b3 ) − ( a + b2 ) HD : ) + x y , thay vào ta Ta có: C = ( a3 + b3 ) − ( a + b2 ) = ( a + b ) ( a − ab + b2 ) − ( a + b2 ) ( ) ( ) ( ) = a − ab + b2 − a + b = − a + b − 2ab = − ( a + b ) = −1 16 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức a + b + c = Bài 109: Cho số a, b, c thỏa mãn: , Tính A = a + b4 + c 2 a + b + c = 2012 HD: a + b2 + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = −2 ( ab + bc + ca ) a2 + b2 + c2 20122 => a b + b c + c a = ( ab + bc + ca ) − 2abc ( a + b + c ) = = 20122 => A = a + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 ) − ( a 2b2 + b2c2 + c2 a ) = 1 Bài 110: Cho ( x + y + z ) = x + y + z x, y, z , CMR: + + = x y z xyz HD : xy + yz + zx 1 Từ : ( x + y + z ) = x2 + y + z = xy + yz + zx = = = = + + = xyz x y z 1 Khi : + + = x y z xyz 2 2 2 Bài 111: CMR: Nếu ( a + b + c ) = ( ab + bc + ca ) a=b=c HD: Từ: a + b2 + c − ab − bc − ca = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 2 Bài 112: Cho a + b2 + c = m , Tính theo m giá trị của: A = ( 2a + 2b − c ) + ( 2b + 2c − a ) + ( 2c + 2a − b ) 2 HD: Phân tích theo đẳng thức: Bài 113: Cho a − b2 = 4c , CMR: ( 5a − 3b + 8c )( 5a − 3b − 8c ) = ( 3a − 5b ) HD: VT = ( 5a − 3b ) − 64c = 25a − 30ab + 9b − (16a + 16b ) = ( 3a − 5b ) Bài 114: Tìm x,y biết: x + y + 1 + =4 x2 y HD: 1 − + y2 + − = x y 2 x y z x2 + y + z Bài 115: Tìm x,y,z biết : + + = HD: x2 x2 y y z z − + − + − = 5 x2 + x2 − yz y − zx z − xy a − bc b2 − ca c − ab = = = = Bài 116: Cho , CMR : x y z a b c HD: x2 − yz y − zx z − xy ,b = ,c = Đặt gt =k=> a = , sau tính: a2 − bc, b2 − ca, c2 − ab thay vào k k k 17 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 117: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = ax + by + cz = 2000 , CMR : 2 2000 bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y ) HD: Từ ( ax + by + cz ) = a x + b2 y + c z = −2 ( abxy + bcyz + acxz ) Xét mẫu số: bc ( y − yz + z ) + ac ( x − xz + z ) + ab ( x − xy + y ) = bcy + bcz + acx + acz + abx + aby + ( a x + b2 y + c z ) = c ( ax + by + cz ) + b ( ax + by + cz ) + a ( ax + by + cz ) = ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) VT = = 2000 a+b+c Bài 118: Cho a,b,c ba số khác thỏa mãn : ( ax + by + cz ) HD: = ( x + y + z )( a + b + c ) ay − bx cx − az bz − cy = = , CMR : c b a acy − bcx bcx − abz abz − acy = = = k = = ay − bx = cx − az = bz − cy = c2 b2 a2 2 2 2 => ( ay − bx ) = ( cx − az ) = ( bz − cy ) = ( ay − bx ) + ( cx − az ) + (bz − cy ) = Đặt gt=k=> = ( a y + b2 x + c x + a z + b2 z + c y ) − ( aybx + cxaz + bzcy ) = => ( a y + a z + a x2 ) + ( b2 x2 + b2 y + b2 z ) + ( c x + c y + c z ) − ( a x + b2 y + c z + 2axby + 2bycz + 2axcz ) = ( a + b2 + c )( x + y + z ) − ( ax + by + cz ) = =>ĐPCM Bài 119: Cho x2 − yz = a, y2 − zx = b, z − xy = c CMR : ax + by + cz = ( x + y + z )( a + b + c ) Với x, y, z HD: x3 − xyz = ax Từ gt=> y − xyz = by = ax + by + cz = x3 + y + z − 3xyz z − xyz = cz = ax + by + cz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = ( x + y + z )( a + b + c ) x2 + y + = Bài 120: Cho số x,y,z thỏa mãn : y + z + = , Tính A = x2000 + y2000 + z 2000 z2 + 2x + = HD: Cộng theo vế gt ta được: ( x + x + 1) + ( y + y + 1) + ( z + z + 1) = = x = y = z = −1 Bài 121: Cho số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính P = x + y + z HD: ( x + 1)( y + 1) = 2 Từ gt ta có: ( x + 1)( z + 1) = 16 = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 4.16.9 = ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = 24 ( y + 1)( z + 1) = 18 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 122: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y − xyz = − z , Tính giá trị biểu 27 2018 x + 3y − z thức: N = 1 − x − 3y + z HD: 3 3 −2z3 Vì x + y − xyz = = ( 6x ) + ( 3y ) + ( 2z ) = 108xyz 27 a + b + c = Áp dụng đẳng thức: a3 + b3 + c = 3abc = a = b = c 3 Đặt 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có: a + b + c = 3abc , mà x, y,z dương nên x + 3y + 2z = x = 3y = 2z thay vào ta có : x + 3y − z N = 2 − x − 3y + z 2018 2z + 2z − 2z = 2 − z − z + z 2018 =0 Bài 123: Cho a,b,c ba số thực đôi khác khác 0, thỏa mãn: a + 1 =b+ =c+ , b c a CMR: abc=1 abc=-1 HD: 1 b−c c−a a −b , T = b − c = ,c − a = Từ gt=> a − b = − = a − b = c b bc ca ab ( a − b )( b − c )( c − a ) = a − b b − c c − a a 2b 2c − = Nhân theo vế: ( a − b )( b − c )( c − a ) = ( )( )( )( ) ( abc ) Vì a,b,c khác đôi nên ( abc ) = = abc = 1, -1 Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn: by + cz = a, ax + cz = b ax + by = c , Trong a,b,c số dương 1 cho trước, CMR : , không phụ thuộc vào a,b,c + + x +1 y +1 z +1 HD: Cộng theo vế gt ta có: 2c a + b + c = ( ax + by + cz ) = a + b + c = ( c + cz ) = 2c (1 + z ) = = z +1 a + b + c 2a 2b Tương tự: = , = x +1 a + b + c y +1 a + b + c a −b b−c c−a ,y= ,z = Bài 125: Cho x = , Thì (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = (1 − x )(1 − y )(1 − z ) a+b b+c c+a HD: a −b 2a +1 = Tính x + = , Tương tự a+b a+b a+b b+c a+c b+c a+c b+a + + = −1 Bài 126: Cho a,b,c ba số thực khác nhau: CMR: a −b b −c c −a b −c c −a a −b HD: a+b 2a 2b b+c 2a 2c = x + = , x −1 = = y + = , y −1 = Đặt: x = , y= a −b a −b a −b b−c b−c b−c c+a 2c 2a z= = z + = , z −1 = , Khi đó: ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = ( x −1)( y −1)( z −1) c−a c−a c−a Khi đó: xy + yz + zx = −1 19 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 127: Cho x = by + cz y = ax + by , z = ax + by x+y+z khác 1 + + Tính giá trị: A = 1+ a 1+ b 1+ c HD: Cộng theo vế gt ta được: x + y + z = ( ax + by + cz ) = ( ax + x ) = 2x ( a + 1) = 2x = a +1 x + y + z 2y 2z = , = b +1 x + y + z c +1 x + y + z 2a = by + cz 1 Bài 128: Cho 2b = ax + cz a + b + c , Rút gọn: M = + + x+2 y+2 z+2 2c = ax + by HD: Cộng theo vế gt tacó 2a + 2b + 2c = 2ax + 2by + 2cz a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a ( x + 2) Tương tự: = b a c = = , Tương tự: , = x+2 a+b+c y +2 a +b+c z + a +b + c Bài 129: Cho HD: a + b2 − c b2 + c − a c + a − b2 + + = , CMR ba số a,b,c có số tổng hai số 2ab 2bc 2ac Từ gt ta có: ( a + b2 − c ) c + ( b2 + c − a ) a + ( c + a − b2 ) b = 2abc (a + b2 − c + 2ab ) c + ( b2 + c − a − 2bc ) a + ( c + a − b2 − 2ac ) b = ( a + b + c )( a + b − c ) c + (b − c + a )(b − c − a ) a + (c − a + b )(c − a − b ) b = ( a + b − c )( a + c − b)(b + c − a ) = c = a + b a + c = b hoặc: b + c = a 2 bc ( y − z ) + ca ( z − x ) + ab ( x − y ) Bài 130: Cho ax + by + cz = , Rút gọn A = ax + by + cz HD: Từ ( ax + by + cz ) = a x + b2 y + c z = −2 ( abxy + bcyz + acxz ) Xét mẫu số: bc ( y − yz + z ) + ac ( x − xz + z ) + ab ( x − xy + y ) = bcy + bcz + acx + acz + abx + aby + ( a x + b2 y + c z ) = c ( ax + by + cz ) + b ( ax + by + cz ) + a ( ax + by + cz ) = ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) Khi đó: A = ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) ax + by + cz Bài 131: Cho x + y + z = , Rút gọn: B = HD: Ta có: ( x + y + z) = a+b+c x2 + y + z ( y − z ) + ( z − x) + ( x − y) 2 = x + y + z + ( xy + yz + zx ) = x + y + z = −2 ( xy + yz + zx ) Khi đó: Mẫu = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) + x + y + z = ( x + y + z ) Vậy B = 20 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 132: Cho số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c x4 + y + z x4 y z = + + , Tính a + b4 + c a b4 c P = x2 + y9 + z1945 + 2017 HD: x4 x4 y4 y4 z4 z4 − + − + + Từ gt=> =0 4 4 b4 a + b4 + c c a +b +c a a +b +c nên x = y = z = = P = 2017 1 1 Bài 133: Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn: + + = , CMR: a b c a +b+c 1 1 + 2015 + 2015 = 2015 2015 2015 a b c a + b + c 2015 HD: 1 b+c b+c 1 1 + + = + =0 Từ gt ta có: − a a+b+c b c a ( a + b + c ) bc TH1: b + c = = b = −c = a 2015 + b 2015 + −1 = 2015 2015 2015 b a + b − b 2015 1 + = bc + a + ab + ac = ( a + b )( a + c ) = => giống TH1: a + ab + ac bc a3 b3 c3 Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn: + + = 1006 , a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a a3 + b3 b3 + c3 c3 + a Tính giá trị biểu thức: M= + + a + ab + b2 b2 + bc + c3 c2 + ca + a HD : M = 2(a + b + c) TH2: Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn: x y, xyz 0, x ( y − xz ) (1 − yz ) = y ( x − yz ) (1 − xz ) , CMR : HD: 1 + + = x+ y+ z x y z Từ GT ta có: ( x − yz ) y (1 − xz ) = x (1 − yz ) ( y − xz ) = x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z = xy2 − x2 z − x2 yz = x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z − xy + x2 z + xy3 z − x2 yz = = xy ( x − y ) − xyz ( yz + y − xz − x ) + z ( x − y ) = = ( x − y ) xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz = Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) 1 Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : a + b + c = , a + b + c + ab + bc + ca = , Tính giá trị a b c + + biểu thức: P = b+c c+a a+b (b Bài 137: Cho x = + c2 − a2 ) 2bc ( a − (b − c ) ) , Tính giá trị biểu thức M = x + y + xy ;y= ((b + c ) − a ) 2 2 21 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 138: Cho biết x2 x = − , Tính độ dài biểu thức : x2 + x + x4 + x2 + HD : x −2 x2 + x + −3 −3 −5 Từ gt ta có : = = = = x + + = = x + = x + x +1 x x x 2 x x + x +1 1 25 21 Nên Vậy = x2 + + = x + − = −1 = = 2 x x x 4 x + x + 21 (Hoặc ta giải phương trình đầu x1 = 2, x2 = thay vào) 2 x − yz y − xz Bài 139: CMR: với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, xy+xz+yz=xyz(x+y+z) = x (1 − yz ) y (1 − xz ) HD: Từ GT ta có: ( x − yz ) y (1 − xz ) = x (1 − yz ) ( y − xz ) = x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z = xy2 − x2 z − x2 yz = x2 y − x3 yz − y2 z + xy2 z − xy + x2 z + xy3 z − x2 yz = = xy ( x − y ) − xyz ( yz + y − xz − x ) + z ( x − y ) = = ( x − y ) xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz = Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) Bài 140: Cho x>y>0, so sánh A = HD: A= ( x − y )( x + y ) , Mà ( x + y) x− y x2 − y B = x + y2 x+ y x + y + 2xy x + y , x − y nên A = 2 2 2 x2 − y x2 − y xy + x + y x + y Vậy A ( a + b − 2) ( a −1) − ( a −1)( b −1) + ( b − 1) + 2 = , Vì ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + 1 2 = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + nên a+b - 2=0=> a+b=2 2 Bài 144: Cho số x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x − 2y + = ( ) Tính giá trị biểu thức: M = a3 + b3 + 3ab a2 + b + 6a2b ( a + b ) z x y Bài 145: Cho x,y,z khác x-y-z=0, Tính B = 1 − 1 − 1 − x y z a +b−c b+c −a c + a −b − − =0, Bài 146: Cho số a,b,c khác thỏa mãn: ab bc ca CMR ba số a,b,c có số tổng hai số 1 1 1 Bài 147: Cho + + = k a+b+c=abc, Tính k để + + = k a b c a b c x y 2z b, Q = với xyz=2 mẫu thức khác + + xy + x + yz + y + xz + z + Bài 148: Tính tổng: x y z x2 y2 z2 a, A = , P= với xyz=1 − + + + 2 2 2 2 y +z −x z +x −y x + y −z − xy + x + yz − y + xz + z − mẫu thức Bài 149: 1 1 a, CMR: n4 + = ( n − 1) n + n ( n + 1) + 2 2 + + + 13 + b, Áp dụng câu a, thu gọn: A = + + + 14 + Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đơi khác : a3 b3 c3 + + = a+b+c ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b ) 4 4 Bài 151: Chứng minh : Nếu a + b + c + d = 4abcd a,b,c,d số dương a= b= c= d a b c + + = , CMR : Bài 152: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn : b−c c−a a−b a b c + + =0 2 b − c c − a a − b ( ) ( ) ( ) Bài 153: Chứng minh : x1 + 1 1 = x2 + = x3 + = = xn + , x1 = x2 = x3 = = xn x2 x3 x4 x1 : x1.x2 x3 xn = Bài 154: Chứng minh a, b, c sớ thực thỏa mãn: 1 + + = a + b + c = abc , a b c 1 + + =2 a2 b c 23 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 155: Cho a + b + c = p , CMR: 2bc + b2 + c2 − a2 = p ( p − a ) Bài 156: Cho x + y = a, x + y2 = b, x + y3 = c , CMR: a − 3ab + 2c = 4 Bài 157: Cho a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = , Tính giá trị của: M = a + b + c Bài 158: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: ( a + b + c ) = a2 + b + c , CMR: a2 b2 c2 + + =1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 1 b+c c+a a+b + + Bài 159: Cho + + = , Tính giá trị của: M = a b c a b c 2 a b c a b c + + = , CMR: Bài 160: Cho + + =0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b a.x + b.y2 + c.z Bài 161: Cho a.x + b.y + c.z = , Rút gọn: A = 2 bc ( y − z ) + ac ( x − z ) + ab ( x − y ) Bài 162: Chứng minh nếu: x + y + z = −3 thì: ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = ( x + 1)( y + 1)( z + 1) 3 a b c Bài 163: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = , CMR: a.x + by2 + cz2 = x y z a b c a b c + + = , CMR: Bài 164: Cho + + =0 2 b−c c−a a−b b − c c − a a − b ( ) ( ) ( ) x x2 = Bài 165: Cho , Hãy tính giá trị biểu thức: x + x +1 x + x2 + HD: −3 −5 x −2 x + x + −3 = x + = Từ: , hay x + + = = = = x x x x + x +1 x4 + x2 + 1 1 21 x2 = = x + + = x + − = , = 2 x x x x + x + 21 a − 3a + 5a − 2011 = Bài 166: Cho số a, b, c thỏa mãn hệ thức sau: , Tính a+b b − 3b + 5b + 2005 = HD: Từ điều kiện ta có: ( a − 1) + ( a − 1) − 2008 = Và ( b − 1) + ( b − 1) + 2008 = (1) (2) Cộng theo vế ta : ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − 2) = = ( a + b − 2) ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + (b − 1) + ( a + b − ) = 2 2 2 = ( a + b − ) ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + 2 = 2 2 1 Vì ( a − 1) − ( a − 1)( b − 1) + ( b − 1) + = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + 2 Nên a + b − = = a + b = 24 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 167: Chứng minh nếu: xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) HD: ( x − yz y − xz = , ( x y ) , xyz 0, yz 1, xz , thì: x (1 − yz ) y (1 − xz ) ) ( Từ GT = x − yz y (1 − xz ) = x (1 − yz ) y − xz ) = x2 y − x3yz − y2 z + xy2z2 = xy2 − x z − xy3z + x yz = x2 y − x3yz − y2z + xy2z2 − xy2 + x2z + xy3z − x yz2 = ( ) ( ) xy ( x − y ) + xyz yz + y − xz − x + z x − y = = xy ( x − y ) − xyz ( x − y )( x + y + z ) + z ( x − y )( x + y ) = = ( x − y ) xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz = Do x − y = xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) Bài 168: Cho x ( m + n ) = y ( n + p ) = z ( p + m ) , x, y, z số khác khác 0, CMR : m−n n− p p−m = = x ( y − z) y ( z − x ) z ( x − y) HD : Vì xyz x ( m + n ) = y ( n + p ) = z ( p + m ) x ( m + n) y (n + p) z ( p + m) m+n n+ p p+m = = xyz xyz xyz yz xz xy ( p + m) − ( n + p) = ( m + n) − ( p + m) = ( n + p ) − ( m + n) = m − n = n = p = p − m = xy − xz yz − xy xz − yz x ( y − z) y ( z − x ) z ( x − y) = = Bài 169: Rút gọn: A = HD: = , hay xy + x + yz + y + zx + 2z + + + xy + x + y + yz + y + z + zx + z + x + ( xy + x + y + 1) + ( x − y ) = + x − y = + x − y xy + x + = xy + x + y + xy + x + y + x +1 y +1 ( x + 1)( y + 1) Ta có: zx + 2z + z x yz + y + y z = 1+ − , = 1+ − z +1 x +1 yz + y + z + y + z + zx + z + x + Cộng theo vế ta A=3 ( Bài 170: Chứng minh rằng: x + y2 + z ) ( ) = x + y4 + z , biết rằng: x+y+z=0 HD: Ta có: x + y + z = = x = − ( y + z ) = x = − ( y + z ) ( = x = y2 + z2 + xz = x − y2 − z2 = xz = x − y2 − z2 ) = (2xz) 2 = x + y4 + z − 2x y2 − 2x 2z2 + 2y2z2 = 4x 2z2 = x + y4 + z4 = 2x y2 + 2x2z2 + 2y2z2 = x + y4 + z4 + x + y4 + z = x + y4 + z + 2x y2 + 2x 2z2 + 2y2z2 ( ) ( = x + y4 + z = x + y2 + z ) 25 GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức BGH DUYỆT TỔ CHUN MƠN DUYỆT GIÁO VIÊN 26 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức ... =0, Tính giá trị của: B = − − + x y z a+b Bài 11:Tình giá trị biểu thức: A = với b> a> 2a + 2b2 = 5ab a−b 2 x + y 10 x−y = Bài 12: Cho y x 0, , tính giá trị biểu thức: ... thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = 3xyz , Tính giá trị biểu thức : T= x10 + y10 + z10 ( x + y + z) 10 Bài 73: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = 2016 , Tính giá trị biểu thức : bc ( y − z ) + ac ( z − x... c = , a + b + c + ab + bc + ca = , Tính giá trị a b c + + biểu thức: P = b+c c+a a+b (b Bài 137: Cho x = + c2 − a2 ) 2bc ( a − (b − c ) ) , Tính giá trị biểu thức M = x + y + xy ;y= ((b + c )
Ngày đăng: 09/02/2022, 22:18
Xem thêm:
