Trên con đường học vấn cũng vậy, tự học là cách học luôn được đánh giá cao và nguồn tài liệu phong phú là yếu tố cần thiết để tự học. Chính vì thế những chuyên đề này ra đời với mục đích giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tiếp cận tri thức và chinh phục ước mơ của mình. Trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày các định lý về mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, đưa ra các khái niệm mới về tỷ số lượng giác. Ngoài ra, chuyên đề còn giới thiệu thêm về các tính chất khác trong tam giác bất kỳ thông qua những ví dụ nhỏ. Tuy nhiên, do hạn chế về mặt thời gian và chuyên đề này hiếm khi xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi nên nguồn bài tập có phần hạn chế cũng như không tránh khỏi những sai sót, mong các bạn thông cảm. Mọi đóng
Trang 1The ART of MATHEMATICS
TRAO ĐỔI TOÁN HỌC
Trang 2BÀI KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
1 Problem (7 điểm).
Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau và khác 0 thoả mãn
1
a +
1
b +
1
c =0.
Chứng minh rằng
a2+bc
a2+2bc +
b2+ca
b2+2ca +
c2+ab
c2+2ab =2.
Đề xuất bởi Bùi Cảm
2 Problem (7điểm).
Cho a, b, c là các số thực khác 0 và không đồng thời bằng nhau sao cho
a2
bc +
b2
ca +
c2
ab =3.
Tính giá trị biểu thức
H= ab2+1
a2+b2−c2 + bc2+1
b2+c2−a2 + ca2+1
c2+a2−b2
Đề xuất bởi Phạm Hữu Hiệp
3 Problem (7điểm).
Cho x, y là các số thực thoả mãn x+y6=0 và
x2+y2
x+y =
5
3,
x4+y4
x3+y3 =17
9 . Tính
U= x6+y6
x5+y5
Đề xuất bởi Nguyễn Thế Út
4 Problem (7điểm).
Cho x, y là các số thực thoả mãn
x3+16x=6x2+9, 9y2+32=y3+31y
Tính giá trị của biểu thức sau
Q=x−y
Đề xuất bởi Đặng Đức Quý
Trang 35 Problem (7điểm).
Cho a, b, c, x, y, z thoả mãn
a2+ab+b2=z
b2+bc+c2=x
c2+ca+a2=y
Tính C= (ab+bc+ca)2theo x, y, z
Đề xuất bởi Lê Minh Cường
6 Problem (7điểm).
Cho a, b, c là các số thực khác 0 thoả(a+b)(b+c)(c+a) 6=0 và
(a+b+c)
Ç
1
a +
1
b +
1 c
å
=9
Tính giá trị biểu thức sau
S= a−b
a+b.
b−c
b+c +
b−c
b+c.
c−a
c+a +
c−a
c+a.
a−b
a+b
Đề xuất bởi Phạm Quốc Sang
Trang 47 Lời giải.
Bài tập 1 Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau và khác 0 thoả mãn
1
a +
1
b +
1
c =0.
Chứng minh rằng
a2+bc
a2+2bc +
b2+ca
b2+2ca +
c2+ab
c2+2ab =2.
Đề xuất bởi Bùi Cảm
Ta có
1
a +
1
b +
1
c =0⇒ab+bc+ca=0⇔bc= −ab−ca.
Do đó,
a2+2bc=a2+bc−ab−ca= (a−b)(a−c) Tương tự,
b2+2ca= (b−a)(b−c); c2+2ab= (c−a)(c−b) Suy ra,
a2+bc
a2+2bc +
b2+ca
b2+2ca +
c2+ab
c2+2ab =
a2+bc (a−b)(a−c) +
b2+ca (b−a)(b−c) +
c2+ab (c−a)(c−b)
=(a2+bc)(c−b) + (b2+ca)(a−c) + (c2+ab)(b−a)
(a−b)(b−c)(c−a)
=2(a−b)(b−c)(c−a) (a−b)(b−c)(c−a) =2
Nhận xét.Đây là bài toán khá cơ bản Bài toán có khá nhiều bạn làm được Ngoài ra, chúng tôi
còn nhận được một lời giải khác từ bạn Nguyễn Trần Anh Thư ( Trường THCS Nguyễn Thượng
Hiền, Trảng Bom, Đồng Nai) như sau:
Bổ đề.Nếu a, b, c thoả a+b+c=0 thì a3+b3+c3=3abc
Chứng minh bổ đề.Với a+b+c=0 thì ta có
a3+b3+c3= (a+b)3−3ab(a+b) +c3= (−c)3−3ab(−c) +c3=3abc
(bổ đề được chứng minh)
Quay trở lại bài toán, theo giả thiết ta có
1
a +
1
b +
1
c =0⇔ab+bc+ca=0.
Áp dụng bổ đề trên với ab+bc+ca=0 ta được
a3b3+b3c3+c3a3=3a2b2c2 (1) Quy đồng vế trái của biểu thức cần chưng minh về cùng mẫu và thu gọn ta được
a2+bc
a2+2bc +
b2+ca
b2+2ca +
c2+ab
c2+2ab =
15a2b2c2+5Äa3b3+b3c3+c3a3ä+8abcÄa3+b3+c2ä
(a2+2bc) (b2+2ca) (c2+2ab)
Trang 5Mẫu thức vừa có ở trên ta nhân với 2 và biến đổi, ta được
2Äa2+2bcä Äb2+2caä Äc2+abä=18a2b2c2+4Äa3b3+b3c3+c3a3ä+8abcÄa3+b3+c3ä (2) Thế(1)vào(2)thì ta được
2Äa2+2bcä Äb2+2caä Äc2+abä=15a2b2c2+5Äa3b3+b3c3+c3a3ä+8abcÄa3+b3+c3ä
Do đó
a2+bc
a2+2bc +
b2+ca
b2+2ca +
c2+ab
c2+2ab =2.
Đó chính là điều ta phải chứng minh
Bài tập 2 Cho a, b, c là các số thực khác 0 và không đồng thời bằng nhau sao cho
a2
bc +
b2
ca +
c2
ab =3.
Tính giá trị biểu thức
H= ab2+1
a2+b2−c2 + bc2+1
b2+c2−a2 + ca2+1
c2+a2−b2
Đề xuất bởi Phạm Hữu Hiệp
Từ giả thiết ta có
a3+b3+c3=3abc⇔a3+b3+c3−3abc=0⇔ (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) =0
⇔a+b+c=0
Thật vậy, nếu
a2+b2+c2−ab−bc−ca=0⇔ (a−b)2+ (b−c)2+ (c−a)2=0⇔a=b=c(mâu thuẫn giải thiết) Khi đó
H= ab2+1
a2+b2− (a+b)2 + bc2+1
b2+c2− (b+c)2 + ca2
c2+a2− (a+c)2 = −ab2+1
2ab −
bc2+1 2bc −
ca2+1 2ca
= −1
2 ·
ab2c+c+abc2+a+a2bc+b
1
2·
abc(a+b+c) + (a+b+c)
abc
=0
Nhận xét.Bài toán có ý tưởng khá tương tự bài 1, ý tưởng chính là đưa giả thiết về a+b+c=0 sau đó thế vào biểu thức cần tính
Bài tập 3 Cho x, y là các số thực thoả mãn x+y6=0 và
x2+y2
x+y =
5
3,
x4+y4
x3+y3 =17
9 .
Tính
U= x6+y6
x5+y5
Đề xuất bởi Nguyễn Thế Út
Trang 6Nhận xét rằng xy6=0 vì nếu x=0 (hoặc y=0) thì từ 2 điều kiện ban đầu ta suy ra điều vô lí Đặt
A= 1
x +
1
y =
x+y
xy ;
B= x
y+
y
x =
x2+y2
xy . Do
x2+y2
x+y =
5 3 nên
B
A =
5
3 ⇒B=
5
3A.
Ta lại có,
x4+y4
x3+y3 = 17
9 ⇔
x4+y4
x2y2
x3+y3
x2y2
= 17
9 .
Mà
x4+y4
x2y2 = x2
y2 + y2
x2 =B2−2, và
x3+y3
x2y2 = (x+y)Äx2+y2ä−xy(x+y)
x2y2 =AB−
Ç
1
x +
1 y
å
=AB−A
Nên
x4+y4
x3+y3 =17
9 ⇔
B2−2
AB−A =
17
9 . Kết hợp B= 5
3A, ta suy ra 25
9 A
2−2 5
3A
2−A
=17
9 ⇔10A
2−51A+54=0⇔ (2A−3) (15A−18) =0
Suy ra,
A=3
2 ⇒B=
5
3A=
5 2
A=18
5 ⇒B=
5
3A=6.
Mặt khác ta có,
x6+y6
x5+y5 =
x6+y6
x3y3
x5+y5
x3y3
Trang 7x6+y6
x3y3 = x3
y3 +y3
x3 =
Ç
x
y +
y x
å 3
−3
Ç
x
y +
y x
å
=B3−3B,
x5+y5
x3y3 =
Ä
x2+y2ä Äx3+y3ä−x2y2(x+y)
x3y3 = x2+y2
xy .
x3+y3
x2y2 −x+y
xy =B(AB−A) −A.
Do đó,
U= x6+y6
x5+y5 = B3−3B
B(AB−A) −A.
• TH1 A= 3
2; B=
5
2 khi đó
U= 65
33.
• TH2 A= 18
5 ; B=6 thì
U= 55
29.
Nhận xét.Đây là bài toán khá nặng đối với học sinh lớp 8 lên 9 Số lượng học sinh giải được câu này khá khiêm tốn Ngoài cách giải trên, có một số học sinh đặt ẩn đưa về tổng và tích
Bài tập 4 Cho x, y là các số thực thoả mãn
x3+16x=6x2+9, 9y2+32=y3+31y
Tính giá trị của biểu thức sau
Q=x−y
Đề xuất bởi Đặng Đức Quý
Ta có
x3+16x=6x2+9⇔ (x3−6x2+12x−8) +4(x−2) = −7⇔ (x−2)3+4(x−2) = −7 (1) 9y2+32=y3+31y⇔ (27−27y+9y2−y3) +4(3−y) =7⇔ (3−y)3+4(3−y) =7 (2) Đặt a=x−2, b=3−y, từ(1),(2)ta suy ra
a3+4a= −7, b3+4b=7
Do đó,
(a3+b3) +4(a+b) =0
⇔ (a+b)(a2−ab+b2+4) =0
⇔
ñ
a+b=0
a2−ab+b2+4=0
• a+b=0⇒x−2+3−y=0⇒x−y= −1⇒Q= −1
• a2−ab+b2+4=0⇔
Ç
a−b 2
å 2 +3b2
4 +4=0, (vô lí)
Trang 8Kết luận: Vậy giá trị của biểu thức Q bằng−1.
Nhận xét.Bài toán thiên về kỹ năng biến đổi, phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập 5 Cho a, b, c, x, y, z thoả mãn
a2+ab+b2=z
b2+bc+c2=x
c2+ca+a2=y
Tính C= (ab+bc+ca)2theo x, y, z.
Đề xuất bởi Lê Minh Cường
Đặt S=a+b+c, suy ra
x−y= (b−a)S⇒x+a.S=y+b.S Tương tự ta suy ra được
x+a.S=y+b.S=z+c.S=a2+b2+c2+ab+bc+ca
Lấy 3 phương trình ban đầu cộng lại vế theo vế ta được
x+y+z=2Äa2+b2+c2ä+ab+bc+ca=S2+1
2(b−c)
2+1
2(c−a)
2+1
2(a−b)
2 Suy ra
4S2(x+y+z) =4S4+2hS2(b−c)2+S2(c−a)2+S2(a−b)2i Hay
4S2(x+y+z) =4S4+2(x−y)2+2(y−z)2+2(z−x)2 Suy ra
î
2S2− (x+y+z)ó2= (x+y+z)2−2(x−y)2−2(y−z)2−2(z−x)2
=6(xy+yz+zx) −3Äx2+y2+z2ä Lại có
2S2− (x+y+z) =S2−1
2(b−c)
2−1
2(c−a)
2−1
2(a−b)
2
= (a+b+c)2−1
2(b−c)
2−1
2(c−a)
2−1
2(a−b)
2
=3(ab+bc+ca) Vậy
9(ab+bc+ca)2=6(xy+yz+zx) −3Äx2+y2+z2ä Suy ra
C= (ab+bc+ca)2= 2(xy+yz+zx)
Ä
x2+y2+z2ä
Nhận xét.Đây được xem là câu khó nhất trong đề thi Số học sinh giải bài toán này khá ít, đa số những bạn giải được câu này đều đạt 42/42 điểm Ngoài lời giải trên, chúng tôi còn nhận một số
Trang 9lời giải hay từ bạn Mai Vu, Mai Trang, Nguyễn Bá Hoàng Anh,
Ta có:
xz= (a2+ab+b2)(b2+bc+c2) =Xa2b2+ (a+b+c)(a3+abc) Suy ra,
xy+yz+xz=3Xa2b2+ (a+b+c)ÄXa3+3abcä Hay
2(xy+yz+xz) =6X
a2b2+ (a+b+c)(2X
a3+6abc)
Ta lại có,
x2+y2+z2=îX Äa2+ab+b2äó2=3Xa2b2+ (a+b+c)Ä2Xa3ä Suy ra,
2(xy+yz+xz) −x2−y2−z2=3X
a2b2+ (a+b+c)6abc=3(ab+bc+ca)2 Vậy
(ab+bc+ca)2=2(xy+yz+xz) − (x2+y2+z2)
3
Bài tập 6 Cho a, b, c là các số thực khác 0 thoả(a+b)(b+c)(c+a) 6=0 và
(a+b+c)
Ç
1
a +
1
b +
1 c
å
=9
Tính giá trị biểu thức sau
S= a−b
a+b.
b−c
b+c +
b−c
b+c.
c−a
c+a +
c−a
c+a.
a−b
a+b
Đề xuất bởi Phạm Quốc Sang
Từ giả thiết ta suy ra,
ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) =6abc
Ta lại có
S= a−b
a+b.
b−c
b+c +
b−c
b+c.
c−a
c+a +
c−a
c+a.
a−b
a+b
= (a−b) (b−c) (a+c) + (b−c) (c−a) (a+b) + (c−a) (a−b) (b+c)
Mặt khắc,
(a−b) (b−c) (a+c) =Äab−ac−b2+bcä(a+c)
=a2b−ab2−a2c−ac2−b2c+bc2+2abc
Tương tự, ta suy ra
(a−b) (b−c) (a+c) + (b−c) (c−a) (a+b) + (c−a) (a−b) (b+c)
=6abc−ab(a+b) −bc(b+c) −ca(c+a) =0
Do đó,
S=0
Nhận xét.Bài toán được xây dựng trên ý tưởng khá đơn giản nhưng đòi hỏi kỹ năng biến đổi đại
số Tuy nhiên, khá nhiều bạn đi theo hướng chứng minh vế trái của giả thiết lớn hơn hoặc bằng
9 Đây là một hướng giải sai vì điều kiện của a, b, c là các số thực chứ chưa chắc là 3 số dương
Trang 118 Kết quả chi tiết.
Trang 139 Mô tả về nhóm TAoM - The art of Mathematics.
9.1 TAoM là nhóm được thành lập nhằm mục đích
• Tạo điều kiện để mọi người chia sẻ các bài toán do chính mình sáng tác với mọi người
• Tạo môi trường học tập trao đổi chuyên môn giữa các học sinh, giáo viên chuyên toán trên
cả nước
• Nhóm luôn đồng hành cùng các cuộc thi học sinh giỏi như kì thi vào THPT chuyên, HSG 9 cấp tỉnh, kì thi Olympic toán 30/4, Olympic Duyên hải ĐBBB, kì thi chọn đội tuyển VMO
và kì thi VMO
9.2 Hiện nhóm TAoM bao gồm 3 quản trị viên chính
• Phạm Quốc Sang
• Lê Minh Cường
• Phạm Hữu Hiệp
Ngoài ra, nhóm Toán Chuyên 2k4 có một số thầy HLV hỗ trợ như:
• Nguyễn Thế Út
• Đặng Đức Quý
• Bùi Cảm
9.3 Nhóm TAoM đến nay có 1 trang và 2 nhóm chính
Bao gồm:
• Trang The art of Mathematics - đây là nơi lưu trữ các tài liệu mà nhóm đã biên soạn cũng
như các sản phẩm của nhóm
• Nhóm The art of Mathematics - Trao đổi toán học - đây là nhóm mở cho cộng đồng
chuyên toán trên cả nước Là nơi giao lưu trao đổi các bài toán do chính mình sáng tác và các bài toán hay từ các kì thi HSG các cấp
• Nhóm Toán Chuyên 2k4 là nhóm mà chúng tôi thực hiện dạy kháo tự học TAoM hoàn
toàn miễn phí cho các bạn có dự định thi HSG tỉnh 9 hay luyện thi vào 10 chuyên toán Chúng tôi hy vọng rằng, khóa học sẽ giúp đỡ phần nào đối với các bạn vùng sâu - vùng xa, các bạn có hoàn cảnh khó khăn được tiếp cận những kiến thức mới nhất từ các kì thi HSG
ở Việt Nam cũng như thế giới
10 Lưu ý.
Học sinh tham gia nhóm bằng cách yêu cầu tham gia nhóm:
Toán chuyên 2k4
Học sinh cần đọc kỹ nội quy nhóm
Trang 1411 Lời ngỏ.
Hiện nhóm TAoM cần 4−5 "huấn luyện viên"cho khoá tự học TAoM.
Yêu cầu:
• Có say mê toán chuyên và muốn trao đổi chuyên môn
• Có khả năng nhất định về toán chuyên
Ưu tiên:
• Cựu học sinh chuyên toán
• Có khả năng soạn thảo latex.
Lợi ích:
• Được tặng cuốn sách "Vẻ đẹp toán học qua các kì thi học sinh giỏi toán cấp THCS"(cuốn
sách sẽ ra mắt dự kiến tháng 10-12/2018)
• Nhận nguồn tài liệu chất lượng từ nhóm
• Và một số điều khoản khác, sẽ trao đổi qua tin nhắn