Kh£o s¡t t1⁄2nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn. a. an = 2n 2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n − 1 n + 2 (b) an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 1.2 Giîi h¤n d¢y sè T1⁄2nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau: 1. an = 3n 2 + 2n + 1 n2 − 4n + 2Kh£o s¡t t1⁄2nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn. a. an = 2n 2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n − 1 n + 2 (b) an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 1.2 Giîi h¤n d¢y sè T1⁄2nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau: 1. an = 3n 2 + 2n + 1 n2 − 4n + 2Kh£o s¡t t1⁄2nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn. a. an = 2n 2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n − 1 n + 2 (b) an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 1.2 Giîi h¤n d¢y sè T1⁄2nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau: 1. an = 3n 2 + 2n + 1 n2 − 4n + 2Kh£o s¡t t1⁄2nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn. a. an = 2n 2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n − 1 n + 2 (b) an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 1.2 Giîi h¤n d¢y sè T1⁄2nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau: 1. an = 3n 2 + 2n + 1 n2 − 4n + 2
P N - GT1 - K201 CH×ÌNG 1: DY SÈ THĩC 1.1 Tẵnh chĐt dÂy số KhÊo sĂt ìn i»u: a t«ng b t«ng c gi£m Chùng minh bà ch°n a ≤ an < 1; ∀n ≥ b d¢y gi£m m : < an 12 , n 1.2 Giợi hÔn dÂy sè: a b 1.3 D¢y 1.3.1 a2k = 2k 3k + 2k + k2 + = ; a = ; a3k+2 = ; a 2k−1 k 2 4k k (2k − 1) (3k + 2)2 1.4 Do lim an = lim a2k = lim nản cĂc dÂy cụng cõ giợi hÔn l (1)k k2 = 0; lim a2k+1 = lim = => lim an = k−2 k +1 2.1 a CH×ÌNG 2: HM SÈ P (8) = 15, 9303 => D¥n sè cõa Mÿ ð ë tuêi 73 bà mc b»nh l 16 b D¥n sè cõa Mÿ ð ë ti 90 t÷ìng ùng x=25 ⇒ P (25) = 70, 0923 % => d¥n sè cõa Mÿ ð ë tuêi 90 bà mc b»nh l 70% Têng chi ph½: CT (x) = C(x) + 10.000 R(x) = x (−0, 0005x + 20) P (x) = R(x) − CT (x) = 0, 0004x2 + 10x 10000 Lủi nhuên Ôt 10000 USD khi: P (x) = 10000 ↔ x = 2193 hay x = 22808 Theo ỗ th thẳ sau 2h lữủng nicotine giÊm cỏn nỷa Náu ỗ th cưt trửc honh => N=0 cõ nghắa l lữủng nicotine cỡ th  ữủc o thÊi hát f (t) = at + b a f (t) = 0.4t + 15 b f (t) = −0.4t + 15 a t = => h(t) = 130 => Vo nôm 1990 mực so cao nhĐt ngữới vổ ch Ôt ữủc l 130 inches b a=2 cõ nghắa l mội nôm, mực so cao nhĐt m vên ởng viản Ôt ữủc tông thảm inches a Tứ giÊ thiát cừa à bi ta xƠy dỹng ữủc mổ hẳnh tữỡng thẵch nhữ sau: y b DƠn số nôm 2018 l : y(10) = 50000.(1 + 4.5%)10 ≈ 77648 c D¥n số Ôt 100.000 vo khoÊng nôm 2024 vẳ: f (x) = 50000.(1 + 4.5%)x = 100.000 ↔ x ≈ 15.7 200x + 5000 , x ≤ 100 20000 + 170(x − 100) + 5000 , x > 100 2.2 = 50000.(1 + 4.5%)x , R = −∞, ln D = −1, D = [20; 80] ∩ N, R = {5.000.000 + k × 250.000/k ∈ D} 2.3 Rf Dg => Khổng tỗn tÔi gof f g : (0; +∞) → R f ◦ g(x) = f [g(x)] = f (ln x) = sin(ln x) V¼ 3 x+1 x+1 = ; x 6= g ◦ f (x) = g[f (x)] = g + x−2 x−2 x3 + x + f ◦ g(x) = f [g(x)] = f (x3 + x) = ; x 6= x +x−2 x+1 x−2 C(t) = C(p(t)) = 0.5 (10 + 0, 1t2 ) + Mực CO trung bẳnh hơng ngy Ôt 6.8%khi: t=4 2.4 Vẳ Rf = (0; +) v ∀x ∈ (2; +∞), f (x) < f −1 (x) = n¶n f l song ¡nh −2x − 1−x a f(4) l sè lo i chim trản hỏn Êo án nôm 2011 b Số nôm tẵnh tø 2007 m câ 4000 lo i chim tr¶n hán £o ỗ th hẳnh C cõ dĂng iằu ối xựng vợi ỗ th cừa th cừa f f qua ữớng y=x nản l ỗ CHìèNG 3: GIẻI HN V LIN TệC 3.1 Giợi hÔn hm sè 1 thûa §t 3.2 Vỉ cịng lỵn, vỉ cịng b² 2x2 x a b f (x), g(x) g(x) cịng bªc bªc cao hìn f (x) a N¸u gií câ n chu ký thẳ lữủng caffein cỡ th cỏn lÔi sau 0.17 P (t) = 100 n t gií l lim P (t) = (mg) nt (mg) Viát lÔi dÔng mụ cỡ số e: P (t) = 100ent ln(1 Náu n rĐt lợn thẳ 0.17 n t ) (mg) rĐt nhọ, sỷ dửng thay tữỡng ÷ìng cho P (t) = 100ent(− b Khi 0.17 n 0.17 n ) = 100e0.17t (mg) ừ lợn, lữủng caffein cì thº khỉng cán núa v¼ t→∞ 3.3 Ti»m cên cừa ữớng cong ; TC : x= TC : x=0 TCN (Khi y= v x → 0+ ) y=− TCX: Khỉng câ TCX y = x 3.4 H m sè li¶n tửc a TÔi x=0 : khổng liản tửc trĂi, liản tửc phÊi, khổng liản tửc b TÔi x=1 : li¶n tưc 7, 5x , x ≤ 50 (USD) 6, 75x , x > 50 P (40) = 300 (USD); P (50) = 375 (USD); P (60) = 405 P khổng liản tửc tÔi x = 50 (lẵt) a H m chi ph½ l : P (x) = ln (USD) CH×ÌNG 4: O HM V VI PH N 4.1 Ôo hm cừa hm số y = f (x) 4.1.1 f (−1) = − f (1) = 0, khổng tỗn tÔi Ôo hm tÔi x = 4.1.2 ị nghắa thỹc tá cừa Ôo hm a Th tẵch nữợc thoĂt ngo i theo thíi gian t l : V1 (t) = 1000 − 1000(1 − t ) ≤ t ≤ 60 60 Tốc ở nữợc thoĂt ngoi theo thới gian t l : V10 (t) = 100 t (1 − ).0 ≤ t ≤ 60 60 b Vªn tốc dỏng nữợc tÔi cĂc thới im l : Lữủng nữợc cỏn lÔi l: V10 (0), V10 (10), V (0), V (10), Chi phẵ cên biản sÊn xuĐt 10 ỡn v sÊn phâm A l: C (10) = 122 4.1.3 ị nghắa hẳnh hồc cừa Ôo hm k = f (1) = Tiáp tuyán tÔi (x0 , f (x0 )) song song vợi t y = 3x nản f (x0 ) = ↔ x0 = 1± √ 61 4.1.4 CĂc php toĂn Ôo hm A B C P (t0 ) = −0.04 (KP/s): ¡p suĐt giÊm 0.04 (KP/s) Ôo hm hm hủp h0 (1) = f (0) + 4; k (0) = 32t m2 /p Ôo hm hm ngữủc 1 (f −1 )0 (0) = (S −1 )0 (20) = f (0) = = cosh(0) TÔi thới im số ca mưc mợi l 20 ca thẳ tốc ở lƠy nhiạm ang tông ca/ng y 4.2 4.2.1 1 Ta câ f 00 ( ) Ta câ √ −4 = f (5) (x)(1) = −27 5! 128 4.2.2 ỗ th c l quÂng ữớng, b l vªn tèc, a l gia tèc f (t0 ) = 2; f 00 (t0 ) < , iÃu ny cõ ỵ nghắa nhiằt ở trung im t0 l ang tôngtốc ở tông nhiằt ở ang giÊm bẳnh cừa thnh phố A tÔi thới 4.3 4.3.1 f (−1) = f (−1 + ∆x) − f (−1) = −5∆x + (∆x)2 = −0.0499 h ⇒ ∆h = ±1 (cm) V (h) = πR h = π.400.h (cm3 ) 3 400 ∆V (h) ≈ dV (h) = V (h)∆h = π.∆h ≈ ±419 Gåi chi·u cao h¼nh nân l cm3 4.3.2 ln(1.02) ≈ 0.2 a b f (5.2) ≈ 11570 (Shilling) 4.4 4.4.1 1 ln(2 + x) = ln(3) + (x − 1) − (x − 1)2 + 18 1 x ln(x) = (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 + 0((x − 1)3 ) 6 (x 81 − 1)3 + 0((x − 1)3 ) 4.5 4.5.1 Tông trản ton miÃn xĂc nh x f (x) ∞ −2 || + Vªy hm số Ôt cỹc Ôt cỹc Ôi tÔi f + || + Ôi tÔi (2, 0) v Ôt cỹc x = 2, x = 4, 7; tiu tÔi Ôt cỹc tiu tÔi 0, − x = 4.5.2 B i toĂn và tẵnh lỗi, lóm, im uốn −3 −3 e ; − e 2 a f 00 (xA ) < f (x) l : (−5; −3); (−1; 0); (1; 3) cõa f (x) l : (−3; −1); (0; 1); (3; 5) b C¡c kho£ng t«ng cõa C¡c kho£ng gi£m c f (x) cõ im cỹc Ôi v im cüc tiºu 4.5.3 y y TCX: y =x− (0, 1) −2 x x −1 , − 27 4.5.4 x f (x) √ 2 −∞ √ 2 +∞ − + √ − √0 −1 −1 f (x) & − e % e & 2 √ ! √ √ ! √ 2 −1 2 −1 fmax = f − =− e ; fmin = f = e 2 2 √ 4.6 Hm số cho bi phữỡng trẳnh tham số 4.6.1 ị nghắa cừa ữớng cong tham số Theo chiÃu kim ổng hỗ (I) l ỗ th B (II) l ỗ th A (III) l ỗ th D (IV) l ỗ th C 4.6.2 Ôo hm cừa hm số y = f (x) xĂc nh bi phữỡng trẳnh tham sè −1 + x=1⇔t= 2 k=1 y = √ √ 1.6 − √ y (1) = 4.6.3 Cüc trà cõa h m sè y = f (x) cho bði h m tham sè t ∈ [0, 1] h m sè khæng câ cỹc tr 4.6.4 Tiằm cên cừa ữớng cong tham số x y = − + 4.6.5 V³ ÷íng cong tham sè y x -4 -2 CH×ÌNG 5: TCH PH N 5.1 Tẵch phƠn bĐt nh 5.1.1 Tẵnh tẵch phƠn a a b a − e−x + C b ln (|x + 3|) + ln (|x − 1|) +C − +C x+1 √ √ ln ( x + 1) + C b x2 + + C x2 + x F (x) = arctan (x) − + C 2 c √ arctan √ x2 − √ 5.1.2 ị nghắa nguyản hm: C(t) = 0.5t + f (x) = 0.03t2 + 311 (%) x3 x2 23 − + 2x + 5.2 Tẵch phƠn xĂc nh 5.2.1 Bi toĂn dăn và tẵch ph¥n Z20 v(t)dt = 980 (bä qua ìn v tẵnh) 5.2.2 Tẵnh gƯn úng nhớ tờng tẵch ph¥n a ∆x = Têng 10 f (x) = x2 , n = 10 Z1 Riemann tr¡i: f (x)dx ≈ ∆x[f (0) + f (0.1) + f (0.2) + f (0.3) + + f (0.8) + , f (0.9)] ≈ 0.285 Z1 f (x)dx ≈ ∆x[f (0.1) + f (0.2) + f (0.3) + + f (0.8) + f (0.9) + Têng Riemann ph£i: f (1)] ≈ 0.385 Z1 f (x)dx ≈ ∆x[f (0.05) + f (0.15) + f (0.25) + f (0.35) + Têng Riemann trung t¥m : + f (0.85) + f (0.95)] ≈ 0.3325 b T÷ìng tü c Tữỡng tỹ Mực tiảu thử dƯu thổ 5(20.9 + 23.3 + 25.6 + 28 + 30.7) ≈ 642.5 t thũng 5.2.3 Tẵch phƠn xĂc nh v diằn tẵch mi·n ph¯ng x f (x) x f (x) f (x) 0 3 2 − 2 + a % a + 14 −1 − Kho£ng t«ng: iºm cüc trà: − & + −6 + a % 6+a (0; 2) v (5; 6) KhoÊng giÊm: (2; 5) f Ôt cỹc Ôi tÔi x = v Ôt cỹc tiu tÔi x = 5.2.4 GiĂ tr trung bẳnh 1 I2 = 2−0 Z2 √ 93 − 10 x2 + x + dx = ; x0 = 5.2.5 nh lỵ cỡ bÊn cừa vi tẵch phƠn f (1) = e2 5.2.6 CĂc ựng dửng hẳnh hồc cừa tẵch phƠn xĂc nh a b S=− ln (3) − ln (2) ln (2) ln (3) c d S=9 Vx = = 13 , 6 3π + S= 12 S= 8π 11π , Vy = 15 Vx = 257 158π π, Vy = 144 105 5.3 Tẵch phƠn suy rởng 5.3.1 Tẵnh tẵch phƠn suy rởng π 2 5.3.2 Kh£o s¡t sü hëi tö 10 − e−1 Hëi tử PhƠn ký Hởi tử 11 CHìèNG 6: PHìèNG TRNH VI PHN 6.1 Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp 6.1.1 Tẳm nghiằm tờng quĂt y = x2 + x + C y , x ph÷ìng trẳnh ữa và dÔng t u= y= x2 C + x 2e ex y2 = C − ln(x) x u2 u+1 dx du = − +u−1 x 6.1.2 T¼m nghi»m b i to¡n Cauchy + y = x2 6.1.3 B i to¡n thüc t¸ DÔng tỹ thnh lêp bi toĂn a Bi toĂn hẳnh håc i ii ( y y0 = − x , phữỡng trẳnh ữớng cong: xy = y(3) = x y = , phữỡng trẳnh cừa hồ ÷íng cong: 2y + x2 = C 2y b B i to¡n d¥n sè i ( P (t) = 0.08%P (t) P (0) = 226 ⇒ P (t) = 226e0.0008t án nôm 2007, dƠn số Ôt 228 ng n d¥n ii P (t) = k − P (t) 10.000 P (0) = 400, P (1) = 1200 L + C e−kt 10.000 Nghi»m ri¶ng: P (t) = t 11 + 24 36 P (t) = 5000 ⇔ t = 2, 68 : GƯn nôm Nghiằm tờng quĂt:P (t) = c Bi toĂn hỏa tan (tĂch bián/tuyán tẵnh) 12 sau, số cĂ hỗ Ôt 5000 y(t) l l÷đng mi thịng sau t i ii iii y (t) = − y(0) = y (t) = − y(0) = 50 y (t) = − y(0) = 5y(t) 100 ⇒ y(t) = −40e−t/20 + 40 3y 100 + 5t − 3t 3y 100 + 5t − 3t ,⇒ y(t) = √ 50t + 2500 √ 2000 50 4√ t + 50 − p ⇒ y(t) = , y(20) ≈ 31, 85 (t + 50)3 d B i to¡n v· quy luªt gi£m nhi»t T (t) = k(T − 20) vỵi 10t T (0) = 100, T (10) = 60 ⇒ T (t) = 20 + 80 2 DÔng cho sđn phữỡng trẳnh (tũy ỵ) a 2.I (t) + 10I = → I(t) = C.e−5t + b y (t) = + sin t − y(t), → y(t) = C e−t + sin t cos t − +1 2 6.2 Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp vợi hằ số hơng 6.2.1 Tẳm nghiằm phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt y0 = C1 ex + C2 e2x y0 = ex (C1 cos x + C2 sin x) y0 = C1 ex + C2 xex y0 = e−x − e4x 5 6.2.2 Tẳm nghiằm riảng bơng phữỡng phĂp bián thiản hơng sè y = C1 e−2x + C2 xe−2x − −2x −2x e x + e x ln x 6.2.3 Tẳm nghiằm riảng bơng phữỡng ph¡p h» sè b§t ành x 11 + 36 y = C1 e2x + C2 e3x + y = C1 ex sin 2x + C2 ex cos 2x + y = C ex + C − y = C1 e−4x + C2 ex − y = C1 e−3x + C2 + 2x e sin x − cos x 2 −x e x − e−x 11 24 x sin x + sin x − x cos x + cos x 10 50 10 25 13 x e sin x − ex cos x 5 y = C1 ex + C2 e−x + y = C ex + C − x + x y = C ex + C x ex + x e x 6.2.4 Nguyản lỵ chỗng chĐt nghi»m y = C1 e−x + C2 + x2 − 2x + y = C1 e2x + C2 − y = C1 e−3x + C2 e−2x + x e x2 x − − sin x − cos x 4 5 15 x e + sin 2x − cos 2x 12 52 52 6.2.5 T¼m nghi»m b i to¡n Cauchy y= 39 25 −2x 16 −5x x+ + e − e 10 300 300 75 6.3 Hằ PTVP tuyán tẵnh cĐp vợi hằ số hơng 6.3.1 Dũng phữỡng phĂp khỷ tẳm nghiảm tờng quĂt cừa hằ phữỡng trẳnh x(t) = C1 e2t (e3t + 2) + C2 e2t (e3t − 1) + (30t + 11) 3 100 y(t) = C e2t (e3t − 1) + C e2t (2e3t + 1) + (−70t − 9) 3 100 6.3.2 Tẳm nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh x(t) = (270t + 325e2t − 124e5t + 99) 300 y(t) = (−3(70t + 9) − 325e2t − 248e5t ) 300 14