THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC DẠNG 1: TÌM X Bài 1: Tìm x biết: x −3 x +1 = = a, b, x −1 x+5 HD: a, = ( x − 3) = ( x + 5) = x = 46 = x = 23 c, 44 − x x − 12 = c, x −1 x − = x+2 x+3 b, = ( x − 1)( x + 1) = 7.9 = (8 − 1)(8 + 1) = x = c, = ( 44 − x ) = ( x − 12) = 8x = 256 = x = 32 Bài 2: Tìm x biết: x+4 x x− y = a, b, = ( tìm ) 20 x+4 y x + 2y HD: a, = ( x + ) = 100 = 102 = x + = 10 x = 10 y x −1− x − x − − x − −3 −5 x −1 x − c, = − 1 = − 1 = = = = x+2 x+3 x+2 x+3 x+2 x+3 −1 = ( x + 3) = ( x + ) = x = −1 = x = Bài 3: Tìm x, y, z biết: 15 40 20 20 40 28 a, x.y=1200 b, x.y.z = 22400 = = = = x − 30 y − 15 z − 21 x − y − 12 z − 24 HD: x − y − 12 z − 24 x y z = = = − = − = − a, Từ gt = 15 20 40 15 20 40 x = 15k x y z = = = = k = , Mà x y = 1200 = k = 2 15 20 40 y = 20k b, = x − y = 3x + y = x = 10 y = x = 40k x − 30 y − 15 z − 21 x y z = = = = = = k = y = 20k b, Từ gt = 40 20 28 40 20 28 z = 28k x = 40 Mà: x y.z = 22400 = y = 20 z = 28 Bài 4: Tìm x, y, z biết: x −1 y − z − x −1 y − z − = = = = a, x + y − z = 50 b, x - 2y +3z =14 4 HD : x − y − z − ( x − 1) + ( y − ) − ( z − 3) ( x + y − z ) − a, = = = = = =5 4+9−4 x − y − z − ( x − 1) − ( y − ) + ( z − 3) ( x − y + 3z ) − b, = = = = =1 − + 12 GV: Ngô Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 5: Tìm x, y, z biết: x −1 y + z − = = a, z − 3x − y = 50 b, x + y − z = −10 = = 3x − y z − x y − 3z HD : x − y + z − 5 ( z − 5) − ( x − 1) − ( y + 3) ( 5z − 3x − y ) − 34 = = a, Từ : = = 30 − − 16 3x − y z − x y − 3z = = b, Từ : => = = 3x − y z − x y − 3z = ( 3x − y ) = 3( 2z − 4x ) = ( y − 3z ) = (12 x − y ) + ( z − 12 x ) + (8 y − z ) 16 3x = y x y z x+ y−z = 2 z = x = = = = = −10 2+3−4 4 y = z 27 =0 x + y + z = 17 = = 2x + 2y − z + Bài 7: Tìm số x,y,z biết chúng thỏa mãn đồng thời điều kiện sau : 3x + y + z = 169 3x + 25 y − 169 z + 144 = = 144 25 169 HD : 3x + 25 y − 169 z + 144 ( 3x + y + z ) + ( 25 − 169 + 144 ) 169 Từ : = = = = = 144 25 169 338 338 144 47 = 3x + 25 = = 72 = x = , Tương tự cho y z Bài 8: Tìm x, y, z biết: x y z a, = = x2 + y2 − z = 585 b, x:y:z=3:4:5 2x2 + y2 − 3z = −100 HD: x2 y z x2 + y − z a, = = = = =9 25 49 25 + 49 − x y z x2 y z 2 x + y − 3z −100 b, = = = = = = = =4 16 25 18 + 32 − 75 −25 Bài 9: Tìm x, y, z biết: a b c a, = = a − b2 + 2c = 108 b, x : y : z = 3: : 5z − 3x2 − y2 = 594 HD: a b c a b2 c a − b2 + 2c 108 a, = = = = = = = =4 4 16 − + 32 27 x y z x2 y z 5z − 3x − y 594 b, = = = = = = = =9 16 25 125 − 27 − 32 66 Bài 10: Tìm số x, y, z biết: x3 y z x3 y z3 a, x2 + y2 + z = 14 b, x2 + y2 − 3z = −650 = = = = 64 216 27 64 HD : 3 x y z x2 y z x + y + z 14 x y z a, Từ GT ta có : = = = = = = = = = = = 16 36 + 16 + 36 56 2 4 6 Bài 6: Tìm ba số x, y, z biết : GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức x y z x2 y z x2 + y − 3z −650 b, = = = = = = = = = 25 4 16 −26 −26 x3 + y x3 − y Bài 11: Tìm x, y biết: x6 y6 = 64 = HD : ( x3 + y ) − ( x3 − y ) = ( x3 + y ) + ( x3 − y ) = y = 3x3 Ta có : GT = 6−4 12 + 16 6 x x x = 64k = y3 = = = y = = k = 1 64 y = k Bài 12: Tìm x, y, z biết: 3x y 3z = = 2x2 + y2 − z = 64 216 HD : x y z x2 y2 z2 2x2 + y − z Từ GT ta có : = ( Vô lý) = = = = = = 64 216 64 4096 46656 8320 − 46656 −38336 Vậy không tồn x, y, z thỏa mãn : Bài 13: Tìm x, y, z biết: 2x 3y 4z 18 x = y = z − x + y + z = −120 = = a, x+y+z=49 b, 11 5 HD: x y z x y z x+ y+z = = = = = = =1 a, = 3.6 4.4 5.3 18 16 15 49 x y z x y z − x + y + z −120 = = = = = = = =5 b, = 11.3 2.2 33 −24 −24 Bài 14: Tìm x, y, z biết: 18 x = y = z − x + z = −196 a, x = y = z x + y − z = 95 b, 11 HD : x + y − z = 95 a, Từ : x + y − z = 95 = x + y − z = −95 x y z x+ y−z 95 = = = Nên x = y = z = = 15 10 15 + 10 − 19 18 x y z − x + z −196 x = y = z => = = = = b, Từ : 11 33 −33 + −28 x y z Bài 15: Tìm x,y,z biết: = = = x+ y+ z y + z +1 x + z + x + y − HD : y + z +1 x + z + x + y − x y z Từ : = = = = = x y z y + z +1 x + z + x + y − ( y + z + 1) + ( x + z + ) + ( x + y − 3) ( x + y + z ) = = =2= x+ y+ z x+ y+z x+ y+z = y + z + = x = x + y + z = 3x − = = x = => x + z + = y = x + y + z = y − = = y = −1 => x + y − = z = x + y + z = 3z + = = z = 3 GV: Ngô Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 16: Tìm x, y, z biết : y + x +1 x + z + z + y − = = = x y z x+ y+z HD : Từ giả thiết => Cộng tử với tử ta : GT = 2( x + y + z) =2= 1 = x + y + z = x+ y+z x+ y+z Khi : x + z + = y = x + y + z = y − = = y = −13 = x = … Và z + y − = z = z = y − = − = 6 y + z +1 x + z + x + y − Bài 17: Tìm x, y, z biết: = = = x y z x+ y+z HD : 2x + y + 2z 1 Từ GT => Tử + Tử + Tử = GT = =2= = x + y + z = x+ y+z x+ y+z Khi : y + z + = x = x + y + z = 3x − = = 3x = = x = 2 Tượng tự để tìm y, z y + z + x + z +3 x + y −5 Bài 18: Tìm x, y, z biết: = = = x y z x+ y+z HD : 2( x + y + z) 1 =2= = x + y + z = Từ GT=> Tử + Tử + Tử => GT = x+ y+z x+ y+z Khi : y + z + = x = x + y + z = 3x − = = x = Làm tương tự cho y z x y z Bài 19: Tìm x, y, z biết: = = = x+ y+z y + z +1 z + x +1 x + y − HD : x+ y+z = = x+ y+z Ta có : GT = 2( x + y + z) 1 Khi : x = y + z + = x + y + z = 3x − = = x = Tương tự cho y z 2 2x + y − 2x + y −1 = = Bài 20: Tìm x, y biết: 6x HD : ( x + 1) + ( y − 2) x + y − 3y − = y = Từ GT = = = x = = = 12 6x 2x +1 y − 2x + y − = = Bài 21: Tìm x, y biết: 7x HD : ( x + 1) + ( y − 5) x + y − Từ GT = = = x = , Thay vào tìm y 5+9 7x 1+ y 1+ y 1+ y = = Bài 22: Tìm x, biết: 18 24 6x HD : (1 + y ) − 1(1 + y ) (1 + y ) + (1 + y ) − (1 + y ) 1 = = = x = , Ta có : GT = = 12 42 − x 36 − 24 18 + 24 − x Thay vào tìm y GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 23: Tìm x biết HD: 5x −1 y − 5x − y − = = 4x 5x − y − 5x − y − 5x − y − = = = => 4x Nếu 5x-7y-7 # x = , Thay vào ta y=3 Nếu 5x-7y-7=0=> 5x-1=0=> x = ; y = 1+ 3y 1+ 5y 1+ y = = Bài 24: Tìm x, y biết: 12 5x 4x HD : (1 + y ) − (1 + y ) (1 + y ) − (1 + y ) Ta có : GT = = 12 − 5x 5x − x −2 y −2 y = = = 12 − x = x = x = 12 = x = Thay vào tìm y 12 − x x 7x − 3y + 12 y + 2z x Bài 25: Tìm x,y,z biết : = = 2y z − 3y + − y Bài 26: Tìm x, y, z biết : Bài 27: Cho 3x + y x + y −2 − xz − yz = = = ( x 0) 47 −17 x z2 + a b c = = a + b + c 0, a = 2012 Tính b, c b c a HD : a b c a+b+c = = = = = a = b = c = 2012 b c a b+c+a a b c Bài 28: Cho = = a + b + c 0, a = 2017 Tính b, c b c a HD: a b c a+b+c = = a = b = c = 2017 Ta có: = = = b c a a+b+c a b 10 = , a + b −10 Bài 29: Tìm a, b biết: = b 10 a HD: a b 10 a + b + 10 = = = = a = b = 10 Ta có: = b 10 a a + b + 10 x y z Bài 30: Tìm ba số thức x, y, z khác biết : = = x 2018 − y2019 = y z x a b c ; ; Bài 31: Cho số hữu tỉ nhau: a + b + c , Tính giá trị tỉ số b+c c+a a+b HD : a b c a +b+c = = = = b + c c + a a + b 2(a + b + c) Từ : Bài 32: Tìm x biết : x = a b c = = , tỉ số có nghĩa b+c c+a a +b HD : a b c = = = −1 −a −b −a a b c a +b+c = = = = Nếu a+b+c x = b + c c + a a + b 2(a + b + c) Nếu a+b+c=0 b+c= -a, a+c= -b, a+b= -c x = GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 33: Tìm x, biết: x x = , = 16 y y HD : x x 1 = = = = 16 = = y = = x = 16.8 y y y y x + y + z = 94 Bài 34: Tìm x, y, z biết: 3 x = y = z a + b + c = 260 Bài 35: Tìm a, b, c biết: a = 3b = 0,3(b + c) HD: a b a b + c a + b + c 260 60 Từ a = 3b = = , = = = = 200 = a = 60, b = = 20 = c 0,3 1,3 1,3 Bài 36: Tìm a, b, c biết: (a+b) : ( – c): (b+c) : (10 +c)=2:5:3:4 HD : a + b − c b + c 10 + c = = = =t Từ GT = a + b = 2t = b = 8, a = −4 mà (8 − c ) = (10 + c ) = c = −2 = t = = b + c = 3t a b c b c a + + = + + = a+b+c = Bài 37: Tìm số a, b, c Z biết : b c a a b c HD : a b c b c a a c b a c b Ta có : GT = + + + + + = = + + + + + = b c a a b c b b c c a a 1 a+b+c a +b+c a +b+c = + + = , Vì a + b + c = = a + b + c = a b c 1 1 1 Do a,b,c nguyên nên = + + = a = b = c = a b c a b c x− y x+ y xy = = Bài 38: Tìm x, y biết: 13 200 HD: x − y x + y ( x − y) + ( x + y) x x xy GT = = = = = = 13 16 8 200 x = => xy − 200 x = = x (8 y − 200 ) = = y = 25 TH1: x = = y = TH2: y = 25 = x = 40 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c = = Bài 39: Tìm ba số a,b,c biết: a+b+c=-50 HD : ( 3a − 2b ) ( 2c − 5a ) 6c −10b −5b + 3c 5b − 3c Ta có : GT = = = = = =0 25 34 17 3a = 2b a b c a +b+c => 2c = 5a = = = = = −5 10 5b = 3c Ta có : GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 40: Tìm x,y,z biết : HD: z − 10 y 10 x − 3z y − x = = 2x+3y-z=40 10 z − 10 y 10 x − 3z ( z − 10 y ) (10 x − 3z ) = = = 16 4 z = 10 y 40 x − 30 y 30 y − 40 x = = = = 10 x = 3z 13 100 3 y = x Ta có: GT = x y z x + y − z 40 = = = = =5 10 + 12 − 10 12 x − 15 y 20 z − 12 x 15 y − 20 z = = Bài 41: Tìm x, y, z biết: x+ y+ z=48 11 HD: (12 x − 15 y ) + ( 20 z − 12 x ) + (15 y − 20 z ) Ta có: GT = =0 + + 11 x y x y = = = => 12 x − 15 y = = 12 x = 15 y = 15 12 x z x y z x + y + z 48 = làm tương tự ta được: = = = = = 5 + + 12 5z − y x − z y − 5x Bài 42: Tìm x, y, z biết: 3x − y + 5z = 96 = = x + 3y 3y + 9z 5z + 15x Bài 43: Tìm x, y,z biết: x+y+2z= -31 = = 19 114 115 3b − 125a − 3b = = − 125a Bài 44: Tìm cặp số a, b thỏa mãn: 6a + 13 a −4 HD: −13 ĐKXĐ: a 2, a 3b − 125a − 3b − 125a − 125a = = = 2 6a + 13 a −4 a + 6a + Suy ra: a2 + 6a + = 0, a 125 a = −2(l), a = −4 , Với a = −4 = b = 2004 Bài 45: Tìm x,y,z biết : xy = z ; yz = x ; xz = 16 y HD: x 16 z 16 x z Ta có: GT = = = = = = z = 9.16 = 144 = z = 2 y z z y x = 4k x 12 = 4k.3k = 12 = k = TH1: z = 12 = = = = y y = 3k TH2: z = −12 làm tương tự a − 100 a − a2 − = = = 100 Bài 46: Tìm số: a1; a2 ; a100 , biết: a1 + a2 + a3 + + a100 = 10100 100 99 HD: Áp dụng dãy tỉ số ta có: ( a1 + a2 + + a100 ) − (1 + + + 100) = ( a1 + a2 + + a100 ) −1 = 10100 −1 = 100 + 99 + + 100 + 99 + + 5050 => GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 47: Tìm a1, a2 , a3, , a9 , biết : a1 − a2 − a3 − a −9 = = = = , a1 + a2 + a3 + + a9 = 90 Bài 48: Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c + d = e + f biết: a, b, a 14 c 11 e 13 c, d, e, f thuộc N * = ; = ; = b 22 d 13 f 17 HD: a b a+b M a c 11 e 13 = Từ gt=> = ; = ; = => = = 11 + 11 18 b 11 d 13 f 17 e c d c+d M f e+ f M = = = = = = Tương tự ta có: M BC (18; 24;30) , M 13 17 13 + 17 30 11 13 24 24 số tự nhiên nhỏ có chữ số nên M=1080 x+4 Bài 49: Tìm x,y biết: = x+y=22 7+ y HD : x y x+ y =2 Ta có : GT = x + 28 = 28 + y = = = 11 Bài 50: Tìm x, y biết: x = y x2 − y2 = 38 HD: x y x2 y x2 − y = = = 72 Ta có: Gt = = = 25 19 36 Khi đó: x = 200 = x = 200 y2 = 162 = y = 162 Bài 51: Tìm số hữu tỉ a,b biết : a-b=a :b a-b=3(a+b) HD: a Ta có: a − b = ( a + b ) = 2a = −4b = a = −2b = = −2 b a Mà = a − b = a − b = −2 = a = b − thay vào b a − b = 3( a + b ) = −2 = ( 2b − 2) = 6b − = b = Bài 52: Hãy tìm tất số có hai chữ số biết tổng, hiệu, tích chữ số số ba số nguyên dương tỉ lệ với 35: 210: 12 HD: Gọi số cần tìm là: ab ( a 0, a, b 0;1;2; ;9) , Giả sử : a>b ( a + b ) = a − b = a.b a + b a − b ab = = = 35 210 12 35.6 6.35 12 = 6a + 6b = a − b = 5a = −7b , Vơ lý a, b dấu Bài 53: Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a b thương a b lần tổng a b, HD: a a Theo ta có: a − b = = ( a + b ) = a − b = ( a + b ) = = −3 b b −9 a= a − b = −3 = −3 = a + b = b = −3 Theo ta có : GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 54: Tìm x,y,z biết: 2x − y 3y − 2z = , x + z = 2y 15 HD : Từ x+y=2z ta có : x-2y+z=0 hay 2x-4y+2z=0 hay 2x-y-3y+2z=0 hay 2x-y=3y-2z 2x − y 3y − 2z = Mà nên 2x-y=3y-2z=0 Từ 2x-y=0=> x = y 15 Từ 3y-2z=0 x+z=2y=> x+z+y-2z=0 hay y + y − z = hay y − z = hay y = z 2 1 => x = z Vậy giá trị x,y,z cần tìm x = z, y = z, z R 3 Bài 55: Tìm phân số có tổng chúng , tử chúng tỉ lệ với 3:4:5 mẫu số tương 70 ứng chúng tỉ lệ với 5:1:2 HD : a b c a b c a b c x y z Gọi phân số cần tìm ; ; ta có: + + = , = = = = x y z x y z 70 a b c a+b+c 1 a x b y c z y x y z = : = : = : = x = = z = = 70 = 5 71 5 + + 5 10 a b c => = ; = ; = ba phân số cần tìm x 35 y z 14 Bài 56: Số M chia làm số tỉ lệ với 0,5;1 ;2 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương ba số 4660 HD : 20 27 = : 20 : 27 Ta có : 0,5 : = : = nên ta có : : : = : : 12 12 12 3 4 Giả sử M chia thành số x ;y ;z Theo ta có : x y z x2 y2 z2 x2 + y + z2 4660 = = = = = = = = = 22 2 20 27 20 27 + 20 + 27 1165 2 => x = 12 = x = 12, y2 = 402 = y = 40, z2 = 542 = z = 54 Vậy M=12+40+54=106 M=-106 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + Tính giá trị biểu thức: M = c+d d +a a+b b+c HD: Từ GT trừ vào vế tỉ số ta có: a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = a b c d TH1: Nếu a + b + c + d = a = b = c = d = M = TH2: Nếu a + b + c + d = = a + b = − ( c + d ) = M = −4 Bài 1: Cho dãy tỉ số nhau: Bài 2: Cho số x, y, z khác thỏa mãn: x y z y+z−x z+x− y x+ y−z Tính B = 1 + 1 + 1 + = = x y z y z x HD: Từ GT cộng thêm vào vế của tỉ số ta được: x+ y−z x+ y+z x+ y+z x+ y+z y+z−x z+x− y + 2 = + 2 = + = = = x y z x y z TH1: x + y + z = x = y = z = B = TH2: x + y + z = = x + y = − z, y + z = − x.x + z = − y = B = −1 a+b+c−d b+c+d −a c+d +a−b d +a+b−c = = = Bài 2: Cho , (a + b + c + d ) d a b c b + c c + d d + a a + b 1+ 1+ 1+ Tính giá trị biểu thức: P = 1 + a b c d b + c − a 2c − b + a a + b − c = = a b c (3a − 2b)(3b − 2c)(3c − 2a) Bài 3: Cho a, b, c dãy tỉ số: Tính: P = (3a − c)(3b − a)(3c − b) 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + Tính giá trị biểu thức: M = c+d d +a a+b b+c HD: Trừ 2011 vào vế tỉ số tỉ lệ thức ta được: a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = a b c d TH1: a + b + c + d = a = b = c = d = M = Th2: a + b + c + d = = a + b = − ( c + d ) = M = −4 Bài 4: Cho dãy tỉ số : a +b−c b+c −a c + a −b = = c a b b c a Tính giá trị biểu thức: A = 1 + 1 + 1 + c a b HD : Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn: Từ GT ta cộng thêm vào tỉ số dãy tỉ số có: TH1 : a + b + c = a = b = c = A = TH2 : a + b + c = = a + b = −c, b + c = −a, a + c = −b = A = −1 a+b+c a+b+c a+b+c = = c a b 10 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 25: Cho x y y z 2x + y + 4z = & = , Tính M = 3x + y + z HD : x y z = = (1) 15 20 24 3x y z 3x + y + z 2x 3y 4z 2x + 3y + 4z = = = = = = (1)=> Và ( 1)=> 45 80 120 45 + 80 + 120 30 60 96 30 + 60 + 96 x + y + z 3x + y + z x 3x 2x + y + 4z 245 186 : = : =1=> Nên = = M = 30 + 60 + 96 45 + 80 + 120 30 45 186 3x + y + z 245 x + y − 3z Bài 26: Cho P = , Tính P biết x,y,z tỉ lệ với :4 :3 x − y + 3z HD: x + x − x x y z 5 =2 Từ GT : = = = y = x, z = x thay vào ta : P = 5 x − x + x 5 x z a x − y + 2a Bài 27: Cho = = Hãy tính: A = y t b y − 3t + 2b HD: x − 3z + 2a x − 3z + 2a x z a Từ GT ta có : GT = = A = = = = y − 3t + 2b y − 3t + 2b y t b a b c a − 3b + 2c = = = , Tính A = Bài 28: Cho a' b' c' a '− 3b '+ 2c ' HD : a b c a − 3b + 2c = = = = = A = Từ GT ta có : a ' b ' c ' a '− 3b'+ 2c' x y y z 2x + y + 4z Bài 29: Cho = & = Tính A = 3x + y + z HD : x y z x + y + z 3x + y + z x + y + z 186 = = = Từ GT ta có : = = => A = = 15 20 24 30 + 60 + 96 45 + 80 + 48 3x + y + z 173 x + y − 5z Bài 30: Cho x:y:z=5:4:3 2x-3y+5z khác ) Tính giá trị A = x − y + 5z HD : x y z x + y − 5z x − y + 5z x + y − 5z Từ GT ta có : = = = = = A = = 10 + 12 −15 10 −12 + 15 x − y + z 13 a 2a − 5b 4a + b − Bài 31: Tính giá trị biểu thức sau: A = biết: = a − 3b 8a − 2b b HD : ( 2a − 5b ) 4a + b − Từ GT = 4a = 3b = A = ( a − 3b ) (8a − 2b ) 4a − 10b 4a + b 3b − 10b 3b + b −7b 4b = A = − = − = − = 4a − 12b 16a − 4b 3b − 12b 12b − 4b −9b 8b 18 a + 54 Bài 32: Cho 2a − b = ( a + b ) , Tính M = b + 44 HD: Từ GT => 14 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 2 4a 5b a a 54 625 Từ 2a − b = a + b = = = = = = = M = 3 3 b b 256 abc Bài 33: Tính A = , biết a,b, c có quan hệ: ( a + b) : (8 − c ) : ( b + c ) : (10 + c ) = : 5: 3: a+b+c HD: a + b = 2t a = −4 8 − c = 5t a + b − c b + c 10 + c = = = = t = = t = = b = Từ GT ta có: b + c = 3t c = −2 10 + c = 4t x 3x − y Bài 34: Cho = , Tính y x+ y x+ y x Bài 35: Tính P = biết: = a( x, y 0) x− y y HD : x ay + y a + Vì = a = x = ay = P = = y ay − y a − x + 16 y − 25 z + = = Bài 36: Cho x3 − = 15 Tính A= x+y+z 16 16 HD : 18 y − 25 = y = 57 = z = 23 Từ GT=> x3 − = 15 = x3 = 16 = x = = = 16 Thay vào A ta : A = + 57 + 23 = 82 b a+b c Bài 37: Tính A = biết: = 2, = a b+c b HD : Từ GT => b = 2a, c = 3b Thay vào A ta : a + 2a 3a a 3 A= = = = = b + 3b 4b b 1 + + Bài 38: Cho x = by +cz, y = ax +cz, z = ax +by x +y +z Tính giá trị : Q = 1+ a 1+ b 1+ c HD : Cộng theo vế GT ta : x + y + z = ( ax + by + cz ) , Thay x, y , z trở lại ta có : 2z = c +1 x + y + z 2x 2y Tương tự ta có : , Khi ta có : Q = = , = a +1 x + y + z b +1 x + y + z 1 1 a b c + + = , Tính Q = + + Bài 39: Cho a+b+c=2015 a+b b+c c+a b+c c+a a+b HD : a b c Ta có : Q = + 1 + + 1 + + 1 − b+c c +a a +b 1 Q = (a + b + c) + + − = 2015 − b+c c+a a +b = x + y + z = ( z + cz ) = z (1 + c ) = 15 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức a b c = = 2009 2010 2011 Bài 40: Cho số a, b, c thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức: M = 4(a − b)(b − c) − (c − a)2 HD: a − b = −k a −b b−c c −a Từ GT ta có: GT = = = = k = b − c = −k => −1 −1 c − a = k = M = ( −k ) ( −k ) − ( 2k ) = 4k − 4k = a b c = = , Tính giá trị biểu thức: 2014 2015 2016 Bài 41: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: M = ( a − b )( b − c ) − ( c − a ) HD : a − b = −k a −b b−c c −a Từ GT ta có: GT = = = = k = b − c = −k −1 −1 c − a = k = M = ( −k ) ( −k ) − ( 2k ) = 4k − 4k = Bài 42: Tính giá trị của: B = ( x + y )( y + z )( z + x ) , biết: xyz = & x + y + z = HD : x + y = −z Từ GT ta có : y + z = − x = B = − x y.z = −2 z + x = − y (1 + Bài 43: Tính biểu thức: C = 3 + 33 + + 103 ) ( x + y )( x3 + y )( x + y ) + + + + 10 2 2 Với x = −0, ( 3) ; y = HD : −1 ,y = = x3 + y = = C = 27 27 Bài 44: Cho a, b,c khác đôi khác thỏa mãn : a2 ( b + c ) = b2 ( a + c ) = 2013 , Từ GT ta có : x3 = Tính A = c2 (a + b) 16 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức DẠNG 3: CHỨNG MINH RẰNG a c = Chứng minh rằng: b d a+b c+d a−c b−d a −b c −d = = = a, b, c, b a c d d c HD: a c a c a, = = + a = + 1 b d b d a c a b a −c b−d a b b, = = = = − 1 = − 1 = = b d c d c d c d a c b d b d c, = = = = 1 − = 1 − b d a c a c a c Bài 2: Cho = Chứng minh rằng: b d a+b c+d a+b c+a a a+c = = a, = b, c, Với a2=b.c a −b c −d a −b c −a b b+d HD: a c a+c a, = = b d b+d a c a b a +b a −b a +b c +d = = = b, = = = = b d c d c+d c−d a −b c −d a c a +b a −b a +b c+a = = = c, GT = = = b a c+a c−a a −b c −a a c Bài 3: Cho = Chứng minh rằng: b d a 3a + 2c 7a + 3ab 7c2 + 3cd a + b2 a b = ac a, b, với c, = = = 2 2 2 b 3b + 2d 11a − 8b 11c − 8d b +c c HD: a c a b a b2 a.b 7a + 3ab 11a − 8b2 a, = = = = = = = = b d c d c d c.d 7c + 3cd 11c − 8d a b a b2 a b a + b2 a b, = = = = = 2 = b c b c b c b +c c a c 3a + 2c a 3a + 2c = = c, GT = = = b d 3b + 2d b 3b + 2d a c Bài 4: Cho = , Chứng minh rằng: b d 2018a − 2019b 2018c − 2019d 2a + 5b 2c + 5d a c = = = a, b, c, 2019c + 2020d 2019a + 2020b 3a − 4b 3c − 4d a+b c+d a c a + c ac Bài 5: Cho = Chứng minh rằng: = b d b + d bd HD: a c a c2 a.c a + c Ta có: = = = = = b d b d b.d b2 + d a c 5a + 3b 5c + 3d = Bài 6: Cho = , Chứng minh rằng: b d 5a − 3b 5c − 3d HD: a c 5a + 3b 5a − 3b 5a + 3b 5c + 3d = = = Ta có: = = b d 5c + 3d 5c − 3d 5a − 3b 5c − 3d Bài 1: Cho 17 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức a c a2 + c2 a Bài 7: Cho = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b HD: a c a2 c2 a c a2 + c2 a Từ: = = = = = = c b c b c b c + b2 b a + b2 a a b = Bài 8: Chứng minh : = Thì b d b + d2 d HD : a b a b2 a + b2 a b a = = Từ GT = = = = = b d b d b + d2 b d d a c xa + yb xc + yd = , Các số x, y, z, t thỏa mãn : xa + yb 0, zc + td CMR : = Bài 9: Cho b d za + tb zc + td HD : a b ax by ax + by az tb az + tb = = = = = = ĐPCM Từ GT = = = c d cx dy cx + dy cz td cz + td 2 a c a.d a − b2 a+b a +b = Bài 10: Cho tỉ lệ thức: = , Chứng minh rằng: = 2 b d c.d c − d c+d c +d HD: a c a b a.b a b2 a − b2 Từ = = = = = = = b d c d c.d c d c − d 2 a b a +b a b2 ( a + b ) a + b2 = = = = = = c d c+d c d ( c + d ) c2 + d 2 Bài 11: Cho a, b, c R, a, b, c 0, thỏa mãn: b2 = a.c Chứng minh rằng: a (a + 2012b)2 = c (b + 2012c)2 HD: a b a + 2012b a b ( a + 2012b ) a b = a.c = = = = = = b c b + 2012c b c ( b + 2012c ) c 2 a b c a+b+c a Bài 12: Cho: = = , Chứng minh rằng: = b c d b+c+d d HD: a b c a +b+c a +b+c a b c a = Ta có: = = = = = b c d b+c+d b+c+d b c d d Bài 13: Cho a2 + ac b2 + bd a c = = , CMR: b d c − ac d − bd Bài 14: Cho số a1, a2 , a3 , a4 thỏa mãn: a22 = a1.a3 , a32 = a2.a4 , Chứng minh : a13 + a23 + a33 a1 = a23 + a33 + a43 a4 HD: Từ GT => a a1 a2 a2 a3 a a a3 a3 a3 a3 + a3 + a3 a a a a = , = = = = = 13 = 23 = 33 = 13 23 33 = = a2 a3 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 + a3 + a4 a2 a3 a4 a4 a + a + + a2018 a a a a a = Bài 15: Cho = = = = 2018 , CMR : a2 a3 a4 a2019 a2019 a2 + a3 + + a2019 HD : 2018 18 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức a a a a Từ GT ta có : 2018 = a2 a3 a2019 a2018 2018 a + a + a + + a2018 = a2 + a3 + a4 + + a2019 2018 a a + 2014b Bài 16: Cho a,b,c 0, t/m b2 = a.c = , Khi n = ? c b + 2014c HD: n a b a + 2014b a b a = = = Từ: b = ac = = = b c b + 2014c c b c n n 2 a a b a = = = n = c b c b a c b a + c − b3 a Bài 17: Cho = = , CMR: 3 = c d d c + b − d3 d HD : a c b a c b3 a Ta có : = = = = = = c b d c b d d a3 c3 b3 a a3 + c3 − b3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số : = = = = 3 c b d d c + b − d3 1994 a c a1994 + c1994 ( a + c ) Bài 18: Cho = , CMR : 1994 = b d b + d 1994 ( b + d )1994 Mà HD : a c a1994 + c1994 ( k.b ) + ( k.d ) = Đặt = = k = 1994 b d b + d 1994 b1994 + d 1994 1994 1994 a + c) kb + kd ) ( ( = = k 1994 1994 1994 (b + d ) (b + d ) 1994 Bài 19: Cho tỉ lệ thức: 1994 = k 1994 2a2 − 3ab + 5b2 2c2 − 3cd + 5d a c = ,Với điều kiện mẫu thức xác định = ,CMR: b d 2b2 + 3ab 2d + 3cd HD: Đặt a = k.b a c , Thay vào biểu thức ta có: = = k = b d c = kd 2a2 − 3ab + 5b2 k − 3k + 2c2 − 3cd + 5d k − 3k + = = + 3k + 3k 2d + 3cd 2b2 + 3ab bz − cy cx − az ay − bx x y z = = Bài 20: Cho số a, b, c, x, y, z t/m = = , Chứng minh rằng: a b c a b c HD: x = ak x y z Đặt: = = = k = y = bk a b c z = ck bz − cy bck − bck ay − bx cx − az = = = 0, = => đpcm = 0, a a c b a c ac 2009a2 + 2010c2 Bài 21: Cho = , CMR : = b d bd 2009b2 + 2010d HD : 2 a c a c a c a.c a c a.c 2010c2 2009a = = = = = = = => = = b d b d b d b.d b d b.d 2010d 2009b2 19 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 4 a c a −b a +b = Bài 22: CMR : = 4 b d c−d c +d HD: a c a b a −b a b4 a − b a + b4 = = = Ta có: = = = = = 4 b d c d c−d c d c−d c +d a c ab ( a + b ) Bài 23: Cho = ( b, c, d , c + d ) , CMR : = b d cd ( c + d )2 HD : a b a+b a b a + b a + b (a + b) Ta có : = = = = = c d c+d c d c + d c + d ( c + d )2 Bài 24: Cho b2 = a.c, c = b.d , Chứng minh rằng: a + b3 − c a + b − c a a + 8b3 + 125c3 = = a, 3 b, b + c − d3 b + c − d d b3 + 8c3 + 125d HD: a b c a+b−c = a, Từ GT ta có: = = = b c d b+c−d a c Bài 25: Cho a,b,c,d số hữu tỉ dương = , CMR : ( a + 2c )( b + d ) = ( a + c )(b + 2d ) b d HD : a c a+c a 2c a + 2c Từ GT = = (2) (1) = = b d b+d b 2d b + 2d a + c a + 2c = = Nhân chéo Từ (1) (2) = b + d b + 2d a c b2 − a b − a Bài 26: Cho = , cmr: 2 = c b a +c a HD: a + c a + ab a ( a + b ) a = = Từ gt=> c = a.b , Khi đó: 2 = b +c b + ab b ( a + b ) b b2 + c b b2 + c b b2 + c − a − c b − a hay = = − = − = a2 + c2 a a2 + c2 a a2 + c2 a 2 a c a + ac b + bd Bài 27: Cho = , CMR: = b d c − ac d − bd HD: a c a+c c−a a+c a c−a c = = = Từ gt=> = = b d b+ d d −b b + d b d −b d a + ac c2 − ac a + ac b2 + bd => = = = b + bd d − ad c − ac d − ad a x b y a2 x Bài 28: Cho = , = , CMR : = k a k b b y HD : a kx x Từ GT = a = kx, b2 = ky = = = b ky y => 20 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 29: Cho a c = ( c ) CMR : b d 3 ab a−b a +b a −b = = a, b, 3 c − d cd c+d c −d HD : a c a b a −b ab a − b = = a, Vì = = = = b d c d c−d cd c − d a b a+b a b3 a − b3 a + b = = = = b, = = c d c+d c d c − d3 c + d a c 3a + 5b 3c + 5d ab ( a − b ) = Bài 30: Cho = , CMR : = b d 3a − 5b 3c − 5d cd ( c − d )2 HD : a c a b 3a + 5b 3a − 5b = = = = = b d c d 3c + 5d 3c − 5d a+b c+a = Bài 31: Cho ( a b, c a ) , Chứng minh rằng: a = b.c a −b c −a HD: a + b a − b 2a 2b a b = = = = = = a = bc Ta có: GT = c + d c − d 2c 2a c a a + 2009 b + 2010 a b = = Bài 32: CMR: Nếu a − 2009 b − 2010 2009 2010 HD : a + 2009 a − 2009 2a 2.2009 a b a 2009 = = = = = = = Ta có : b + 2010 b − 2010 2b 2.2010 2009 2010 b 2010 a+5 b+6 a = , CMR : = Bài 33: Cho a −5 b−6 b HD : a − + 10 b − + 12 10 12 = = = = Nhân chéo=> ĐPCM Từ GT = a −5 b−6 a −5 b−6 2a + 13b 2c + 13d a c = , CMR : = Bài 34: Cho 3a − 7b 3c − 7d b d HD : 2a + 13b 3a − 7b ( 2a + 13b ) − ( 3a − 7b ) b a a c = = = = = = GT=> 2c + 13d 3c − 7d ( 2c + 13d ) − ( 3c − 7d ) d c b d Từ GT = a+b c+d a c = , CMR : = a−b c−d b d u+2 v+2 u v = Bài 36: CMR : Nếu = u−2 v−3 a c bd Bài 37: Cho a = b + c c = , CMR: = b d b−d HD: Bài 35: Cho Từ GT => ( b − d ) c = b.d = bc − cd = bd = bc = bd + cd = d (b + c ) = ad => a c = b d 21 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức a c a d a + b2 ab Bài 38: Cho = , Với a, b, c, d 0, Chứng minh rằng: = = b d b c c +d cd HD: 2 a − b) ( a + b2 2ab ( a + b ) Ta có: = = = c + d 2cd ( c + d )2 ( c − d )2 a +b a −b 2a 2b a b a c = = = = = = = c+d c−d 2c 2d c d b d a + b b − a 2b 2a a c = = = = = TH2: c + d c − d 2c 2d b d a + b a − 2b a c = , b, d 0, CMR : = Bài 39: Cho c + d c − 2d b d HD: Từ GT, Ta nhân chéo rút gọn: b a − 2b a b a+b a c c+d = = = = = Hoặc : GT = , Trừ vào vế ta : = d c − 2d c d a − 2b c − 2d b d ab bc a b Bài 40: Cho c , CMR: = = b c a+b b+c a +b+c a −b +c = , b , Chứng minh rằng: c = Bài 41: Cho tỉ lệ thức: a +b−c a −b−c HD: ( a + b + c ) − ( a − b + c ) = 2b = = a + b + c = a + b − c = 2c = = c = Ta có: GT = ( a + b − c ) − ( a − b − c ) 2b TH1: Bài 42: Cho tỉ lệ thức : a −b+c a+b+c = ( b ) , CMR : a=0 −a − b + c −a + b + c HD: a −b+c 2a a+b+c a −b +c 2a a +b+c = = = −1 = − => −a − b + c −a + b + c −a − b + c −a + b + c −a − b + c −a + b + c Nếu a ta có −a − b + c = −a + b + c = −b = b = b = vô lý=> a=0 a b c d = = = Bài 43: Cho a, b, c, d t/m : , a+b+c+d 0, Chứng minh rằng: a= b= c= d 3b 3c 3d 3a HD: a b c d a +b+c+d Từ GT ta có: GT = = = = = = => a = b = c = d 3b 3c 3d 3a ( a + b + c + d ) a a a Bài 44: Cho = = = , a1 + a2 + + a9 0, CMR : a1 = a2 = a3 = = a9 a2 a3 a1 HD : Từ GT cộng từ với tử, mẫu với mẫu a + b2 a ab b Bài 45: Cho tỉ lệ thức: = ( c ) , CMR : 2 = b +c c bc c HD: a.10 + b b 10a a a b a b2 a.b a + b2 a GT = = = = = = = = = = = b.10 + c c 10b b b c b c b.c b2 + c c a c Bài 46: CMR: a+c=2b 2bd=c(b+d) = với b,d khác b d HD: a c Vì a+c=2b nên từ 2bd=c(b+d) ta có: (a+c)d=c(b+d) hay a.d=b.c=> = b d Từ 22 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 47: Chứng minh rằng: ( x + y ) = ( y + z ) = ( z + x ) , Thì x− y y−z = HD: x+ y z+x x+ y−z−x y + z z + x −y − z + z + x x − y = = = = = = y − z 3 −3 + 3− ( z + x) z+x y−z z+x x− y z+ x x− y z+x = y − z = = (2) = = x − y = = = (1) 10 5 10 x− y y−z = Từ (1) (2) ta có: 2 Bài 48: Cho a + d = b + c, a + d = b2 + c2 ( b, d 0, ) CMR số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức: HD : a c 2 Vì a + d = b + c = ( a + d ) = ( b + c ) = 2ad = 2bc = = b d a+b c+a = Bài 49: Cho , Chứng minh số a,b,c 0, lập thành tỉ lệ thức a−b c−a HD : a+b c+a a +b a −b a b = = = = = Vì : a−b c−a c+a c−a c a Bài 50: Chứng minh : Nếu có a, b, c, d thỏa mãn : ab ( ab − 2cd ) + c 2d ab ( ab − ) + ( ab + 1) = chúng lập thành tỉ lệ thức : Ta có: HD : Từ GT=> TH1: ab ( ab − 2cd ) + c2d = = ( ab − cd ) = = ab = cd = đpcm TH2 : ab ( ab − ) + ( ab + 1) = = a2b − 2ab + 2ab + = = a2b = −2 ( Vô lý) ax + by = k ( c, d 0) , Chứng minh rằng, Giá trị M không phụ thuộc vào x,y Bài 51: Cho M = cx + dy số a,b,c,d lập thành tỉ lệ thức : HD : ax + by b = k, Đặt Chọn x = 0, y = = = k d cx + dy a a b Chọn x = 1, y = = = k = = c c d a c Bài 52: Chứng minh : Nếu a + c = 2b 2bd = c ( b + d ) = b d HD : Từ GT = ( a + c ) d = c (b + d ) , Nhân vào=> ĐPCM Bài 53: Cho x,y,z số khác x2 = yz; y2 = xz; z = xy CMR : x=y=z HD : Từ gt=> cặp phân số Bài 54: Cho a,b,c,d,e,g Z , Biết b,d,g>0 a.d - b.c=2009 c.g - d.e =2009 c a+e a c e a, So sánh & & b, So sánh: & d b+ g b d g HD : a c c e a c e a, Từ GT ta có : a.d b.c = c.g d e = = b d d g b d g b, Từ GT ta có : c a+e a.d − b.c = c.g − d e = a.d + de = cg + bc = d ( a + e ) = c (b + g ) = = d b+ g 23 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 55: Chứng minh : Nếu a = bc a+b c+a = , Đảo lại có không ? a−b c−a HD : a b a +b a −b = = = c a a+c c−a a + b a − b 2b b a = = = = , Ngược lại : c + a c − a 2a a c x y z = = Bài 56: Cho , a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c a b c Chứng minh rằng: = = x + y + z 2x + y − z 4x − y + z HD: a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c Từ GT=> = = x y z ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) = a = x + 2y + z x + 2y + z ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) − ( 4a − 4b + c ) b = = 2x + y − z 2x + y − z ( a + 2b + c ) − ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) c = = 4x − y + z 4x − y + z a b c => (đpcm) = = x + y + z 2x + y − z 4x − y + z x y z a b c = = Bài 57: Cho , Chứng minh : = = a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c x + y + z 2x + y − z 4x − y + z HD: a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c Từ GT=> = = x y z ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) = 9a = x + 2y + z x + 2y + z ( a + 2b + c ) + ( 2a + b − c ) − ( 4a − 4b + c ) 9b = = 2x + y − z 2a + y − z ( a + 2b + c ) − ( 2a + b − c ) + ( 4a − 4b + c ) 9c = = 4x − y + z 4x − y + z y + 2z − x 2z + x − y x + y − z x y z Bài 58: Cho , CMR: = = = = 2b + 2c − a 2c + a − b a + 2b − c a b c x y z a b c = = Bài 59: Cho , CMR: = = a − 2b + c 2a − b − c 4a + 4b + c x + y + z z − y − 2x 4x − y + z HD: a − 2b + c 2a − b − c 4a + 4b + c Nghịch đảo GT ta được: = = x y z ( a − 2b + c ) + ( 2a − b − c ) + ( 4a + 4b + c ) = 9a = x + 2y + z x + 2y + z ( 4a + 4b + c ) − ( 2a − b − c ) − ( a − 2b + c ) = 9b = z − y − 2x z − y − 2x ( a − 2b + c ) − ( 2a − b − c ) + ( 4a + 4b + c ) 9c = = 4x − y + z 4x − y + z Từ GT = 24 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 60: Cho dãy tỉ số: bz − cy cx − az ay − bx x y z = = , Chứng minh rằng: = = a b c a b c HD: bxz − cxy cxy − ayz ayz − bxz ( bxz − cxy ) + ( cxy − ayz ) + ( ayz − bxz ) = = = =0 ax by cz ax + by + cz y z bz = cy b = c x y z = = = => cx = az = a b c ay = bx x = z a c 3x − y z − x y − 3z x y z = = Bài 61: Cho , CMR: = = 2 HD: 3x − y = ( 3x − y ) + ( z − x ) + ( y − 3z ) x y z GT = = = 2 z − x = => = = 16 + + 4 y − 3z = 2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx x y z Bài 62: Cho dãy tỉ số nhau: , Chứng minh rằng: = = = = a b 3c a 2b 3c HD : Từ GT ta có : 2abz − 3acy 6bcx − 2abz 3acy − 6bcx 2abz − 3acy + 6bcx − 2abz + 3acy − 6bcx = = = =0 a2 4b2 9c a + 4b2 + 9c x z x z y y z => 2bz − 3cy = = 3cx − az = = = = = = = a 3c 3c 2b a 2b 3c a b c ( a − c) = = Bài 63: Cho dãy , Chứng minh rằng: = (a − b)(b − c) 2009 2011 2013 HD: a b c a −c a −b b −c = = = = = =k Ta có: 2009 2011 2013 −4 −2 −2 Từ GT => a − c = −4k 2 a − c) −4k ) ( ( = a − b = −2k = = = 4k ( a − b )( b − c ) = 4k => VT= VP 4 b − c = −2k Bài 64: Cho số x,y,z thỏa mãn: x y z = = , CMR : ( x − z ) = ( x − y ) ( y − z ) 1998 1999 2000 HD: ( x − z) = x − y y − z x−z x− y y−z x−z x− y y−z = = = Từ gt=> ( )( ) = => −2 −1 −1 −2 −1 −1 Bài 65: Cho số x,y,z thỏa mãn: by+cz=a, ax+cz=b, ax+by=c , với a,b,c số dương cho trước 1 khơng phụ thuộc vào a,b,c + + x +1 y +1 z +1 HD: Cộng theo vế GT ta được: a + b + c = ( ax + by + cz ) = ( ax + a ) = 2a ( x + 1) = 2a = x +1 a + b + c Chứng minh tương tự ta có: 2b 2c = , = y +1 a + b + c z +1 a + b + c 25 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Khi đó: Bài 66: Cho 2(a + b + c) 1 + + = =2 x +1 y +1 z +1 a+b+c x2 − yz y − zx z − xy a − bc b2 − ca c − ab , Chứng minh: = = = = x y z a b c HD: x2 − yz y − zx z − xy x2 − yz y − zx z − xy = ,b = = ,c = = k = a = a k b k c k 2 2 3 2 ( x − x yz + y z ) − y z − xy − xz + x yz = a − bc = x3 + y3 + z3 − 3xyz => a − bc = k2 k2 x 2 c − ab b − ca Chứng minh tương tự: = x3 + y3 + z − 3xyz => đpcm = x3 + y + z − 3xyz y z a + b2 2006 2006 2004 2004 a + b = a + b Bài 67: Cho a, b dương thỏa mãn: , Chứng minh 2−4 32 HD: a + b2 Giả sử: a=1=>b=1=> = 2−4 Nếu: a, b , Giả sử: a b = a 2004 ( a − 1) = b2004 (1 − b2 ) 32 2004 a 1− b => 2004 = , Vì a b = − b2 a − = a + b2 2 b 1− a 2 a +b = = 2−4 32 32 1 1 1 + + 0 Bài 68: Cho a,b,c + + = , chứng minh rằng: ab bc ca a b c HD: 11 1 1 1 Từ GT=> = − + = + a ab c b c 1 1 1 + 0, + , Tương tự: => + bc ab ab ac ac bc 1 Cộng theo vế ta được: => + + ab bc ca a −b b−c c−a ,y= ,z = Bài 69: Cho x = , Chứng minh (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z) a+b b+c c+a HD: a −b 2b 2a 2c , z +1 = +1 = Xét x + = , Tương tự: y + = b+c a+b a+b c+a 8abc Khi VT = ( a + b )( b + c )( c + a ) 2c a −b 2b 2a ,1 − z = = Tương tự: − x = − , 1− y = b+c a+b a+b c+a 8abc Khi đó: VP = = VT ( a + b )( b + c )( c + a ) Đặt: Bài 70: Cho x2 + y = b.x2 = a y2 Chứng minh rằng: x 2000 y 2000 + 1000 = 1000 a b (a + b)1000 HD: Từ bx + ay = x2 y x2 + y = = = a b a+b a +b 26 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức x 2000 y 2000 x 2000 y 2000 = 1000 = = 1000 + 2000 = 1000 1000 1000 a b a b ( a + b) (a + b) Bài 71: Chứng minh nếu: x = HD: a −b b−c c−a ,y= ,z = Thì (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z) a+b b+c c+a a −b 2b 2a 2c , z +1 = +1 = , Tương tự: y + = b+c a+b a+b c+a 8abc Khi VT = ( a + b )( b + c )( c + a ) 2c a −b 2b 2a ,1 − z = = Tương tự: − x = − , 1− y = b+c a+b a+b c+a 8abc Khi đó: VP = = VT ( a + b )( b + c )( c + a ) Xét x + = 2c b + c b2 b2 = Bài 72 : Biết a + ab + = 15 c + = a + ac + c = a, c 0; a −c , CMR : a a+c 3 HD: b2 b2 2 Ta có: a + ab + = 15 = + = ( a + ac + c ) + c + 3 = 2c = ab − ac = 2c = ab + ac − 2ac = 2c + 2ac = ab + ac 2c b + c = 2c ( c + a ) = a ( b + c ) = = a a+c x Bài 73: Cho 3x = y−1 8y − x+8 = Chứng minh rằng: = y HD: Từ 8y = 2x+8 = 23y = 2x+8 = 3y = x + (1) y −1 Và 3x = 9y−1 = ( ) = x = y − thay vào (1) ta được: 3y = y − + = y = = x = 10 a c a+c Bài 73: Cho số hữu tỉ: x = ; y = ; z = với a,b,c,d số nguyên b,d>0 b d b+d CMR: x = = = x y z t TH1: x + y + z + t = = P = −4 TH2: x + y + z + t = P = Ax + By + C Bài 80: Cho A, B, C tỉ lệ với a, b, c, CMR : Q = không phụ thuộc vào x, y ax + by + c HD : k ( ax + by + c ) A B C Ta có : = = = k = A = ka, B = kb, C = kc = Q = =k a b c ax + by + c x y z Bài 81: Cho số a,b,c,x,y,z thỏa mãn : a + b + c = a2 + b + c = = = ( Các tỉ số có a b c 2 nghĩa), CMR : x + y + z = ( x + y + z ) Bài 82: Cho a, b, c khác thỏa mãn: 12ab + 4bc + 3ac + = = , CMR: 3a = 4b = c 4b c 3a 28 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức ... tổng chúng , tử chúng tỉ lệ với 3:4:5 mẫu số tương 70 ứng chúng tỉ lệ với 5:1:2 HD : a b c a b c a b c x y z Gọi phân số cần tìm ; ; ta có: + + = , = = = = x y z x y z 70 a b c a+b+c 1 a x b... = = 70 = 5 71 5 + + 5 10 a b c => = ; = ; = ba phân số cần tìm x 35 y z 14 Bài 56: Số M chia làm số tỉ lệ với 0,5;1 ;2 , tìm số M biết rẳng tổng bình phương ba số 4660 HD : 20 27 = : 20 : 27 Ta... c = , CMR : = Bài 34: Cho 3a − 7b 3c − 7d b d HD : 2a + 13b 3a − 7b ( 2a + 13b ) − ( 3a − 7b ) b a a c = = = = = = GT=> 2c + 13d 3c − 7d ( 2c + 13d ) − ( 3c − 7d ) d c b d Từ GT = a+b c+d a
Ngày đăng: 11/02/2022, 09:31
Xem thêm: