Suy ra điều phải chứng minh... Khi đó tam giác ABC là tam giác đều.
Trang 1một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Phơng pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A –B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M2 0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx
b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz
c) x2 + y2 + z2+3 2 (x + y + z)
Giải: a) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx =
2
1
.2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx)
=
2
1
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 0
Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y; (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz – 2yz
=( x – y + z)2 0 đúng với mọi x;y;zR
Vậy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2-2z +1
= (x-1)2+ (y-1) 2 +(z-1)2 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
2 2
2
2
b a b
2 2
2 2
3
b c a b c a
c) Hãy tổng quát bài toán
Giải: a) Ta xét hiệu
2 2
2
2
b a b
4
2 4
2a2 b2 a2 abb2
4
4
b
2 2
2
2
b a b
a ; Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu:
2 2
2 2
3
b c a b c
9
a
Vậy
2 2
2 2
3
b c a b c
a ; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát:
2 2
1 2 2
2 2
n
a a
a n
a a
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng
Chú ý các hằng đẳng thức sau: A B 2 A2 2AB B 2
A B C2 A2 B2 C2 2AB 2AC 2BC
A B 3 A3 3A B2 3AB2 B3
Ví dụ 1:Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng: a) a b ab
4
2 2
b)a2 b2 1 abab c)a2 b2c2 d2e2 abcde
Trang 2Giải: a) a b ab
4
2
2 2 0
a b (bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậya b ab
4
2
2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b) a2 b2 1 abab 2 (a2 b2 1 2 (abab)
a2 2abb2 a2 2a1b2 2b10
( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 0
a b a b Bất đẳng thức cuối đúng
Vậy a2 b2 1 abab Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c) a2 b2 c2 d2 e2 abcde
4 a2 b2 c2 d2 e2 4abcde
a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d2 a2 4ac 4c2 0
a 2b2a 2c2a 2d2 a 2c2 0
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 Chứng minh rằng :
3
4 1
1 1
1
a
Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng ;
3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b)2 4ab
Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x>y Chứng minh
y x
y x
2
2
2 2
Giải: Ta có:
y x
y x
2
2
2 2 vì : x y nên x- y 0 x2+y2 2 2( x-y) x2+y2- 2 2 x+2 2y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0
x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y- 2)2 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 CMR a3 + b3 + ab
2 1
Giải : Ta có : a3 + b3 + ab
2
1
<=> a3 + b3 + ab -
2
1
0 <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab -
2
1
0 <=> a2 + b2 -
2
1
0 Vì a + b = 1 2a2 + 2b2 - 1 0 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) 4a2 - 4a + 1 0 ( 2a - 1 )2
0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab
2 1
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2 1
Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a) x2 y2 2xy
b) x y2 4xy
a
b b a
2)Bất đẳng thức Cô sy: n n a a a a n
n
a a
a a
3 2 1 3
2 1
Với a i 0
3)Bất đẳng thức Bunhiacopski: 2
2 11 2 2 2
2 1 2 2 2
2
2 a a n.x x n xa xa xa n
a
Trang 34) Bất đẳng thức Trê- b-sép:
Nếu
C B A
c b a
3
3 3
C B A c b a cC bB
Nếu
C B A
c b a
3
3 3
C B A c b a cC bB
Dấu bằng xảy ra khi
C B A
c b a
b/ Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: xy2 4xy
Tacó a b2 4ab
; b c2 4bc
; c a2 4ac
a b2 b c2 c a2 64a2b2c2 8abc2 (a+b)(b+c)(c+a)8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:
2
c a c
b c b a
Giải: áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) 2 a(bc)
c b a
a c
b
a
2
Tơng tự ta thu đợc :
c b a
b a
c
b
2
,
c b a
c b
a
c
2
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :
a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng )
c a c
b c b a
Ví dụ 2 : Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x2 + y2 = x 1 y2 y 1 x2
Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
(x2 + y2)2 = (x 1 y2 y 1 x2 )2 ( x 1 ; y 1)
(x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) => x2 + y2 1
Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5
Đẳng thức xảy ra
4 3
0 , 0
1
2 2
y x y x
y x
5 4 5 3
y
x
Điều kiện :
2
5 2
3
x
Ví dụ 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 Chứng minh rằng :
a, ab bc ca 6
b, a 1 b 1 c 1 3 , 5
Giải : a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
a
=> ab bc ca2 3 ( 2a 2bac) 6 => ab bc ca 6
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
3 1
b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : 1
2 2
1 ) 1 (
1
a
Trang 4Tơng tự : 1
2
1
2
1
c
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc : 3 3 , 5
2 1 1
1
c b
a
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy : a 1 b 1 c 1 3 , 5
Ví dụ 4 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 Chứng minh rằng : 111 9
c b a
Giải : Ta có : 0
a
b b
a
, a , b > 0
Ta có :
c b a
1 1 1
) 1 1 1 (
c b
a 1 = (1 1 1)
c b
a (a + b + c) =1 1 1
b
c a
c c
b a
b c
a b
a
= 3 ( ) ( ) ( )
c
a a
c b
c c
b a
b b
a
3 + 2 + 2 + 2 = 9
=> 111 9
c b
a Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =
3 1
Ví dụ 5: Cho x , y > 0 Chứng minh rằng : x y x y
1 4
1
Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy 2 xy
y x
1 1
2xy
=> (x + y)( 1x 1y ) 4 => 1x 1y x 4 y
Ví dụ 6: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
(ac) 2 (bd) 2 a2 b2 c2 d2
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd a2 b2 c2 d2
mà ac2 bd2 a2 b2 2acbdc2 d2
a2 b2 2 a2 b2 c2 d2 c2 d2
(ac) 2 (bd) 2 a2 b2 c2 d2
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: a2b2c2 abbcac
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có
1 2 1 2 1 2(a2 b2 c2 ) 1 a 1 b 1 c2
3a2 b2 c2a2 b2 c2 2abbcac
a2b2c2 abbcac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phơng pháp 4:dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dơng thì
a – Nếu 1
b
a
thì
c b
c a b
a
b – Nếu 1
b
a
thì
c b
c a b
a
2) Nếu b, d >0 thì từ
d
c d b
c a b
a d
c b
a
Trang 5
b a d
d a d c
c d c b
b c b a a
Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:
d c b a
d a c b a
a c
b a
a
Mặt khác :
d c b a
a c
b a
a
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
d c b a
a
<
c b a
a
<
d c b a
d a
(3) Tơng tự ta có:
d c b a
a b d c b
b d
c b a
b
d c b a
c b a d c
c d c b
a
c
d c b a
c d b a d
d d
c b
a
d
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
2
b a d
d a d c
c d c b
b c
b
a
a
điều phải chứng minh
Ví dụ 2 : Cho:
b
a
<
d
c
và b,d > 0 Chứng minh rằng
b
a
<
d
c d b
cd ab
2 2
Giải: Từ
b
a
<
d
c
2
2 d
cd b
ab
d
c d
cd d b
cd ab b
ab
2
Vậy
b
a
<
d
c d b
cd ab
2
2 điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Cho a;b;c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
d
b c
a
Phơng pháp 5: Phơng pháp làm trội
Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn
(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1u2 u n
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
1
k k
u
Khi đó :
S = a1 a2 a2 a3 a n a n1a1 a n1
(*) Phơng pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 u n
Biến đổi các số hạng u k về thơng của hai số hạng liên tiếp nhau:u k=
1
k
k
a
a
Khi đó P =
1
1 1 3
2 2
1
n n
n
a
a a
a a
a a a
Ví dụ 1 :Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng :
4
3 1
2
1 1
1 2
1
n n n
n
Giải: Ta có
n n n k
1 1 1
với k = 1,2,3,…,n-1,n-1
Do đó:
2
1 2 2
1
2
1 2
1
2
1 1
1
n n n
n n
n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 2 1 1
3
1 2
1
1 n
n Với n là số nguyên
Trang 6Giải : Ta có k k
k k k
k 2 1
1
2 2
2 1
Ta có: 1 > 2 2 1
2 3 2
2
1
…,n-1…,n-1…,n-1…,n-1…,n-1…,n-1
n n
n 2 1
1
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
1 2 1 1
3
1 2
1
1 n
n
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng 1 2
1 2
n
k k n Z
Giải: Ta có
k k k k
k
1 1
1 1
1 1
Ta có:
1 1
3
1 2 1
1 1
1 1
3
1 2
1 3 1
2
1 1 2 1
2 2
2 2
2 2
n
n n n
Vậy 1 2
1 2
n
k k
Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0; và |b-c| < a < b+c ; c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ 1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải: a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
b a c
c a b
c b a
0
0
0
) (
) (
) (
2 2 2
b a c c
c a b b
c b a a
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > b-c a2 a2 (b c) 2> 0
b > a-c b2 b2 (c a) 2> 0
c > a-b 2 2 ( ) 2 0
c a b c
Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc
a b c b c a c a b
abc
b a c a c b c b a c b a
b a c a c b c b a c b a
.
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Trang 7Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam
giác) Chứng minh rằng : 1 1 1 2
a p b p c
c b
a
Giải: Ta có : p - a = 0
c a b
Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;
áp dụng bất đẳng thức
y x y
x
4 1 1
ta đợc ;
c b p a p b p a p
4 ) ( ) (
4 1
1
Tơng tự :
a c p b p
4 1 1
b c p a p
4 1 1
=> 2 ( 1 1 1 ) 4 (1 1 1)
c b a c
p c p a
p => điều phải chứng minh
Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi đó tam giác ABC là tam giác đều Phơng pháp 7: đổi biến số
Ví dụ1: Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :
2
3
c a c
b c b a
Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c =
2
z y
x
=> a =
2
x z
y
, b =
2
y x
z
, c =
2
z y
x
Khi đó : VT =
a b
c a c
b c b
a
z
z y x y
y x z x
x z y
2 2
2
2
3 ) ( 2
1 ) ( 2
1 ) (
2
1
z
y y
z z
x x
z y
x x
y
Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1 Chứng minh rằng 9
2
1 2
1 2
1
2 2
bc b ac c ab
Giải: Đặt x = a2 2bc
; y = b2 2ac
; z = c2 2ab
Ta có 2 1
y z a b c
(1) 111 9
z y
x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: xyz3.3 xyz
z y x
1 1 1
3 .3 1
xyz . 1 1 1 9
z y x z y x
Mà x+y+z < 1 Vậy 111 9
z y
Phơng pháp 8: dùng tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f x ax2bxc
Nếu 0 thì a.f x 0 x R
Nếu 0 thì a.f x 0
a
b
x
Nếu 0 thì a.f x 0 với x x1 hoặc x x2 (x 2 x1)
a.f x 0 với x1xx2
Ví dụ: Chứng minh rằng: , 2 5 2 4 2 6 3 0
y x
Giải:Ta có (1) 2 2 2 1 5 2 6 3 0
x
2 12 5 2 6 3
y y y 4y2 4y 1 5y2 6y 3 y 12 1 0
Trang 8Vậy fx,y 0 với mọi x,
Phơng pháp 9: dùng quy nạp toán học
Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0ta thực hiện các bớc sau :
1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 – kết luận BĐT đúng với mọi n n0
Ví dụ1: Chứng minh rằng
n n
1 2
1
2
1 1
1
2 2
2 nN;n 1 (1)
Giải : Với n =2 ta có
2
1 2 4
1
1 (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2
Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh
BĐT (1) đúng với n = k+1
Thật vậy khi n =k+1 thì (1)
1
1 2 ) 1 (
1 1
2
1 1
1
2 2
2 2
k k
k
Theo giả thiết quy nạp
1 2 1
1 1 2 ) 1 (
1 1
2
1 1
1
2 2
2 2
1 1
1 1
1 ) 1 (
1
1
1
2 2
)
1
(
1
1
k k
k k k
k
k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất đẳng thức (1)đợc c/ m
Ví dụ2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 thì : 2n > 2n + 1 (*)
Giải : + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3
+ Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2k > 2k + 1
ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1
hay : 2k+1 > 2k + 3 (**)
+ Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp )
do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0)
Vậy (**) đúng với mọi k 3
+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n 3
Ví dụ 3: Chứng minh rằng :
2
1
4
3
6
5
n
n
2
1
2
1 3
1
n (*) (n là số nguyên dơng )
Giải : + Với n = 1 , ta có : VT = VP =
2
1
Vậy (*) đúng với n = 1
+ Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có :
2
1
4
3
6
5
k
k
2
1
2
1 3
1
k
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là :
2
1
4
3
6
5
k
k
2
1
2
) 1 ( 2
1 2
k
k
1 3
1
) 1 ( 2
1 2
k k
do đó chỉ cần chứng minh :
1 3
1
k 2 ( 1 )
1 2
k
k
3( 11) 1
k
Trang 9dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có :
(2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2
12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4
k 0 => (**) đúng với mọi k 1
Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dơng n
Phơng pháp 10: Chứng minh phản chứng
Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là
điều trái ngợc nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 CMR: a > 0, b>0, c>0 Giải : Giả sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 do đó a < 0
Mà abc > 0 và a < 0 cb < 0
Từ ab+bc+ca > 0 a(b+c) > -bc > 0
Vì a < 0 mà a(b +c) > 0 b + c < 0
a < 0 và b +c < 0 a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0
Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0
Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c , d thỏa mãn điều kiện: ac 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:a2 4b , c2 4d
Giải : Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 4b
, c2 4d
đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc
) (
4
2
Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
Từ (1) và (2) a2 c2 2ac hay 2 0
c
a (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 4b
và c2 4d
có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng
Nếu x+y+z > 1x1y1z thì có một trong ba số này lớn hơn 1
Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – (1x1y1z) vì xyz
= 1
theo giả thiết x+y +z > 1x1y 1z nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1
xyz > 1 (trái giả thiết) Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
các bài tập nâng cao
i / Dùng biến đổi tơng đơng
1) Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng:
2 2 2
y x
y x
Giải :Ta có 2 2 2 2 2 2
y x y xy x y
x (vì xy = 1) 2 22 4 4 2 4
x
Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với
x y4 4x y2 4 8 x y2 4 4 2 4 0
x x y2 22 0
BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy 1 Chứng minh rằng:
xy y
x
2 1
1 1
1
2 2
Giải : Ta có
xy y
x
2 1
1 1
1
2
1
1 1
1 1
1 1
1
2 2
Trang 101 .1 1 2.1 0
2 2
2
xy y
y xy xy
x
x
xy
1 .1 0
) ( 1
1
) (
2
xy y
y x y xy
x
x y x
1 1 .1 0
1 2
2
2
xy y
x
xy
x
y
BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh
ii / dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng:
3
1
2 2
2 b c
a
Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
Ta có 1 a 1 b 1 c2 1 1 1.a2 b2 c2 abc2 3 a2 b2 c2
3
1
2 2
2 b c
a (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
2) Cho a,b,c là các số dơng Chứng minh rằng: . 1 1 1 9
c b a c b
Giải : (1) 1 1 1 9
a
c a
c c
b a
b c
a b
a
b
c c
b a
c c
a a
b b a
áp dụng BĐT phụ 2
x
y y
x
Với x,y > 0
Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng Vậy . 1 1 1 9
c b a c b
Iii / dùng phơng pháp bắc cầu
So sánh 3111 và 1714
Giải : Ta thấy 31 11 < 32 11 2 5 11 2 55 2 56
Mặt khác 2 56 2 4.14 2 4 14 16 14 17 14
Vậy 3111 < 1714 (đpcm)
iv/ dùng tính chất tỉ số
1) Cho a ,b ,c ,d > 0 Chứng minh rằng :2 a b b c c d d a 3
Giải : Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
a b a b a b d
b c b c b c a
d a d a d a c
Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
2 a b b c c d d a 3
2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
Chứng minh rằng:1 a b c 2
b c c a a b
Giải :Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
Từ (1) a a a 2a
b c a b c
Vậy ta có a a 2a
a b c a c a b c