SKKN Bồi dưỡng tư duy sáng tạo qua việc chứng minh bất đẳng thức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO QUA VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tóm tắt nội dung A – Lời mở đầu 1 – Lí do chọn đề tài 2 – Phạm vi nghiên cứu B – Nội dung Phần I – Lý thuyết chung về Bất Đẳng Thức 1 - Định nghĩa và tính chất 2 – Các hằng bất đẳng thức cần nhớ. Phần II – Phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1 – Các phương pháp chung. 2 – Các ví dụ minh hoạ cho từng phương pháp. - Phần bất đẳng thức đại số - Phần bất đẳng thức hình học Phần III – Một số dạng toán vận dụng ch ứng minh bất đẳng thức 1 – Giải phương trình 2 – Tìm cực trị 3 –So sánh Phần IV – Bài soạn minh hoạ Giáo án 2 tiết C – Kết quả và bài học kinh nghiệm A – Lời mở đầu 1 – Lí do chọn đề tài: Năm học 2007 – 2008 là năm học mà toàn ngành giáo dục hưởng ứng thực hiện cuộc vận động hai không: - Nói không với tiêu cực trong thi cử và bệnh thành tích trong giáo dục. - Nói không với vi phạm đạo đức nhà giáo và việc ngồi nhầm lớp Tại khoản 2 -điều 28 - luật giáo dục năm 2005 nói rừ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của họ c sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tỡnh cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Để thực hiện được điều đó, bản thân từng giáo viên, từ ng học sinh cũng cần có những thay đổi rõ rệt về quan điểm, phương pháp dạy, phương pháp học. Đặc biệt là đối với mỗi giáo viên, ngoài mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm trong giờ giảng người giáo viên cần luôn luôn tìm tòi, học hỏi, đổi mới phương pháp sao cho phù hợp với nội dung, hình thức bài giảng. Là một giáo viên dạy toán, tôi thấy việc làm thế nào để học sinh thấy cái hay trong học toán, phát huy được óc sáng tạo, phát triển tư duy lôgic ở học sinh là việc làm rất cần thiết. Do yêu cầu thực tiễn đặt ra: Làm thế nào để bồi dưỡng năng khiếu học toán, nâng cao và bổ sung thêm những kiến thức cần thiết cho học sinh, giúp các em có một nền móng vững chắc từ khi còn ở bậc THCS, làm tiền đề để học tốt môn Toán ở các lớp trên? Việc xây dựng các chuyên đề để bồi dưỡng học sinh khá - giỏi là nhu cầu không th ể thiếu trong các trường THCS, nhằm đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của chiến lược“ bồi dưỡng nhân tài” trong sự nghiệp đổi mới của đất nước. Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức trong chương trình toán THCS là phần khó, gây nhiều bối rối, lo sợ, ngại giải loại toán này. Tuy nhiên, đây cũng là phần đòi hỏi nhiều tư duy, nên cũng rất hay, lôi cuốn những học sinh yêu môn toán. Trong nhiều năm qua, tôi thường được phân công dạy toán lớp 8, lớp 9 và thực hiện triển khai hoạt động của Câu lạc bộ Toán lớp 8 dành cho học sinh giỏi. Tôi luôn tìm tòi cách dạy dễ hiểu, ngắn gọn, đơn giản nhất có thể được để đi đến kết quả, đồng thời tôi luôn nêu ví dụ mẫu, hướng dẫn, gợi ý cho học sinh phát triển bài toán, đặc biệt là đối với phầ n chứng minh bất đẳng thức và tôi đã đúc rút ra một số kinh nghiệm hay. Đó là lí do mà tôi chọn và trình bày kinh nghiệm: “ Bồi dưỡng tư duy sáng tạo qua việc chứng minh bất đẳng thức ”. Được sự chỉ đạo, giúp đỡ của BGH, tổ, nhóm chuyên môn trong trường, tôi viết ra kinh nghiệm này với mong muốn trao đổi, tự bồi dưỡng nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và học hỏi thêm . Trong bài viết chắc còn những thiếu sót, nên tôi rất mong được sự góp ý, chỉ bảo thêm của người đọc. Tôi xin chân thành cảm ơn! 2 – Phạm vi của đề tài - Đối tượng dạy: Chủ yếu là học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 - Ph ạm vi nghiên cứu: Chủ yếu là các kiến thức cơ bản và nâng cao, phát triển trong chương trình Toán lớp 8, lớp 9. 3 – Tài liệu tham khảo Tên sách Tác giả - SGK Đại số 8 - Toán cơ bản và nâng cao Đại số 8 - Tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THCS - Một số vấn đề phát triển Đại số 8, 9 - Phương pháp giải 100 bài toán chọn lọc về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất - 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp Bộ GD - ĐT Vũ Hữu Bình Bộ GD - ĐT Vũ Hữu Bình Phan Vă n Phùng Chủ biên Nguyễn Đức Đồng Nguyễn Văn Vĩnh B - Nội dung Phần I Lí thuyết chung về bất đẳng thức I - định nghĩa và tính chất 1 - Định nghĩa * Hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ “ >”, “<”, “”, “ ”, cho ta một bất đẳng thức A > B hoặc A < B hoặc A  B hoặc A  B. * Viết A > B  A – B > 0 ( đọc là A lớn hơn B) A  B  A – B  0 ( đọc là A nhỏ hơn hay bằng B ) * Bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức thực sự ( hay bất đẳng thức chặt) 2 – Tính chất: * Tính bắc cầu:  a,b,c  R a  b b  c  a  c * Liên hệ thứ tự với phép cộng ( trừ) a  b  a  m  b  m  a,b,m  R + Hệ quả 1 : Chuyển vế đổi dấu a  b + c  a – c  b. + Hệ quả 2 : Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều a  b c  d  a + c  b + d + Hệ quả 3 : Trừ 2 bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ a > b c < d  a – c > b – d * Liên hệ thứ tự và phép nhân ( chia)  a, b , m  R a  b  am  bm với m > 0 am  bm với m < 0 + Hệ quả 1 : Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều với 2 vế không âm a  b  0 c  d  0  a . c  b . d + Hệ quả 2 : a > b > 0  a n > b n n  R a > b  a 2k + 1 > b 2k + 1 a  b > 0  n a  n b * Lấy nghịch đảo và đổi chiều bất đẳng thức a > b > 0 hoặc a < b < 0 ( a và b cùng dấu) thì: ba ba 11  * So sánh 2 luỹ thừa cùng cơ số m > n > 0 thì: a > 1  a m > a n a = 1  a m = a n a < 1  a m < a n 3 – Cần ghi nhớ: * Một bất đẳng thức có thể đúng ( hoặc sai) yêu cầu chứng minh bất đẳng thức, ta phải hiểu đó là bất đẳng thức đúng. * Không được trừ 2 bất đẳng thức cùng chiều. * Không được chia 2 bất đẳng thức cho nhau. * Không được luỹ thừa 2 vế bất đẳng thức khi chưa rõ dấu. * Không được khử mẫu bất đẳng thức khi chưa rõ d ấu. II – Các hằng bất đẳng thức cần nhớ 1) A 2  0 , dấu “=” xảy ra khi A = 0 2) | A|  0 , dấu “=” xảy ra khi A = 0 3) | a + b|  | a| + | b| dấu “=” xảy ra khi ab  0 4) | a - b|  | a| - | b| dấu “=” xảy ra khi ab  0 5) 0 A dấu “=” xảy ra khi A = 0 6) Bất đẳng thức Cô si Với các a i  0 ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi a i = a j + Hệ quả: 1)  2 21 21 1 11 n aaa aaa n n            n n i i n i i ana 1 1      2) 2 a b b a 7) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki a i ; b i  |R Dấu đẳng thức xảy ra khi 8) a> 0 , b> 0; m > 0 Nếu 1 b a thì b a mb ma    9) a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác thì | c – b | < a < c + b. 10) Trong tam giác vuông, độ dài cạnh huyền lớn hơn (hoặc bằng) cạnh góc vuông. 11) Trong một tam giác, cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Phần hai – Phương pháp chứng minh bất đẳng thức I - Phương pháp chung chứng minh bất đẳng thức 1 – Cách 1 : Dùng định nghĩa. Để chứng minh A > B ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B > 0 2 - Cách 2 : Dùng các phép biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức phải chứng minh về hằng bất đẳng thức đã biết. 3 – Cách 3: Từ các hằng bất đẳng thức đã biết và dùng các tính chất của bất đẳng thức suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 4 – Cách 4: Dùng phương pháp làm trội, làm non suy ra bất đẳng thức cần chứng minh 5 – Cách 5 : Dùng nguyên lý quy nạp toán học.          n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 . j j i i b a b a  6 – Cách 6:Đặt biến phụ, đưa bất đẳng thức cần chứng minh về các hằng bất đẳng thức đã biết. 7 – Cách 7: Chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng. 8 – Cách 8: Dùng phương pháp xét khoảng. II – Các ví dụ minh hoạ Bất đẳng thức đại số 1) Các bất đẳng thức dạng đa thức liên quan đến tổng các bình phương và tích 2 số đích cuối cùng cũng sử dụng đến hằng bất đẳng thức ( a  b)  0 * Ví dụ 1: Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2  ab + ac + bc ( 1 ) Trong ví dụ này, tôi hướng cho học sinh xét và vận dụng hằng bất đẳng thức a 2 – 2ab + b 2 = ( a – b) 2  0 nên có các cách sau: - Cách 1 : Dùng định nghĩa để chứng minh: Xét hiệu M = a 2 + b 2 +c 2 - ab – ac - bc Biến đổi 2M = ( a 2 – 2ab + b 2 ) + (a 2 – 2ac + c 2 ) + ( b 2 – 2bc + c 2 ) 2M = (a – b) 2 + ( a – c) 2 + ( b – c) 2  0  M  0  bất đẳng thức (1) đã được c/m. - Cách 2 : Dùng phép biến đổi tương đương. Trong cách 2 chỉ khác cách 1 về trình bày như sau: ( 1 )  2a 2 + 2b 2 + 2c 2  2ab + 2ac + 2bc  (a – b) 2 + ( a – c) 2 + ( b – c) 2  0 luôn đúng  bất đẳng thức (1) đúng. - Cách 3 : Dùng hằng bất đẳng thức để chứng minh: có ( a – b ) 2  0  a 2 + b 2  2ab a 2 + c 2  2ac b 2 + c 2  2bc  2 VT  2 VP  VT  VP ( đpcm) - Cách 4 : dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Giả sử: : a 2 + b 2 + c 2 < ab + ac + bc  2(a 2 + b 2 + c 2 ) < 2(ab + ac + bc)  (a – b) 2 + ( a – c) 2 + ( b – c) 2 < 0 ( vô lí ) Vậy bất đẳng thức (1 ) đúng. * Ví dụ 2: Chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2  a( b + c + d + e ) (2 ) Nhận xét: vế trái là tổng các bình phương của 5 số hạng, vế phải là tổng các tích có a phân phối đều vào các tích, nên hướng làm như ví dụ trên, nhưng số hạng a 2 phân bố đều 4 tổng, nên cách giải tương tự như ví dụ trên. 0) 2 () 2 () 2 () 2 ( 2222  e a d a c a b a luôn dương  bất đẳng thức ( 2 ) đúng ( đpcm ) ( các cách khác trình bày tương tự như ví dụ 1 ) * Ví dụ 3: Thay đổi kí hiệu của biến để học sinh quan sát, phân tích, tổng hợp và đưa về bài toán quen thuộc. Đó là chứng minh: x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2  x 1 ( x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) ( đưa về VD 2) 2) Các bất đẳng thức liên quan đến tích và tổng các số không âm thường dùng bất đẳng thức Côsi và hệ quả của bất đẳng thức đó. Ví dụ: Cho a > 0; b > 0 ; c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: b + c > 16 abc Giải : áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2số không âm ta có : (b + c) 2  4 bc (1) ) 4 () 4 () 4 () 4 ()2( 2 2 2 2 2 2 2 2 eae a dad a cac a bab a  [...]... đẳng thức A – Mục tiêu + Học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức; hằng bất đẳng thức để chứng minh + Học sinh biết sử dụng các phương pháp hợp lý cho bất đẳng thức cần chứng minh + Rèn khả năng tư duy sáng tạo + Rèn kỹ năng biến đổi tư ng đương bất đẳng thức và phân biệt kí hiệu “ ” với “  ” B – Chuẩn bị 1 – Giáo viên : + Bảng phụ ghi các phương pháp chứng minh bất đẳng thức +... y = z  a=b=c= 1 3 Bất đẳng thức hình học Chứng minh bất đẳng thức hình học thường dựa vào: + Bất đẳng thức 3 cạnh trong tam giác + Bất đẳng thức cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông có bất đẳng thức về diện tích + Các bất đẳng thức liên quan tổng và tích các cạnh, thường sử dụng bất đẳng thức : 2 ab    ab  2  Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác Hãy chứng minh: 1 1 1 1 1 1   ... ghi các hằng bất đẳng thức ( hoặc dùng phim, đèn chiếu) 2 – Học sinh : Học thuộc định nghĩa, tính chất, hằng bất đẳng thức và các phương pháp chứng minh bất đẳng thức C – Các hoạt động dạy học trên lớp I – kiểm tra bài cũ H1: Phát biểu các cách chứng minh bất đẳng thức? H2: Viết các hằng bất đẳng thức đã học II - Nội dung giờ dạy Hệ thống câu hỏi gợi mở Ghi bảng Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức : - Đối...  16 abc 3) Các bất đẳng thức tổng quát, có luỹ thừa bậc n hoặc n số hạng, hoặc n thừa số ;… thường được chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp * Phương pháp quy nạp: + Bất đẳng thức phải chứng minh đúng với n = n0 + Giả sử bất đẳng thức đó đúng với n = k thì ta cần chứng minh bất đẳng thức đó đúng với n = k + 1 * Ví dụ 1: Chứng minh: 2n > n3 ( 1 ) với n  0 ; n  |N Giải : Bất đẳng thức ( 1 ) đúng... 2 x2  2x  5 Luyện tập * Đối tư ng dạy : Học sinh lớp 9 ( Bổ trợ kiến thức) * Ngày dạy: 11/12/ 2007 * Vị trí tiết dạy: + Trong cấu trúc toán xét biểu thức + Dạy sau khi rèn kỹ phần rút gọn biểu thức A – Mục tiêu + Học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức; hằng bất đẳng thức để chứng minh, so sánh, tìm cực trị của biểu thức + Rèn khả năng tư duy sáng tạo + Củng cố kỹ năng sử dụng... biểu thức cộng với số dương 2 =  2 x  1   11  0    2 H6 : Biến đổi – 10 + 4x – x về biểu thức có thể khẳng định là âm 2 4 Lại có: –10 + 4x – x2 = -( x2 – 4x + 10) = - ( x  2) 2  6  0 từ (1) và (2)  B < 0 III – Củng cố (1) : + Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bậc thấp + Phương pháp chứng minh biểu thức dương, âm như thế nào? A  0  A & B cùng dấu B + Để chứng minh bất đẳng thức em... )3  0  2k+ 1 > ( k + 1 )3 ( *3) Từ (*1); ( *2); (*3)  bất đẳng thức đúng theo nguyên tắc quy nạp toán học 1 1 1 n    n  2 3 2 1 2 Ví dụ 2: Chứng minh: 1  Giải : Bấi đẳng thức (1) đúng với n = 1 vì 1 > (1) với n  |N 1 2 Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k ta có: Sk = 1  1 1 1 k    k  2 3 2 1 2 Ta cần chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với n = k + 1: 1  1   1 1  1 1 Thật vậy:... viên : + Bảng phụ ghi các hằng bất đẳng thức + Bảng phụ ghi phương pháp chứng minh bất đẳng thức( định nghĩa) + Bảng phụ ghi phương pháp so sánh 2 – Học sinh : Học thuộc định nghĩa, tính chất, hằng bất đẳng thức C – Các hoạt động dạy học trên lớp I – kiểm tra bài cũ Viết các hằng bất đẳng thức đã học II – Nội dung bài dạy Phương pháp dạy và học Ghi bảng Bài toán 1: cho biểu thức đã rút gọn P 2x 4 x -... A  0  A & B cùng dấu B + Để chứng minh bất đẳng thức em cần sử dụng kiến thức nào? (2) IV – Hướng dẫn về nhà + Học thuộc lý thuyết + Bài tập tư ng tự: Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức : a) a2 + b2  ab b) a4 + b4  a3 b + ab3 (thường dùng phương pháp định nghĩa; tư ng đương; từ các hằng bất đẳng thức đã biết) Bài 2 : Chứng minh: a) b) x2  x 1 0 x2  x 1 x2  6x  9  3  2x  x2 0 ( Khẳng định... pháp từ các hằng bất đẳng thức đã biết  a2 – 2ab +b2  0  a2 – 4ab +b2 + 2ab  0  (a + b)2 – 4ab  0  (a + b)2  4ab * Cách 4: Giả sử (a – b)2 < 4ab  a2 – 2ab +b2 < 0 2 + H4 : Giải bài tập 1 theo phương pháp  (a – b) < 0 Bất đẳng thức này là sai, nên điều giả sử ban đầu là sai phản chứng Vậy bất đẳng thức (1) là đúng Hệ thống câu hỏi gợi mở Ghi bảng Bài 2: Chứng minh - Phân thức dương khi nào? . phầ n chứng minh bất đẳng thức và tôi đã đúc rút ra một số kinh nghiệm hay. Đó là lí do mà tôi chọn và trình bày kinh nghiệm: “ Bồi dưỡng tư duy sáng tạo qua việc chứng minh bất đẳng thức ” đổi tư ng đương đưa bất đẳng thức phải chứng minh về hằng bất đẳng thức đã biết. 3 – Cách 3: Từ các hằng bất đẳng thức đã biết và dùng các tính chất của bất đẳng thức suy ra bất đẳng thức. bất đẳng thức có thể đúng ( hoặc sai) yêu cầu chứng minh bất đẳng thức, ta phải hiểu đó là bất đẳng thức đúng. * Không được trừ 2 bất đẳng thức cùng chiều. * Không được chia 2 bất đẳng thức