Nâng cao chất lượng học tập bộ môn toán thông qua việc chứng minh bất đẳng thức

A MỞ ĐẦU 1, Cơ sở lý luận: Chúng ta biết: Chương trình tốn học trường trung học sở (THCS) giữ vị trí quan trọng Nó sở, tiền đề, tảng, cho trương trình tốn học cấp học Ngồi mơn học cơng cụ để học nhiều mơn học tự nhiên khác Do mà q trình giảng giạy tốn trường THCS khâu truyền thụ kiến thức cho học sinh khâu vơ quan trọng, kiến thức vốn kiến thức khoa học phải có tồn người học toán, suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Thế thực trạng trường nói chung :”chất lượng thực” mơn tốn thấp so với u cầu Đó điều làm cho nhà giáo dục nói chung giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng giạy mơn tốn nói riêng phải băn khoăn trăn trở Để góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy đáp ứng yêu cầu giáo dục nay, thân giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn tốn trường THCS nên tơi tự đặt cho nhiệm vụ :”Nâng cao chất lượng học tập mơn tốn, thơng qua việc rèn luyện phương pháp giải tốn, trọng phần rèn luyện phương pháp chứng minh bất đẳng thức(BĐT)” cho trình giải tập lực suy nghĩ sang tạo học sinh phát triển đa dạng phong phú, tập bất đẳng thức không theo công thức khn mẫu cả, đòi hỏi phải có cách suy nghĩ sang tạo logic có hệ thống 2, Cơ sở thực tiễn: Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS toán bất đẳng thức khơng có cách giải mẫu, khơng tn theo phương pháp định nên học sinh lúng túng làm tốn bất đẳng thức, học sinh khơng biết phải đâu, theo hướng Vì đa số học sinh khơng biết làm tốn bất đẳng thức, học sinh giỏi lúng túng, chưa có phương pháp làm khơng biết vận dụng BĐT để gải toán khó như: Tìm cực trị biểu thức, tìm nghiệm phương trình hay hệ phương trình… vậy, giảng dạy việc làm cho học sinh(HS) biết chứng minh BĐT vận dụng BĐT vào giải tập có lien quan cơng việc quan trọng khơng thể thiếu người dạy tốn Để làm điều giảng dạy giáo viên phải tích cực hóa động học tập học sinh, hình thành cho em khả tư logic, tính độc lập sáng tạo Qua mà cung cấp cho học sinh số kiến thức cần thiết, kỹ năng, kỹ sảo hệ thống phương pháp làm tập BĐT, xem phương pháp suy nghĩ ban đầu, công cụ để giải tập BĐT Với đề tài ”Nâng cao chất lượng học tập mơn tốn thơng qua việc chứng minh Bất Đẳng Thức” giúp cho học sinh khơng bỡ ngỡ gặp tốn chứng minh BĐT, qua nâng cao nâng lực phát khả tự giải vấn đề cho học sinh từ giúp em học tập tốt hơn, có hứng thú, say mê với mơn tốn nói chung BĐT nói riêng 3, Đối tượng phạm vi nghiên cứu: -Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối 8,9 -Phạm vi nghiên cứu: Nâng cao chất lượng học tốn thơng qua chứng minh BĐT 4, Phương pháp nghiên cứu: -Nghiên cứu chương trình Sách giáo khoa nắm bắt nội dung kiến thức yêu cầu cần đạt khối lớp giải tốn -Tìm đọc tài liệu tham khảo, sách nâng cao, sách bồi dưỡng,… để hệ thống kiến thức có lien quan -Cung cấp kiến thức, hình thành kỹ giải tốn cho học sinh, qua nắm bắt lực học sinh, phát nguyên nhân chất lượng thấp, tìm phương án khắc phục -Trao đổi với đồng nghiệp để rút học kinh nghiệm -Kiểm tra chất lượng học sinh trước sau áp dụng đề tài vào giảng dạy, so sánh kết rút kinh nghiệm giảng dạy cho thân 5, Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 10 năm 2013 đến B NỘI DUNG PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A ≥ B ⇔ A − B ≥  A < B ⇔ A − B < Định nghĩa: Tính chất: + A2 ≥ ∀A + A>B⇔B< A + A > B B > C ⇔ A > C + A > B ⇒ A+C > B +C + A > B C > D ⇒ A + C > B + D + A > B C < D ⇒ A − C > B − D  A.C > B.C  A.C < B.C +A> B⇒ Với C >0 Với C < + A > B ≥ C > D ≥ ⇒ AC > BD + A > B > ⇒ An > B n , ∀n ∈ N * + A > B ⇒ A2 n +1 > B n +1 2n 2n + A > B ⇒A >B + A > m > n > ⇒ Am > An + < A < m > n > ⇒ Am < An + A > B A.B > ⇒ 1 > A B Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối: + A ≥ 0, ∀A (Dấu “=” xảy A = 0) + A < a ⇔ −a < A < a A > a A < a + A > a ⇔ + A + B ≤ A + B (Dấu “=” xảy AB ≥ ) + A− B ≥ A − B PHẦN II: MỘT SÔ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA a, Kiến thức: + Để chứng minh A ≥ B ta chứng minh A − B ≥ + Lưu ý bất đẳng thức A2 ≥ 0, ∀A b, Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a +b3 + abc ≥ ab( a +b +c ) Giải: Để chứng minh a + b3 + abc ≥ ab(a + b + c ) (1) 3 Ta chứng minh hiệu: (a + b + abc) − [ ab(a + b + c) ] ≥ ⇔ a + b3 + abc − a 2b − ab − abc ≥ ⇔ (a − a 2b) − (ab − b3 ) ≥ ⇔ a ( a − b) − b ( a − b ) ≥ ⇔ (a − b)(a − b ) ≥ ⇔ (a − b)(a − b)(a + b) ≥ ⇔ ( a − b )2 (a + b) ≥  a, b > ⇒ a + b > Vì   ( a − b) ≥ (2) Nên bất đẳng thức (2) Vậy Bất đảng thức a + b3 + abc ≥ ab(a + b + c ) (1) chứng minh Dấu “=” xảy a − b = ⇔ a = b a2 + a + Ví dụ 2: Chứng minh : ≤ ∀a ∈ R a2 + Giải: Để chứng minh cho a2 + a +1 ≤ ∀a ∈ R ta chứng minh hiệu: a2 + a2 + a +1 3a + − a − 2a − − ≥ ⇔ ≥0 a2 +1 2(a + 1) a −2a +1 ( a −1) ⇔ ≥ ⇔ ≥ (*) 2( a +1) 2( a +1) Vì bất đẳng thức(*) nên bất đẳng thức a + a +1 ≤ a +1 chứng minh Dấu “=” xảy a − = ⇔ a = Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a, a + b + c + d + ≥ a + b + c + d b, a + b + c + ≥ 2a (ab − a + c + 1) Giải: a, Chứng minh cho a + b + c + d + ≥ a + b + c + d (1) Ta chứng minh hiệu ( a + b2 + c + d + 1) − ( a + b + c + d ) ≥ ⇔ a + b2 + c + d + − a − b − c − d ≥ 1 1 ⇔ (a − a + ) + (b − b + ) + (c − c + ) + (d − d + ) ≥ 4 4 1 1 ⇔ (a − )2 + (b − ) + (c − ) + (d − ) ≥ (2) 2 2 Vì bất đẳng thức (2) ⇒ bất đẳng thức (1) (Điều phải chứng minh) 1 1 Dấu “=” xảy a = ; b = ; c = ; d = ; a = b = c = d = 2 2 b, Để chứng minh cho a + b + c + ≥ 2a (ab − a + c + 1) ≥ Ta chứng minh hiệu : (a + b + c + 1) − 2a( ab − a + c + 1) ≥ ⇔ a + b + c + − 2a 2b + 2a − 2ac − 2a ≥ ⇔ (a − 2a 2b + b ) + (c − 2ac + a ) + (a − 2a + 1) ≥ ⇔ (a − b )2 + (c − a ) + (a − 1)2 ≥ (2) ⇒ 2b < a + Vì ( a − b2 ) ≥ 0;(c − a ) ≥ 0;(a − 1) ≥ ⇒ Bất đẳng thức (2) ⇒ Bất đẳng thức (1) a = b  Dấu “=” xảy : a = c ⇔ a = b = c = (Ta có điều phải chứng minh) a =  Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1: Cho < a < b + c < a + b < c Chứng minh b < a Giải: Ta có: b < c ⇔ 2b < b + c (1) Theo giả thiết ta lại có : b + c < a + (2) Theo tính chất bất đẳng thức từ (1) (2) 2b < a + (3) Ta lại có < a ⇔ a + < 2a (4) ⇒ 2b < 2a Từ (3) (4) ⇔b − a − b − c − d Giải: Ta có: (1 − a )(1 − b) = − a − b + ab Vì: a, b > ⇒ ab > ⇒ (1 − a )(1 − b) > − a − b Do: < c < nên − c > ⇒ (1 − a )(1 − b)(1 − c) > (1 − a − b)(1 − c ) = − a − b − c + ac + bc Mà a, b, c > ⇒ ac + bc > Do : (1 − a)(1 − b)(1 − c) > − a − b − c Ta lại có: < d < nên − d > ⇒ (1 − a)(1 − b)(1 − c)(1 − d ) > (1 − a − b − c)(1 − d ) = − a − b − c − d + ad + bd + cd Mà b, c, d > ⇒ ad + bd + cd > Do : (1 − a )(1 − b)(1 − c)(1 − d ) > − a − b − c − d (Ta có điều phải chứng minh) Ví dụ 3: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: 1< a b c d + + + ⇒ Từ a c+d +a a +b+c +d (7) d d > d +a +b a +b+c +d (8) (*) Cộng bất đẳng thức chiều (5), (6), (7),(8) vế với vế ta được: a b c d a +b+c+d + + + = >1 a +b +c b +c + d c + d +a d +a +b a +b +c +d Từ bất đẳng thức (*) bất đẳng thức (**) ta có: 1< a b c d + + + b, a + 2b − 2ab + 2a − 4b + ≥ Giải: a, Ta có: a + 5b + 2a − 4ab − 6b + > (1) ⇔ (a − 4ab + 4b ) + (b − 2b + 1) + (2a − 4b) + > ⇔ (a − 2b) + (b − 1) + 2( a − 2b) + > ⇔  (a − 2b) + 2(a − 2b) + 1 + (b − 1) + > ⇔ (a − 2b + 1) + (b − 1) + > (2) Vì (a − 2b + 1) ≥ 0;(b − 1) ≥ ⇒ Bất đẳng thức (2) Vậy bất đẳng thức a + 5b + 2a − 4ab − 6b + > (1) chứng minh b, Ta có a + 2b − 2ab + 2a − 4b + ≥ (1) ⇔ ( a − 2ab + b ) + (b − 2b + 1) + (2a − 2b) + ≥ ⇔ ( a − b) + (b − 1) + 2( a − b) + ≥ ⇔ (a − b) + 2( a − b) + 1 + (b − 1) ≥ ⇔ (a − b + 1) + (b − 1)2 ≥ (2) Vì ( a − b + 1) ≥ 0;(b − 1) ≥ nên bất đẳng thức (2) Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh b − = ⇔ a = 0; b = Dấu “=” xảy khi:  a − b + = Ví dụ 2: Chứng minh với x ∈ R ta có: −10 + x − x y0 > Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x0 + x0 + x0 + y0 ≥ x0 y0 (3) Kết hợp (1) (2) (3) ta có: ≥ 9⇔ ≥ (4) Vì (3) khơng đúng, nên điều giả sử x0 y0 nghiệm hệ phương trình sai Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm  x − y + x + y − = Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  2 x + y = Giải: Ta có phương trình (2) ⇔ y = − x Thế y = − x vào phương trình(1) ta có: 3x − + x + − x − = ⇔ 3x − + x = (4) Ta xét khả năng: 1 x < 0;0 ≤ x < , x ≤ 3 a, Trường hợp x < ta có: (4) ⇔ −3 x + − x = 39 (1) (2) ⇔ x=− ⇒y= (thỏa mãn) b, Trương hợp ≤ x < (4) ta có: ⇔ −3x + + x = ⇔ x = −2 (loại) c, Trường hợp : x ≤ (4) ta có: ⇔ 3x − + x = ⇔x= (thỏa mãn) ⇔ y=−  −2   −3  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) =  , ÷ ( x, y ) =  , ÷ 5   5 3, Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm ngun: Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình sau: 1 + + =2 x y z Giải: Giả sử x ≥ y ≥ z > ta có: 2= 1 + + ≤ x y z z ⇒ z ≤ mà z nguyên nên z = Thay z = vào phương trình (1) ta 1 1 + +1 = ⇔ + = x y x y (2) 40 Vì x ≥ y > nên ta có: 1= 1 + ≤ ⇒ y≤2 x y y y =1 Mà y nguyên dương nên  y = + Nếu y = ta = 1 + ⇒ = (không thỏa mãn điều kiện x > x x loại) + Nếu y = ta : = 1 + ⇔x=2 x Vậy nghiệm phương trình (1) (2; 2; 1); (2; 1; 2) (2; 2; 1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = xyz (1) Giải: Ta nhận thấy phương trình (1) đối ứng với x, y, z Do ta giả sử: ≤ x ≤ y ≤ z ⇒ xy ≤ + Nếu x=y=z phương trình (1) 3z = z ⇒ z = ⇒ z = ± ∉ z (loại) Suy x ≤ y < z ⇒ xy < mà x,y nguyên dương Do xy=2 xy = - Với xy = ⇒ x = 1; y = ⇒ z = - Với xy = ⇒ x = y = ⇒ z không tồn Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (1) (1;2;3) hốc vị Ví dụ 3: Tìm cặp số ngun thỏa mãn phương trình: x+ x = y (*) 41 Giải: + Với x < 0, y < phương trình (*)khơng có nghĩa + Với x > 0, y > ta có x+ x = y ⇒ x + x = y2 ⇒ x = y2 − x > Đặt x = k ( k ∈ z; k > x ngun dương) Ta có: k + k = k (k + 1) < k (k + 1) = y Nhưng k < k (k + 1) < (k + 1) ⇒ k < y < k + Mà k k + số nguyên dương liên tiếp không tồn số nguyên duơng Nên khơg có cặp số ngun dương thỏa mãn phương trình (*) Vậy phương trình (*) có nghiệm ngun x = 0, y = 42 C KẾT LUẬN 1, Kết luận: Quả thật chuyên đề vè bất đẳng thức xuyên suốt chương trình mơn Tốn bậc học, từ THCS đến THPT Đại học Trong khuôn khổ đề tài:”Nâng lại cao chất lượng học tập mơn Tốn thơng qua việc chứng minh bất đẳng thức” Tôi cố gắng lại phương pháp chứng minh bất đẳng thức Trong phương pháp đưa kiến thức cần sử dụng ví dụ vận dụng cách phù hợp với trình độ học sinh, tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh tơi đưa ứng dụng bất đẳng thức việc tìm cực trị giải phương trình , hệ phương trình giải phương trình nghiệm nguyên…nhằm giúp học sinh có kiến thức bất đẳng thức để học chứng minh bất đẳng thức Thực tế giảng dạy cho thấy:sau truyền đạt kỹ chuyên đề này, học sinh có hệ thống phương pháp giải toán bất đẳng thức, em hiểu kĩ, hiểu sâu linh hoạt nhiều gặp toán bất đẳng thức toán cần vận dụng bất đẳng thức để giải, chẳng hạn: -Các em biết tự phân tích tốn để đưa phương pháp học để giải ngắn gọn, dễ hiểu, nghĩa chọn phương án tốt nhất, lời giải tối ưu cho toán - Các em có cách trình bày giải rõ ràng, mạch lạc -Các em tránh số sai lầm thường gặp giải toán bất đẳng thức Kết cụ thể qua năm thực đề tài: Năm học 2014-.2015,2015-2016 dạy Tốn tơi áp dụng chuyên đề cho lớp dạy so sánh kết với năm học trước(2013-2014) dạy SGK ôn tập cho học sinh (2 lớp có chất lượng kiểm tra khảo sát đầu năm tương đương nhau) ,sau cho lớp làm đề kiểm tra để khảo sát chất lượng kết thu là: Năm học Giỏi Khá TB 43 Yếu 2014-2015 22% 38% 35% 5% 2015-2016 5% 21% 39% 35% Mong muốn giúp học sinh học tập tốt nâng cao tay nghề thân ,song cố gắng thân chắn đề tài nhiều khuyết điểm Kính mong giúp đỡ bạn bè đồng nghiệp đồng chí cấp bổ sung cho đề tài hoàn thiện hơn, để có tác dụng giảng dạy 2, Bài học kinh nghiệm: Để hoàn thành tốt nhiệm vụ người thầy đáp ứng nhu cầu ngày cao học sinh đòi hỏi người thầy phải khơng ngừng học hỏi, nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ thực tâm huyết với nghề nghiệp Trong trình giảng dạy, người thầy phải đúc rút kinh nghiệm cho thân, linh hoạt sáng tạo để tìm cách giúp học sinh có khả tổng hợp kiến thức hình thành phương pháp giảng dạy cho loại tốn cụ thể, từ phát hiện, bồi dưỡng cho học sinh có khiếu mơn, rèn luyện cho học sinh khả tư sáng tạo…làm cho em u thích mơn Muốn tập đưa phải bao gồm dễ để cố kiến thức bản, đến khó để phát tư duy, trước gợi ý cho sau Các phương pháp giải cung cấp cho học sinh phải dễ hiểu, dễ vận dụng, phù hợp với khả học sinh, sở kiến thức mà học sinh tự học, tự giải vấn đề đặt tự khám phá, lĩnh hội kiến thức Hơn với tốn ngồi việc tìm phương pháp giải hợp lý, cần thay đổi kiện tốn, đặc biệt hóa, khái qt hóa, cụ thể hóa…để đưa học sinh đến tình cần giải 3, Ý kiến đề xuất: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mong muốn chất lượng học sinh nâng cao Do lực thân hạn chế, tơi kính mong cấp lãnh đạo tổ chức thêm chuyên đề bồi dưỡng nghiêp vụ cho giáo viên, đồng chí bồi dưỡng học sinh giỏi lâu năm có nhiều kinh nghiệm trung tâm chất lượng cao Quận nên truyền đạt, trao đổi kinh nghiệm để chúng tơi có hội học hỏi, giao lưu…nhằm nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ đáp ứng nhu cầu ngày cao học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! 44 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1, Cơ sở lý luận: .1 2, Cơ sở thực tiễn: 3, Đối tượng phạm vi nghiên cứu: 4, Phương pháp nghiên cứu: 5, Thời gian nghiên cứu: B NỘI DUNG PHẦN I: .2 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý .3 PHẦN II: MỘT SÔ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .4 Phần III: CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO 25 I, Dùng định nghĩa .25 II, Dùng tính chất bất đẳng thức: 27 IV, DÙNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC 31 Phần IV: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 34 C KẾT LUẬN .43 1, Kết luận: 43 2, Bài học kinh nghiệm: .44 3, Ý kiến đề xuất: 44 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Mó s: SNG KIN KINH NGHIM Nâng cao chất lợng học tập môn toán thông qua việc chứng minh Bất Đẳng Thức Lnh vc: Toỏn NM HC 2017 - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ KHƯƠNG THƯỢNG - QUẬN ĐỐNG ĐA Mó s: SNG KIN KINH NGHIM Nâng cao chất lợng học tập môn toán thông qua việc chứng minh Bất Đẳng Thức Lnh vc : Toỏn H v tờn : Lê Thị Phương Nga Tổ : Toán – Lý NĂM HỌC 2017 - 2018 ... công cụ để giải tập BĐT Với đề tài Nâng cao chất lượng học tập môn tốn thơng qua việc chứng minh Bất Đẳng Thức giúp cho học sinh khơng bỡ ngỡ gặp tốn chứng minh BĐT, qua nâng cao nâng lực phát... nạp toán học để chứng minh Để chứng minh bất đẳng thức nới n > n0 ta thực bước sau: a, Kiểm tra bất đẳng thức với n = n0 b, Giả sử bất đẳng thức với n = k (thay n = k vào bất đẳng thức cần chứng. .. ⇒ a > Nên bất đẳng thức (3) ln Do bất đẳng thức( 2) Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Ví dụ 3: Cho a b số dương Chứng minh rằng: a + b ≥ a 3b + ab3 (1) Giải: Để chứng minh bất đẳng thức : a +