Bồi dưỡng HSG-Chuyên đề: bất Đẳng thức

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 1 BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Tìm GTNN- GTLN Cách 1: Ta có thể dùng BĐT trị tuyệt đối |A|. Khi sử dụng trị tuyệt đối thì ta tìm |A|= B => - B ≤|A|≤B, lúc này GTNN= -B và GTLN= B. Cách 2: Ta dùng phương pháp “ tìm tập giá trị của hàm số ” Cách 3: Ta dùng “kĩ thuật chọn điểm rơi” Cách 4: Ta dùng “ Đạo hàm” Dạng 2: C/m BĐT có kèm điều kiện: Khi gặp các bài cm BĐT có kèm điều kiện nhưng giả thiết không quá đơn giản ( giả thiết đơn giản như: abc=1,a+b+c=1…) Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng bậc cho các bài có bậc không bằng nhau. Nhân hai vế của giả thiết vào hai vế của bdt cần chứng minh hay thế ẩn, hằng số này bằng ẩn khác có số bậc khác nhau sao cho cuối cùng các ẩn có bậc bằng nhau. Hoặc sử dụng “kĩ thuật chọn điểm rơi” để cân bằng bậc. Rùi dễ dàng cm hơn, với cách này cần chú ý khi khi nhân điều kiện vào có đồng bậc hay không???? Cách 2: Ta sử dụng hệ gồm một phương trình là giả thiết( giả thiết rắc rối) và cùng một phương trình là một bất đẳng thức quen thuộc sao cho hai p/trình co nét tương đồng. Sau đó ta cộng hai p.trình thành một p.trình. Và suy ra một giả thiết mới (Sáng tạo giả thiết) để dễ chứng minh hơn. Đối với cách này rất khó, khó ở chỗ suy nghĩ ra phương trình để sử dụng làm hệ. Cách 3: Đặt ẩn phụ, một số cách đặt ẩn phụ thường gặp là: Đặt a+b=t hay ab=u, 1/a=v rùi suy ra bdt mới cần cm và giả thiết mới cần tương ứng. Đối với một số bài đối xứng thì ta có thể chia cho   cho bdt cần cm hoặc giả thiết, với n là số mũ cao nhất. Sau khi chia xong thì biến đổi tiếp. THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 2 PHƢƠNG PHÁP TÌM TẬP GIÁ TRỊ HÀM SỐ Như trên đã nói tới “pp tìm tập giá trị hàm số” đây là một pp tuy mới mà cũ. Mà lại rất khó sử dụng. Các bạn cùng đọc và suy ngẫm nhé!!!! 1. Tìm gtnn & gtln của M= 22 22 644 yx xyyx   HD: - nếu y=0 thì M=-4 (*) - Nếu y≠0 chia tử mẫu cho y^2 ta được M= 1 644 2 2                    y x y x y x Đặt t= x/y thì bdt  M= 1 644 2 2   t tt                 Do p.trình có nghiệm t nên ta có: ∆’= 9-(M-4)(M+4)≥0    ≤25  -5<M<5(**) Từ (*) (**) => gtnn là -5 và gtln là 5 2. Tìm gtnn và gtln của N= 22 2 43 yx xyx   HD: xét x=0 và x≠0, với x≠0 ta chia tử mẩu cho x^2 3. Cho 22 yx  =1. Tìm gtnn và gtln của P= 2 2 221 )6(4 yxy xyx   (B08) HD : Ta thấy dưới mẫu chưa đồng bậc vì có số 1, nên ta sử dụng giả thiết 22 yx  =1 thế vào số 1 để có 1 bdt đồng bậc rùi làm bình thường 4. Cmr:  thoả mãn x(x+y+z)=3yz ta có: 333 )(5))()((3)()( xzxzzyyxzyyx  (A09) HD : Các bạn chiệu khó động não thữ bài này nha.^^ THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 3 KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ Mình xin mạng phép copy phần này của tác giả vì phần này tác giả không phải mình. I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Bài toán 1. Cho ,0 1 ab ab      , tìm GTNN của 22 11 2 P ab ab   Giải Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 4 4 4 2 2 ( ) ab a b a ab b a b         Dấu “=” xảy ra 1 1 2 Min 4 khi 11 2 2 a ab P x y ab b                    Bài toán 2. Cho ,0 1 ab ab      , tìm GTNN của 22 11 2 1 P ab ab   Giải Lời giải 1. Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 4 4 4 2 22 1 2 1 ( ) 1 P ab a b a ab b a b              Dấu “=” xảy ra 2 2 2 1 2 ( ) 1 0 (voâ nghieäm) 11 a b ab a b a b a b                 . Vậy không tồn tại Min ? ?P THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 4 Lời giải 2. Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 4 1 6 3 3 3 1 6 1 ( ) 1 4 P ab ab ab ab a b a ab b a b ab                Mặt khác 2 1 24 ab ab      . Vậy 22 4 1 8 3 26 22 P a b a b                  Dấu “=” xảy ra 22 13 1 2 1 a b ab a b a b ab               . Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 a b a b   . Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách 1 1 1 2 6 3ab ab ab  ? ? Làm sao nhận biết được điều đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”. III. NỘI DUNG 1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Định nghĩa: 0a b a b     ab ac bc        a b a c b c      ab a c b d cd          THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 5  11 0ab ab     b) Một số bất đẳng thức cơ bản  Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực không âm 12 , , , ( 2) n a a a n  ta luôn có 12 12 n n n a a a a a a n     . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 12 n a a a   .  Một vài hệ quả quan trọng:  2 12 12 1 1 1 ( ) vôùi 0, 1, ni n a a a n a i n a a a               2 1 2 1 2 1 1 1 vôùi 0, 1, i nn n a i n a a a a a a            Cho 2n số dương ( ,2n Z n ): 1 2 1 2 , , , , , , , nn a a a b b b ta có: 1 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) n n n n n n n a b a b a b a a a bb b      Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương ( ,2n Z n ): 1 2 1 2 , , , , , , , nn a a a b b b ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b          Dấu “=’ xảy ra 12 12 (quy öôùc neáu 0 0) n ii n a aa ba b b b         Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số 1 2 1 2 , , , vaø , , , vôùi 0 1, n n i a a a b b b b i n   ta luôn có: 22 22 12 12 1 2 1 2 () nn nn a a a a aa b b b b b b           Dấu “=’ xảy ra 12 12 n n a aa b b b     2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho 12 ( , , , ) n f x x x là một hàm n biến thực trên :: nn D f D    1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) Max ( , , , ) : ( , , , ) nn D nn f x x x M x x x D fM x x x D f x x x M             THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 6  1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) Min ( , , , ) : ( , , , ) nn D nn f x x x m x x x D fm x x x D f x x x M             3. Phương pháp chọn điểm rơi Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên. a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy Sử dụng hệ quả (1) và (2) Bài 1. Cho ,0 1 ab ab      , tìm GTNN của biểu thức 22 11 4P ab ab ab     . Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 4 1 4 4 4 2 2 2 2 2 ( ) P ab ab ab ab ab ab ab a b a b ab a b                  . Mặt khác 11 4 2 .4 2 2 22 ab ab ab ab    . Vậy 4 2 2P  nên 2(2 2)MinP  Sai lầm 2: 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 2 4 . 4 2 6 4 4 2 4 4 4 () P ab ab ab ab ab ab ab ab ab a b a b                 Dấu bằng xảy ra 22 22 2 11 16 2 1 a b ab a b a b ab               . Thay 1 2 ab vào ta được 7P  7MinP khi 1 2 ab . Nguyên nhân sai lầm: THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 7 Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 1 1 22ab ab ab  là do thói quen để làm xuất hiện 2 2 2 2 ( )a b ab a b    . 1 4 2 2 4 2 1 ab MinP ab VN ab ab               . Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra  không kết luận được 4 2 2MinP  Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi 1 2 ab nên đã tách các số hạng và 7MinP  khi 1 2 ab là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như 2 (1 )x x x   , dấu bằng xảy ra khi 1x  2 ( 1) 1??Min x x       . Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với ,ab , ta dự đoán MinP đạt tại 1 2 ab , ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 4 2 4 . 7 2 4 4 2 () 4 2 P ab ab ab ab ab ab a b a b ab                  Dấu bằng xảy ra 22 22 2 11 16 2 1 a b ab a b a b ab               . Bài 2. Cho ,0 1 ab ab      , tìm GTNN của biểu thức 3 3 2 2 1 1 1 S a b a b ab     . Sai lầm thường gặp: Ta có: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 2 9 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 S a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab                32 9 2 1 1 1 2 4 59 . 9 . 33 () 3. 2 ab a b a b ab ab                THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 8 59 3 MinS  Nguyên nhân sai lầm: 3 3 2 3 59 () 3 1 a b a b MinS a b vn ab           Lời giải đúng Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi 1 2 ab , và ta thấy 3 3 2 2 3 3 3 ( )a b a b ab a b     vì thế ta muốn xuất hiện 3 ()ab ; ta áp dụng bất đẳng thức 3 3 2 2 1 1 1 22a b a b ab   và nếu vậy: 3 3 2 2 3 1 1 1 9 2 2 ( ) ( )a b a b ab a b ab a b        , ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số: 3 3 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 25 25 20 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) () 4 S a b a b ab a b ab a b ab a b a b ab               Dấu bằng xảy ra khi 1 2 ab . Bài 3. Cho , , 0 1 1 1 4 x y z x y z          . Tìm GTLN của 111 2 2 2 P x y z x y z x y z          . Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10 9 2 9 2 9 2 18 9 P x y z x y z x y z x y z                                      10 9 MaxP Sai lầm 2: THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 9 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 3 3 2 3 3 2 3 3 2 9 3 2 3 .2 3 2 P x y z x y z x y z xyz x yz xy z                                Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi. 2 2 10 () 2 9 1 1 1 4 x y z y x z MaxP vn z x y x y z                 , tức là không tồn tại 10 ( , , ) : 9 x y z D P Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại 4 3 x y z   nên tách các số 2x x x ra cho dấu bằng xẩy ra. Cách 1: Ta có 1 1 1 1 1 1 1 2 16x y z x x y z x x y z              , tương tự và ta có: 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 16 P x y z x y z x y z                                , vậy 1MaxP  khi 4 3 x y z   . Cách 2: Ta có 4 2 4 11 2 4 . . . 2 4 x y z x x y z x x y z x y z x yz           , mặt khác: 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 . . . 4 2 16x x y z x x y z x y z x y z                      , tương tự ta có: 1 1 1 1 .4 1 16 P x y z        . Dấu “=” xảy ra khi 1 4 x y z   , suy ra: 1MaxP  khi 1 4 x y z   . Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3: Cho , , 0 1 1 1 4 x y z x y z          . Tìm GTLN của 111 P x y z x y z x y z                   . THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 10 Với ,, N      : Cách làm tương tự như bài 3, ta tách soá , x x x x       . Nếu ,, R      , thì bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS” Bài 4. Cho , , 0 3 abc abc        . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 2 2 2 3 3a b b c c a      . Sai lầm thương gặp: Ta có: 3 1 1 ( 2 ) 2 2 1.1( 2 ) 33 a b a b ab         , tương tự ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 3 3 a b b c c a a b b c c a                , mà 3 5 3 3 ñeà ra sai ? ? Nguyên nhân sai lầm: 21 21 5, vaäy =5 ( ) 21 3 ab bc P VT MaxP vn ca abc                 , vậy 5P  Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi 1abc   . Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số 2 ,3,3ab ta có: 3 3 3 3 3 1 1 3 3 ( 2 ) 6 2 2 3.3( 2 ) . 3 9 9 3 9 a b a b a b a b           , tương tự ta có: 3 3 3 3 6 2 6 2 6 2 33 3 9 3 9 3 9 a b b c c a P           , dấu bằng xảy ra khi 1abc   Bài 5. Cho , , 0 1 x y z xyz      , chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x       Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: P  2 2 2 2 3 () 3 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) x y z xyz y z x y z x          , mặt khác 12 12 12 yy zz xx           , suy ra: [...]...  y  z )  ( x  y  z )  3  x  y  z  3 , 1 z   z2  (1  x)  2 z  1  x  mặt khác x  y  z  3 3 xyz  3  P  0 Nguyên nhân sai lầm: Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức: a  b  0  1 1  a b x  y  z  2 y2 z2  x  1  y,  1  z,  1  x (vn) Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra   1 z 1 x 1  y  xyz  1  x2 Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x  . trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức . III. NỘI DUNG 1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Định. – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn. Thuận Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 5  11 0ab ab     b) Một số bất đẳng thức cơ bản  Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực không âm 12 , , , ( 2) n a a a n  ta luôn có 12 12