Bồi dưỡng HSG chuyên đề Bất đẳng thức Toán 8

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn [r]

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Chuyên đề bồi dưỡng HSG

BẤT ĐẲNG THỨC I Kiến thức cần nhớ

1-Đinhnghĩa: 0

A B A B

A B A B

  −  

   − 



2-Tính chất

+ A>B BA

+ A>B B >C <=> A > C + A>B  A + C >B + C

+ A>B C > D => A +C > B + D + A>B C > => A.C > B.C + A>B C < => A.C < B.C

+ < A < B < C < D => < A.C < B.D

+ A > B > => An > Bn n

+ A > B => An > Bn với n lẻ + A > B => An > Bn với n chẵn + m > n > A > => Am > An + m > n > <A < => Am < An

+A < B A.B > =>

B A

1  3 Một số bất đẳng thức

+ A2 

với A ( dấu = xảy A = ) + An  vớiA ( dấu = xảy A = ) + A 0 với A (dấu = xảy A = ) + - A < A = A

+ A+B  A+ B ( dấu = xảy A.B > 0) + A−B  A− B ( dấu = xảy A.B < 0)

II số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1) Phương pháp 1: dùng định nghĩa

Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A – B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M2  với  M

Ví dụ  x, y, z chứng minh : a) x2 + y2 + z2  xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz Giải:

a) Ta xét hiệu : x2 + y2 + z2- xy – yz – zx =

2

.2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx)

=

2

1 2

(x y) (x z) (y z)

 − + − + − 

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu xảy x = y (x- z)2 0 vớix ; z Dấu xảy x = z (y- z)2 0 với z; y Dấu xảy z = y Vậy x2

+ y2

+ z2 

xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu:

x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)2 0 với x;y;zR

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz với x;y;zR

Dấu xảy x + y = z

Ví dụ 2: chứng minh : a)

2

2

2

2 

    +  +b a b a

; b)

2

2

3

3 

 



 + +

 +

+b c a b c

a

c) Hãy tổng quát toán giải

a) Ta xét hiệu

2

2

2

2 

    + − +b a b a

= ( )

4

2a2 b2 a2 + ab+b2 −

+

= (2a 2b a b 2ab)

4

1 + − − −

= ( )

4

1 − 

b a

Vậy

2

2

2

2 

    +  +b a b a

Dấu xảy a = b

b)Ta xét hiệu:

2

2

3

3 

 



 + + −

+

+b c a b c

a

= ( ) ( ) ( ) 

9

1 − + − + − 

a c c b b a

Vậy

2

2

3

3 

 



 + +

 +

+b c a b c

a

Dấu xảy a = b =c

c)Tổng quát:

2

1 2

2

1 

  



 + + +

 + + +

n a a

a n

a a

a n n

* Tóm lại bước để chứng minh AB theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B

Bước 2:Biến đổi H = (C+D)2hoặc H=(C+D)2+….+(E+F)2 Bước 3: Kết luận A  B

2) phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương

Lưu ý:

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

a) a +b ab

4

2

b)a2 +b2 +1ab+a+b

c)a2 +b2 +c2 +d2 +e2 a(b+c+d+e)

Giải:

a) a +b ab

4

2

ab b

a

4 + 

 4a2 −4a+b2 0 (2a−b)2 0 (Bđt đúng)

Vậya +b ab

2

(dấu xảy 2a = b) b) a2 +b2 +1ab+a+b 2(a2 +b2 +1 )2(ab+a+b)

0

2

2 2

2 − + + − + + − + 

a ab b a a b b (a−b)2 +(a−1)2 +(b−1)2 0 (luôn đúng)

Vậy a2 +b2 +1ab+a+bDấu xảy a = b =

c) a2 +b2 +c2 +d2 +e2 a(b+c+d+e) 4( a2 +b2 +c2 +d2 +e2 )4a(b+c+d+e)  (a2 −4ab+4b2) (+ a2 −4ac+4c2) (+ a2 −4ad+4d2) (+ a2 −4ac+4c2)0

 (a−2b) (2 + a−2c) (2 + a−2d) (2 + a−2c)2 0

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a10+b10)(a2 +b2) ( a8 +b8)(a4 +b4)

Giải:

( 10 10)( 2) ( 8)( 4)

b a b a b a b

a + +  + +  a12+a10b2 +a2b10+b12 a12+a8b4 +a4b8 +b12  a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)0  a2b2(a2-b2)(a6-b6)  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  Ví dụ 4: cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:

   

+ +  + +

=

z y x z y x

z y x

1 1

1

Chứng minh : có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz(

z y x

1 1

+

+ ) = x + y + z - (1+ +1) 

z y x

(vì

z y x

1 1+ +

< x+y+z theo gt) → số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếủ trường hợp sau xảy x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn

3) Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc a) Một số bất đẳng thức hay dùng

1) Các bất đẳng thức phụ:

a) x2 + y2 2xy b) x2+y2  xy dấu( = ) x = y = c) (x+ y)2 4xy d) + 2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

2)Bất đẳng thức Cô sy: n n a a a an

n a a a a 3

1+ + + +  Với 0

i

a

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

(a22+a22+ +an2).(x12+x22+ +n2)(a1x1+a2x2+ +anxn)2

4) Bất đẳng thức Trê-bư - sép: Nếu        C B A c b a  3 C B A c b a cC bB

aA+ +  + + + +

Nếu        C B A c b a  3 C B A c b a cC bB

aA+ +  + + + +

Dấu xảy

   = = = = C B A c b a

b) Các ví dụ Ví dụ

Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b) (b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: (x+y)2 4xy

Tacó (a+b)24ab; (b+c)2 4bc ; (c+a)2 4ac ( )2

b

a+ (b+c)2 (c+a)2 64a2b2c2 =(8abc)2(a + b)(b + c)(c + a)  8abc Dấu “=” xảy a = b = c

Ví dụ 2: Cho a > b > c > a2 +b2 +c2 =1 chứng minh

3 3

1

a b c

b c+ +a+c+a b+ 

Do a,b,c đối xứng , giả sử a  b  c 

    +  +  +   b a c c a b c b a c b a2 2

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có

      + + + + + + +  + + + +

+ a b

c c a b c b a c b a b a c c c a b b c b a a 2 2 2 = = Vậy 3  + + + +

+ a b

c c a b c b a

Dấu xảy a = b = c =

3 Ví dụ 3: Cho a,b,c,d > abcd =1 .Chứng minh :

( ) ( ) ( ) 10

2 2

2 + + + + + + + + + 

a c d d c b c b a d c b a

Ta có a2 +b2 2ab

; c2 +d2 2cd

Do abcd =1 nên cd =

ab (dùng 1  + x x )

Ta có + + 2( + )=2( + )4

ab ab cd ab c b

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Mặt khác: a(b+c) (+bc+d) (+d c+a) = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad)

= 1 2+2+2

     + +       + +       + bc bc ac ac ab

ab  a2 +b2 +c2 +d2 +a(b+c) (+b c+d) (+d c+a)10 Ví dụ 4: Chứng minh : a2 +b2 +c2 ab+bc+ac

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có ( 2 2) 2 ( )2

) ( 1

1 + + a +b +c  a+ b+ c  3(a2 +b2 +c2)a2 +b2 +c2 +2(ab+bc+ac) a2 +b2 +c2 ab+bc+ac

(đpcm) Dấu xảy a = b = c

4) Phương pháp 4: dùng tính chất tỷ số a) Kiến thức

1) Cho a, b ,c số dương

a – Nếu 1

b a c b c a b a + +

 b – Nếu 1 b a c b c a b a + + 

2) Nếu b,d >0 từ

d c d b c a b a d c b a  + +   

b Các ví dụ:

ví dụ 1: Cho a,b,c,d > Chứng minh :1 2

+ + + + + + + + + + +  b a d d a d c c d c b b c b a a

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có

d c b a d a c b a a c b a a + + + +  + +   +

+ (1)

Mặt khác :

d c b a a c b a a + + +  +

+ (2)

Từ (1) (2) ta có

d c b a a + +

+ < a b c

a +

+ <a b c d d a + + + + (3) Tương tự ta có :

d c b a a b d c b b d c b a b + + + +  + +  + +

+ (4)

d c b a c b a d c c d c b a c + + + +  + +  + +

+ (5); a b c d

c d b a d d d c b a d + + + +  + +  + +

+ (6)

cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có

2  + + + + + + + + + + +  b a d d a d c c d c b b c b a a (đpcm)

ví dụ : Cho:

b a

<

d c

b,d >

Chứng minh

b a < d c d b cd ab  + + 2

Giải: Từ

b a < d c 2 d cd b ab    d c d cd d b cd ab b

ab  =

+ +

 2 2 2

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

ví dụ : Cho a;b;c;d số nguyên dương thỏa mãn : a + b = c+d =1000 tìm giá trị lớn

d b c a+

giải : Khơng tính tổng qt ta giả sử :

c a

d b 

d b d c

b a c

a 

+ + 

 ; 1

c a

a + b = c + d

a, Nếu: b 998

d b

998

 

d b c a + 

999

b, Nếu: b = 998 a =1 

d b c a+

=

d c

999 1+

Đạt giá trị lớn d = 1; c = 999

Vậy: giá trị lớn

d b c a

+ = 999 +

999

a = d = 1; c = b = 999

Ví dụ : Với số tự nhiên n >1 chứng minh :

4 1

 + + + + + + 

n n n

n

Ta có

n n n k

n

1

1 =

+ 

+ với k = 1,2,3,…,n-1

Do đó:

2 2

1

1

1 1

1 + +  + + = =

+ +

+ n

n n n

n n

n

Ví dụ 5: CMR: A = 2 2 2 12

4

1

1

n + +

+ +

+ với n ≥ không số tự nhiên

HD: 12 ; 12 ; 1.2  2.3

Ví dụ 6: Cho a ,b ,c ,d > Chứng minh :

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

+ + + +

 + + + 

+ + + + + + + +

Giải :

Vì a ,b ,c ,d > nên ta có: a b a b a b d

a b c d a b c a b c d

+  +  + +

+ + + + + + + + (1)

b c b c b c a

a b c d b c d a b c d

+ +  +  + +

+ + + + + + + + (2)

d a d a d a c

a b c d d a b a b c d

+  +  + +

+ + + + + + + + (3)

Cộng vế bất đẳng thức ta có :

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

+ + + +

 + + + 

+ + + + + + + + (đpcm)

5.Phương pháp 5:Dùng bất đẳng thức tam giác

Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác : a; b; c > Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Cho a; b; clà số đo ba cạnh tam giác chứng minh a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)

b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải

a)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta có

    

+  

+  

+  

b a c

c a b

c b a

0 0

     

+ 

+ 

+ 

) (

) (

) (

2 2

b a c c

c a b b

c b a a

Cộng vế bất đẳng thức ta có a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) Ta có a > b-c  a2 a2 −(b−c)2>

b > a-c  b2 b2−(c−a)2> c > a-b  c2 c2−(a−b)2 0

Nhân vế bất đẳng thức ta được: a b c2 2 a2− −(b c)2  b2− −(c a)2  c2− −(a b)2

a b c2 2 (a+ −b c) (2 b+ −c a) (2 c+ −a b)2 abc(a+ −b c) ( b+ −c a) ( c+ −a b)

Ví dụ2: (đổi biến số)

Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh

2  + + + +

+ a b

c a c

b c b

a

(1) Đặt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta có a =

2 x z y+ −

; b =

2 y x z+ −

; c =

2 z y x+ −

ta có (1) 

z z y x y

y x z x

x z y

2

2

− + + − + + − +

2

  + −1+ + −1+ + −13 z

y z x y

z y x x

z x y

( + )+( + )+( + )6 z y y z z x x z y x x y

Bđt đúng? Ví dụ 3: (đổi biến số)

Cho a, b, c > a + b + c <1 Chứng minh :

2

1

1

2

2+ + + + + 

ab c

ac b bc

a (1)

Giải: Đặt x = a2 +2bc ; y = b2+2ac ; z = c2+2ab Ta có x+y+z=(a+b+c)2 1

(1)  1+ 1+1 9 z y

x Với x + y + z < x ,y,z >

Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:

 + +y z

x 3.3 xyz + + 

z y x

1 1

3 .3

xyz  ( )

1 1



  

 

+ + +

+

z y x z y x 6) phương pháp làm trội :

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

a) 1 1

1.3+3.5+ +(2n−1).(2n+1)

b) 1

1.2 1.2.3 1.2.3 n

+ + + + 

Giải : a) Ta có :

(2 2) (1 1) 21.((22 11).(2) (2 1)1) 12 1 1

k k

n n k k k k

+ − −  

= =  − 

− + − +  − + 

Cho n chạy từ đến k Sau cộng lại ta có

1 1

1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2n

 

+ + + =  − 

− +  +  (đpcm)

b) Ta có :

( )

1 1 1

1

1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n n

+ + + +  + + + +

−

< 1 1 1 2

2 n n n

     

+ −  + − + + −  −  −

      (đpcm)

Bài tập nhà:

1) Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2+3  (x + y + z)

HD: Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + + y2 -2y +1 + z2-2z +1

2) Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c

b c c a a b

 + + 

+ + +

(HD: a a a 2a

b c a b c a b c +

 =

+ + + + +

a a

b+c  a+ +b c )

3) < 1 1

n + 1+ n + 2+ + 2n + 1+ + 3n + 3n + <

áp dụng phương pháp làm trội

4) Cho a, b, c > Chứng minh bc ac ab

a + b + c  a + b + c

HD: bc ac

a + b = c

b a a b  + 

 

   2c;

ac ab b + c ? ;

W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I.Luyện Thi Online

-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

-Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao HSG

-Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

-Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -