Chuyên đề bất đẳng thức toán lớp 9

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông .Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện lu

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông

Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố

của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Trong quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phat triển đa dang và phong phú

vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả

Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống

Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hơng

nào Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác

Trong thực tế giảng dạy toán ở trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu đợc của ngời dạy toán ,thông qua đó rèn luyện

T duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phơng pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức

Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt hơn

Danh mục của chuyên đề

21 Tài liệu tham khảo

B- nội dung

Phần 1 : các kiến thức cần lu ý

3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc

4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu

1 1



3-một số hằng bất đẳng thức

+ A2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ An  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )

+ - A < A = A

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)

+ A B A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

=( x – y + z)2  0 đúng với mọi x;y;zR

Vậy x2 + y2 + z2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

2 2

2 2

1 2 2

2 2

a n

a a

4 4

4

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

02

02

02

m q m

p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

VÝ dô 1:

Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng

a) a b ab

4

2 2

Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y Chứng minh

y x

y x

 x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

 (x-y- 2)2  0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

z y x

1 1

=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(

z y x

1 1 1



 )=x+y+z - (111)  0

z y

1 1 1



 < x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng

Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

a a

3 2 1 3

2 1

2 1 2 2 2

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a



3

3 3

C B A c b a cC bB

c b a

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 111 9

c b

2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 4 ( 1  x)( 1  y)( 1  z)

3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:

b c b a

4)Cho x 0,y 0 thỏa mãn 2 x y  1 ;CMR: x+y

c c a

b c b

2 2 2

b c b

a c b a b a

c c c a

b b c

b

a

3

.

2 2 2 2

2 2

=2

3 3

1

=2 1

VËy

2

1

3 3 3

b c

b

a

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=

3 1

vÝ dô 4:

Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng :

      10

2 2 2 2

2

1 1

ab c

ac ab ab

1 1

d c a

d c a

 (a-c)(b-d) > cd



b c a

Chøng minh

abc c b a

1 1 1 1





 Gi¶i:

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  0

 ac+bc-ab 

2

1( a2+b2+c2)

1 1 1

(§iÒu ph¶i chøng minh)

a

c a b

c a b

a





 2)NÕu b,d >0 th× tõ

d

c d b

c a b

a d

c b

d a d c

c d c b

b c b

d a c b a

a c

a c

b a

a



 <

d c b a

d a

d c b a

a b d

c b

b d

c b

c b a d c

c d c b

c d b a d

d d

c b

d a d c

c d c b

b c

cd ab





2 2

cd d b

cd ab b

cd ab





2

2 ®iÒu ph¶i chøng minh

vÝ dô 3 : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000

t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

b

 Tõ :

c

a d

b



d

b d c

b a c

a

 =

d c

999 1

 §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d= 1; c=999

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña

d

b c

a

999

1khi a=d=1; c=b=999

Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:

2 2

n

a

a a

a a

a a a

2

1 1

1 2

n

Giải:

Ta có

n n n k

1 1 1

1

2

1 2

1

2

1 1

n n

k     2 1

1

2 2

2 1

Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có

Ta cã

k k

1 1

1 1

1 1

1 1

3

1 2

1

1 1

1 1

3

1 2

1 3

1

2

1 1 2

1

2 2

u ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> 0

Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a

VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng

c a b

c b a

) (

) (

2 2 2

b a c c

c a b b

c b a a

b a c a c b c b a c b a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

VÝ dô2: (404 – 1001)

1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c

Chøng minh r»ng abbccaa2 b2 c2  2 (abbcca)

2) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2

b c b

a

(1)Giải :

Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=

2

x z

y 

; b =

2

y x

z 

; c =

2

z y

x 

ta có (1) 

z

z y x y

y x z x

x z y

2 2

z

y z

x y

z y

x x

z x y

 (  )  (  )  (  )  6

z

y y

z z

x x

z y

x x y

Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2 ;

y

x x

y

  2

z

x x

z

;   2

z

y y

12

1

2 2

x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0

Theo bất đẳng thức Côsi ta có

1 1 1

Mà x+y+z < 1

Vậy 111  9

z y

Ví dụ3:

b c b a

2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0

CMR

 m n p m n p

b a

pc a c

nb c b

a.f x  0 víi x1xx2

2 2

Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0ta thực hiện các bớc sau :

1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0

2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp )

3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)

4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0

Ví dụ1:

Chứng minh rằng

n n

12

1

1

1    (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

BĐT (1) đúng với n = k+1

Thật vậy khi n =k+1 thì

(1) 

1

1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

1 1 2 ) 1 (

1 1

2

1 1

1

2 2

2 2

2   k  k   k k   k



k k

1 1

1 1

1 ) 1 (

1

1

1

2 2

1 1

k k k

b a b

2

2

1 1 1

1 1

1 1

a    a k  b k.a b 0 (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b  k k k k

b a b

a     a k  b k.a b 0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)

2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G  K”

phép toán mệnh đề cho ta :

Nh vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó

Ta thờng dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :

A - Dùng mệnh đề phản đảo : K  G

B – Phủ định rôi suy trái giả thiết :

C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng

D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngợc nhau

E – Phủ định rồi suy ra kết luận :

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

1 1 1



 thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải :

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1

z y x

1 1 1



 ) vì xyz = 1 theo giả thiết x+y +z >

z y x

1 1 1





nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dơng thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

Phần iii : các bài tập nâng cao





y x

y x

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

2) Cho xy  1 Chứng minh rằng

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

Giải :

Ta có

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

y xy xy

x

x xy



    1 .1  0

)(1

.1

)(

y x y xy

x

x y x

12 2

x

xy x y

BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

Iii / dùng bất đẳng thức phụ





b c a

Giải :

áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)

Ta có  2    2 2 2

1 1 1

1 1





b c

a (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c là các số dơng

c c

b a

b c

a b a

b a

c c

a a

b b a

áp dụng BĐT phụ   2

x

y y

a

c b c

b

2 3

3

2 3

- NÕu f(x)  A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A

- NÕu f(x)  B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B

Ta cã tõ (1)  DÊu b»ng x¶y ra khi 1 x 4

(2)  DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3

VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3

VÝ dô 2 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x+y+z =1

27 27 729 Vậy S có giá trị lớn nhất là 8

729 khi x=y=z=

13

Ví dụ 3 : Cho xy+yz+zx = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của x4y4z4



Ví dụ 4 :

Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn nhất Giải :

Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a

Đờng cao thuộc cạnh huyền là h

Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y

2 x y h a h a h   a xy Vì a không đổi mà x+y = 2a

Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất  xy

Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất

2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ

112

x y

x x x

Iii/ dùng B.Đ.t để giải ph ơng trình nghiệm nguyên

1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn

x y

y z z

x y z

Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm của phơng trình

Tài liệu tham khảo

2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10

-nxb Đại học quốc gia hà nội – 1998

Tác giả : Phan Duy Khải

3 – toán bồi dỡng học sinh đại số 9

-nhà xuất bản hà nội

Tác giả : Vũ Hữu Bình – Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều

4 – sách giáo khoa đại số 8,9,10

-nxb giáo dục – 1998

5 – toán nâng cao đại số 279 bài toán chọn lọc

-nhà xuất bản trẻ – 1995

Tác giả : Võ Đại Mau

6 – Giáo trình đại số sơ cấp trờng đhsp i – hà nội