Luyện thi đại học chuyên đề bất đẳng thức

Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Ph n 1: ð nh nghĩa : Biên so n : Lê Kỳ H i CÁC KI N TH C C N LƯU Ý A ≥ B ⇔ A − B ≥  A ≤ B ⇔ A − B ≤ Tính ch t : + A> B ⇔ B < A + A > B B > C ⇔ A > C + A > B ⇒ A+C > B +C + A > B C > D ⇒ A + C > B + D + A > B C > ⇒ A.C > B.C + A > B C < ⇒ A.C < B.C + < A < B < C < D ⇒ < A.C < B.D + A > B > ⇒ An > B n , ∀n + A > B ⇒ An > B n v i n l + A > B ⇒ An > B n v i n ch n + m > n > A > ⇒ Am > B n + m > n > < A < ⇒ Am < B n + A < B A.B > ⇒ 1 > A B M t s h ng b t ñ ng th c : + A2 ≥ 0, ∀A (d u = x y A = ) + An ≥ 0, ∀A (d u = x y A = ) + A ≥ 0, ∀A (d u = x y A = ) + − A ≤ A≤ A + A + B ≥ A + B (d u = x y A.B > ) + A− B ≤ A − B ( d u = x y A.B < 0) Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i CÁC PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH B T ð NG TH C Ph n 2: Phương pháp 1: Dùng ñ nh nghĩa Ki n th c : ð ch ng minh A > B Ta l p hi u A − B > Lưu ý dùng h ng b t ñ ng th c M ≥ v i ∀ M Ví d : ∀ x, y, z ch ng minh r ng : a x + y + z ≥ xy + yz + zx b x + y + z ≥ xy − yz + zx c x + y + z + ≥ ( x + y + z ) Gi i: a Ta xét hi u : x + y + z − xy − yz − zx = ( x + y + z − xy − yz − zx ) = 1 2 x − y ) + ( y − z ) + ( x − z )  ≥ ñúng v i m i x; y; z ∈ R (  Vì ( x − y ) ≥ v i ∀ x; y D u b ng x y x = y (x − z) ( y − z) ≥ v i ∀ x; z D u b ng x y x = z ≥ v i ∀ z; y D u b ng x y y = z V y x + y + z ≥ xy + yz + zx D u b ng x y x = y = z b Ta xét hi u: x + y + z − ( xy − xz + yx ) = x + y + z − xy + xz − yx = ( x − y + z ) ≥ ñúng v i m i x; y; z ∈ R V y x + y + z ≥ xy − yz + zx ñúng v i m i x; y; z ∈ R D u b ng x y x + y = z c Ta xét hi u: Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i x2 + y + z + − ( x + y + z ) = x − x + + y − y + + z − z + = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ D u ( = ) x y x = y = z = 2 Ví d 2: ch ng minh r ng : a a2 + b2  a + b  ≥    a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥ b  3   c Hãy t ng quát toán Gi i: a Ta xét hi u : ( ) a2 + b2 a + 2ab + b a2 + b2  a + b  − − = 2a + 2b − a − b − 2ab  = 4 2   = ( (a − b )2 ≥ a2 + b2  a + b  V y ≥  D u b ng x y a = b   b Ta xét hi u : [ ] a2 + b2 + c2  a + b + c  2 −  = (a − b ) + (b − c ) + (c − a ) ≥ 3   a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥ V y  3   D u b ng x y a = b = c c T ng quát 2 a12 + a + + a n  a1 + a + + a n  ≥  n n   Tóm l i bư c ñ ch ng minh A ≥ B theo ñ nh nghĩa Bư c 1: Ta xét hi u H = A − B Bư c 2: Bi n ñ i H = ( C + D ) ho c H = ( C + D ) + + ( E + F ) 2 ) Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i Bư c 3: K t lu n A ≥ B Ví d 3: Ch ng minh ∀m, n, p, q ta đ u có : m + n + p + q ≥ m ( n + p + q + 1) Gi i: Ta có : m + n + p + q − m ( n + p + q + 1) = 2  m2  2 m 2 m 2 m = − mn + n  +  − mp + p  +  − mq + q  +  − m + 1 ≥         2 2 m  m  m  m  =  − n  +  − p  +  − q  +  −  ≥ (ln đúng) 2  2  2  2  m  −n=0 m  −p=0  ⇔ D u b ng x y  m  −q =0 2 m  −1 =  m  n =  m  m=2 p =  ⇔ n = p = q =  m q=  m =2  Ví d 4: Ch ng minh r ng v i m i a, b, c ta ln có : a + b + c ≥ abc(a + b + c) Gi i: Ta có : a + b + c ≥ abc(a + b + c) , ∀a, b, c > ⇔ a + b + c − a 2bc − b ac − c ab ≥ ⇔ 2a + 2b + 2c − 2a 2bc − 2b ac − 2c ab ≥ ⇔ ( a − b ) + 2a 2b + ( b − c ) + 2b c + ( c − a ) + 2a c − 2a 2bc − 2b ac − 2c ab ≥ 2 ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + (a 2b + b c − 2b ac) + (b c + c a − 2c ab) + 2 + (a 2b + c a − 2a ab) ≥ ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) + ( ab − bc ) + ( bc − ac ) + ( ab − ac ) ≥ 2 2 2 ðúng v i m i a, b, c Phương pháp 2: Dùng phép bi n ñ i tương ñương Ki n th c: Ta bi n ñ i b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i b t ñ ng th c ñúng ho c b t ñ ng th c Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i ñã ñư c ch ng minh ñúng N u A < B ⇔ C < D , v i C < D m t b t ñ ng th c hi n nhiên, ho c ñã bi t có b t đ ng th c A < B Chú ý h ng ñ ng th c sau: + ( A + B ) = A + AB + B 2 + ( A + B + C ) = A + B + C + AB + AC + BC + ( A + B ) = A + A B + AB + B 3 Ví d 1: Cho a, b, c, d , e, f s th c ch ng minh r ng a a + b2 ≥ ab b a + b + ≥ ab + a + b c a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e ) Gi i: a a + b2 ≥ ab ⇔ 4a + b ≥ 4ab ⇔ 4a − 4a + b ≥ ⇔ (2a − b ) ≥ (BðT ln đúng) V y a + b2 ≥ ab (d u b ng x y a = 2b ) b a + b + ≥ ab + a + b ⇔ 2(a + b + ) > 2(ab + a + b) ⇔ a − 2ab + b + a − 2a + + b − 2b + ≥ ⇔ (a − b) + (a − 1) + (b − 1) ≥ B t ñ ng th c cu i ñúng V y a + b + ≥ ab + a + b D u b ng x y a = b = c a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e ) ⇔ 4( a + b + c + d + e ( ) ( ) ( ) ( ) ≥ 4a(b + c + d + e ) ) ⇔ a − 4ab + 4b + a − 4ac + 4c + a − 4ad + 4d + a − 4ac + 4c ≥ ⇔ (a − 2b ) + (a − 2c ) + (a − 2d ) + (a − 2c ) ≥ 2 2 B t ñ ng th c ñúng v y ta có u ph i ch ng minh Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i Ví d 2: Ch ng minh r ng: ( a10 + b10 )( a + b ) ≥ ( a8 + b8 )( a + b ) Gi i: (a 10 + b10 )( a + b ) ≥ ( a8 + b8 )( a + b ) ⇔ a 12 + a 10 b + a b 10 + b 12 ≥ a 12 + a b + a b + b12 ( ) ( ) ⇔ a b a − b + a b b − a ≥ ⇔ a 2b ( a − b )( a − b ) ≥ ⇔ a 2b ( a − b ) ( a + a b + b ) ≥ B t ñ ng th c cu i v y ta có u ph i ch ng minh Ví d 3: cho x y = x > y Ch ng minh Gi i: x2 + y2 ≥2 x− y x2 + y2 ≥ 2 : x > y nên x − y > ⇒ x + y ≥ 2 ( x − y ) x− y ⇒ x2 + y2 − 2 x + 2 y ≥ ⇔ x2 + y2 + − 2 x − 2 y − ≥ ⇔ x2 + y2 + ( ( 2) ⇒ x− y− ) 2 − 2 x − 2 y − xy ≥ x y = nên xy = ≥ ði u luôn ñúng V y ta có ñi u ph i ch ng minh Ví d 4: Ch ng minh r ng: a P ( x, y ) = x y + y − xy − y + ≥ ∀x, y ∈ R b a + b + c ≤ a + b + c (g i ý: bình phương v ) c Cho ba s th c khác không x, y, z th a mãn: x y.z =  1 1  + + < x+ y+ z x y z  Ch ng minh r ng: có m t ba s x, y, z l n Gi i: Xét ( x − 1)( y − 1)( z − 1) = xyz − ( xy + yz + xz ) + x + y + z − 1 1 1 1 1 = ( xyz − 1) + ( x + y + z ) − xyz  + +  = ( x + y + z ) −  + +  > (vì + + < x + y + z ) x y z x y z x y z Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i ⇒ s x − , y − , z − âm ho c c ba s x − , y − , z − dương N u trư ng h p sau x y x, y, z > ⇒ xyz > Mâu thu n gt x y.z = b t bu c ph i x y trư ng h p t c có ba s x, y, z s l n Ví d 5: Ch ng minh r ng : < a b c + + ⇒ > (1) a+b a+b+c a+b a+b+c b b c c > ( 2) , > (3) b+c a+b+c a+c a+b+c C ng v theo v b t ñ ng th c (1), (2), (3), ta ñư c : a b c + + >1 a+b b+c a+c Ta có : a < a + b ⇒ Tương t : (*) a a+c < a+b a+b+c b a+b < b+c a+b+c (5) , ( 4) c c+b < c+a a+b+c ( 6) C ng v theo v b t ñ ng th c (4), (5), (6), ta ñư c : a b c + + b = x  x Khi phương trình có d ng : a b + + = b +1 a +1 a + b V trái c a phương trình:  a   b     a + b +1   a + b +1   a + b +1  = + 1 +  + 1 +  + 1 − =  + + −3  b +1   a +1   a + b   b +1   a +1   a + b  Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i 1  1    = (a + b + c) + +  − = ( b + 1) + ( a + 1) + ( a + b )     b +1 + a +1 + a + b  −  b +1 a +1 a + b    3 ≥ 3 ( a + 1)( b + 1)( a + b ) −3 = a +1 b +1 a + b 2 ( )( )( ) V y phương trình tương ñương v i : a +1 = b +1 = a + b ⇔ a = b = ⇔ 2x = 4x = ⇔ x = Ví d : Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTLN c a P = x y z + + x +1 y +1 z +1  1  + + Gi i : P = −   = − Q Theo BDT Cơsi , n u a, b, c >  x +1 y +1 z +1  a + b + c ≥ 3 abc ⇔ Suy Q = 1 1 1 1 1 + + ≥ 33 ⇒ (a + b + c)  + +  ≥ ⇒ + + ≥ a b c abc a b c a+b+c a b c 1 9 + + ≥ ⇒ Q ≤ − nên P = − Q ≤ − = x +1 y +1 z +1 4 4 V y max P = x= y=z= Ví d 3: Cho a, b, c > Ch ng minh r ng: 1 a+b+c + + ≤ 2abc a + bc b + ac c + ab Gi i: Áp d ng b t đ ng th c Cơsi ta có : a + +bc ≥ 2a bc ⇒ 1 1  ≤ ≤  +  a + +bc a bc  ab ac  Tương t : 1 1  1 1  ≤ ≤  + ⇒ ≤ ≤  +  b + + ac b ac  bc ab  c + + ab c ab  ac bc  ⇒ 2 a+b+c + + ≤ a + bc b + + ac c + + ab 2abc D u “=” x y a = b = c Ví d : CMR tam giác ABC : a b c + + ≥ (*) b+c−a c+a−b a+b−c Gi i : Theo b t đ ng th c Cơsi : Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i a b c abc + + ≥ 33 (1) b+c−a c+a−b a+b−c (b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) Cũng theo b t đ ng th c Cơsi : (b + c − a )(c + a − b) ≤ (b + c − a + c + a − b) = c (2) Vi t ti p hai BðT tương t (2) r i nhân v i s ñư c (b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc ⇒ abc ≥ (3) (b + c − a )(c + a − b)(a + b − c) T (1), (3) suy (*) D u “=” x y a = b = c hay ABC ñ u 0 < a ≤ b ≤ c  x y z  (a + c) Ví d 5: Cho  Ch ng minh r ng: ( ax + by + cz )  + +  ≤ 4ac a b c  < x, y , z Gi i: ð t f ( x) = x − (a + c) x + ac = có nghi m a, c Mà: a ≤ b ≤ c ⇒ f (b) ≤ ⇔ b − (a + c)b + ac ≤ ac y ≤ a + c ⇔ yb + ac ≤ (a + c ) y b b x y z  ⇒  xa + ac  + ( yb + ac ) + ( zc + ac ) ≤ (a + c )x + (a + c ) y + (a + c) z c a b  x y z ⇒ xa + yb + zc + ac + +  ≤ (a + c )( x + y + z ) a b c ⇔b+ Theo b t ñ ng th c Cauchy ta có: ⇒2 (xa + yb + zc )ac x + y + z  ≤ (a + c )(x + y + z )   a b c x y z 2 ⇔ 4( xa + yb + zc )ac + +  ≤ (a + c ) ( x + y + z ) a b c  x y z  (a + c ) (x + y + z )2 (ñpcm) ⇔ ( xa + yb + zc )ac + +  ≤ 4ac a b c Phương pháp 5: B t ñ ng th c Bunhiacopski Ki n th c: 10 ( x + y + z) Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c N u x ≥ R đ t x = Biên so n : Lê Kỳ H i  π α ∈ [0, c ) ∪ π ,3  R cos α  2  x = a + R cos α 2 N u ( x − a ) + ( y − b ) = R , ( > 0) đ t  , (α = 2π )  y = b + R sin α  x −α   y − β  N u   +  = R a, b > đ t  a   b  2  x = α + aR cos α , (α = 2π )   y = β + bR sin α N u toán xu t hi n bi u th c : (ax ) + b , (a, b > ) Thì đ t: x = b  π π tan α , α ∈  − ,  a  2 ( Ví d 1: Cmr : a − b + b − a + ab − (1 − b )(1 − a )) ≤ 2, ∀a, b ∈ [− 1,1] 2 Gi i: a = cos α a ≤ 1, b ≤ , ð t :  b = cos β (α , β ∈ [0, π ]) Khi : ( a − b + b − a + ab − (1 − b )(1 − a ) ) 2 = cos α sin β + cos β sin α + ( cos α cos β − sin α sin β ) π = sin(α + β ) + 3.cos(α + β ) = cos(α + β − ) ∈ [ −2, 2] ⇒ (dpcm) Ví d : Cho a , b ≥ Ch ng minh r ng : a b − + b a1 ≤ ab Gi i :  a = cos α  ð t : b =  cos β    π   α , β ∈ 0,        1 tan β tan α (tan β cos β + tan α cos α ) tan β + tg 2α = + = cos α cos β cos α cos β cos β cos α (sin β + sin 2α ) sin(α + β ) cos in(α − β ) = = ≤ = ab 2 2 2 cos β cos α cos β cos α cos β cos α ⇒ a b −1 + b a −1 = 35 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i a − (a − 4b) Ví d 3: Cho ab ≠ Ch ng minh r ng : − 2 − ≤ ≤2 −2 a + 4b Gi i :  π π  ð t: a = 2btgα , α ∈  − ,   22  a − (a − 4b) tan α − (tan α − 2) = = 4(tan α − 1).cos α 2 a + 4b + tan α = sin 2α − 2(1 + cos 2α ) = 2(sin 2α − cos 2α ) − ⇒ π = 2 sin(2α − ) − ∈  −2 − 2, 2 −    18.Phương pháp 18: S d ng khai tri n nh th c Newton Ki n th c: Công th c nh th c Newton n (a + b )n ∑ C nk a n−k b k , ∀n ∈ N * , ∀a, b ∈ R k =0 k Trong h s C n = n! (0 ≤ k ≤ n) (n − k )!k! M t s tính ch t đ t bi t c a khai tri n nh th c Newton: + Trong khai tri n (a + b)n có n + s h ng + S mũ c a a gi m d n t n ñ n 0, ñó s mũ c a b tăng t ñ n n Trong m i s h ng c a khai trti n nh th c Newton có t ng s mũ c a a b b ng n + Các h s cách ñ u hai ñ u b ng k n C n = C n −k k + S h ng th k + C n a n − k b k (0 ≤ k ≤ n ) Ví d 1: Ch ng minh r ng (1 + a ) ≥ + na, ∀a ≥ 0, ∀n ∈ N * (b t ñ ng th c bernoulli) n Gi i : 36 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i n k Ta có: (1 + a ) = ∑ C n a k ≥ C n + C n a = + na (đpcm) n k =0 Ví d 2: Ch ng minh r ng: an + bn  a + b  * a ≥  , ∀a, b ≥ 0, ∀n ∈ N 2   n an + bn + cn  a + b + c  * b ≥  , ∀a, b, c ≥ 0, ∀n ∈ N 3   n Gi i: a Theo công th c khai tri n nh th c Newton ta có: (a + b )n = C n0 a n + C n a n−1b + + C nn−1a.b n−1 + C nn b n (a + b )n = C n0 b n + C n b n−1a + + C nn−1b.a n−1 + C nn a n n n n ⇒ 2(a + b ) = C n (a n + b n ) + C n (a n−1b + b n −1 a ) + + C n −1 (a.b n −1 + b.a n −1 ) + C n (b n + a n ) ∀a, b ≥ 0, ∀i = 1,2, , n − : (a n −i )( ) − b n −i a i − b i ≥ ⇒ a n + b n ≥ a n − i b i − a i b n −i n n ⇒ 2(a + b ) ≤ C (a n + b n ) + C n (a n + b n ) + + C n −1 (a n + b n ) + C n (b n + a n ) n n n n = (a n + b n )(C n + C n + + C n −1 + C n ) = n (a n + b n ) an + bn a+b ⇒  ≤ n   n b ð t d = a+b+c ≥0 Theo câu (a) ta có: a+b c+d  2  + 2  n n n n a +b +c +d     ≥ 4 n n a+b c+d    +      ≥ (a + b + c + d )n ≥ d n = n n n n n ⇒ a + b + c + d ≥ 4d ⇒ a n + b n + c n ≥ 3d n n n an + bn + cn a+b+c ⇒ ≥ dn =  3   19 Phương pháp 19: n S d ng tích phân 37 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i Hàm s : f , g : [a, b] → R liên t c, lúc đó: * N u f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] b ∫ f ( x)dx ≥ a b a * N u f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [a, b] b a ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx b a ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx b a * b a * N u f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [a, b] ∃x0 ∈ [a, b ] : f ( x0 ) > g ( x0 ) b a ∫ f ( x)dx ≤ ∫ f ( x) dx b * N u m ≤ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b] m ≤ f ( x)dx ≤ M (m, M h ng s ) b−a∫ a Ví d 1: Cho A, B, C ba góc c a tam giác Ch ng minh r ng: tan A B C + tan + tan ≥ 2 Gi i: x ð t f ( x) = tan , x ∈ (0, π ) x (1 + tan ) 2 x x f '' ( x) = tan (1 + tan ) > 0, x ∈ (0, π ) 2 f ' ( x) = Áp d ng b t ñ ng th c Jensen cho: f ( A) + f ( B) + f (C )  A+ B +C  ≥ f  3   A B C  A+ B +C  tan + tan + tan ≥ tan   2   A B C π tan + tan + tan ≥ tan 2 A B C tan + tan + tan ≥ 2 38 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i π Ví d 2: Ch ng minh: π 10 ≤ dx ∫ − cos x ≤ π Gi i:  π Trên ño n 0,  ta có:  2 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ cos x ≤ ⇒ −2 ≤ −2 cos x ≤ 1 ⇒ ≤ − cos x ≤ ⇒ ≤ ≤ 5 − cos x π π 1π dx 1π dx π π   ⇒  − 0 ≤ ∫ ≤  − 0 ⇒ ≤ ∫ ≤ ( ñpcm ) 2 5  − cos x   10 − cos x Ph n 3: CÁC BÀI T P NÂNG CAO Dùng ñ nh nghĩa : a Cho abc = a > 36 Ch ng minh r ng a2 + b + c > ab + bc + ac Gi i: a2 a a2 2 Ta xét hi u: + b + c − ab − bc − ac = + + b + c − ab − bc − ac 12  a2  a2 a − 36abc a  =  + b + c − ab − ac + 2bc  + − 3bc =  − b − c  + >0 12a 2    12 (vì abc = a3 > 36 nên a > ) a2 V y : + b + c > ab + bc + ac ði u ph i ch ng minh b Ch ng minh r ng : x + y + z + ≥ x.( xy − x + z + 1) c CMR v i m i s th c a , b, c ta có : a + 5b − 4ab + 2a − 6b + > d a + 2b − 2ab + 2a − 4b + ≥ Gi i: 39 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i ( b Xét hi u : x + y + z + − x y + x − xz − x = x − y ) + (x − z ) + (x − 1) = H 2 H ≥ ta có u ph i ch ng minh c V trái có th vi t H = (a − 2b + 1) + (b − 1) + ⇒ H > ta có đpcm 2 d v trái có th vi t H = (a − b + 1) + (b − 1) ⇒ H ≥ ta có u ph i ch ng minh 2 Dùng bi n ñ i tương ñương : a Cho x > y xy = Ch (x ng minh r ng ) + y2 ≥8 (x − y )2 Gi i: Ta có x + y = ( x − y ) + xy = ( x − y ) + 2 ⇒ (x + y2 ) = (x − y ) (vì xy = ) + 4.( x − y ) + Do BðT c n ch ng minh tương ñương v i ( x − y ) + 4( x − y ) + ≥ 8.( x − y ) ⇔ (x − y )4 − 4(x − y )2 + ≥ ⇔ 2 [(x − y ) − 2] ≥ 2 BðT cu i nên ta có u ph i ch ng minh b Cho xy ≥ Ch ng minh r ng 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y + xy Gi i: Ta có  1   1  1 ⇔ + ≥ 2  + x − + y  +  + y − + xy  ≥    1+ x 1+ y + xy     ⇔ ⇔ xy − x xy − y + ≥0 ⇔ + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( y − x )2 (xy − 1) ≥ (1 + x )(1 + y ).(1 + xy ) x ( y − x) y( x − y) + ≥0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) BðT cu i ñúng xy ≥ V y ta có đpcm Dùng b t ñ ng th c ph : a Cho a , b, c s th c a + b + c = Ch ng minh r ng a + b + c ≥ Gi i: áp d ng BðT BunhiaCôpski cho s (1,1,1) (a,b,c) Ta có (1.a + 1.b + 1.c )2 ≤ (1 + + 1).(a + b + c ) ⇔ (a + b + c )2 ≤ 3.(a + b + c ) 40 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ Biên so n : Lê Kỳ H i (vì a a + b + c = ) (ñpcm) b Cho a , b, c s dương Ch ng minh r ng Gi i: (1) ⇔ + (a + b + c ). + +  ≥   a b c a a b b c c a b a c  b c + + +1+ + + +1 ≥ ⇔ +  +  +  +  +  +  ≥ b c a c a a b a c a c b x y + ≥2 y x áp d ng BðT ph V i x, y > Ta có BðT cu i ln 1 1 V y (a + b + c ). + +  ≥ a b c (ñpcm) Dùng phương pháp b c c u : a Cho < a, b, c < Ch ng minh r ng : 2a + 2b + 2c < + a 2b + b 2c + c a Gi i: Do a < ⇒ a < b < ( (1) )( ) Nên − a − b > ⇒ + a 2b − a − b > Hay + a 2b > a + b (1) M t khác < a, b < ⇒ a > a ; b > b ⇒ + a > a3 + b3 V y a + b < + a 2b Tương t ta có b3 + c < + b 2c; a + c3 < + c a ⇒ 2a + 2b + 2c < + a 2b + b 2c + c a (ñpcm) b So sánh 31 11 17 14 Gi i: Ta th y 3111 < 3211 = ( 25 ) = 255 < 256 11 ( ) M t khác 256 = 4.14 = 24 14 = 1614 < 1714 V y 31 11 < 17 14 (đpcm) Dùng tính ch t t s : a Cho a , b , c , d > Cminh r ng: < a+b b+c c+d d +a + + + nên ta có a+b a+b a+b+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d (1) b + +c b+c b+c+a < < a+b+c+d b+c+d a+b+c+d (2) d +a d +a d +a+c < < a+b+c+d d +a+b a+b+c+d (3) C ng v c a b t đ ng th c ta có : 2< a+b b+c c+d d +a + + + b+c a+b+c V y ta có a a 2a b b 2b < < Tương t ta có < < a+b+c b+c a+b+c a+b+c a+c a+b+c c c 2c < < a+b+c b+a a+b+c C ng t ng v ba b t ñ ng th c ta có : 1< a b c + + ,áp d ng BðT Cơsi ta có x + y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ 1 ⇒ xyz ≤ 27 áp d ng b t đ ng th c Cơsi cho x + y ; y + z ; x + z ta có ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ 3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) D u b ng x y x = y = z = V y S≤ ⇒ ≥ 3 ( x + y ).( y + z ).( z + x ) 8 = V y S có giá tr l n nh t x = y = z = 27 27 729 729 Ví d 3: Cho xy + yz + zx = Tìm giá tr nh nh t c a x + y + z Gi i: Áp d ng BðT Bunhiac pski cho s Ta có ( xy + yz + zx ) ( ( x, y , z ) ; ( x, y , z ) ≤ x2 + y2 + z2 ) ( ⇒ ≤ x2 + y + z ) (1) Áp d ng BðT Bunhiac pski cho ( x , y , z ) (1,1,1) Ta có ( x + y + z )2 ≤ (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z )2 ≤ 3( x + y + z ) T (1) (2) ⇒ ≤ 3( x + y + z ) ⇒ x + y + z ≤ V y x + y + z có giá tr nh nh t 3 x = y = z = ± 3 Ví d : Trong tam giác vng có c nh huy n , tam giác vng có di n tích l n nh t Gi i: G i c nh huy n c a tam giác 2a ðư ng cao thu c c nh huy n h Hình chi u c nh góc vng lên c nh huy n x, y Ta có S = ( x + y ) h = a.h = a h = a xy Vì a khơng đ i mà x + y = 2a V y S l n nh t x.y l n nh t ⇔ x = y V y tam giác có c nh huy n tam giác vng cân có di n tích l n nh t 44 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i Dùng B t đ ng th c đ gi i phương trình h phương trình : Ví d 1: Gi i phương trình: 3x + x + 19 + x + 10 x + 14 = − x − x Gi i : Ta có x + x + 19 = 3.( x + x + 1) + 16 = 3.( x + 1) + 16 ≥ 16 x + 10 x + 14 = ( x + 1) + ≥ V y 3x + x + 19 + x + 10 x + 14 ≥ + = D u ( = ) x y x + = ⇒ x = −1 V y 3x + x + 19 + x + 10 x + 14 = − x − x x = −1 V y phương trình có nghi m nh t x = −1 Ví d 2: Gi i phương trình x + − x = y + y + Gi i : áp d ng BðT BunhiaC pski ta có : ( ) x + − x ≤ 12 + 12 x + − x ≤ 2 = D u (=) x y x = M t khác y + y + = ( y + 1) + ≥ D u (=) x y y = V y x + − x2 = y2 + y + = x = y = - 2  x =1  V y nghi m c a phương trình  y = −   x + y + z =1 Ví d 3:Gi i h phương trình sau:  4  x + y + z = xyz Gi i: áp d ng BðT Cơsi ta có x4 + y y + z z + x4 + + ≥ x2 y2 + y z + z x2 2 2 2 2 2 2 x y +y z z y +z z x z + y x2 ≥ + + 2 x4 + y4 + z4 = ≥ y xz + z xy + x yz ≥ xyz.( x + y + z ) 45 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i Vì x + y + z = Nên x + y + z ≥ xyz D u (=) x y x = y = z =  x + y + z =1 có nghi m x = y = z = V y 4  x + y + z = xyz  xy − = − y Ví d 4: Gi i h phương trình sau   xy = + x (1) (2) Gi i: T phương trình (1) ⇒ − y ≥ hay y ≤ T phương trình (2) ⇒ x2 + = x y ≤ 2 x ⇒ x − 2 x + 22 ≤ ⇒ ( x − 2) ≤ ⇒ x = ⇒ x = ± N ux= y = 2 N u x = - y = -2 V y h phương trình có nghi m  x=   y = −   x=2    y = −2  Dùng BðT đ gi i phương trình nghi m ngun : Ví d 1: Tìm s nguyên x, y, z tho mãn x + y + z ≤ xy + y + z − Gi i: Vì x, y, z s nguyên nên x + y + z ≤ xy + y + z −   y2   3y2 ⇔ x + y + z − xy − y − z + ≤ ⇔  x − xy +  +  − y + 3 + z2 − 2z + ≤     ( 2 y  y  ⇔  x −  +  −  + ( z − 1) ≤ 2  2  2 y  y  Mà  x −  +  −  + ( z − 1) ≥ 2  2  (*) ∀x, y ∈ R y  y  ⇔  x −  +  −  + ( z − 1) = 2  2  46 ) Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i y  x− =0   x =1  y   ⇔  −1 = ⇔  y = 2  z =1   z −1 =    x =1  Các s x,y,z ph i tìm  y =  z =1  Ví d 2: Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình Gi i: Khơng m t tính t ng qt ta gi s Ta có = 1 + + =2 x y z x≥ y≥z 1 + + ≤ ⇒ 2z ≤ x y z z Mà z nguyên dương v y z = Thay z = vào phương trình ta đư c Theo gi s x ≥ y nên = 1 + =1 x y 1 + ≤ ⇒ y ≤ mà y nguyên dương x y y Nên y = ho c y = V i y = khơng thích h p V i y = ta có x = V y (2 ,2,1) m t nghi m c a phương trình Hốn v s ta đư c nghi m c a phương trình (2,2,1); (2,1,2); (1,2,2) Ví d 3: Tìm c p s ngun tho mãn phương trình Gi i: (*) V i x < , y < phương trình khơng có nghĩa (*) V i x > , y > Ta có ð t x + x = y ⇔ x + x = y2 ⇔ x = y2 − x > x =k (k nguyên dương x nguyên dương ) 47 x+ x = y (*) Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi đ i h c Ta có Biên so n : Lê Kỳ H i k (k + 1) = y Nhưng k < k ( k + 1) < ( k + 1) ⇒ k < y < k + Mà gi a k k+1 hai s nguyên dương liên ti p không t n t i m t s nguyên dương c Nên khơng có c p s ngun dương tho mãn phương trình x = V y phương trình có nghi m nh t :  y = Bài t p ñ ngh : Bài 1: Ch ng minh r ng v i m i a,b,c > : a b c 1 + + ≥ + + bc ac ab a b c HD : Chuy n v quy ñ ng m u đưa v t ng bình phương đ ng th c Bài 2: Ch ng minh b t ñ ng th c : HD: 1 1 + + + + a + b + c ≤ Cmr : 1 +     1 + 1 +  ≥ 64 a  b  c   HD : Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho 1 +  1  1  1  , 1 +  , 1 +  a  b  c Bài 4: Cho a ≥ c ≥ 0, b ≥ c ≥ Cmr : c(a − c) + c(b − c) ≤ ab HD : Áp d ng b t ñ ng th c Côsi cho c a−c c b−c , , r i c ng hai v theo v b a a b a2 b2 Bài 5: Cho a, b >1 Tìm GTNN c a S = + b −1 a −1 HD : Áp d ng b t đ ng th c Cơsi cho Bài 9: Tìm GTLN GTNN c a y = HD: ð t x= a2 b2 , xét trư ng h p d u “=” x y b −1 a −1 + x + 12 x (1 + x )  π π tgα , α ∈  − ,   2 48 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Bài 10: Cho 36x +16 y = Cmr : Biên so n : Lê Kỳ H i 15 25 ≤ y − 2x + ≤ 4   x = cos α HD: ð t :   y = sin α  Bài 11: Cmr : + − x ≥ x (1 + − x ), ∀x ∈ [− 1,1]  π π HD : ð t x = sin 2α , α ∈ − ,   4 Bài 12: Cho a, b ≥ 0, c ≤ Ch ng minh r ng: a + b + c ≤ + a b + b c + c a Bài 13: Cho ∆ ABC có a, b, c ñ dài c nh Ch ng minh r ng: a b(a − b) + b c(b − c) + c a (c − a ) ≥ n n Bài 14: Cho n ∈ Ζ,1 ≤ n, a, b ≥ Ch ng minh r ng a + b ≥  a + b    n   n Bài 15: n ∈ Ζ,2 ≤ n Ch ng minh r ng: < 1 +  <    n Bài 16: Có t n t i x ∈ R cho: ≤ tg 3x ≤ ? tgx Bài 17: Cho ∆ ABC có di n tích b ng (đơn v di n tích) Trên c nh BC, CA, AB l y l n lư c ñi m A’, B’, C’ Ch ng minh r ng: Trong t t c tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có nh t di n tích nh hay b ng 1(đơn v di n tích) =========== H T============ 49 ... y i2 ≥ 2 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i Trong m t ph ng t a ñ , xét: M ( x1 , y1 ) : M ( x1 + x , y1 + y ) ;…; M n ( x1 + … + x n , y1 + … + y n ) Gi thi t suy... sau : 27 Chuyên ñ b t ñ ng th c luy n thi ñ i h c Biên so n : Lê Kỳ H i Ki m tra b t ñ ng th c ñúng v i n = n0 Gi s BðT ñúng v i n = k (thay n = k vào BðT c n ch ng minh ñư c g i gi thi t quy... thi t đ suy u vơ lý , u vơ lý có th u trái v i gi thi t , có th u trái ngư c T suy b t ñ ng th c c n ch ng minh ñúng Gi s ta ph i ch ng minh lu n ñ “p ⇒ q” Mu n ch ng minh p ⇒ q (v i p : gi thi