Chuyên đề Giá trị Min-Max và bất đẳng thức - Toán lớp 6

Chuyên đề Giá trị Min-Max và bất đẳng thức - Toán lớp 6 dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi môn Toán. Giúp bạn củng cố và nâng cao kiến thức cũng như khả năng làm toán cách nhanh và chính xác nhất, giúp các em học sinh nắm bắt được phương pháp giải bài tập.

1     CHUYÊN ĐỀ.GIÁ TRỊ MIN-MAX VÀ BẤT ĐẲNG THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT     Với  mọi  n     và mọi  A  ta có:  A2 n  , và  A2 n   khi  A    Với mọi  A  ta có:  A  , và  A   khi  A    1    A B An   A   (với  n  là số tự nhiên).  A  B  (với  A, B  cùng dấu) thì  II CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Với   n    ,  A là biểu thức chứa  x; y; và  m là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ  bản như sau:  Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2 n  m với k  Hướng giải: Với  k   và mọi  A  ta có  A2 n   k A2 n   k A2 n  m  m   Do đó  GTNN của  k A2 n  m  là  m  khi  A    Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức  A   x      Lời giải 4 Với mọi  x  ta có   x      x      , và   x     khi  x    hay  x     Vậy GTNN của biểu thức  A   x     là   khi  x     Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:  a)   A   x  1  2019   b)  B  2021 x   2020  2022   Lời giải 2 a)  Vì   x  1  x   nên   x  1  2019  2019 Dấu bằng xảy ra khi   x  1   x    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A  bằng 2019 khi  x        b)  Vì  2021 x   2021 x   2020 2020  x  2021 x   2020  2022  2022  Dấu bằng xảy ra khi    x  2   Vậy giá trị nhỏ nhất của  B bằng  2022  khi  x  2 Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức  C   x  y  2020 30   y    25   Lời giải Với mọi  x; y  ta có   x  y  2020   , và   x  y  30 2020   khi  x  y   hay  x  y   30 30 Với mọi  y  ta có   y      y     , và   y     khi  y    hay  y    Do đó với mọi  x; y  ta có:   x  y  2020 30   y  3    x  y  2020 30   y  3  25  25  hay  B  25   Ta có  B  25 khi xảy ra đồng thời  x  y và  y   hay  x  y    Vậy GTNN của biểu thức  C   x  y  2020 30   y    25  là  25  khi  x  y    Ví dụ 4: Tìm giá trị  nhỏ nhất của biểu thức:  2n 4n A   x  1   y  1  10  và  B   x     y  1  100,   n     Lời giải  x  1  0  x  A   x  1   y  1  10  10   + Ta có:    y  1    y  x  1  x  Dấu bằng xảy ra khi       y   y     x  Vậy giá trị nhỏ nhất  A  10  khi     y 1  x   n  0  x 2n 4n   x     y  1  100  100   + Ta có:   4n   y  1  0  y  x   n  x  Dấu bằng xảy ra khi      4n y 1   y  1  x  Vậy giá trị nhỏ nhất  B  100  khi   y 1 Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:  A  x  x  1  x  30     Phân tích:  Với bài tốn mà biểu thức chưa có dạng  A  a.M  b  Ta đặt thừa số chung để đưa về dạng  A  a.M  b   Lời giải Ta có:  A  x  x  1   x  1  29   x  1 x  1  29   x  1  29   2 + Vì   x  1  x   nên   x  1  29  29   Dấu bằng xảy ra khi   x  1   x  1   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A  bằng 29 khi  x  1   Loại 2: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A2 n  m với k  Hướng giải: Với  k   và mọi  A  ta có  A2 n   k A2 n   k A2 n  m  m Do đó  GTLN của  k A n  m  là  m  khi  A    Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau  a)   C    x    10 2019   b)  D  2  x  10  2020  2100   Lời giải 2 a)  Vì    x    x   nên    x    10 2019  10 2019   Dấu bằng xảy ra khi    x     x    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  C  bằng  10 2019  khi  x    b)  Vì  2  x  10  2020  x  2  x  10  Dấu bằng xảy ra khi  2  x  10  2020 2020  2100  2100     x  10   Vậy giá trị lớn nhất của  D  bằng  2100  khi  x  10   Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức  B  2  x  1   y      Lời giải 6 Ta có:  B  2  x  1   y     3    x  1   y        4 Với mọi  x  ta có   x  1    x  1   , và   x  1   khi  x    hay  x    6 Với mọi  y  ta có   y    , và   y     khi  y    hay  y  2       Do đó với mọi  x; y  ta có:  6  x  1   y        x  1   y         x  1   y      3  hay      B  3   Vậy GTLN của biểu thức  B  2  x  1   y     là  3  khi  x  và  y  2   2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  C    x    100  y  10   2025   Lời giải    x    0  x 2  C    x    100  y  10   2025  2025   + Ta có:    100  y  10   0  y    x  2  x   Dấu bằng xảy ra khi      100  y  10    y  10 x  Vậy giá trị lớn nhất  C  2025  khi      y  10 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  B   x  x    x  100   Lời giải Ta có:  B   x  x     x     100   x    x    104    x    104   2 + Vì    x    x   nên    x    104  104   Dấu bằng xảy ra khi    x     x  2   Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  C  bằng  104  khi  x  2   Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  D   x  x  y  y  50   Lời giải Ta có:  D    x  x    x  1  y  y  y   55      x  x  1   x  1  y  y     y    55      x  11  x    y    y   55         x  1   y    55    x  12  0  x 2 Vì       x  1   y    55  55      y    0  y        x  1  x  Dấu bằng xảy ra khi         y     y  x  Vậy giá trị lớn nhất  D  55  khi     y  Dạng 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức Ở dạng này xét các bài tốn: Tìm số ngun  n  ( hoặc số tự nhiên  n ) để phân thức  A  có GTLN –  GTNN.  a với a; b; c số nguyên biết b.n  c + Nếu  a     thì:  Loại 1: A  A  có GTLN khi  b.n  c là số dương nhỏ nhất ứng với  n  nguyên .  A  có GTNN khi  b.n  c là số  âm lớn nhất ứng với  n  nguyên.  + Nếu  a     thì:  A  có GTLN khi  b.n  c là số âm lớn nhất ứng với  n  nguyên.  A  có GTNN khi  b.n  c  là số dương nhỏ nhất ứng với  n  nguyên.  Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên  n  để  A  15  có GTLN. Tìm GTLN đó.  2n  Lời giải Ta có tử là  15   nên  A  15  có GTLN khi  n   và có GTNN ứng với  n     2n  Xét  2n    2n   n    Do đó để  2n   và có GTNN ứng  n   thì  n  phải là số tự nhiên nhỏ nhất  thỏa mãn  n  Từ đó ta suy ra  n  và  GTLN của  A  Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên  n  để  P    15 15 là   15   2n  2.3  5 (n  3)  có giá trị lớn nhất  n3 Lời giải Ta có:   và khơng đổi.  P có giá trị lớn nhất khi  n   là số nguyên dương nhỏ nhất .  n3 Ta có:  n    n    Do  n  N và   n   là số nguyên dương nhỏ nhất suy ra:  n   Khi đó  P  đạt giá trị lớn nhất là    Vậy  n    Ví dụ 3: Tìm số ngun  n  để  P   có giá trị nhỏ nhất 2n  Lời giải       Ta có:   và khơng đổi.  có giá trị nhỏ nhất khi  2n   là số ngun âm lớn nhất .  P 2n  5 Ta có:  2n    n    Do  n   và  2n   là số nguyên âm lớn nhất  suy ra: n  3  Khi đó  P  đạt giá trị nhỏ nhất là     Vậy  n  3   Ví dụ 4: Tìm  n  để phân số  P   có giá trị lớn nhất.  2n  Lời giải   Ta có:   và khơng đổi.  P có giá trị lớn nhất khi  2n   là số nguyên dương nhỏ nhất .  2n  Ta có:  2n    vì  n    .  Do đó  2n   nhỏ nhất bằng   khi  n   n   nên  P  đạt giá trị lớn nhất là    Vậy  n    a.n  d với a; b; c; d số nguyên biết b.n  c a.n  d f  Tách  A    e b.n  c b.n  c Loại 2: A   Việc tìm  n  ngun để  A  có GTLN – GTNN trở thành bài tốn tìm  n  ngun để  f  có GTLN hoặc có GTNN (Bài tốn loại 1).  b.n  c  A Chú ý ta có thể  cách tách biểu thức  A  theo cách sau:  a.n  d b  a.n  d  ban  bd ban  ac  bd  ac a  bn  c   bd  ac a bd  ac         b.n  c b  b.n  c  b  b.n  c  b  b.n  c  b  b.n  c  b b  b.n  c  Ví dụ 1: Tìm số ngun  n  để  B  7n    có GTNN. Tìm GTNN đó.  2n  Lời giải Ta có:  B n   n   14n  10 14n   17  2n  1  17 17 17         2n   n  1  2n  1 2. 2n  1 2. 2n  1 2  2n  1 2  n  1   Do đó biểu thức  B  7n   đạt GTNN khi   đạt GTLN.  2n  2n  Mặt khác, do tử là    nên     đạt GTLN khi  2n    và có GTNN ứng với  n    2n    Xét  2n    2n  1  n     Do đó để  2n    và có GTNN ứng với  n   thì  n  phải là số nguyên nhỏ nhất  thỏa mãn  n     Từ đó ta suy ra  n   và  GTNN của  B  Ví dụ 2: Tìm số ngun  n  để  M  n  7.0  là   5   2n  2.0  6n   đạt GTLN.  Tìm GTLN đó 4n  Lời giải Ta có:  M  6n  6n    2n  3  6 3         n  2. 2n  3  2n   2  2n  3 2n  Do đó biểu thức  M  6n  3  đạt GTLN khi   đạt GTLN.  4n  2n  Mặt khác, do tử là    nên   đạt GTLN khi  2n    và có GTNN ứng với  n    2n  Xét  2n    n   n    Do đó để  2n    và có GTNN ứng với  n   thì  n  phải là số ngun nhỏ nhất  thỏa mãn  n  Từ đó ta suy ra  n   và  GTLN của  M  Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên  n  để  P  6n  6.2  là     n  4.2  5n   có giá trị nhỏ nhất.  2n  Lời giải   5 1 (2 n  1)   (2 n  1)   5n  1 2  5 5   Ta có:  P    2n  2n  2n  2 n  2(2 n  1) 1 P đạt giá trị nhỏ nhất khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó  lớn nhất.  2(2 n  1) 2(2 n  1) Do   và khơng đổi.  Phân số  có giá trị lớn nhất khi  (2n  1)  là số ngun dương nhỏ nhất .  2(2 n  1) Ta có:  2n    n    Do n  N (2n  1) là số nguyên dương nhỏ nhất suy ra:  n    Khi đó  P  đạt giá trị nhỏ nhất là    Ngoài hai loại thay n lũy thừa bậc cao n ta toán mở rộng       Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Với   A là biểu thức chứa  x; y;  và  m là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài toán cơ bản như  sau:  Loại 1: Tìm GTNN biểu thức dạng: k A  m với k  Hướng giải: Với  k   và mọi  A  ta có  A   k A   k A  m  m   Do đó  GTNN của  k A  m  là  m  khi  A    Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của  A   x    Lời giải Ta có:   x   với mọi  x  nên  A    Vậy  A  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12 tại  x    Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức  A  x     Lời giải Với mọi  x  ta có  x    x    x    5  hay  A  5   Vậy GTNN của biểu thức  A  x    là  5  khi  x    hay   x     Loại 2: Tìm GTLN biểu thức dạng: k A  m với k  Hướng giải: Với  k   và mọi  A  ta có  A   k A   k A  m  m Do đó  GTLN của  k A  m  là  m  khi  A    Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của  B   x     Lời giải Ta có:   x     nên  B    Vậy  B  đạt giá trị lớn nhất bằng   tại  x  4   Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức  B   x   x  y   Lời giải Với mọi  x  ta có  x    3 x    và  x    khi  x    hay  x    Với mọi  x; y  ta có  x  y   5 x  y   và  x  y   khi  x  y   hay  x  y   Suy ra mọi  x; y  ta có:  3 x   x  y    x   x  y   hay  B    Ta có  B   khi xảy ra  đồng thời   x  và  x  y       Thay  x  vào  x  y ta được   y  y    Vậy  GTLN của biểu thức  B   x   x  y  là   khi  x   và  y    Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức  C  x   x  y   25   Lời giải Với mọi  x  ta có  x   , và  x    khi  x    hay  x  1   Với mọi  x; y  ta có  x  y    x  y   ,  và  x  y    khi  x  y    hay  y  x    Do đó với mọi  x; y ta có:   x   x  y    x   x  y   25  25  hay  C  25   Ta có  C  25  khi xảy ra đồng thời  x  1 và  y  x    Thay  x  1 vào  y  x  ta được  y  1     Vậy  GTLN của biểu thức  C  x   x  y   25  là  25  khi  x  1  và  y    CÁC DẠNG TỐN TỔNG HỢP Loại 1: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức  A   x  1  y     Lời giải 2 Với mọi  x  ta có   x  1   , và   x  1   khi  x    hay  x     Với mọi  y  ta có  y   , và  y    khi  y    hay  y  2   Do đó:   x  1  y   , với mọi  x ,  y   Suy ra  A   x  1  y    , với mọi  x ,  y   Vậy GTNN của biểu thức  A   x  1  y    là   khi  x    và   y  2   Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức  B  10  x    y  1   Lời giải 6 Ta có :  B  10  x    y  1  10  3 x    y  1      Với mọi  x  ta có  x    x    , và  x    khi  x    hay  x      10   6 Với mọi  y  ta có   y  1  , và   y  1    khi  y    hay  y  1   6 Do đó  x    y  1    3 x    y  1    10  3 x    y  1   10  hay  B  10       Vậy GTLN của biểu thức  B  10  x    y  1  là 10 khi  x   và  y  1   Loại 2: Tìm GTLN - GTNN phân thức chứa lũy thừa với số mũ chẵn Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức  A     x  2  Lời giải Do tử là    nên biểu thức   A   x  2 2 4  đạt GTLN khi   x      và đạt GTNN.  Với mọi  x  ta có   x  1    x  1     2 Do đó GTNN của   x     là   khi   x     hay  x  2   Vậy GTLN của biểu thức  A   x  2  là  4 Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức  B   khi  x  2  .  4 10  x  1   2 Lời giải Ta có:  B  4 10  x  1 Biểu thức  B   2 4 10  x  1 10  x  1  .  2  đạt GTNN khi  2 Mặt khác, do tử là   nên  4 10  x  1  đạt GTLN.  2 10 10  x  1 2 10  đạt GTLN khi   x  1   và đạt GTNN.  10 Với mọi  x  ta có   x  1    x  1     10 10 Do đó GTNN của   x  1  là   khi   x  1   hay  x     Vậy GTNN của  biểu thức  B    4 10  x  1  là    2  khi  x     2 2 ... P  đạt? ?giá? ?trị? ?nhỏ nhất là    Ngồi hai loại thay n lũy thừa bậc cao n ta toán mở rộng       Dạng 3: Tìm GTLN - GTNN biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Với   A là biểu? ?thức? ?chứa  x; y; ? ?và? ? m là số tùy ý, ở dạng này ta đưa ra hai loại bài? ?toán? ?cơ bản như ... GTLN - GTNN phân thức chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu? ?thức? ? A    2x   Lời giải Do tử là    nên  biểu? ?thức? ? A   đạt GTLN khi  x    ? ?và? ?đạt GTNN.  2x   Với mọi? ?giá? ?trị? ?của ... 2n  2 n  2(2 n  1) 1 P đạt? ?giá? ?trị? ?nhỏ nhất khi biểu? ?thức đạt? ?giá? ?trị? ?nhỏ nhất, khi đó  lớn nhất.  2(2 n  1) 2(2 n  1) Do   và? ?khơng đổi.  Phân số  có? ?giá? ?trị? ?lớn nhất khi  (2n  1)  là số ngun dương nhỏ nhất .