Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Phương trình và bất đẳng thức bao gồm 9 phần nhỏ thể hiện theo chủ đề, có nhiều dạng như: Các dạng phương trình, bất phương trình căn bản, các dạng hệ phương tình căn bản, các hệ nghiệm, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, vv... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
NGƯT ThS LÊ HỒNH PHỊ C ác c h u y ê n đ ề Bííni líÍT Để THI Th.s NMẢ G IẢ O ƯU TỦ LÊ HOẢNH PHÒ CÁC CHUYÊN ĐỀ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA PHƯƠNG TRÌNH ọ VÀ BẤT ĐĂNG THỨC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Quóc GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập - Chế bản: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập: (04) 39715011 Fax: (04)39729436 C h ịu tr c h n h iệm x u ấ t bản: Giám dốc - rố n g hiển lập: TS I^ỈẠ M THỊ TRẢM B iên tập: N G U Y Ê N C A N H BA C h ế bản: N G U Y Ễ N K HỞI M IN H T r ìn h bày bìa: N H Ả SÁ CH H Ồ N G ÂN Dối lác liê n k ếl xu â ì bàn: N H Ả SÁCH H Ồ N G ÂN 20C N guyễn T hị M inh K hai - Q l - T F Hồ C hí M in h SÁCH LIÊN KẾT CÁC CHUYÊN ĐỂ BÁM SÁT OỂ THI THPT QUỐC GIA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BÂT ĐẲNG t h ứ c Mã số: 1L-337ĐH2015 In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm Cơng ti cổ phẩn Văn hóa Văn Lang Địa chỉ: Số Nguyễn Trung Trực - P5 - Q Bình Thạnh - TP Hồ Chí Minh Số xuất bản: 1439- 2015/CXBIPH/3-217-ĐHQGHN, ngày 3/6/2015 Quyết định xuất số: 354LK-TN/Q0-NXBDHQGHN, ngày 22/6/2015 In xong nộp lưu chiểu quý III năm 2015, LỜI NÓI ĐẦU Các Km học sinh thân mến! Nhằm mục dích giúp bạn học sinh lớp 12 chuẩn bị thật tôt cho KY THI TRUNG HỌC R H ổ THƠNG QUỐC GIA dạt diơm khá, điổm cao đổ trúng tuyên vào trường Cao dắng, Đại học mà dã xác dịnh nghơ' nghiệp cho tương lai, theo dịnh hướng Bộ sách gồm cuôn cho chuyên dề, dổ cm tiện dùng ơn luyện theo chương trình học trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỔ - HÀM SỐ VẢ PHƯƠNG TRÌNH MŨ LƠGARIT - NGUN HÀM VẢ TÍCH PHẢN - SỐ PHỨC VÀ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA DỘ P h Ấ n G - PHƯƠNG TR ÌNH VẢ BẤT d Ấ n G t h ứ c Cin PHƯƠNG TRÌNH VẢ HAT ĐANG THỨC gồm có phổn nhb dế tiện luyện tập theo chủ dề Từ kiến thức phương pháp giái 'l’oán bán nâng cao dần dán, kêl hỢỊ) ôn tập 'I'oán lớp 10 1 bổ sung mớ rộng ki(m thức phương pháp giái khác nhau, luyện tập thêm 'rốn khó, Tốn tống hỢp, bạn rèn luyện kỹ làm bước giái dũng, giái gọn tập (:ác toán kiêm tra thi Dù dã cố gáng kiếm tra trinh biên tỘỊ) song không tránh khỏi sai sót mà tác gia chưa thấy hốt mong đón nhận góp ý quý bạn dọc học sinh de lần in sau hoàn thiện Tác giá LÊ HƠÀMỈ PHỜ MỤC LỤC CẢC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẤ T l>Hi;ƠN(} TRÌNH ('ÂN lìẢN TỒNG HỢP VT PHƯƠNG TRÌNH BÁT PHI ƠNG TRÌNH 29 CÁC DẠNG 111; PHƯƠNG TRÌNH CẢN BAN 46 TỐNG 1lỢP VÙ 111; P1 lUƠNG '1'RÌNI 59 DIHU K11;N VHNGHIHM 96 CÁC PIIƯƠNG PI lÁP GI IỦ’N(} MlNl ỉ BẤ T DANG ri l c CẢN BAN 134 TỒNG HỢP BẢ'l' DANG THỨC 158 CÁC PHƯƠNG PHÁP l ÌM GIẢ TRỊ I.ỚN NIIA T NHƠ NIIẢ r CẢN BAN 196 TỎNG HƠP VH GIẢ TRỊ I.ỚN NHÁ I' NHƠ NHẢ r 214 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN BẢN Phương trình biến đoi - Hai phương trình (cùng án) gọi tương đirơng chủng có tập nghiệm, rỗng Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D, y =f(x) hàm sổ xác định D, đó: f(x) = g(x) [ f ( ý f = [g(x)f Phương trình bậc Giãi biện luận phương trình: ax + h = D = R, ax + b = ax = -b Neu a ĩ^O phương trình củ nghiệm nhất: X = - — a Neu a = phương trình trở thành: Ox = -b Khi b ~ 0: Phương trĩnh có nghiệm với X Khi h ĩT: 0: Phương trình vơ nghiệm Phương trình bậc hai định lý Viet Phương trình bậc hai: ax^ f bx ^ c Lập A = 0, a - 4ac A < 0: Phương trình vơ nghiệm A = 0: Phương trình cỏ nghiệm kép X ì A > 0: Phương trình có nghiệm Xì = X, b ' 2a b ± Và 2a Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai ax^ + bx + c = có nghiệm Xi , X lổng s = X ] + X = - — tích p = xịX7 = — a a Đảo lại hai s ố X/, X cỏ lổng X ì + X = s tích X/ X = p chúng nghiệm phương trình - sx + p = Phương trình nàv có nghiệm - 4P >0 - Phân lích tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax^ + bx + c có hai nghiệm X/ v X (có thể trùng nhau) cổ thể phân tích thành nhãn tử sau: f(x) = ax^ + bx + c = a (x - Xi) (x - X 2) Phương trình chứa ẩn mẫu thức Đặt điểu kiện xác định, điều kiện biến đổi phương trình bậc nhất, bậc hai, Giải nghiệm đối chiếu điểu kiện xác định Phương trình bậc ba Dạng ax^ + bx^ + cx + d = 0, a Biến đoi thành lích s ố dùng máy tính cá nhân đ ế tìm nghiệm X = x„ Chia da thức v ế trái cho (x - x„) dùng s dồ Hooc - ne đ ế có phân tích: a X = Xo a b h' d c = aXo + b c ' = b'Xn +c d' = c'Xo +d =0 Do ax^ + bx~ + cx + d = (x - Xo) (ax^ + b'x + c') Phương trình bậc bốn đặc biệt - Dạng ax'* + bx^ + X = 0, a ^ Đặt t = x^, t> Phương trình trở thành a r + bí + c = - Dạng (ax^ + bx + c) ( ax^ + bx + c') = d Đặt í = x^ + bx Phỉtơng trình trở thành (í + c) (í + c ) = d - Dạng (x + a) (x + b) (x + c) ( X + d) = m Nếu a + b = c + d đặt í = x^ + (a+b ) X = x^ + (c + d) X Phương trình trở thành (í + ab) ( t + cd) = m - Dạng (x + a / + (x + b)^ = c Dặt X = l - r>I >7 > I ' ^ íì + b A , a + b A Phương trình trớ thành: ( t + ) + ( t ) = c Khai Irỉên thành phương trình trùng phương Phương trình bậc cao Phương trình bậc cao đưa phương trình bậc nhất, bậc hai hai cách sau: - Phân tích đa thức nằm vế trái phương trình thành lích nhị thức bậc lam thức bậc hai - Đặt ẩn phụ đế đưa phương trĩnh bậc cao cho phương trình bậc hai, bậc thấp theo ấn phụ Phương trình quy hồi (đối xứng hệ số) bậc n Ax" + Bx"' ' + Cx""^ + Cx^ + Bx + A = - Nen n lẻ ihì cỏ nghiệm - Nếu n chẵn, n ^ X = - I 2m chia vế cho x " ' Đặt ẩn phụ / = X H— , 111 X >2 Chúỹ: 1) Cỏ đặt / = X - —, t e R cỏ tỉ lệ đặt / = X + X X 2) Cũng phirơng trình bậc hai, tong hệ so a + h + c + phương trình bậc cao băng có nghiệm X = l, cịn tơng đan dâu hệ sô a - b + c - d + có nghiệm X = - l Dẩu nhị thúc bậc Nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b, a 9^ 0: X -b/a -ao trái dấu a + 00 dấu a Dẩu tam thức bậc hai Tam thức bậc hai: f(x) = ax^ + hx + c (a 9^0) PT f(x) = A 0, Vx £ R A =0 af(x) > 0, Vx 9^:- — 2a af(x) < 0, Vx £ (xị, < X af(x) > 0, Vx £ A>0 cổ nghiệm Xị X 2) ( - 00, X i ) U ( X 2, + 00) Tam thức bậc hai không đỗi dấu R f(x) = ax^ + bx + c, a 9^0 \A e R, f(x) > ^ ía > ía > \ , Vx € R, f(x) >0 -3 Hệ cho tương đương với; y > -3 0) ta được: =4 Vx + y =3 ‘ ^ = Vx + y =1 V x - y =3 íx + y = íx = ịx -y = l [y = |x + y = l [x = _ lx -y = [y = -4 Ket hợp với điều kiện y > -3, hệ có nghiệm (x, y) (5; 4) 81 u - t ’ 4« Í2x'-2xy+3x-2y-l=3jộ?^l)(x-y) Bài tốn 4.58: Giải hệ P : yjx+1 +-^x-y =yj2x.-y+l Điều kiện: x e {-1} u [1; +oo), Với X = -1: không thỏa hệ Với X Giải X-y >0 -1 Biến đổi phương trình đầu hệ thành 2(x + l)(x - y) + (x - 1) = V (x -y ) (x ^ -l) ( x - y ) ( x + l) = V x -1 - (*) 2V (^~ y )(x + l) = V x -1 Bình phương hai vế phương trình thứ hai (x + l)(x - y) = — Thế vào (*) tìm nghiệm hệ là: 4^6 V ’’Ì ; : - ^ y + 2=Bài tốn 4,59: Giải hệ phương trình: y+ 2(x-2)V x + = - — Giải Điều kiện: X, y > -2 Đặt u = ^ + , v = yfỹ+2 (u, V > 0) :-^ y + -Hệ y + 2(x - 2)Vx + = Thay V= m - v ^ + u ^ -8 u = - — vào phương trình thứ hai + 2u^ - 7u^ - 8u + 12 = o (u - l)(u + 3)(u^ - 4) = Thử lai điều kiên, chon u = 2; V= Suy nghiệm hệ (x; y) ( - i ' Bài toán 4,60: Giải hệ phương trình: (x + VxVl](y + -/y ^+ l)= l -v/x + + ^ + = Vó 82 Giải Điều kiện; X > -2, y > -2 l'a có: -y/y" +1 - y nên PT đầu lương đương với x + Vx^+1 = Vy^+1 - y (1) Ta có: Vx^‘ +1 - X nên P'r đầu tương đương với y + Vy" + " V x' + - X (2) Cộng (1) (2) X + y = -X - y y = -X Thế vào PT sau ta có: Vx + + V - X = Vó o + V4-x ^' = X = +V3 Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( Vj ; - V3 ) (- V 3; V3) I Bài tốn 4.61: Giải hộ phương trình: ^ ^ [x Vx + y - 2) + X - = 5y Giải Diều kiện X + y > Hệ tương đương +1 =>’-^/x+>’+_y (x‘ + l)(x+>”- 2) = 6y X" +1 =>’Vx + >'+>' +1 ^yV x+V +y Ị y ^ x + y +y)(x+y-2) =: óy ( y = hệ vơ nghiệm ) {ylx+y + l)(x+y-2) = Đặt t = Vx + y , t ^ (^Jx + y + 1)(x -t y - 2) ■■=6 t^ + V - 2t - = t = nên suy X -t y ==4 í^ ^ + l = -^y ^ fy = - x Hệ trở thành xy =" -x^ + y Thay vào phương trình thứ ta được; 3yly(x^+ỉ) + (- x ' + y) = « 3yly(x^+ \) + 2y = 2(x' +1) 84 j - Ậ — +2 -/+1 x^' +\ o Chọn: = X" +1 V x '+ Do phương trinh: t 3x^ + - 1^ X « (x + l)(x^ -H2x - 1) = 2x^ - 3x^ -yịỹ + xy = => (2x‘ - 3x y/ỹ + y)x = = > x(x- ^ ) ( x - ^|ỹ ) = Xét X = khơng thỏa mãn Xét X =y[ỹ y.= x^, X > nghiệm X == 1; y = , Xét-^y = 2x y = 4x , X > nghiệm X = - ^ ; y = JJ= Vậy nghiệm hệ; x = l ; y = 1; x = ụ = ; y = ự = Bài tốn 4.65: Giải hệ phương trình: [x“.J ỹ + l - x y - x = l Ix’’ - x -3 x y = 85 Giải Đặt z = -Jy + \ , z > hộ trờ thành [x^'z-2xz^ = I x^ -3xz^ =6 Ta có z = khơng thỏa mãn hệ z '( t '- t ) - l Với z > 0, đặt X = tz hệ cho trờ thành z '( t^ - t) = Suy -í;—^ = — t^ - 6t ) =^0 t = Í Từ ta có nghiêm hơ X = V9 , y = -1 V9 X“(l + y^) + y-(l + x-) = ^ Bài toán 4.66: Giải hệ phương trình: X"y-y/l + y ’ - V l + x ’ = x “y - x Giải Điều kiện: xy > Phương trình thứ hai hệ tương đương với X - ' J \ + x^ = x“y(l - Ạ + y^ ) Ta có X = khơng thỏa mãn phương trình Vì X- Vl + X" < 1- Ạ + y^ < nôn suy y > Do X > Phương trình tương đương: - J l + ~ = y - y j \ + y^' X XV X Xét hàm f(t) t - tV = T -i^ (0; I oo) - Vl + t^ < , với t G (0; i-oo) T a c ó f '( t) = ^/ĩ + v Suy hàm f nghịch biến (0; -t oo) Phương trình f( —) = f(y) o — = y o xy = X X Thay vào phương trình thứ hệ, ta có: 1+ V - + -V (l + x ') = o x ' + - ^ = X X (x“ - 1)" = x^ o X = ± Ket hợp điều kiện, ta có nghiệm X y 86 + xy - x ^'y + X'’ y - x'^ y B ài to n : G iả i h ệ p h n g trình: [l + 2Vx - = 3-ự2x - y Giải Phương trình thứ hệ tương đương với 'x = l (1 - x ) ( l + x - y ) ( l + x " ) = 0 Với X y=x+l = 1, thay vào phương trình thứ hai: = ị [ - y < » y = Với y = X 27 t- 1, thay vào phương trình thứ hai: t 2Vx - = 3‘Vx -1 Đặt t = ị l x - \ Khi t > phương trình trở thành 2rì - 3t^ -M = (t - 1)^ (2t + 1) = « t = (vì t > 0) Suy X = 2, y = ( 53^ Vây nghiêm (2; 3), 1;— V 27 y Bài tốn 4.68: Giải hệ phương trình: x^ + Vx + —y + -\j3 —y x^ + ự x + 2y = y V ị Ị í ỹ Giải Điều kiện: X > -2, y < Phương trình thứ hai hệ tương đưong với x^ - y^ = ị f ỹ ỹ - ịỊx + l y Nếu X > y x^ > y^ ự x + 2y > ị ị ỹ ỹ nên VT > > VP: loại Nếu X < y x^ < y^ ự x + 2y < ĩỊỸỹ nên VT < < VP: loại Nếu X = y thỏa mãn Hệ tương đương íx = y ] r — I ^ x [Vx + = ^ I ^ x Vậy nghiệm hộ X Bài toán 4.69: Giải hệ PT: = =y y = ^ (c h ọ n ) — x(x^ - y^) + x^ = y j { x - y y 76x“ - y ' + = ự4x(8x + l) \ Diêu kiện: X > y nên Giải X > 87 Biến đổi phương trình hệ thành: Ị x - ^ x - y ^ Ị (x - y ^ ) + x'- + x x - y - =0 Vì 2(x - y^) + x^ + X■ \ Ị x - y ^ > dấu X = y = 0: không thỏa hệ nên X = y^ i ^ ^ [o y + — > : ^ y > - — y > (vì y nguyên) (2) ^ y + IX - 11 < Mà y > nên | x - l | < = > I x - l l = IX - 1 =1 => X = X = X = Íy > -1 Xét X = hệ: < -— < y < Chọn y = [y < l ' Xét X = hệ; Xét X = hệ: y ^ ' _ i— < y < Chọn y = [y < 2 1 - — < y < Chọn y = y >~- [y < l Vậy hệ có nghiệm: (0; 0), (1; 1), (2; 0) Bài toán 4.73: Giải hệ phương trình; X y j \ - y + y Ị y ị \ - x ^ ) =12 ' (x, y x^ - x -1 = y J y - G R) Giải ÍxV Ĩ ^ + Vt ( - x') = [ x ^ - S x - \ = 2yly-2 J2 y =yj\-y o y 2 ^ ~ y ''+ y ^ ~ y 0, f'(t) ’ = í +1 > _A ^ = ‘^ —1 + -v/s -1 + V _ l + Vs Nêu y = ^ - = > x - - - 92 I+ V s - I + V s ’ +\J'^-y{*) nên f(t) đồng biến + y -l= < = > y = — ^ Vậy hệ có nghiệm (3; 1) { Ặ - y ) —1—Vs -v y = - [ o :+oo) -(loại) í 2x^ + y ' - 2xy + 3x - 2;-’+1 = Bài toán 4.75: Giải hệ phương trình ị I 1— VVX + = ^ x + y +sjx + 4y — Giải Đặt [2x" + y^ - 3xy + 3x - 2>' +1 = ( 1) [4x^ - y ^ + x + = yj2x + y +yjx + 4y (2) Ta có (1) y = 2x -I hay y = X + Xét: y = 2x + Thế vào (2) ta có: - 3x = -v/4x + l + -v/9x + 3x + yj4x + \ + yj9x + = Vì hàm sổ f(x) = 3x + V4x + + V9x + đồng biến trôn Và f(0) = nên phương trình Xét: y =x + Thế vào (2) ta có: X ;+co = 0, y = V3x +1 + Vsx + = 3x^ - X+ ( x > - —) V3x + +V5x + = ( x - l) x + 2x + V3x + - ( x + 1) + V5x + - ( x + 2) = ( x - l) x ôã -X " + x -x ^ + x - , r ~ — + I -= 3(x - x ) v3x + l+ ( x + l) v5x + + (x + 2) x^ - X ặc = , - + - f = J - = (VN) v3x + l+ ( x + l) V5x + + (x + 2) = X = Khi x = = > y = l ; x = l =>y = Vậy nghiệm hệ (x; y) = (0; 1) hay (x; y) = (1; 2) X Bài toán 4.76: Giải hệ phương trình yjx + \ + ^ x - \ ~^Jy'' + = y x^ + 2x(y - !) + >^^-6>' + l = Giải Điều kiện X >1 T acó x^+ 2(> ’- l ) x + >’^ - y + l = (x + v - l) ^ - 4y = o 4j^ = (x + y - l ) " (*)nên: y > Và \lx + \ + \ l x - \ - y j y ‘^ + = y 93 « V j ^ + V ^ = ^ /(ỹ + i)+ i+ ^ (/+ i)-i(* * ) Đặt f(t) = V7+Ĩ + V/ -1 f đồng biến [ 1, t oo) Nên (**) ^ f(x) - f(y'* -I ) o Thế vào (*) ta có; 4y y = —>• X = / + / + y =4 (y'' + y)^