Từ các kiến thức giải toán căn bản và nâng cao dần dần, kết hợp toán 10, 11, bổ xung kiến thức và phương pháp giải khác nhau luyện tập thêm toán khó, toán tổng hợp giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng làm bài và từng bước giải đúng giải gọn các bài tập trong các kì kiểm tra. Mời các bạn cùng tham khảo.
Bài tập 6.9: T ìm G T L N , G T N N hàm số: a) y = \ n x - ^fx b)>^ = lg^x + ỉg^ X + IID-ĐS a) Tính đạo hàm lập BBT b) X > 0, đặt t = Igx, t e R Bài tập 6.10: Cho tam giác ABC, tìm GTNN HD-ĐS ỉị Xét hàm f(x) = (tanx)^'^ ; = 3(-— P H Ư Ơ N G T R ÌN H M Ũ Phương pháp chung - Đưa mội sổ - Dặt ẩn phụ - Lơgarit hoả, mũ hố - Sử dụng tỉnh chất hàm số Giải phương trình mũ - Phương trình mũ bản: (p = b (a> 0, a l) Neu b 0, phương trình có nghiệm X = logab Phương trình (a> 0) a=1 a ^ \ , f(x) = g(x) Chúý: 1) Ngoài phương pháp chỉnh đế giải phương trĩnh mũ, ta dùng định nghĩa, biến đổi thành phương trình tích sổ, dùng đồ thị, bất đẳng thức, 2) Biến đỗi luỹ thừa mũ: Với sổ a > 0, h > 0, a v p tuỳ ý, ta có: a PT: t^ - - = Chọn nghiệm t = 32'‘ = 3x = log23 Vậy phương trình có nghiệm là: X = log23 b) Đạt t = , t > PT: 3t + — = 29 o 3t^ - 29t + 18 = PT: ^27V r i 2V V o8 y v8; 77 (3Ỵ - = Đặt t = , t > + [2] u PT: + - = (t - l)(t^ + + 2) = » t = o X = Vậy phương trình có nghiệm là: X = Bài tốn 7.7: Giải phương trình: _1 _i a) 2.25’' + 5.4’‘ = 7.10’' b ) ’‘ + ’‘ = ’‘ Giải 2x í n\ ^2^ a) PT: - í - ì ' + = Đặt t = , t > l5 V PT: r - 7t + = t = t = — (thoả mãn) Suy nghiệm X = b) Điều kiện X + 0, đặt y = - — chia hai vế cho 4^', ta có: X = ■\ = o ^ ( 3Ỵ + V? _ , l + Vs u ; , _ I+Vs ^ , log3 ^ ^ < = > - = log , ^ X r I+Vs 2V Vậy phương trình có nghiệm là: X = log ^ J — Bài tốn 7.8: Giải phương trình: a) I ) +fV+ĩ/ l b) 4*"’^ - ’' =4 = Giải a) Ta có -\/2 -V V2 + V j = 1, đặt t = Ị^V2 + V j , t > PT: í + - = o t^ - 4t + = t t = + V3 t = - -v/3 x = Vậy phương trình có nghiệm là: X = X= X= -2 b) Đặt t = 2’'^’^ , t > PT: t^ - - t = « 2t^ - 5t - 12 = Chọn nghiệm t = 78 -2 nên X + Vx^ - = -\/x" - = - x < t í > - x > v x ^ - = - x + x^ 2 x , x - > < = > x > Với X > VT > nên PT vô nghiệm X b) ĐK: X 1■ 0, PT: ' ^ X 2^ o = 2x— 22 = 2' l X X ) < o 2^ 2^ ^ = ^ - + - — - = L^ 2x _ íu + v = Ta có hệ: u V v =17 2.,2_ , p = uv u'* + = (u^ + - 2u^v^ = ((u + v)" - 2uv)" - u.2,\.2 17 = (9 - 2P)^ - 2P^ = 2P^ - 36P + 81 Do p = p = 16 Vì - 4P > nên chọn p = suy s = nên nghiệm X = X = 15 b) ĐK: X < -1 X > Vì X = ±1 khơng nghiệm nên điều kiện: X < -1 X > Ta có X nghiệm - X nghiệm PT, xét X > Đặt s= u+ V , PT: ^V(x + 1)^ - ự ( x - l ) ^ = 79 Đăt t = x -1 , t > PT: t - - = t Chọn nghiệm t ^ x=± t+ n I+Vs với t ■ t-i - 1- = suy nghiệm cùa PT cho là: l + Vs Bài tốn 7.11: Giải phưoTtig trình sau: a)3"'=4'' b)3^8^=36 Giải a) Hai vế dương, lơgarit hố theo số 10: ^4 V log4 V log3 4’‘log3 = 3’‘log4 o x - log4(log3 4) Vậy phương trình có nghiệm là: x = log4(log3 4) 3x x-2 b)PT: 3^ 2=‘^' = l =1 = X - = 3.2*'^' = 32^+1 V l X = 2*+‘ - - X = X Vậy phương trình có nghiệm là: X = Bài tốn 7.12: Giải phương trình sau: = -1 - log32 X = -1 - log32 x-l a) 3’“ '.2’‘' = 8.4 x-2 f rv-^y ịlỉ^ ~7T- Giải a) Hai vế dương, lơgarit hố hai vế theo số 2: log2(3’‘”‘.2’‘' )= log2(8.4’‘“^) o (x - l)log23 + x^ = log28 + (x - 2)log24 » x^ - (2 - log23)x + - log23 = X = X = - log23 Vậy phương trình có nghiệm là: X == X = - log23 b) Hai vế dương, lơgarit hố hai vế theo số 5: / 80 1X1 ^ / , , _ 3x-4 « 2^ x(logs3 - 1) - logs3 "" ^ I o g 3 - ^ _ - + log5 X ^' ^ (lo g s3 -4 ) 41og5 - Vậy phương trình có nghiệm là: X = 2(log5 - ) 41og5 - Bài toán 7.13: Giải phương trình; b) 4’^-3 ^ = a) (sin— + (cos— = Giải a) Vì < s in ^ < < c o s ^ < đó: 5 Nếu X > ta có (sin —)’' < (sin — (cos —)’' < (sin— => VT < (loại) Nếu X < ta có (sin—)’' > (sin—)^ (cos—)’' > (sin —)^ =5» VT > (loại) Nếu X = PT nghiệm đúng, nghiệm _ „ i ■ í b) PT: ( —)’' + ( —)’' = ta có X = thoả mãn PT Vì vê trái hàm sơ nghich 4 biến R nên có nghiệm d u y X = Bài tốn 7.14: Giải phương trình: a) Ị^Ựó + VĨS J + ( ^ V - V ĩ i J =13 b) (2 - 73)"+ (2 + )“ = ’' Giải a) Ta có X = nghiệm phương trình, hàm số f(x) = ị ị l s + yíĩs'^ + ị ị Ị l - tổng hai hàm số mũ với số lớn nên f(x) đồng biến R Vậy X = nghiệm phương trình b) Ta có X = nghiệm phương trình Biến đổi PT: Vậy X -V + + V3 : 1thì vế trái hàm f(x) nghịch biến = nghiệm phương trình 81 lĩài tốn 7.15: Giải phương trình: a) (4 -> /Ĩ5 )'‘'^ '+ ( + V Ĩ5)'‘’"^ = b) =3 Giải a) Vi (4 - Vl )(4 + Vl ) t-t- t nên dặt (4 - Vl c ^ t ^ - 8t ( Oc^t Do tanx = -1 tanx nên ^ t, t > phương trình: 4±Vl5 71 ^ ±— X t k.K, k e z Vậy phương trinh có nghiệm là; X = ± — +- k i, k e b) Đặt t - 81 g ỊSÌn^ X z \ < t < PT: I 81' 81 " = o t + - - = 30 t t^ - 30t -+ 81 = t 27 t ■3 (chọn) Do 3'^*"’’’^ = 27 =3 o 4sin"x PT: t ( ’ t t - 3t ) 0< » t 3± Vs _ r v s ± Ta có: 2cos72" ^ 2sinl8‘’ s Vậy phương trình có nghiệm là: 82 suy X = ±2 X ±2 b) Điều kiện cosx ^ 0, sinx = khơng thoả mãn phưong trình nên PT: v (s in x -c o s x ) - sin X cosx Đặt u = sinx, V = cosx, u, sin X õ e ■ ỉĩ _ ^ e sinx V G cosx õ ^ cosx (-1; 1), u.v > • ĩĩ\ ■ \/2u nên ta có phương trình u ■ỈẰ , Xét hàm số y = f(t) = — , với t e (-1; 0) u (0; 1) V2t V2t -1 (V2t - 2)e = V 0, Vt nên f đồng biến R PT f(x + 1) = f(2x) X + = 2x o Vậy phưoTig trình có nghiệm là: X = X= 1 Í A \' b) ĐK: X> 0, đặt t = logsx => X = 3\ PT: 4‘ + 2‘ = 2.3‘ V-3 + = V-3/ Vì f(t) = Í4- Y + f ^ ta có f "(t) > f(0) = f(l) = nên có nghiệm t = l3 j b ) t = « X = X = Vậy phưomg trình có nghiệm là: X = X = — 84 Bài tốn 14.32: Giải hệ phưong trình: X y + y - y + y = x +1 ■(6x + y)log]^(x + y) + (x - y )lo g ^ (x + y)^ - = • Giải Điều kiện: X+ y > 0, X > y Từ PT (1) ta có: (y - l)(x^ + y ^ + l) = y=l Thế vào PT(2) ta PT: (6x + l)lo g 2(x + 1) + 6(x - l)log2(x + 1) - = Với X= - — nghiêm Với X PT bâc hai có nghiêm; log2(x+ l) = -1 hay log2(x+ l) - — ^— ■ ■ 6x + l r ^ - —=> nghiệm (x, y) = ;1 2 í ^ u -;+00 — — với X e 1; 6x + l ) 67 Xét log2(x + ) - - Xét log2(x + 1) Kh i x e 1; - - — — VT hàm số f(x) đồng biến, VP hàm g(x) nghịch biến V í mà f V Khi X e í =g nên X= — nghiệm thỏa mãn V — ;+00 VT hàm số f(x) đồng biến, VP hàm g(x) nghịch biến mà f(l) = g (l) nên X = nghiệm thỏa mãn í "i \ í ^ Vây cho có nghiêm: - —;1 ;(l;l) V Bài tốn 14.33: Giải hệ phương trình: _ J m x ^ + l'* 'y ^+ l lo g ,^ lo g ị = l xy+1 (2) Giải Điều kiện X, y > (1): —r -1 ^ — - — x^ +1 y^ +1 xy +1 163 (xy + l)(x^ + + 2) = 2(x^ + l)(y^ + 1) xy(x^ + y^) + 2xy + x^ + y^ + = 2xV^ + 2(x^ + y^) + xy(x - y)^ = (x - y)^ (x - y)^(xy - 1) = - Nếu x = y i ì x = y = l nghiệm Xét trường hợp X = y thì: (1): (log X - l)(log X - 1) = log2 X.log3 X = log2 X + log X -— — + -—ỉ— = log, X log3 X logx2 + logx3 = logxó = lx = =>y = Nếu xy = y = — X ^ 1, ta có X X log2 ^ log3 ^ = (log2X - 1)(log3X + 1) = -1 3x log2X log3X = log3X - log2X — -log2 X lo g , X 2 logx2 - logx3x = log^ - = X = - = y= Vậy hệ phưong trình cho có ba nghiệm (x; y) = (1; 1), (6; 6), 3 ’2 Bài tốn 14.34: Giải hệ phương trình: v^-x- X^+1 y +1 31og3(x + 2y+6) = 21og2(x + y + 2)+l ( 1) ( 2) Giải Điều kiện x + 2y + > , x + y + > PT(1): e’‘'( x - + l ) = e ' ' ' ( y ' + l ) Xét hàm số f(t) = e'(t + 1), t > Ta có f'(t) = e‘ + e \t + 1) = e‘(t + 2) > nên f hàm đồng biến Phương trình f(x^) = f(y^) x^ = y ^ o x = ± y - Neu X = y phương trình (2) trở thành 31og3(3x + 6) = 21og2(2x + 2) + Cí> log3(x + 2) = lơg2(x + 1) Đặt lơg3(x + 2) = lơg2(x + 1) = t X + = 3‘, X + = 2' => 3' = 2‘ + « Í2 Y - + — l3 j = vế ừái hàm số nghịch biến nên phương trình có khơng q nghiệm thực 164 Ta lại thấy t = thỏa mãn nên phương trình có nghiệm t = 1, suy x + = x =l Tương ứng, ta có y = nghiệm (x, y) = (1, 1) thỏa mãn điều kiện xác định - Neu X = -y (2) 31og3(6 - x) = 21 og 22 + lơg3(6 - x) = 6 -X = X = Suy y = -3 nghiệm (x, y) = (3, -3) thỏa mãn điều kiện xác định Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x, y) = (1, 1), (3;-3) íx + 3y > - l o g Bài toán 14.35: Giải hệ bât phương trình: < , [ln(4’‘">'-‘ + 3.4'> '-')< ln2 Giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si: ln2 > ln(4’^^y-' + 3.4^y-') > ln2V 4’'^^-'.3.4^''"‘ = > Ìn(2^ír) = \n2 ịx + y = - l o g ^ Do dấu = xảy nên: Giải được: X \r*y-' =3.4^^'-‘ =1 = —Iơg4l2, y = — log4— x = Ỷlog4l2 Vậy nghiệm hệ phương trình: ^ ' “« - BÀI TẬP Bài tập 14.1: Giải hệ phương trình: ^ J x - ì +^J2- y = 31og9(9x^)-log3 =3 HD-ĐS (1; l ) v (2; 2) ílog,y+log^x = Bài tập 14.2: Giải hệ phương trình: < , [ x ' - x - y = 20 + l o g , x HD-ĐS PT(1) X = y >0, khác 165 l o g i ( y - x ) - l o g 4Bài tập 14.3: Giải hệ phương trình: X' + = 25 HD-ĐS x = ,y = Bài tập 14.4: Giải hệ phương trìnli: Ịx^-y^=l [\og^{x + y ) - \ o g , { x - y ) = HD-ĐS Lơgarit hố PT(1) theo số , , Bài tâp 14,5: Giải hệ phương trình: ÍSx' + x ' = y ’ +7v^ [lnjc + 21n>’ = HD-ĐS Xét f(t) = 5t’+ 7t^ t G R f (t) = 35t^ + 351^^ > 0, V t nên f đồng biến R Do đ ó f(x) = f(y) X = y ĐS X; = = e^ =y= íln(2x + 5) - ln(y -1) = Bài tập 14.6: Giải hệ phương trình: Ịừ - 1)[(^+yỴ - 1, =1^ + - 2y) HD-ĐS (2) |x + y | - , = y - lx + y| y -1 X é tf(t)= t - i , D = (0; + oo) t h ì f ' ( t ) = l + - ! r > , V t e D t t^ => hàm s ố đồng biến D nên I X+ y I = y - Bài tập 14.7: Giải hệ phương trình: (/gx - Igy = (>; - x)(x^ + xy + [x ' + y ' = HD-ĐS x= l,y= l 10g2X + log4>; + log4Z = Bài tập 14.8: Giải hệ phương trinh: log3;;+loggZ + log9 X = log4 Z + log,^x + l o g „ y = HD-ĐS Biến đổi lôgarit số log,(x + 2) lo g , 16 ) HD-ĐS Hệ tương đương: |0 < X + < 27 |o < + 2x - < 16 , '^log,(x + 2) > Bài tập 14.10: Giải hệ bất phương trình: , [(X -1 ) Ig + lg(2^^' + 1) < lg(7.2^ + 12) HD-ĐS Kx Đặt u = Igx, V = Igy Hệ: [lgxy + lg^x + lg^;/ = [ig X Ig j( lg ^ + l)0g y + ^) = m Ím + v + m^ + v^ = Í(w^ + m) + (v^ + v) = [mv(w + l)(v +1) = w [{u +u){v +v) = m Đặt X = +u; Y = +v Vì t^ + = - — + (t + —)^ > - — nên điều kiện X, Y > - — , , ịX +Y = Trong điêu kiên tưoTig đương: < [XY = m Do X, Y nghiệm phương trình: X^ - 8X + m = với X > - — 169 Ta có: X - 8X = - m Xét parabol Y = F(X) = x^ - 8X, X > - Điều kiện đường thẳng Y = -m cắt (P) điểm có hồnh độ x > - - là: f ( ) < - m < f ( - - ) < í : > - — < m < 16 4 16 X 33 Vậy giá trị cân tìm là: < m < 16 16 Cách khác: dùng đạo hàm để đánh giá hàm sổ theo biến Bài tốn 15.5: Tìm m để hệ phương trình: Í51nx + 61ny = m [ln-x-41n\v-4 = có cặp nghiệm nhất, tìm cặp nghiệm Giải Điều kiện: X , y > Đặt u = Inx, V = Iny Í51nx + 61ny = m Í5M+ 6v = m ịln'x-41n'y-4 = ^ Từ(l) u= m - 6v (1) | m' - v- - = (2) Thế vào (2) ta được: 64v^ + 12mv + 100 - m^ = (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm nhất: A = « 100(m^o 36m^ —64(100 —m^) = 00 100(m^ —64) = o rri ±8 6m Với m = -8 V = u = - —: nghiệm hệ [e - - 64 6m Vớ i m = ^ v = - — 64 => u = - : nghiệm hệ ^ ^ ’ ’ Bài toán 15.6: Định m để hệ phương trình; Ịlog3^ x - f f í l o g x.log3 _y + log3“ y = m^ - 3m + có nghiệm ^log,^ x + 21og3 x.log, y + m\og^^ y = n r - Am+ Điều kiện: X , y >0 Đặt u =log3x; V Giải = log3y Hệ: 2 log3 X - w l o g x.log3 y + log3 y = m -3 m + log3^ x + 21og3 x.logj y + m\og^^ y = I - muv + v^ = [u^+2uv + mv^ = 170 -3 m + -Am +3 ( 1) (2) -4 m +3 Nếu (u;v) nghiệm hệ (-u; -v) nghiệm Hệ có nghiệm điều kiện cần là:u = - u v v = - v = > u = v = , ^ íím^ ^ - m + = Đặt u = Inx, V = Iny ílnx + l n y = Hệ , ^ [In x + ln y = « íw + v = 2 [u +v =a Ta có s = u +v = p = uv = —[(u + v)^ - (u^ + v^)] = —(36 - a) Do u; V hai nghiệm PT; , - 6X + —(36 - a) = Điều kiện có nghiệm l à: A' = — - > < » a > Khi đó: s = In'^ X + In'^ y u'* + v"* = (u^ + v^)^ - 2u^ v^ = a^ - -A(36 - a)^ = - (a^ + 72a - 1296) = - [(a - 18)(a + 90) +324] 173 124 Vì a > 18 nên: s = = 162 Vậy s = 162 đạt a = 18 Bài toán 15.12: Tìm m để hệ phương trình: 2'’‘'+Ịx| = y + x ' + m có nghiệm x ^ +y ^ =1 Giải Giả s (x, y) nghiệm (-X , y) nghiệm, mà hệ có nghiệm nên X = íl + = y + 2m y = ±l Do đó: [2m = l - y ly ^ = l Khi y = -1 =í> m = Khi y = => m = Í2l’‘l+ |x | = y + x - + Đảo lại, với m = hệ: i x^+y^=l Hệ khơng nghiệm (0; -1), (1; 0) nghiệm +|x| = y + x- Với m = hệ; (1) x^ +y^ =1 (2) Từ (2) |x | < , ly i ' ’' l > Do y = X = 0: nghiệm Vậy giá trị cần tìm: m = I y2x+>/^ _ y Vĩ+1 + 2017 x ( 2) Giải Điều kiện X > - PT(1); -l)< 2017(l-x) - Nếu X = bất phưoTig trình thỏa -2 Nều X < 7^’“^ - < 0, - X > BPT thỏa - Nếu X > 7^^'^ - > 0, - X < BPT không thỏa x , - Nếu -1 < X v“ —2x + x -2 - jc + , xe[-l;l] x-2 Lập BBT f(x) = -2 nên bất phương trình có nghiệm chi m > -2 Vậy điều kiện cần tìm m > -2 X étf(x)= 174 x^ < (2): m> e’' =2017- y ( 1) V r ^ Bài tốn 15.14: Chứng minh hệ phương trình: e>' =2017- ^ ( 2) có hai nghiệm phân biệt Giải Điều kiện xác định | x | , lyl > = e" Từ hai PT hê, ta có e’' - Xét hàm số f(t) = e‘ f'(t) = e‘ + y ltl>l > nên f hàm đồng biến (t'-i)V t^ Do f(x) = f(y) X = y Ta xét phương trình: e’‘ + ■2017 = Lâp hàm số g(t) = e‘ — , ^ - 2017, |t| >1, ta chứng minh g(t) = có hai Vt'-1 nghiệm khoảng (1, +oo) BÀI TẬP Í31gx + alg_>' = Bài tâp 15.1: Tìm a, b để phương trìrửi; -Ị^ ^ 21gx + l g y =ỏ có vơ số nghiêm dương HD-ĐS D = - - a, Du = -(a + b), Dv = 3b - a^, a tùy ý, b = ílog2(x + y) + lo g ,„ (x -y ) = l có nghiệm Bài tập 15.2: Tìm m để hệ phương trình: [x^ - y ^ =m HD-ĐS Biển đổi lôgarit số Bài tập 15,3: Tìm m để hệ phương trình: íffí.log2 x + 8.1og2 y + - w = \{m - l).log2 x + (m + 2).log2 y -H4 - 3m = vô nghiệm HD-ĐS m = 175 logj + log, 3; = Bài tập 15,4: Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm \xf +y^ - m y = HD-ĐS Biến đổi (1) lôgaril số 3, m > Bài tập 15.5: Tìm m để hệ phương trình: flog5X + log5y = m < [log5 X + lơg5 y = e - m có nghiệm HD-ĐS Đưa bậc theo ẩn, -2 < m < Bài tập 15.6: Xác định a để hệ phương trình: |ln^x-ln^;; = l ( l n x - a ) " + l n ' y’ = có nghiệm; có nghiệm IID-ĐS flny=±lnx rHệ: f , ,a = ± l ; a = ±V2 21n^ x - 2a ln x + a “ -1 = Bài tập 15.7: Tìm a để hệ phương trình: l g - = a(l + lg x lg ;/) y , có nghiệm + lgx>^ + lg x lg y = HD-ĐS „ + Ig V ' Từ (2) suy Igx = ^— , vào (1); + lgT T r I I (a - l)lg^ y+ (a - 2)lgy - (a + 2) = 0, dùng hàm số, a 4ĨBài tập 15.8 : Tìm a đê hệ phương trình: a +a có nghiệm Vố e [0;l] x-\- y - b ^ - b + \ HD-ĐS Mũ hóa PT(2), < a < 32Ự2 ’ 176 a ^ w w w n h a , s a c l i h i o r T ị ? a n c o n n v n E m a il: n h a s a c h h o n g a n @ h o t m a il.c o m C N g u y ễ n T h ị M in h K h a i - Q - T P H C M ĐT: 38246706 - 39107371 - 39107095 ♦ Fax: 39107053 Í9'ỉ EQ Quý khách xa liên hệ: w w w h o n g a n t r u c t u y e n v n để chúng tơi phục vụ ế^ạ/nỵ tíỹmy đ ọ o : ẻ) V C ác ch uyên đ ê C ác ch uyên d é C c ch u y ể * n clé- ■ áM IIÌT o í THI Bliin í í n ĐỂ THI C c c h u y ê n (lề I 1II' l