b Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M, vuông góc với P và song song với đường thẳng .. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 0 60.. Gọi T
Trang 1
KHÔNG NÊN VỘI XEM ĐÁP ÁN CÁC BẠN TỰ BẤM GIỜ, LÀM BÀI NGHIÊM TÚC
ĐỂ THỬ SỨC MÌNH NHÉ !
Câu 1 (1,5 điểm) Cho hàm số 3 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m1
b) Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại điểm x0
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho hai số phức z1 1 2i và z2 2 5i Tính môđun của số phức w biết w z1 2z2
b) Giải phương trình sau trên tập số thực: 4x15.2x 1 0
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân 1
2 0
I x x xdx
Câu 4 (1,0 điểm) Trong không không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 0, đường
x y z
và điểm M(1; 1; 2)
a) Tính khoảng cách từ điểmM tới mặt phẳng ( )P
b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M, vuông góc với ( )P và song song với đường thẳng
Câu 5 (0,5 điểm) Giải phương trình 2
1 sin 5 x2sin x
Câu 6 (1,0 điểm) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển khai triển nhị thức Niu – tơn:
(n là số nguyên dương )
Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 0
60
ABC Cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 0
60 Gọi M là trung điểm BC Tính thể tích
khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) theo a
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Gọi ( )T là đường tròn tiếp xúc với AB AC, lần lượt tại B và C Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn ( )T tại D Biết
(3;14)
E là giao điểm của AC và BD Đường thẳng BC có phương trình x y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết AC đi qua điểm 4;1
3
M
Câu 9 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
2 3
1 2 1 2
x x m xy
ĐỀ SỐ 1 – GV: Nguyễn Thanh Tùng – Hocmai.vn
Trang 2
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (1,5 điểm) Cho hàm số 3 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m1
b) Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm x0
Giải
a) Với m1 hàm số có dạng y x3 3x1
* Tập xác định: D
* Sự biến thiên:
– Chiều biến thiên: 2 2
Hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;1) và nghịch biến trong khoảng ( ; 1) và (1;)
– Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x1, yCĐ 3; đạt cực tiểu tại x 1, yCT 1
– Giới hạn: lim
x y
, lim
x y
– Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
y y'
3
1
+∞
0
∞
∞
Trang 3b) Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại điểm x0
Ta có: y' 3x2 2(m1)x3m và y'' 6x 2(m1)
+) Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 khi y'(0) 0 3m 0 m 0
+) Với m0 thì y'' 6x 2 và y''(0) 2 0, suy ra x0 là điểm cực đại
Vậy m0 là giá trị cần tìm
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho hai số phức z1 1 2i và z2 2 5i Tính môđun của số phức w z1 2z2
b) Giải phương trình sau trên tập số thực: 1
4x 5.2x 1 0
Giải
a) Ta có w z1 2z2 1 2i 2.(2 5 ) i 5 12i Vậy môđun của số phức w là: w ( 5)2122 13
b) Phương trình tương đương:
0 2
2
0
2
4
x
x x
x
x x
Vậy phương trình có nghiệm x0 hoặc x 2
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân sau 1
2 0
I x x xdx Giải
I x x xdxx dxx x dx A B
+) Tính
1
2
1
x
Ax dx
+) Tính
1
2 0
3
Đổi cận x 0 t 1 và x 1 t 2 Khi đó
2
2
t
Bt tdt t dt
Suy ra 1 7 4
9
I
Câu 4 (1,0 điểm) Trong không không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z 2 0, đường
x y z
và điểm M(1; 1; 2)
a) Tính khoảng cách từ điểmM tới mặt phẳng ( )P
b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M, vuông góc với ( )P và song song với đường thẳng
Trang 4Giải
a) Ta có khoảng cách từ M tới ( )P là:
2.1 ( 1) 2.2 2 9 ( , ( ))
3
2 ( 1)
3
2
d M P
b) Ta có n( )P 2; 1; 2 , u1; 3;1 lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( )P và vecto chỉ phương của
Do ( ) ( ) ( ) ( ), 1 2 2; 2 ; 2 1 (5; 4; 7)
P
n n u
là vec tơ pháp tuyến của ( ) Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình: 5(x 1) 4(y 1) 7(z 2) 0 hay 5x4y7z 5 0
Kiểm tra kết quả: Chọn N( 2;0;1) Ta có: n( ) //( ) (thỏa mãn)
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) cần lập là: 5x4y7z 5 0
Câu 5 (0,5 điểm) Giải phương trình 1 sin 5 x2sin2x
Giải
Phương trình tương đương: 1 sin5 x 1 cos 2xcos 2x sin 5x
2
cos 2 cos 5
2 2
k
k
( k )
Vậy phương trình có nghiệm 2
k
x
k
x
với k
Câu 6 (1,0 điểm) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển khai triển nhị thức Niu – tơn:
(n là số nguyên dương )
Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161
Giải
Ta có hệ số của số hạng thứ k trong khai triển là: 1 1
.( 2)
k k n
C Suy ra hệ số của 3 số hạng đầu lần lượt là: 0 1
; 2
n n
C C và ( 2) 2C n2
Do tổng hệ số ba số hạng đầu bằng 161 nên ta có: 0 1 2 2
n n n
C C C
1 2 4 ( 1) 161 2 2 80 0
2
n n
n 10 hoặc n 8 (loại) Với n10 , ta có : 10 10 10
10 0
k
10 0 ( 2)
k
k k k
Khi đó hệ số không chứa x trong khai triển thỏa mãn: 40 5 0 8
2
k
k
Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: 8 8
10( 2) 11520
C
Trang 5Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 0
60
ABC Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 Gọi M là trung điểm BC Tính thể tích
khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) theo a
Giải
SA ABCD SC ABCD SC AC SCA
Ta có tam giác ABC cân tại B và 0
60
ABC nên ABC đều cạnh a
Khi đó
2
ABC ABCD ABC
và SAACtan 600 a 3
Vậy thể tích khối chóp SABCD là:
3
2
S ABCD ABCD
a
Gọi I là giao điểm của MA với CD , khi đó MC là đường
trung bình của tam giác IAD
Khi đó ( , ( )) ( , ( )) 1 ( , ( ))
2
MI
AI
Kẻ AKCD ( KCD ) và AH SK (1) ( HSK)
Khi đó CD AH CD (SAK) CD AH
CD SA
Từ (1) và (2) suy ra AH (SCD)d A SCD( , ( )) AH (2*)
Ta có ADC là tam giác đều cạnh 3
2
a
aAK Xét tam giác SAK có:
1 2 12 1 2 12 42 52 15
a AH
AH SA AK a a a (3*)
Từ (*), (2*) và (3*), suy ra khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD) là: ( , ( )) 15
10
d M SCD a
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Gọi ( )T là đường tròn tiếp xúc với AB AC, lần lượt tại B và C Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn ( )T tại D Biết
(3;14)
E là giao điểm của AC và BD Đường thẳng BC có phương trình x y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết AC đi qua điểm 4;1
3
M
S
I
600
600
H
K
M
D
C B
A
Trang 6Giải
Ta có AC đi qua E(3;14) và 4;1
3
M
nên AC có phương trình: 3x y 5 0
Khi đó tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 3 5 0 1 ( 1;
C
Ta có CD // AB, suy ra
C B Mặt khác tam giác ABC cân tại A nên
C B
Suy ra
C C , khi đó CB là đường phân giác của góc ACD
Gọi M đối xứng với N qua BC , suy ra NCD
Ta có MN đi qua 4;1
3
M
và vuông góc với BC x: y 1 0 nên MN có phương trình
7 0 3
Khi đó tọa độ giao điểm H của MN và BC là nghiệm của hệ:
2
1 0
2 5 3
; 7
0 3
3
H
x y
y
Suy ra 0;7
3
N
(do H là trung điểm của MN )
Ta có CD đi qua C( 1; 2) và 0;7
3
N
nên CD có phương trình: x3y 7 0
Ta có
D B (cùng bằng 1
2sđ BC ), mà
C B nên suy ra
D C hay tam giác BDC cân tại B Gọi nBD ( ; )a b là vecto pháp tuyến (VTPT) của BD với a2b2 0
Khi đó BD đi qua E(3;14) nên có phương trình: ax by 3a14b0
1
1 1
2
H D
N
E
M
C (?) B(?)
Ẳ)
Trang 7Khi đó 1 2 2 2
2 10 10
BD DC BC DC
a b
a b
2 2 2 2 2
7
a b
a b
+) Với ab, chọn a b 1 khi đó phương trình BD x: y 170 song song với BC (loại)
+) Với a 7b, chọn a7,b 1 khi đó phương trình BD: 7x y 7 0
Suy ra tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 1 0 1 (
Ta có AB đi qua B(1;0) và song song với CD nên có phương trình: x3y 1 0
Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 3 1 0 ( 2; 1
2 1
A
Vậy A( 2; 1) ,B(1;0),C( 1; 2)
Câu 9 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
2 3
1 2 1 2
x x m xy
Giải
Đặt z y1 với z0, khi đó hệ trở thành:
x z xz
Nhận thấy z0 không là nghiệm của hệ, do đó z0
Đặt x tz , hệ được viết lại:
z t t
Do z0 nên từ (1) t2 2t 0 t 0 hoặc t2
Từ (1) và (2) suy ra
Xét hàm số
2 3 ( )
2
t
f t
t
với t ;0 2;
Ta có
2 2
4 3 '( )
( 2)
t t
f t
t
'( ) 0 4 3 0
3
t
f t t t
t
Ta có lim ( )
x f t và
2
lim ( )
, khi đó ta có bảng biến thiên:
Trang 8
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi
2
Vậy giá trị m cần tìm là 1
2
m
Câu 10 (1,0 điểm) Cho x là số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 4
f x x x x x x Giải
Dễ thấy f x( )0 với x
Ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất là 0, nghĩa là cần chứng minh tồn tại xx0 để f x( )0 0
Xét hệ
3
Đặt x2t, khi đó hệ có dạng:
3
3
1
5 1
16 12 5 1 0
4
t t t
t t
t t
Ta có sin 3 3sin4sin3 ; sin 516sin520sin35sin
và sin 3 sin 5 1
1
Chọn 0 sin
30
thì (3) và (4) đều thỏa mãn hay 0 2sin
30
thỏa mãn (1) và (2)tức là f x( )0 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của f x( ) bằng 0
3 2
6
+
3 2
1 0
+∞
∞
∞
f (t)
f '(t) t
Trang 9CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU
GV: Nguyễn Thanh Tùng
HẸN CÁC BẠN TRONG ĐỀ SỐ 2.