Đang tải... (xem toàn văn)
Sách trình bày theo hệ thống từ để đến khó để phù hợp với tất cả các đối tượng, các bài tập nâng cao dần giúp học sinh thích nghi dần với các kỹ năng cần thiết để đạt điểm cao để xét tuyển vào các trường đại học, cao đẳng. Mời các bạn cùng tham khảo.
TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH THEO SIN VÀ COSIN Sử dụng biến đổi lượng giác, biến đổi đại số đế đưa phương trình cho phương trĩnh lượng giác bản, phương trình theo hàm số lượng giác, phương trĩnh bậc nhai sinx cosx, phương trĩnh (đăng cấp) sinx cosx, phương trình đổi xứng sinx cosx, tích phương trình Chú ý: 1) Định hướng biến đổi theo cung góc lượng giác, theo hàm so lượng giác, theo hệ sổ đặc biệt phương trình 2) Có đơn vị khơng có đơn vị ân, kêt hợp nghiệm 3) Đánh giá vế dựa tập xác định, lập giá trị bẩt đăng thức Bài tốn 8.1: Giải phương trình: 4(cos^x + sin^x) = cosx + 3sinx Giải sin X = Khi cosx = => 4sin^x = 3sinx : sin vô nghiệm X= — Khi cosx ^ chia hai vế cho cos^x: 4(cos^x + sin^x) = cosx + 3sinx 4(1 + tan^x) = + tan^x + 3tanx(l + tan^x) Đặt t = tanx = ^t^-t^ -3 t + = ( t - l ) ( t ^ - ) = < = > t= l;t = ^Ỉ3 ;t = -yỈ3 Vậy nghiệm: — + kĩi; ± — + kĩc, k e z, Bài tốn 8.2: Giải phương trình: + cos2x = 6cosx + 4sinx Giải PT: + cos2x = 6cosx + 4sinx c o s \ - 3cosx + = 2sinx (cosx - l)(cosx - 2) = 2sinx 2(2 - cơsx)sin"— = 4sin —cos — X X X [(2 - cosx)sin— - 2cos —]sin— = sin —= ( - c o s x ) s in —= c o s ^ 2 ( 1) (2) Ta có (1) X = 2k7i 99 Với phương trinh (2), ta thấy cos— ^ 0, nên phương trình (2) (2 - cosx)tan— = Đặt t = tan —, ta có phương trình: 3t^ - 2t^ + t - = u = u = (loại) n Vs-l harcsin r = ^ 2V2 — ,^ + k 27T ^ _ 3n hoăc X = v?-l arcsin = ^ + ,^ k 27t 2V2 Bài toán 8.5: Giải phưoTig trình: cos3x - cos2x + cosx Giải X PT: cos3x - cos2x + cosx = — Với: cos— = 2 X = Tĩ + k27ĩ Khi VT = -3, VP = - , PT vô nghiệm Với c o s ^ ^ 0, nhân hai vế với 2cos— ^ 2 cos3x c o s ^ - cos2x 2cos— + cosx 2cos— = — 2cos — 2 2 7x Thu gọn được: c o s - ^ = < = ỉ> x = ^ + k ^ ( k e Z ) 7 So sánh với điều kiện k + 7h; k e z Vậy PT có nghiệm x = —+ k — ,k ì^ + 7h;h, k e z Bài tốn 8.6: Giải phưong trình: cos2x + = 2(2 - cosx)(sinx - cosx) Giải Biến đổi phương trình cos2x + = 2(2 - cosx)(sinx - cosx) « r í Đặt t = sinx - cosx = V2sin X—- 4(sinx - cosx) - sin2x - = I I r ( 111 < ^J2 ) => sin2x = - 1^ Khi phương trình thành: r + t - = c t > t = l t = -5 (loại) Nghiệm phương trình là: 71 X = — + k27ĩ, x= 7T+ k27ĩ, k e z 101 Bài toán 8.7: Giải phưcmg trình: 8(sin^x + cos^x) + V3 sin4x = -v/3 cos2x - 9sin2x +11 Giải Biến đổi PT: 8(sin‘’x + cos'^x) + ^fĩ sin4x = 3-73 cos2x - 9sin2x + 11 3(1 - 2sin2x)(l + cos2x - sin2x) = Xét: - 2sin2x = sin2x = — X = - ^ + krc X = - ^ + kn 12 12 Xét: + -y/3 cos2x - sin2x = sin( 2x - -^ ) = -^ X = — + kn X ^ 5tĩ 12 + krr Vậy nghiệm phương trình là: 5ĩt n , ^^ _ 5tĩ X = — + kTi; X = — + kĩt; X = — + krr; X = - —— + kTi, k e z 12 12 12 3, Bài toán 8.8: Giải phương trình: 2sin X - cos2x + cosx = Giải Biến đổi phương trình: 2sinx( 1- cos" x) - 2cos^x + + cosx = 2sinx( 1- cos^ x) - (cosx - 1)( 2cosx + 1) = 0 ( - cosx)(sinx + cosx)(sinx + cosx + 2) = K Vì sinx + cosx = -\/2sin| x + - > -4 ĩ o sinx + cosx + > nên: - cosx = hay sinx + cosx = cosx = hay tanx = -1 71 Vậy nghiệm phương trình X = - — + kn, X = k2:i: (k e Z) Bài tốn 8.9: Giải phương trình: (2cosx - l)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx Giải Ta có (2cosx - 1) (2sinx + cosx) = sinx(2cosx - 1) 102 (2cosx - l)(sinx + cosx) = 2cosx = sin X + cosx = cos X = o -72 sin(x + —) = X = ± —+ k2Tĩ X = - —+ krr ( k G Z ) Bài tốn 8.10: Giải phương trình: + sinx + cosx + sin2x + cos2x = Giải Ta có (sinx + cosx) + 2cosx(sinx + cosx) = (sinx + cosx)(l + 2cosx) == sinx + cosx = + 2cosx = Tí X = -+ k l (k e Z ) X = ± — + k27ĩ Bài toán 8.11: Giải PT: Vs (sin2x - 3sinx) + = 2cos^x + 3cosx Giải Biến đổi phương trình thành ( V3 sin2x - cos2x) - 3( Vj sinx + cosx) + = ( 7X^ cos 2x + - + sin í x + — - l 3; l 6j sin = ^ 71^ sin x + — l 6J x + — - sin ( x + — + = 0 ( T,\ TC l 6j sin x + — l 6; Giải nghiệm phương trình: X = — + k i; X = k a :; X = — + k27T, k e z Bài toán 8.12: Giải phương trình; s in \ + V3 sin2x + = 3(cosx + V3 sinx) Giải Biến đổi phương trình: 2sin^x + Vj sin2x + = 3(cosx + « sinx) ( V3 sinx + cosx)^ - 3( V3 sinx + cosx) = ( a/3 sinx + cosx - 3)( V3 sinx + cosx) = Xét ^Ỉ3 sinx + cosx = 3: vô nghiệm Xét V3 sinx + cosx = sin Vậy nghiệm X + — Tt X = - — + k T ĩ 71 X = — + kru, k e z 103 Bài toán 8.13: Giải phương trình: + sinx + sin2x = cos3x Giải Phương trình cho tương đương với - cos3x + sinx + sin2x = _ 3x „ 3x X 3x f 3x X 2sin ^ + s i n —-c o s —= sin — sin — + c o s ^ 2 2 { 2 3x „ 3x , k2Tĩ Xét: sin ^ = — = kĩc « X = —— 2 ^3x 3x X s in - ^ + c o s ^ = o cos 2 7x' cos- • ^ 1^ w ^ t o x = - — + k27i X = - — + kĩi Vậy nghiệm X = ; X = - — + k27ĩ X = - — + kTi, k e z Bài tốn 8.14: Giải phương trình: 2(sin3x + sin2x) = sinx + ^Í3 {\ + cosx) Giải Ta có PT: 2(sin3x + sin2x) = sinx + V3 (1 + cosx) 5x rr X X^ 2 s i n - ^ - v c o s ^ - s i n ^ cos— = 2 Xét: cos— = 0 — = +kTcx = n + k27T 2 ^X Và s i n - - -v/3 cos —- s i n — = 0 sin — = sin 2 ~ ~ _ u Do đó: X = —+ kn hay X = — + —— _ Ì k27ĩ i/-\ ^ 1 tĩ k27x I Vậy nghiệm X = 71 + k27i, X = —+ krc hay X = — + — , k e z Bài tốn 8.15: Giải phương trình: sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = + cos4x Giải Phương trình sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = + cos4x 2sin2xcos2x + 2cos2x - 2cos^2x + 4(sinx + cosx) = o cos2x(sin2x + - cos2x) + 2(sinx + cosx) = cos2x(2sinxcosx + 2sin^x) + 2(sinx + cosx) = (sinx + cosx)(cos2xsinx + 1) = 104 « (sinx + cosx)( (1 - sin \)sin x + ) - (sinx + cosx)( 2sin^x - sinx - ) = (sinx + cosx) (sinx - l)(2sin'x + 2sinx + 1) = ( bậc VN ) sinx + cosx = sinx - = n Với sinx + cosx = cosx = sin X - cos X = cosx = tan x = X = —+ kTX X = —+ k7T 71 71 Vậy phương trình có nghiệm: X = —-I- kn, X = —+ k n , (k e Z) Bài tốn 8.17: Giải phương trình: 2cosxcos2xcos3x - 7cos2x = Giải Ta có 2cosxcos2xcos3x - 7cos2x = (cos4x + cos2x)cos2x - 7cos2x - = (2cos^2x + cos2x - l)cos2x - 7cos2x - = 2cos^2x + cos^2x - 8cos2x - = Đặt t = 2cos2x, 111 < Phương trình trở thành ■/ = - l 2t^ + t^ - 8t - = í= \±^Í57 n Chọn nghiệm t = -1, ta có cos2x = -1 2x = Tĩ + k27i X = — + kn 71 Vậy nghiệm phương trình X = — + kn k e z 105 Bài toán 8.18: Giải phương trình: (sin2x - cos2x)sinx + sin3x = (sinx + cosx)cosx Giải Phương trình tương đương với: sin2xsinx - cos2xsinx + sin3x = cosx(sinx + cosx) sin2xsinx - cos2xsinx + sin2xcosx + cos2xsinx = cosx(sinx + cosx) sin2x(sinx + cosx) = cosx(sinx + cosx) cosx(2sinx - l)(sinx + cosx) = cosx = hay 2sinx - = hay sinx + cosx = o cosx = hay sinx = — hay tanx = -1 X = — + kn hay = — + k l n hay X = + k in 6 X hay X = - — + kn Vậy nghiệm phương trình là: x = — + kTt,x = — + k7T,x = + k7x,x = —^ + k7X ,k eZ Bài toán 8.19: Giải phương trinh: sin3x + sin2x + sinx + = cos3x + cos2x - cosx Giải Phương trình tương đương (sin3x + sinx) + sin2x + (1 - cos2x) = cos3x - cosx 2sin2xcosx 2sinxcosx + 2sin“x = -2sin2x sinx sin2x(cosx + sinx) + sinx(cosx + sinx) = sinx(2cosx + l)(cosx + sinx) = Xét sinx = X = kK Xét 2cosx + = cosx = X 2 ti = ± — + k2n 7Ĩ Xét cosx + sinx = tanx = - l < » x = - — + kĩi, k e z Vậy phương trình cho có nghiệm X = k T t, X = ± — + k i, X = 71 , , - — + k ĩ, k G z Bài toán 8.20: Giải phương trình; 3(cos^x - sin^x) = (4 + sin2x)cosx Giải Phương trình tương đương với: 3cos^x - 3sin^x = 4cosx + sin x co s\ 106 Ta có: cosx = 0, khơng thỏa mãn phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos^x ta được: - 3tan^x = 4(1 + lan^x) + 2tanx 3tan^x + tan^x + 2tanx + = (tanx + l)(3 tairx + tanx + 1) = tanx = -1 X ■ 71 Vậy phương trình có nghiệm X = - — + k7i, k e 71 + kĩĩ z Bài toán 8.21: Giải phương trình: (1 + sin^x)cosx + (1 + c o s\)sin x = + sin2x Giải Phương trình tương đương với: cosx + sin^xcosx + sinx + cos^sinx = (sinx + CQSxý «> sinx + cosx + sinxcosx(sinx + cosx) = (sinx + cosx)^ (sinx + cosx)(l - sinx - cosx + sinxcosx) = (sinx + cosx)(l - sinx)(l - cosx) = sinx + cosx = hay sinx = hay cosx = 71 Ta có; sinx + cosx = tanx = -l x = - — +k7ĩ • sinx = í ^ X = — + k/Ti cosx = o X = k2Ti 71 71 Vậy phương trình có nghiệm là: X = - — + k7i, X = — + k27ĩ, X = k27ĩ, k e z Bài tốn 8.22: Giải phương trình: sinx sin4x = 2V2 cos 71 -4V 3cos^ x sin x co s2 x Giải Biến đổi phương trình; ^71 sinx sin4x = V2 COS X -4^/3cos^ x.sinx.cos2x 71 sin4x(sinx + V3 cosx) = V2 cos —- X cos — X (s in x -V )= v6 V' Vì sin4x < =í> sin4x - V2 < ^7t ^ Do cos —- X 0 m = Vạy M(3; 3) Cách khác: Đường tròn (V) đường kính IM có tâm J( ^ ^ ' m +3 ^2 m - ỉ m +3 ) (m + l ) ^ + ( m - ) l Bài toán 14.11: Trong mặt phang với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x^ + y^ - 2y - = Tìm điểm M nằm đường thẳng A; 2x - 5y + 16 = cho từ M kẻ hai tiếp tuyến đến đường ừòn (C) độ dài đoạn thẳng nối hai tiếp điểm vTÕ 211 G iả i Đường trịn (C) có tâm 1(0; 1), bán kính R = v ? Gọi A, B hai tiếp điểm hai tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn (C) H trung điểm AB AH = —A B.^^^^ 2 Tam giác MAI vuông A, với đường cao AH: 1 1 a m a i [— —= —^ + —=> AM = V5 nên MI = — —— = v l A IỈ' AM^ AT AM^ AH Vì M e A: 2x - 5y + 16 = => M(5t - 8; 2t) t=l Ta có: MI - V ĩõ o (5t - 8)^ + (2t - 1)^ = 10 « 29t^ - 84t + 55 = t =■ 29 J /^43 110' Vậy có điêm thỏa mãn toán M(-3; 2), M -r— — U 29, Bài toán 14.12: Xác định độ dài trục, toạ độ tiêu điểm , toạ độ đỉnh vẽ elip (E); ,2 b) a) - + „ = 25 + 3y^ = G iả i X a) Phương trinh (E) có dạng: ^ a Do đỏ a^ = 25 ; b^ = y ^ b a= ;b=3 Và c = Va^ -b ^ = Elipcó: Độ dài trục lớn: A 1A2 = 2a = 10 Độ dài tiỊic [ứiỏ: B 1B2 = 2b = 10 Hai tiêu điểm: Fi (-4 ; ), p2 (4 ; 0) Bốn đinh: Ai (-5 ; ) , A2 (5 ; ), Bi (0 ; -3), B2 (0 ; 3) b) (E): x^ + 3y^ = < = > ^ + ^ = l i ^ /3 Ta có: a^ = ; b^ = => c^ = a^ - b^ = 82 T| Nên a = ; b = - \ / , c = V6 Elip có: Độ dài trục lớn: 2a = Độ dài trục nhỏ; 2b = V3 Hai tiêu điểm: Fi (- Vó ; ), p2 ( Vô ; 0) Bốn đỉnh; Ai (-3 ; ), A2 (3 ; 0) ,Bi (0 ; - V3 ) , B2 (0 ; V3 ) 212 ^ / A 8, Bài tốn 14.13: Lập phương trình tắc elip (E) trường hợp: V3 a) Độ dài trục lớn tâm sai e = b) Độ dài trục bé bàng tiêu cự Giải ' Phương trình tăc (E) là: a y" b'^ ^ , a > b > a) Độ dài trục lớn 2a = => a = Ta có e = — =i> c = ae = Vs , b^ = a^ - c^= 16 - 12 = Vậy phương trình tắc (E) là: — + — = 16 b) Độ dài trục bé: 2b = => b = Tiêu cự 2c = => c = => c^ = a^ - b^ = => a^ = 20 ' X y Vậy phương trình tăc (E) là: — + — = 20 Bài toán 14.14: Lập phương trình tắc elip (E) trường hợp; Vs a) Có tiêu điểm F( Vs ; 0) qua M(l; —- ) b) Các cạnh hình chữ nhật sở có phương trình: X = ±7 ; y = ±2 Giải , x' y' Phương trình tăc (E) là: — + = , a > b > a' b' a) Theo giả thiết thì: c = -v/3 (E) qua M nên —T a' ' ■> 4b' C“ = a ^ -b ^ = =>a^ = + b^ 2u2 « 4b" + 3a" - 4a"b Do đó: 4b^ + 3(3 + b^) = 4(3 + b^) b ' 4b'* + 5b^ - = Chọn b^ = => a^ = Vậy phương trình tẳc (E) là: — + — = b) Theo giả thiết thì: a = , b = ^ y^ = nên phương trìrứi tăc (E) — + — 49 , 213 Bài tốn 14.15: Viết phương trình tắc elip (E) trường họp: 12 a) Đi qua hai điêm M(4 ; —) N(3; — ) b) Đi qua M M nhìn hai tiêu điểm góc vng V s ’ V5 G iả i 16 81 , —T T ~ ^ a ' 25b' 144 a) (E) qua M(4 ; —) N(3; — ) nên có: :25 25b' X" Vậy phương trình (E) là: -— h — = b) V ÌM Vs V s i Ta có: F,MR = 90° 16 a' 5b' OM = ^ =1 =c c^ = OM ^= - + — 5= ^a^ = b^+c^ = b^+ 5 16 Do đó: — +^ = o b " + 16(b" + ) = b W + ) ( b ' + ) 5b'