Các dạng bài tập phong phú đa dạng và được sắp xếp từ để đến khó. Cuốn sách là sự kết hợp kiến thức cả 3 lớp 10, 11, 12 nên đây là nền tảng vững chắc ,bổ ích cho học sinh. Sách được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 cuốn sách.
% P H Ư Ơ N G P H Á P T ÍC H P H Â N Đ ổ l B IẾ N số V À T ÍC H P H Â N T Ừ N G P H A N Tích phân đỗi biến số Dạng ỉ: Nếu X = u(t) có đạo hàm liên tục [a, P] u(a) = a, u(p) = b thì: [ f{x)dx = Ja Ja f{u{t)).u'Ụ).dt Dạng 2: Nếu t = v(x) có đạo hàm liên tục f(x)dx = g(t)dt thì: ợh CV(A) \ f{ x )d x = \ g{t)dt Ja Jv’(ơ) Chú ỷ: 1) Đối với biến sổ lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho X b b b jf(t)dt, jf(u)du , a F(b) - F(a) = jf(x)dx a a 2) Sừ dụng công thức mở rộng kx với k ^0, mở rộng công thức X thành u kèm sẵn du = u'.dx, lưu ý dấu cộng trừ hệ số nhăn chia, cần ta viết gộp cơng thức đơi biển 3) Tích phân liên kết, để lính ỉ đặt thêm J mà việc linh I +J I —J, I ^m J I - n j thuận lợi hơn, từ suy I 4) Giả sử hàm sổ f(x) liên lục trẽn đoạn f-a; aỊ a Nếu f hàm sổ lè I f (x)dx = -a a íì Nếu f hàm sổ chẵn I / (x) = 2j /"{x)dx -a Tích phân phần Nếu u(x), v(x) có đạo hàm liên lục đoạn [a;hj f udv = u.v l - ị v.du Ja Jớ Chú ỷ: ỉ) Chọn đặt u dv để đưa ngun hàm có cơng thức 2) Chọn đặt u dv để đưa tích phân đơn giản hơn, giảm bậc hơn, dùng tích phân phần liên tiếp hay nhiều lần dạng vồng trịn lặp lại tích phân ban đầu, 2) Phổi hợp bảng công thức nguyên hàm, tính chất tích phân 86 Bài tốn 10.1: Tính: I = J(l + x)‘’ íừ Giải Ta có; I = |(1 + x)''ứ!x: = J (1 + x)'’íi(l + x) = —((l + x)^)| = 0 ^ 32-1 31 ~ Bài tốn 10.2: Tính: I = |(1 - 2x)"‘ d x Giải Ta có: I = - - j(l - 2x)' - 2x) = 2g 10 ((l - x)') Ị_ Bài tốn 10.3: Tính: I = (1 + )dí Đăt u = + du = 4t^dt Giải I t^dt = —du Khi t = u = 1, t = u = 1 (1 + t^ )d t- —ị udu = I= ^ ^1 ^ 4- v8 8 _ r 5x Bài tốn 10.4: Tính: I = 1— —^dx ịix ^ + 4Ỵ Giải J ( x '+ ) ' Bài tốn 10.5: Tính: I = J ( x '+ ) ' 2x^+4 I —ị _Ảx + Giải Đặt t = X + X - = t - 5, dx = dt Khi X = -2 t = 1, X = t = 1= iU + ( 25^ dt = / -10 In t - — / l f y 192 ■101n7 87 Bài tốn 10.6: Tính: I = Ị x^Jx^ + \ d x Giải I I \ Ta có I = ịx-\lx^ + \dx = —f(x^ + [y d{x^ + 1) = -{x^ +1) '^0 V3 j V2 - 7t/4 Bài toán 10.7: Tính I ~ J cos’ Xsin xdx Giải Đặt t = cosx dt = -sinxdx Khi x = = í> t= l,x = — ^ t = V2/2 /4 V 2/ J 1= Jcos^xsinxdx = j r \ í / / = —-T 16 iu/3 Bài toán 10.8: Tính; I = |tarf xdx n/4 Giải 1- ^ ^ _ , 7ĩ /3 n/i V2 n , TC Đặt t = cosx => dt = - sinxdx , X= —=í>t = -—,x = —=>t = — (l-cos^x)sinx I = |tarfxdx= I rt/4 rt/4 ir/4 cos’ X dx=- dt 1/2 1/2 = l- - ln 2 V2/ V2/2 rrclĩ r.T/ĩ Cách khác: I = [ tan^ xdx = f tanX tan^ xdx J;r/4 J/r/4 = I'' tanx.(tan^ x + l - l ) í = ị'^ tanx.(tan^ x + l)íử -|'^ tanxcàr Bài tốn 10.9: Tính: = x.e’' d x , Giải \= ịxe"'dx = -ịe""'d{x^) = -e " ' 20 88 Q = -^ ^ Bài toán 10.10: Tính: I = [ —(In x)^dx I ^ Giải 1= j —(Inx)Mx = J(lnx)M (lnx) = 1^ (Inx)^ (ln3)’ }2 + ỉnx Bài toán 10.11: Tính: I = I dx I Giải f +Tn X a có I = — — dx J V = 1(3^_2^) = 5_ 2 I I X Bài toán 10.12: Cho hàm f(x) liên tục đoạn [0;1] = J(2 + lnx)í/(2 + Inx) = —( + Inx) I I Chứng minh rằng: I f (x)dx = J f (1 - x)dx 0 Giải Đặt u = - X du = -dx, x = 0=>u = l,x = =>u = 1 J f (x)dx = - J f (1 - u)du = I f (1 - u)du = j f (1 - x)dx 0 Bài toán 10.13: Cho hàm f(x) liên tục đoạn [-1;1] I I Chứng minh ràng: J f (x)dx = j[f(x ) + f(-x )]d x -1 Giải I ' 0 I Ta có Jf(x)dx = jf ( x ) d x + j f ( x ) d x jf(x )d = - j f ( - u ) d u = j f(-x ) d x - I - - 1 I Do I f (x)dx = J [f (x) + f (-x)]dx - Bài toán 10.14: Giả sử hàm số f(x) liên tục đoạn [-a; a] Chứng minh rằng: ữ a) Nếu f hàm số lẻ j f(x)dx = -a b) Nếu f hàm số chẵn j / (x) = 2j / {x)dx - 0 89 Giải a a T a c ó l= |f(x )d x = jf(x )d x + |f(x)dx -a -a 0 Đổi biến X = -t tích phân Jf(x)dx ta được: -a a) Nếu n ẻ jf(x )d x = - |f ( - t ) d t = - |f ( t ) d t = - j f ( x ) d x -a -a a 0 a I = Jf(x)dx = |f ( x ) d x + |f (x )d x = -a -a 0 a a b) Nếu f chẵn Jf(x)dx = |f(t)d t = jf(x )d x -a 0 =í> I = jf(x )d x = Ịf(x )d x + |f ( x ) d x = j f ( x ) d x -a -a 0 Bài tốn 10.15: Tính: I = I xe’'dx Giải Ta dùng tích phân tìmg phần Đặt u = X , dv = e^^.dx Khi du = dx, chọn V I ' = J e’^ I = Jxe’‘dx = |udv = (uv) - 1vdu = (xe’‘1 -Ịe M x = e - (e -1) = 0 0 Bài tốn 10.16: Tính: I = Jln xdx Giải dx Đặt u = Inx, dv = dx Khi du = — , v = X X c ' e I = jInxdx = judv = (uv) - j vdu = (x Inx)|' - |d x = e - (e -1) = 1 0 Ố Bài tốn 10.17: Tính: I = jx" \nxdx I Giải dx Đặt u = Inx, dv = x^dx Khi du = — , X 90 V = — x^ “ In xdx = Ị udv = {uv) - Ị vdu Ta có I = _ I ^ x M n x ^ f X ^ í ủ : _ n f\ 81n2 3^ nl Bài tốn 10.18: Tính; I = J xsinxcosxdx Giải sin2x , Đặt u = X , dv = - d x Khi du = dx, V = ỉ-cos2x n/2 kỉ2 • 1= ịxsinxcosxdx = I X dx = — ^ X cos 2x V n/ 7t/ cos2x _ TC ~s BÀI TẬP Bài tập 10.1: Tính tích phân: I = |(1 + xýdx IID-ĐS 1= r dx Bài tập 10.2: Tính: I = J Đổi biến số, dặt t = HD-ĐS ln(e^ + e 1) -2 Bài tập 10.3: Tính tích phân; I = jx (l - 4x)^'* dx IID-ĐS Đổi biến số, đặt t = -4x Bài tập 10.4: Tính tích phân: a) I = Ịsinx.5“ ®''íừ b )l dx a/ x^ - 91 IID-DS a) Đổi biến số, đặt t = cosx Bài tập 10.5: Tính tích phân: X _ f + 2x" + - b) Đặt t = X + b ) ' =' ỉX^r -r 2x ^ +2 lỉD-ĐS a) chia tách, = 2+ —ln5 Bài tập 10.6: Tính tích phân: e b ) I = ịxln^xíủ: I HD-ĐS a) Đổi biến số, đặt t = Inx b) Dùng phần, đặt u = In^x dv = X Bài tập 10.7: Tính tích phân: II a) I = Ilog|, xdx Dùng phần, đ ặ t 3-21n2 b) 16 li tập 10.8: Tính: a ) a) I = Jln(.\:^ +\)dx u b )fe x IID-ĐS = logl I x v dv = X b) I = + x.e')dx ^ lỉD-ĐS ' n a) Dùng phẩn, = ln2 - + — b) - — e Bài tập 10.9: Tính: 7ĩ /3 X + sin X a)I= J cos X I dx b) I = |x ln (l + x^)dx IID-DS 43 Dùng phần, I = = —— +1 - In 92 b) In - ^ _ T ÍC H P H Â N H À M Đ A T H Ứ C Tích phân Giá sử f(x) liên lục írên khống K a, h e K, F(x) nguyên hàm f(x) thì: f f {x)dx = F{b) - F(a) = F (x Ỳ , Jơ ' Các công thúc nguyên hàm đa thức j dx = x + C; J kdx = kx + c với k số Với a > thì: í x“ íừ = •' a +1 + C: í u^.iV.dx = — •' a +1 +c b - Dạng j P(x)dx; Dùng bảng công thức, a b - Dạng J|p(x)|dx ; Chia miền xét dấu P(x), a b - Dạng J P(x).Q(x)dx ; Khai triển tích số, a b - Dạng I(P(x))" dx Khai triển luỹ thừa, ^ a Phương pháp tích phân đồi biến số Dạng 1: Nếu X = u(t) cỏ đạo hàm liên tục [a, P] u(a) = a, u(Ị3) = b thì: f f(x)d x = [^ f{u(t)).u'(í).dí Jơ J a ‘ Dạng 2: Neu-l = v(x) cỏ đạo hàm liên tục f(x)dx = g(t)dí thì: í*/> ị f{x)d x = ị git)dí Ja Jv{a) b - Dạng I x(mx + n)“dx ■Đặt u = mx + n phân lích thêm bớt, a b - Dạng J (mx + n)(px‘ + qx + r)“ dx • Đặt u = px^ + qx + r, a - Dạng h j + inỴ (x + n Ý dx : Nếu a< p đặt u= X + n a 93 Phương pháp tích phân phần Neu hàm sổ u(x), v(x) có đạo hàm liên tục đoạn [a;bj Ja udv = w.v ” - Ja v.du Chú ý: 1) Nếu hàm dẩu tích phân có giá trị tuyệt đoi phải chia miền để bỏ dấu giá trị tuyệt đối 2) Phổi hợp hiến đổi khai triển, biển đổi tích tổng, hạ bậc, thêm bớt sổ hạng, viết gộp, viêtgộp, Bài tốn 11,1: Tính: I = J(1 + )dx Giải )dx Ta C Ó : I = J(1 + = (x + — ) = (l-0) + -0 Bài tốn 11.2: Tính: I = ~ 2x)M x Giải Ta có: I = - - j(l u - x )M (1 -2 x ) = Bài tốn 11.3: Tính; I = J(2x + IXx" - 12 X ((l - 2x)'') + 3)dx Giải /Ị c Ta có I = f(2x^ -x^ +5x + 3)dx= -x '' —-x^ +—x^ +3x Ì [2 17 ■ Bài tốn 11.4: Tính tích phân: I - Jmin|x,x^ ^dx Giải Xét x^ > X Do đó; I = - 94 io+ x>1( vìX > 0) |min{x,x^|í/x= l'“ ^ ~ ' ịx^dx + ịxdx Bài toán 11.5: Tính: I = J(|x + 3| - |x - 4Ị)dx -4 Giải -3 T a c ó l = |( |x + |-|x -4 |)d x = - Jdx + |(2 x -l)d x + |7dx = -4 -4 -3 , 4 Bài tốn 11.6: Tính: I = ||x ^ - x + 3(dx -1 Giải I = I ( X ‘ -4 x + 3)íử+j(-x^ +4x-3)ííc + |(x" -A x +3)đx -1 í Xĩ — -2x l3 A ^^ / +3x +- — +2x^-3x +—-2x'+3x J j -1 l J _ \ í '3■ I Bài tốn 11.7: Tính: I = jx^(l + x^)tif Giải Ị_ Đặt u - + x^ du = 3x^dt => x^dt == —du Khi X - u = 1, X = u = ,2 -1 k IIa 1= |x ^ (l + x ’ )íử = ỊMí/w ( — 6 u ) ^1 ~ ~ Bài tốn 11.8: Tính: I = j t'(l + t“)Mt Giải Đặt u = + t"*thì du = 4t^dt => t^dt = —du Khi t = u = 1, t = u - ^ vl6 y 1= | t '( l + t'‘)Mt = - j u M u = 16-1 _ 15 16 " l Bài tốn 11.9: Tính; I = |( x + 2)^(x-3)*dx Giải Đặt u = X - X = u + 3, dx = du 95 Giải b l'a có hàm số f(x) liên tục đoạn [a ;b] nên J f(x)dx diện tích hình a thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng X = a, x = h Do f(x) > [a; b] j f (x)dx > a Cách khác: Xét F(x) = j f{x)dx F liên tục [a; b] Ta có F’(x) = f(x) , mà theo giả thiết f(x) > [a; b] nên F đồng biến [a; b] Vì a < b nên F(a) < F(b) => F(b) -F(a) > ^ đpcm Đặt h(x) = f(x) - g(x).Ta có h(x) > [a; b] nên b b b Jh(x)dx > => | f (x)dx - 1g(x)dx > => đpcm a a a , ^ ^ _] p2x —1 Bài toán 18.2: Chứng minh răng; - dx < -dx •Ị X ị x + Giải X - Ta có Vx X Do •Ị [1; 2]: - < G x — x - X + , - X + > 0; Đúng —^dx < c o s\ < < + c o s\ < => ^ < + 3cos^x ít/2 Ị nỉ nl2 _ 7t/2 _ —dx—_— Jdy 0 Giả sử BĐT đứig n= k x" , n! Vx > e’' - > X 185 Ta chứng minh BĐT n = k + c ^ 1 ^+ A +1- Ì -Vìe’‘> X +^ — — ,, V x > nên 2! k! ịeMy >ỊÍl + y + ^ + + > 1+ y +— + 2! — , Vy e (0; x) k! dy / 0V k+l X , , e - 1> X , X^ x"' + — + : đpcm 2! 3! (k + 1)! Bài toán 18.9: Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục đoạn [a ;b] f b V * * Chứng minh: ị f{x)g{x)dx \ < ị f^{x)dx.ịg^{x)dx + — \a J a Giải Ta có (yf(x) + g(x))^ > 0, Vy y l f^(x) + 2y.f(x)g(x) + g^(x) > 0, Vy nên h h b y '\ f '{ x ) d x + y ị f\x)g{x)dx + ịg^{x).dx > , Vy a a u íh V ’’ Do A' = I f{x)g{x)dx - j f'{x)dx.ị g^{x)dx < \a V í h =í> J Ịf \a ) * a a * ^ {x)dx.ị g^ {x)dx : đpcm a a \ Bài toán 18.10: Chứng minh ràng: lim jx" sinTixdx = 0 Giải Với X e [0; 1] < x" sinnx < x" ' ‘ Do đó: < í x" sinKxdx < í x"dx = —^— J ^ n+1 11 ^ l ^ Vì lim—-— = =i> lim [ x" sinnxdx = : đpcm n+1 ị Ị b Bài toán 18.11: Cho hàm số f liên tuc [a; b] Tỉ số — — íf(x)dx đươc goi b-a-*a giá trị trung bình hàm số í' [a; b] kí hiệu m(í) ChÚTig minli tồn điểm c e [a; b] cho m(f) = f(c) 186 Giái Giả sừ m M tương ứng giá trị bé lớn hàm số f [a; b] Ta có m < f(x) < M Vx e [a; b] nên: b b b b j mdx < Jf (x)dx m(b - a) < j f (x)dx < M(b - a) a a a a Vì f hàm liên tục nên tồn c e [a; b] để f(c)= íf(x)dx =m(0b - a •'a Bài toán 18.12: Chửng minh hệ thức: r/ĩ+ l 5-1 /T /1 + 11 Giải /í+l on+1 n +\ Tacó: ( l +x) " = c°„+C'„x + C^,x'+ + C > " Suy ra: |(1 + x)"tìíx: = I (C° +c'„x + I + + C"x")íừ I í (1 + x) n+l c “x + c — + c — + + C” " n +\ " V -1 6""'-2""' ^,o5-l - - K , ' - l C" =cr -—+ c: +-— c t + +■5""' Hay n +1 «+i 5"-^' - ^ _ '" ‘ -2""' Vậy; n +1 ~ n +1 1 3"^ —1 CT2" =Bài toán 18.13: Chứng minh: -C„.2 +—c„.2 + „„ 2(n + l) n+1 n +1 Giải ,k+ \ Ta có - c “.2“ + -c ,;.2 ' + + - ^ C : '.2 " = ỷ ^ c ^ * " 2 " n+\ " tí,k + \ ih (1 + x)” = ỉ - ỵ Ị c : x ‘d x ^ ị - Ị ỵ c : x ‘d x = ự Ị ( i+ x r d x = «+l ^ k=0 ^0 ^0 Bài tốn 18.14: Chứng minh; 2^" -1 - c ' +-C -' + - c ị „ + + — C^r' = 2n 2n + l -|2 k +1 J o 3"^' -1 2(n + l) 187 Giải T a c ó ( l + x ) ' " = C « +c' x + + C^"x^" X2n Và(l - x ) 2n , c" _ c x+ + c 2n 2n^ \2n 3 , r^5 ,5 (l+x)2"-(l-x)2"=2(C L x + c L x ' + c L x ' + + C ^ rV " -') Do ^ I dx = {Clx + cịy + í + + Clr'x^- ')dx Ta tính riêng vế: (1 + x y - (1 - XÝ” ^ (1 + xỴ ”*' + (1 ^ x) 2«4l -M A= -< ix 1Ì ■2 2(2«+ 1) Và |(C ',.x + C Ỉ,x’ + C ị„x'+ + C Ỉ;-'x“ -')dx f 2"" - \ 2« + l 2n A = c'^2n' — + c ' — +^2n+CỈ , +-" + '-2n •^ - +'-2n1 2n = |c ; , + i c ỉ „ + i c L + + : ^ c r 2n Suy ra: - C ‘ + - C ' + - C ' + + 1‘ C2„-1 ^ "■' ■" 2n Bài tốn 18.15: Tính tổng: ^ "-l 2n + l 2""' -1 c : « +1 ơ/ổi Tacó: (l+x)"= c ^ c l x + c^x"+ + C > “ T= c ^ - c +- c„ + + Suy ra: J(l + x)"dx = J(C“ + c l x + c^x' + + C >")dx I ( ,n + l \ n+1 c “x + c ' — + c ' — + + C" ,(l + x) n+1 " "n+1 V ìW+l ow+l 2^-1 2^ —V Vậy: T = c : + -c: = c t + +2 " «+l «+i Bài tốn 18.16: Tính tổng: 7^ 7’ t w +1 T = - C “ + ~ C ' + — C ' + +c: « +1 188 Giải Ta có: (1+ x)" = c l +c;,x + c ' x ' + + C;;x" Suy ra; j (1 + x)"cbc = ị (C„" + c> + C;jc' + + c>" )dx 0 - ^ ( + X)""' v’ r'"^M = c ° x + C -— + c l — + + c : ^ n+\ „ I " " 7" " '7^+1 Vây: T = ~ c “ + ™ c ' + - ^ c ' + + ^ C ; " " n +l Bài tốn 18.17: Tính tổng: " ọyn+\ «+l f7 + l 2020 T= ^ c ‘ ^+ -—-C^ ^2020 ^2020 + 2020 2019 c 2020 ■ Giải , 2020 v''-ù 4-r ’2020 V ' - ' 2 2 Tn n 4- a ; ia L ,( J = '^2020 r ”® -i-r" '-'2020''- V n ^“ 2020 20"’0 - r^' '^020r - r ’-20'^0v - T- ", T rv^.'’-ỉm n^ 2020' VCI^Ẳ“ A^ Do (1 + x r^ " - (1 - = 2( C'o,„x + + + ) 2^-1 2'* —1 -1 Nên: ^ C ỉ „ + ì : ^ C Ỉ „ + + ^ ^ C S - i |( ( l + x )» " -(l-.n )» » V v = i ^ [ ( | + ;,)» ' + ( l - ^ ) » ^ ' ĩ ^2021 Ị _ 2^'’“' 4042 ^2021 Ị _ 2^°^' Vậy T = 4042 Bài tốn 18.18: Tính In = | x( l - x^) "dx , n nguyên dương Suy tổng: ^ ^ s =-C ;; ^c;, + -C ^ C '„ + -f-^-^-^— c ;; " 2(n + l) " Giải Đặt t = - x^ =2 dt = -2x.dx Khi x = 0=>t = l , x = l=>t = In= ^ ' " - t n+l 2(n + l) • 2(n + l) 189 Khai triển nhị thức dấu tích phân: I „ = \ x { \ - x y d x ^ \ x Ỳ c í { - x ^ Ỷ dx 0 *’=0 = j Ẻ (-1)* = ấ (-!>* < j í-=0 2k + „ Ả-=o ■c:= - C “ - - C ' + - + Ả jy L _ c : Ỉ k + 2' " ''" ■’ 2(n + l) " 1 ('-ít" Từ ta cỏ: s = - c ° - - C ' + I - C" = — " " 2(n + l) '■ 2(n + l) Bài tốn 18.19:Đặt In = |(1 - x “)"tìh: , n e N Tính In suy hệ thức: - c “- - c ; ,+ - c ^ - - c ; ,+ + - t - ^ c ; : " " " " 2n + l " 3.5 (2n + l) Giải Với n > l,Đặt u = (1-x^)" dv = dx thì: I In= j ( l - x ' ) ' ' d x = x (l-x ^ )’’Ị + j n x '( l - x “)'’“'dx 0 = - + n j ( x ^ - l + l)(l-x ^ )" -'d x = - n l n + 2nln- _ Do đó: In = 2n _ 2n n - - I„_, 2n + l 2n + l n - l 2n n - 2 T 2n + r n - l '"s T = ' có: ' IIn == Mà lo = nên X/Í' 2.4 (2n) 3.5 (2n + l) Khai triển nhị thức dấu tích phân: l , = j É c ‘ Ắ -x ’ Ydx = ỵ ( - l ) ‘ c : ] k=0 = i(-l)‘ cí k=0 2k + l k=o2k + l V -lo So sánh ta có điều phải chứng minh: 190 A 2.4 (2n) 2n + l 3.5 (2n + l) Bài tốn 18.20: Tìm số ngun dương n cho: 73 «+l Q«+l 7«+l -1 c: + +z zic:=°1 ” " «+i " 10 0 Giải Ta có: (l+x)"= c" + c|,x + c ^ x '+ + C > " Suy ra: J(1 + x)"íừ = |(C ° + c > + c > ^ + + C > ”)íừ I 1 (1 + x) n+1 « +1 >/7+1 '-)«+! 7_J H a y - — = c„ — «+l ^ r’ r"+' ^ C„“x + C '^ +■c „ — + + C; — "3 " n+ ỉ V _1 7^-1^,3 7""' -1 c +— c + + C" n + 1\ w+l ■1 g r t + i ” ^^ +c: + + c: = -c +1 n +1 lOOO g/?+i_2^^^* 8^*^' 2”^^ - — = -— n = 9 lOOO n +\ Vậy giá trị cần tìm: n = 999 Bài tốn 18.21: Tìm số nguyên dương n cho: J2«ư _ ”+' 11-1 c IH -1 c ‘ + 11’ - , ir" ‘- c: = c t + + n +1 5ÕÕ Giải Ta có: ( l +x)"= c “ +c|,x + c^x' + + C>" * Suy ra: J(1 + x)"íừ = (C° + c'„x + c„'x' + + c > ")dx 1 n +1 Do (1 + x) /J+l 11-1 c ỉ' „3 c !x + c :^ + c ,^ ^ + + c :^ V + «+l A 1 '- ! ,, 11'-1 i r ‘-1 -C' +c l + + «+i ” c: n + \ n+\ 12”^‘ - 2-%/7+l «+ 12"+' -2"+' 12”^* 2”^^ /7 +1 = 500 « = 499 «+l 500 Vậy giá trị cần tìm; n = 499 nên 191 Bài toán 18.22:Đăt Sn = - + — Tìm số nguyên dương n cho; n -1 s„-c:s„-,+cx-2 + -^ -ir”'cr'.s,= Ta có (X - 1)" = X 2020 Giải - C‘x"-‘ + C„x"-^ + + ( - i ) " c ; ; và(i-ir=i-ci+c^+ +(-irc: Do đó; (x- l ) "-0 = (x"- 1)- C ;,(x"-'-l) + C^(x"“' - l ) + + (-1)"-’ cr‘(x-l) x"“' - l nên(x-l)"- = - - + x -1 x -1 x -1 x+1 Lấy tích phân từ đến hai vế được: |(x - i ) - d x = s„ - c;,s._, + c ; s ,,,.+ + n i v n m a il: n h a s a c h h o n g a n @ h o t m a i l c o m N g u y ễ n T h ị M i n h K h a i - Q - T P H C M 38246706 - 39107371 - 39107095 ♦ F a x : 39107053 ca * M / / i ca Quý khách xa liên hệ: www.hongantructuyen.vn đ ể ph ụ c vụ ^ c i/ĩtỵ Ố iỹnty < £ọo: Bộ sách biên soạn với mục đích giúp em học sinh lớp 12 củng cố kiến thức phương pháp giải tốn từ càn đến nâng cao, kết hợp ơn tập Toán lớp 10 11, luyện tập thêm Toán khó, Tốn tổng hợp, em rèn luyện kĩ làm bước giải đúng, giải gọn tập, toán kiểm tra đạt điểm cao kì thi THPT Quốc gia - 245 Trần Nguyên Hãn - HP * ĐT: 3858699 - 29&31 Phan Bội Châu - Hải Phòng *ĐT: 3839599 - L ý T h i TỔ - T P Đ N ấ n g *Đ T : - L ê D u ẩ n - T P V in h - Đ T : 5 7 - 39-41 Võ Thị Sáu - cần Thơ * ĐT: 3818891 - 158 Tỉnh lộ - T T C ủ Chi - T P H C M *Đ T: - 76 H àn T h u yê n - T P H u ế - 78 Bạch Đằng - Đà Nắng - ĐT: 3834328 ISBN: 978-604-62-2905-6 935092 768335 Giá: 55.000đ ... j(2x - l)cos" xdx 121 Giải nl2 1= J(2x-l)cos^ xdx k? ?2 1_i_ 1 = j (2x-l)— — - d x = - |(2x-l)dx+ j (x— )cos2xdx ^ ^0 ^ k /2 j 1, —ĩt /2 r sin • 2xdx = — ^fK ^ + —(x - = (2 x -1) 4^ l2 2' 20 j 2. .. 2xdx = —(sin 2x) ^ 110 = - ( - ) = 71 /2 Bài tốn 13 .2: Tính; = (2cosx - sin 2x)đx Giải jt /2 ^ ^ j (2 cos X - sin 2x)dx = 2sinx + —cos2x 1=1 n!l Bài tốn 13.3: Tính; = cos^ xdx Giải n /2 I 7t /2. .. dsin X - — 4L = 71 - sm X - 120 ^ 71^ “ V2 cos^ X - ” l 4j f ■i4i ^ dt T+l V2 '4Ĩ /- dt = T-(Inịl + l| - Inịl - 1! 2V2 Vâyl - V2 + , ln(3-2V2) = V2 + ln(V2-l) V2 V2 ' X' Bài tốn 13.35: lình: