Một số chuyên đề nguyên hàm và tích phân bám sát kỳ thi THPT quốc gia phần 1

NGƯT ThS LÊ HỒNH PHỊ ■ ■ ;• ỉ■ : ' aĩ l t i ặ y l V V ■ ỉỉl ■ ■■ ■■ ■■■■■ ■ *■ ■ ■ ■■ ■ C c ch uyên đề I ã ■_■ ■ z X ^ ■ ■■ ■■ i ■ ■■ I _ I M Sũĩ ĐỀ THI ã M a i a i o ; Th.s NHÀ GIÁO ƯU TÚ LẺ H O À N H P H Ò CÁC CHUYÊN ĐỀ BÁM SÁT ĐẾ THI THPT QUỐC GIA NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q UỐ C G IA H À N Ộ I LỜI NÓI ĐẦU Các Em học sinh thân mơ"n! Nhằm mục đích giúp bạn h(x: sinh lớp 12 chuẩn bị thật tôt cho KY THI TRUNG HỌC PHƠ THỊNG QUỐC GIA đạt điểm khá, điểm cao để trúng tuvển vào trường Cao đẳng, Đại học mà xác định nghề nghiệp cho tưcing lai, theo định hướng Bộ sách gồm cuô'n cho chuyên đề, để om tiện dùng ôn luyện theo chướng trình học trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LƠGARIT - NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC VÀ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG - PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT đ Ẳn G THỨC Cuốn NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN gồm có 18 phần nhỏ để liện luyện lập theo chủ đề 'lư kiến thức phương pháp giải 'loán nâng cao dần dần, kếl hợp ôn tập Toán lớp 10 11, bố sung mở rộng kiến Ihức phương pháp giải khác nhau, luyện tập thêm Tốn khó, Tốn tổng hợp, bạn rịn luyện kỹ làm lừng bước giải đúng, giải gọn lập, toán kicm tra, thi cử Dù dã cố gẩng kiếm tra trình biên tập song khơng tránh khỏi sai sót mà tác giả chưa thấy hết, mong dón nhận góp ý quý bạn dọc, học sinh dể lần in sau hoàn thiện Tác giả LÊ HƠÀNH PHÒ Ồ N Đ Ạ O H ÀM VÀ VI PH ÂN Đạo hàm hàm số điểm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) điểm Xo thuộc khoảng Giới hạn hữu hạn có tỉ s ổ -— — X dần đến Xo gọi X-Xo đạo hàm hàm sổ cho điểm Xo, kỉ hiệu f'(xo) y'(xo), nghĩa là: f'(xo)= lim f(x )-f(X p ) X-Xn Nếu đặt Ax = X - Xo số gia biến số Ay =^f(xo + Ax) -f(xo) số gia hàm so ta có: = I, f(x + A x )-f(x „ ) ^ ^ Ax->0 Ax Ax->0 Ax Phương pháp tính đạo hàm điểm Xo theo định nghĩa Tinh giới hạn lim ——, X - X() Nếu giới hạn tồn hữu hạn đạo hàm điểm Xo là: f(x )-f(x j f'(xo) = lim x -x „ Hoặc ta thực hai bước sau: Tỉnh sổ gia hàm số Ay =f(xo + Ax) - f(xo) Ax số gia biển số Xo Tim giới hạn lim Ạx ' ' ' Av Nêu giới han tơn tai hữu han f'(xo) cân tìm: f'(xo) = lim — , cịn Ax->0 ngược lại hàm sổ khơng có đạo hàm Quan hệ đạo hàm tinh liên tục Nếu hàm sổ y =f(x) có đạo hàm điểm Xo liên tục điểm XoỶ nghĩa hình học đạo hàm Đạo hàm hàm sổ y =f(x) điếm Xo hệ sổ góc tiếp tuyến đồ thị hàm sổ điếm Mo(xo; f(xo)) Nếu hàm sổ y = f(x) có đạo hàm điểm Xo tiếp luyến đồ thị hàm sổ điểm Mo(xo;f(xo)) có phương trình là: y = f'(xo)(x - Xo) + f(xo) Ỷ nghĩa học đạo hàm Vận tổc tức thời v(to) thời điểm to (hay vận tốc to) chuyển động cổ phương trình s = s(t) đạo hàm hàm số s = s(t) điểm to, tức là: v(to) = s'(to) Đạo hàm hàm so khoảng Hàm sổ f gọi có đạo hàm khoảng K có đạo hàm f Ỵx) điếm X thuộc K Kỉ hiệu y' =f'(x) Đạo hàm số hàm sổ thường gặp ( c ) ' = (c l h ằ ng số ) (x)'= l ( x ”) ' = n x ” ' ' ( n (ứ ')' = n u " ' ' u ' e N , n > 2) t ì (V x) = ( x > 0) 2v u Đạo hàm hàm sổ lượng giác (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (sinu)' = u'.cosu (cosu)' = -u'.sinu (lanx)' = — — = I + ían^x cos X / u' — ựanu) = —— cos u —u' (cOtuỴ = r— sin u (cotx)' = — ^ = -(ỉ + cot^x) sin X Các quy tắc tính đạo hàm (u + v / = u’ + v' (u -v )' = u '-v ' (u v / = u'.v + u.v' Tơng hai hàm sổ: Hiệu hai hàm số: Tích hai hàm so: u'.v - u.v' Thương hai hàm số: Hàm sổ hợp: f'x = f'u- u'x Vi phân hàm số Vi phân hàm sổ y = f(x) lại điểm Xo ứng với sổ gia Ax kí hiệu df(xo) là: df(xo) =f'(xo)àx Nếu f có đạo hàm f ' vi phân hàm so flà d y = y'dx Chú ỷ: 1) Đê linh đạo hàm hay vi phân cùa hàm số, ta phải xác định dạng cùa hàm số sau vận dụng cơng thức quy tắc để tinh Có thể chia tách, viết lại dạng, khai triên, nâng lũy thừa, mũ hóa, logarit hóa để chuyến dạng tinh đạo hàm 2) Đổi với hàm hợp nhiều hàm số liên tiếp làm dần bước, đặt hàm sổ trung gian cần 3) Đạo hàm tổng, hiệu nhiều hàm số (u ± v ± ±w )' = u' ± v' ± ±w' 4) Đạo hàm tích nhiều hàm so: (uvw)' = [(uv)w]' = (uv)'w + (uv)w' = (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw' Bài tốn 1.1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau; a) y = với X x -l b) y = -y/3-x với X < — Giải a) Cho X — sổ gia Ax Ay = f(x + Ax) - f(x) = lim ÂÍToạx 1 2(x + A x )-l x - l 11 11 2x + A x -l x - l lim - ? -= -Ãr^ô(2x-l)(2x + 2A x-l) (2x-l)^ Vậy y = — - ^ với (2 x -l)- -2Ax (2 x-l)(2x + 2Ax-1) b) Cho X < số gia Ax -A x Ay = f(x + Ax) - f(x) = -v/3 - X- Ax - -v/3-x = ■ v / - x - Ax + V - X lim = lim ■ = , = — ^ ^ “Ax ữ^-*o^2-x-Á x+ ^J3-x 2V3-X -1 v i X < Vậy y' = 2V3-X Cách khác: lim X- X Xo, = lim - ^ ^^•'0 X - Xq = lim1 - lim x-»x“ (x-Xo)(v3-x+ - X 0) — ■- 2^3-Xo -1 v i X < -X Bài toán 1.2: Chứng minh hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm Xo liên tục Giải ■ Ay • Giả sử hàm sơ f có đạo hàm f'(xo) tức lim — = f'(xo) Ax^o Ạx Vậy y' = V3 Ta có: lim Ay = lim — Ax = lim — lim Ax = f '(xo) = Ax->0 Ax-^0 Ạ y Ax^O Ạ x Ax->0 Do đó: lim (f(x)-f(X o)) = lim Ay = X->X|J Ax^O Suy lim /(x ) = f(xo) Vậy hàm số f liên tục điểm Xo X-*Xq' Bài toán 1.3: Chứng nũnh hàm số y = khơng có đạo hàm X= Giải Cho X= số gia Ax, ta có; Ay = f(0 + Ax) - f(0) = ^ỊAxỊ lim — = lim — = lim - = Ax^o* Ax Ax->0* Ax Ax->0* J|A x| +00 Vậy không tồn đạo hàm X= Bài toán 1.4: Chứng mirủi hàm số: í2x X < f(x) = < •; _ có đạo hàm X= sin 2x khix> Giải Hàm sổ xác định liên tục R X < lo o irU„.nên [2 cos 2x X > Ta có f'(x) Vậy f có đạo hàm lim/'(x) = = lim/'(x) = f ’(x) = X x ^ -2 Bài tốn 1.5: Tìm a, b để hàm số: f(x) khix < x^ + ax + b X >0 có đạo hàm X = 0, tính f '(0) Giải Hàm số có đạo hàm X = liên tục X = nên lim f (x) = f (0) => lim (x^ + ax + b) = -2 ^ b = -2 x-»0* x->0* f (x )-f(0 ) x"+ax ■= lim = Iim(x + a) = a x->0* x^o* X- Ta CÓ lim ,,„ f ( x ) - f ( ) ,,.„ x ' ^ lim ^ ^ = lim — = lim X = x->0" X —0 x->0“ X x->0' Từ suy điều kiện tồn đạo hàm X = a = b = -2 Khi f '(0) = Bài tốn 1.6: Tính đạo hàm hàm số sau điểm Xo a) y = + X - x“, Xo = b) y = — - — + — + ; r , Xo = Giải Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng hiệu a) y’ = (7)' + (x)' - (x^)' = - 2x Vơi Xo = f '(1) = - = -1 , , _ b ) T a c ó y = —X - ^ —X + —X + 7Ĩ nên y' = —.4x^ - - ,3x^ + —.2x = x^ - x^ + X Với Bài tốn 1.7:Tính đạo hàm hàm số sau: X _ , _ 3x-8 a)y = x + - b ) y = X 1- -X Giải a) Tập xác định D = R \ {0} Ta có y = X + — X nên y' = - ^ X x '- x^ Xo = f '(0) = b) Tập xác định D = R \ {1} x -8 3(l-jc) + (3x-8) Ta có y — nên y' = ^ ^ -x (1 -x )^ -5 ^ ạ-xÝ Bài tốn 1.8: Tính đạo hàm hàm số sau: a) f(x) = ax^+bx^+c (a + b)x ^ b)f(x) J_ b ax — t + X V Giải a) Tập xác định D = R \ {0} c ■X +■ -x + a+b a+b a+bx , ^ 2a b c 2ax^+bx^-c nên t (x)= — + -— y = -——;— a +b a + b {a + b)x {a + b)x b) Tập xác định D = R \ {0} Ta có: f(x) = í ỡ f'(x)= o x r + 3c 3ax = 121 ax^ - - ^ + 3c X J ax + x"* ) V Bài tốn 1.9: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = Vx’ - 2x b)y V x^-2x + 2x + l Giải a) Điều kiện x ^ - x > « x < X > Ta có f'(x) = 2vx^ - x Vx^ -2 x b) Vì x^ - 2x + > với X nên điều kiện: X^ x -2 VÃ r(2x + l)-V x^ -2X + 3.2 ■2x + (2x + l)^ ^ (x -ĩ)(2 x + l) - (x ^ - x + 3) (2x + l ) V x '- x + 3 x -7 (2x + l ) V x '- x + ’ Bài tốn 1.10: Tính đạo hàm hàm số sau: fa) y = —X -V x , b)y x’ Vx ^ Giải a) D = R 10 \Với r ' • X f\0, ta có:' y = * - vx ^ I nêny I =_ — ^ -}== ^ = —V— VX ĩ 3ìJ b) Tập xác định D = (-oo; - Vó ) u ( Vó ; +oo) x \x ^ -9 ) Ta có; y - 11WÌ1 nên Jy'= — Ị - x '- ( x '- ) V x '- Bài toán 1.11: Tính đạo hàm mồi hàm số sau: b ) y = ỉ | í í i ± ^ ( a * b + k K ;k Z ) sin(x + b) Giải a) y = cos2x - 2x + a) Tập xác định D = R Ta có y = cos2x - 2x + nên y ' = -2(sin2x + 1) b) Hàm số gián đoạn điểm X = -b + kn (k e Z) T’ _ sin(x + a) Ta có y = nên sin(x + b) sin(x + b)cos(x + a)-sin(x + a)cos(x + b) _ sin(b-a) ^ sin^(x + b) sin^(x + b) Bài tốn 1.12: Tính đạo hàm hàm số sau: b) y = 7x - sinx tan ^ a) y = sin^x + 4x + Giải a) Tập xác định D = R Ta có y = sin X + 4x f nên y ' = 2sinxcosx + = sin2x + b) Ta có y = 7x - sinx tan sin X _ X X — —= - cosx.tan — - tan — 2X 2 2cos Nên y ' = - cosxtan_ X, , , ^ - X X _ = - ta n ^ (l + cosx) = - 2tan^.cos ^ = - sinx 2 Bài toán 1.13: Tim đạo hàm hàm số sau: 5x + l ,b)Xy _= cot V/X2 +1 a) y = tan2 Giải a)y’ = cos 5jc+ l 5x +1 2cos 5jc+ 11 Giải Đổi biến: t = hay viết ghép: -X I = j(2 x - \)e^'-^dx = j e '^-^d{x^ - x ) ^ +c Bài tốn 8.8: Tính; I = ị^ ^ ^ d x •* X Giải Inx Đổi biến: u = Inx hay viết ghép: I = ^ Bài tốn 8.9: Tính: I = X í/x = Ílnxí/(lnx) = —In^ x + c ^ ^ X Giải Đổi biến: u = Igx hay viết ghép: I = j í l ẵ f L ^ = In 10.j (Ig x) V (lg x) = - In 10.Ig' X+ c JC — dx Bài tốn 8.10: Tính: I = •' X Giải Đổi biến: u = Inx hay viết ghép: Ị = — (ịx - J(lnx)'“í/(lnx) = — ln'‘ x + c Bài tốn 8.11: Tính: I = [ —log2^xứ!x ^ X Giải Ta viết ghép: I = [ —log ^xdx = ln2.[(log2 x)V (log x) = —ln2.1og2^ x + c 2 ■' X •' Í C”^ — — dx \ + ^le Giải Đặt t = Vẽ^ =:> = t^ => e^dx = 2tdt 71 z=>I = j - ^ d t = 2|Ị^t^-t + l — ^ j d t = - t '- t '+ t - n |t + l|+C = - ^ / ? ^ - e ’‘ + ^ /^ -2 n (^ /^ + l) + C Bài tốn 8.13: Tính: I = í - —r ^ x Giải Đổi biến, đặt t = e’‘ dt = e’‘dx => dx = -d t •’ t ( t - r ‘) ■ 't '- l JU -1 t + lj = i(ln |t-l|-ln |t + l | ) + c = i l n ^ + c Bài tốn 8.14: Tính: = (x + l)dx x(l + xe’‘) Giải Đặt t = + xe’‘ dt = (x + 1)e’‘dx Ị- (x + l)dx _ ị f J _0 Jx (l + xe") \t- \ t dt = In t- t +c=ln-1+xexe* +c Bài tốn 8.15: Tính: I = J\nxdx Giải Đặt u = Inx, dv = dx Khi du = —dx, chọn: V = X X Ta có: 1=1 Inxdx = J udv = MV - Ị vdu = xlnx- íx —dx =xlnx- [dx = xlnx - X + c Bài tốn 8.16: Tính: I = IIgxdx Giải Đăt u = Igx, dv = dx Khi du = — ^— dx, chon: x.lnio 72 V = X Ta có: I = Ịlgxdx = ịu d v = itv —ịv d u = x.lgx- í x — ỉ— dx =xlgx- í ——íừ = xlgxJ vi ni n ^ Jinin ^ x( Igx InlO Bài tốn 8.17: Tính: I = X, — — Inio + c ) + C ln(2x)íử Giải Đặt u = ỉn(2x), v' = x^ Khi u' = —, chon V = — I = J x^ ln(2x)dx = J udv = uv - J vdu = —x'*ln(2x) - —í xMx= —x'*ln(2x) - — + c A AJ A Bài tốn 8.18: Tính: I = [XIn ^ dx ^ 1+ x Giải Đăt u = In X 1+ x , dv = xd x Khi chọn du = - , V x(l + x) = x^ — I = J X In - -dx = = I Wí/v = MV- Ị vdu X , X Tn-dx í : 1+ x 1+ x 2-’ X rí -In—— + [í-^ l^ x = — In—^ + —ln|l + x |- —x + c 1+ x •'U + x r +x ^ ' X Bài tốn 8.19: Tính: I = Iln(x + -\/l + x^)dx Giải Đặt u = ln(x + Vl + x^ ), dv = dx 73 Khi du ^ ■, chọn V = X ^/ĩ + x I = j ln(x + -v/l + x^)dx = Ị udv = UV-Ị vcỉu = xln(x + Vl + x^)- í-p^==dx = xln(x+Vl+x^ l-Vl + x^ + c Bài tốn 8.20: Tính; = x.e^^dx Giải Đặt u = X, dv = e^^.dx Khi du = dx, chọn: V = e’^ Ta có: I = J x.e^^dx = I udv = u v - ị vdu = x.e’‘ - I e"‘dx = x.e’‘- e’‘+ c = (x - 1).e’‘ + c Bài toán 8.21: Tính: I = Ix s^dx Giải Đặt u = X, dv = S^^.dx Khi du = dx, chọn: V = ln5 Ta có: I = Ix.S^^dx = j udv = u v -ịv d u ln5 - Í5-^từ=x — - — + c = (x -l) — + c ■l ln5 ln5 ln5 Bài tốn 8.22: Tính: I = Ix^.e"^dx Giải Đặt u = x^, v' = e’‘ u’ = 2x, chọn V - e’‘ I = Ịx^.e^^dx = I Iidv = MV- j vdu = - l ị xe’‘dx Đặt u = X, v' = e’‘ u’ = 1, chọn V = e’‘ I x e M x 74 = I udv = MV - j vdu = x e ’^ - j e M x = x e ’^ - e ’^ + c Do I = e \ " - 2{xe^ - e’‘ + C) Vậy I = e’‘(x^ - 2x +2) + C’ Bài tốn 8.23: Tính: I = Jx\eM x Đặt u = x^, v' = Giải u’ = 3x^, chọn V = = x'\e’‘dx = I Iidv = u v - ịvdu = e’‘x^ - 1x^.e^dx Đặt u = x^, v' = u’ = 2x, chọn V = J x^e Mx = I udv = u v - Ị vdu = x^e’‘ - J xeMx Đặt u = X, v’= e’‘.dx Khi u’ = 1, chọn: V = e^ IxeMx = Judv = u v - ị vdu = xe’^- jeMx = xe’' - e’^+ c = e’‘(x -1) + c Do I = e’'x^ - 3(x^e’' - 2(e"(x - 1) + C) Vậy I = e’'(x^ - 3x^ + 6x - 6) + C’ Bài toán 8.24: Tính: I = ^ ' (cosx + 2xsin jc)í& Giải Đặt u = e’‘ , dv = cosxdx Khi du = 2xe’‘" dx, chọn V = sinx J e ' CQSxdx = ịudv = u v -ịv d u =e^ s in x -j2 x e ’' sinxdx nên I = le*" (cosx + 2xsin x) = e’'\sin Bài tốn 8.25: Tính: I = J r*r\o ^ V cos X X +c dx Giải cos X Đặt u = In(sinx), v' = — — u’ = - -—-= cotx, chọn V= tanx cos X sinx I= í y - dx = f udv - u v - \ vdu - tanx.ln(sinx) - í dx = tanx.ln(sinx) - X+ c •' cos X •' 75 Ta viết ghép: •In(sinx) ■’ cos X = [ln(sinx).d(tanx) •' = tanx.ln(sinx) - jdx = tanx.ln(sinx) - X + c Bài tốn 8.26: Tính: I = jsin(lnx)dx Giải Đặt u = Inx X = e" nên dx = e“du 1= jsinu.e“du = jsinud(e“)== sinu.e“ - ịcosu-e^du = sinu.e“ - Ịcosu d(e“) = sinu.e“ - cosu.e“ - Ịsinu.e“du Từ suy I = —x(sin(lnx) - cos(lnx)) + c Bài tốn 8.27: Tính: I = j dx Giải Đăt t = ^|3 x-9 => 3x = t^ + => dx = —tdt I = —íte ‘d t 3J Đặt u = t, v' = e' Khi u’ = 1, chọn V= e*thì Jte‘dt = I udv = u v -ịv d u = t.e' - I e‘dt = t.e' - + c = ( t -l)e‘ + c Vậy 1= - ( ( V x - - l ) e '^ ) + C Bài tốn 8.28: Tính: I =^|x‘*e’‘d x Giải Ngoài cách giải nguyên hàm phần, ta xét f(x) - (ax"* + bx^ + cx^ + dx + m)e’‘ f'(x) = (4ax^ + 3bx^ + 2cx + d)e’‘ + (ax'* + bx^ + cx^ + dx + m)e’‘ = [ax'* + (4a + b)x^ + (3b + c)x^ + (2c + d)x + d + m]e’‘ 76 Ta có: f '(x) = x'*e’‘ « a = 1,4a + b = 0, 3b + c = 0, 2c + d = 0, d + m = a = 1, b = -4, c - 12, d = -24, m = 24 Vậy J x 'e ’‘dx = - 4x^ + 12x^ - 24x + 24)e’^+ c Bài toán 8.29: Đặt In = I x"e’‘d x , n e N* Tính I theo In-1 với n > Suy I3 Giải In = I x"d(ex) = x".e'‘ - n J x"”‘e’‘dx = x".e’‘ - nIn-1 Do I3 = x^e’‘ - I2, = x^e’‘ - I 1, I| ~ J xe’‘dx = e’‘(x - 1) +c nên I3 = e^^Cx^ - 3x^ + 6x - 6) + c BÀI TẬP Bài tập 8.1: Tính nguyên hàm hàm số: f(x) = 5’‘ + — HD-ĐS I = í / {x)dx = — ỉ— + c J ln5 3Mn3 ài tập 8.2: Tính: I = dx HD-ĐS Đổi biến t = Inx hay viết gộp, — In'” X+ c 10 Bài tập 8.3: Tính: I = [ —(Igx)^útc ■' X HD-ĐS Đổi biến: u = Igx hay viết ghép, —InlO.lg'* X + c Bài tập 8.4: Tính: I = J x.y^dx 77 HD-ĐS Dùng ngụyên hàm phần, (x -1) Bài tập 8.5: Tính: I = J Ĩn7 + c 12Mx 16’‘ -9*^ HD-ĐS 4X _3» -.In +c 2(ln4-ln3) 4’‘ +3'‘ Bài tập 8.6: Tính: I = j x \3 'íừ HD-ĐS Dùng nguyên hàm phần lần -x Bài tâp 8.7: Tính: I = fxln-í^ dx , •' 1+ X HD-ĐS , - x 1+ x -X In + -ln X+C 1+ x - X Bài tập 8.8: Tính: I =J5 '"sinxtìồc HD-ĐS Dùng ngun hàm phần lần Bài tập 8,9: Tính nguyên hàm hàm số: f(x) = IID-ĐS Đổi biến số t = VxTT dùng nguyên hàm phần TÍCH PHÂN CỦA HÀM sổ Hai tốn dẫn đến khái niệm tích phân - Bài tốn diện lích hình thang cong: Cho hình thang cong giói hạn đồ thị hàm sổ y = f(x), trục hoành hai đường thang X — a, X = h (a < b) Giả sử f hàm số liên tục nhận giá trị dương đoạn [a; b] Diện tích s hình thang cong là: s = F(b) - F(a) 78 - Bài toán quãng đường niột vật: Giả sử vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo th(ỳi gian, V = f(t) (0 < í < T) Quãng đường L vật khoảng thời gian từ thời điếm í = a đến thời điêm t = b (0 < a < h < T) là: L = F(b) - F(a), F nguyên hàm bât kì f khoảng (0; T) Định nghĩa tích phân Giả sử f(x) liên tục khoảng K a, b € K , F(x) I nguyên hàm f(x) thì: £ f{x)d x = F{b) - F(a) = F (xỆ Tính chất tích phân f f{x)dx = ; f f{x)dx = - f f{x)dx [ f{ x )d x = \ f{x)dx+ \ f{x)dx £ i x ) +g{x))dx = £ j\x )d x + £ g{x)dx Ja Ja Ja f ự{x)dx = k \ f{x)dx Ja ' Ja ' Nếu f(x) > [a, hj f /(x) > Jơ Nêu m X + o X > 85 ... Tính nguyên hàm hàm số: f(x) = (1 - x)'^ HD-ĐS f (x) = - Í : ị^ + 11 c Bài tập 4.3: Tính nguyên hàm hàm số: f(x) = (2x +1) (9 - x^) HD-ĐS Khai triển tích số Bài tập 4.4: Tính nguyên hàm hàm số: ... chướng trình học trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LƠGARIT - NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC VÀ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA... toán 1. 13: Tim đạo hàm hàm số sau: 5x + l ,b)Xy _= cot V/X2 +1 a) y = tan2 Giải a)y’ = cos 5jc+ l 5x +1 2cos 5jc+ 11 b)y' = -1 r^V^r"^) = ^ (ĩ+ cot^ Vx~ +1) sin^ Vx^ +1 Vx^ +1 Bài tốn 1. 14: Tính