Chuyên đề Nguyên hàm và Tích phân - Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Chuyên đề Nguyên hàm và Tích phân - Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán được chia sẻ dưới đây hi vọng sẽ là tư liệu tham khảo bổ ích giúp các em tự học tập, rèn luyện, nâng cao năng lực giải nhanh các bài tập và lý thuyết Nguyên hàm - Tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài ❶: NGUYÊN HÀM  Dạng ①: Nguyên hàm theo định nghĩa tính chất .Phương pháp:  Định nghĩa: Hàm số gọi nguyên hàm hàm số với x thuộc  Tính chất:     Bảng nguyên hàm:  ▪  ▪  ▪  ▪   ▪  ▪  ▪  ▪   ▪  ▪ Phương pháp: Casio ⬧ Xét hiệu: Nhấn shift ⬧ Calc hay ,… St-bs: Duong Hung mệnh đề Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ ln x + + C Ⓒ ln x + + C 2x + Ⓑ ln ( x + 3) + C Ⓓ ln x + + C ln Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio:  1  f ( x ) dx =  x + dx =  x + d ( x + ) = ln x + + C Calc: x= 2.5 Lưu ý: Gặp ln có trị tuyệt đối, rắt dễ chọn nhằm đáp án B Câu 2: Câu 2: Nếu  f ( x )dx = x + x + C hàm số f ( x ) x3 Ⓐ f ( x ) = x + + Cx Ⓑ f ( x ) = 12 x + x + C Ⓒ f ( x ) = 12 x + x Ⓓ f ( x ) = x + Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Thử đạo hàm  Ta có:  Casio f ( x) = (  f ( x )dx ) = ( 4x x3 + x + C ) = 12 x + x Chú ý dễ chọn nhằm câu B Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có f ' ( x ) = Ⓐ ln Ⓑ ln St-bs: Duong Hung 1 với x  f (1) = Khi giá trị f ( 5) 2x −1 Ⓒ ln + Ⓓ ln + Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Ta có:  Tư Casio  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C nên 1 d ( x − 1) f ( x) =  dx =  = ln x − + C 2x −1 2x −1 Mặt khác theo đề ta có: f (1) = 1 ln 2.1 − + C =  C = nên f ( x ) = ln x − +   f  ( x )dx = f ( 5) − f (1) 5 1  f ( ) = f (1) +  f  ( x )dx = +  f  ( x )dx  Tổng quát: b  f  ( x )dx = f ( b ) − f ( a ) a b Do 1 f ( ) = ln 2.5 − + = ln + = ln + 2  • f ( b ) = f ( a ) +  f  ( x )dx; a b • f ( a ) = f ( b ) −  f  ( x )dx a B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Khẳng định sau sai? Ⓐ Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C  f ( u ) du = F ( u ) + C Ⓑ  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k số k  ) Ⓒ Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) Ⓓ   f1 ( x ) + f ( x ) dx =  f1 ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 2: Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? Ⓐ F ( x ) ( x − 3) = Ⓒ F ( x ) = Câu 3: 5 ( x − 3) Ⓑ F ( x ) + x ( x − 3) = + 2020 Ⓓ Trong khẳng định sau, khẳng định sai? F ( x) = Ⓐ  0dx = C ( C số) x 5 ( x − 3) −1 Ⓑ  dx = ln x + C ( C số) x +1 + C ( C số) Ⓓ  dx = x + C ( C số)  +1 Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục Xét mệnh đề sau: Ⓒ  x dx = Câu 4:  f ( x ) dx với k số thực khác k (II)   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx (III)   f ( x ) g ( x )  dx =  f ( x ) dx  g ( x ) dx (I) k  f ( x ) dx = (IV)  f  ( x ) dx = f ( x ) + C Số mệnh đề Ⓐ Câu 5: Ⓑ Ⓒ Ⓓ Cho hàm số f ( x ) xác định K F ( x ) , G ( x ) nguyên hàm f ( x ) K Khẳng định đúng? St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 6: Ⓐ G ( x ) = F ( x ) , x  K Ⓑ G ( x ) = f  ( x ) , x  K Ⓒ F ( x ) = G ( x ) + C , x  K Ⓓ F  ( x ) = f  ( x ) , x  K Mệnh đề sau sai? Ⓐ Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) ( a; b ) C số  f ( x ) dx = F ( x ) + C Ⓑ Mọi hàm số liên tục ( a; b ) có nguyên hàm ( a; b ) F ( x ) nguyên hàm f ( x ) ( a; b )  F / ( x ) = f ( x ) , x  ( a; b ) Ⓒ (  f ( x ) dx ) Ⓓ Câu 7: Hàm số f ( x ) = = f ( x) / có nguyên hàm trên: cos x   Ⓑ  − ;  Ⓐ ( 0;  ) Câu 8:   Ⓓ  − ;  Ⓒ ( ; 2 )  2  2 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? Ⓐ F ( x ) ( x − 3) = 5 Ⓑ F ( x ) +x ( x − 3) = 5 x − 3) x − 3) ( ( Ⓒ Ⓓ F ( x ) = F ( x) = + 2017 −1 5 Hàm số F ( x ) = e x nguyên hàm hàm số Câu 9: Ⓐ f ( x ) = e x Ⓑ 3 ex Ⓒ f ( x ) = 3x Câu 10: Nếu  f ( x ) dx = x3 + e x + C f ( x ) x4 + ex x4 f ( x) = + ex 12 Ⓒ  f ( x ) dx = 3x + Ⓒ  f ( x ) dx = 3x − f ( x ) = 3x + e x Ⓑ Ⓓ f ( x ) = x + e x Câu 11: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 + Ⓐ Ⓓ f ( x ) = x3 e x −1 f ( x) = Ⓐ f ( x ) = 3x e x +C x2 +C x2 x Ⓑ  f ( x ) dx = Ⓓ  x4 + ln x + C f ( x ) dx = x4 + ln x + C Câu 12: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Ⓐ  cos xdx = sin x + C St-bs: Duong Hung e +1 Ⓑ  x e dx = x + C e +1 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung x Ⓒ  dx = ln x + C Ⓓ  x e dx = x e +1 +C x +1 Câu 13: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + sin x Ⓐ x3 + cos x + C Ⓑ 6x + cos x + C Ⓒ x3 − cos x + C Ⓓ 6x − cos x + C Câu 14: Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ 2x + ln x + + C Ⓒ ln x + + C Ⓑ ln ( x + 3) + C Ⓓ ln x + + C ln Câu 15: Giả sử biểu thức sau có nghĩa cơng thức sau sai? Ⓐ  cos x dx = tan x + C x Ⓒ  lnxdx = + C Ⓑ  e dx = e Ⓓ  sinxdx = − cos x + C x x +C Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e2 x + x e2 x x3 + +C Ⓑ F ( x ) = e2 x + x3 + C Ⓒ F ( x ) = 2e + x + C x3 Ⓓ F ( x ) = e + + C Ⓐ F ( x ) = 2x 2x Câu 17: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 + 3x + hàm số hàm số sau ? Ⓐ F ( x ) = 3x + 3x + C Ⓒ F ( x ) = x 3x + + 2x + C Ⓑ F ( x ) = x4 + 3x + x + C Ⓓ F ( x ) = x4 x2 + + 2x + C Câu 18: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = e x (3 + e− x ) Ⓐ F ( x) = 3e x − +C ex Ⓒ F ( x) = 3e x + e x ln e x + C Ⓑ F ( x) = 3e x − x + C Ⓓ F ( x) = 3e x + x + C Câu 19: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x + cos x x +1 e + sin x + C x +1 Ⓐ e x − sin x + C Ⓑ Ⓒ xex−1 − sin x + C Ⓓ e x + sin x + C St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 20: Nguyên hàm hàm số f x x2 Ⓐ F x x2 Ⓒ F x 3x ln 3x x 3x C C Ⓑ F x Ⓓ F x x2 3x ln C 3x.ln C BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.D 13.C 14.A 15.C 16.A 17.C 18.D 19.D 20.A  Dạng ②: Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa -Phương pháp: Xác định nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm cho Thế điều kiện tìm số C  Kết luận cho tốn A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có f ' ( x ) = Ⓐ ln 1 với x  f (1) = Khi giá trị f ( 5) 2x −1 Ⓑ ln Ⓒ ln + Ⓓ ln + PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Ta có:  Casio  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C nên 1 d ( x − 1) f ( x) =  dx =  = ln x − + C 2x −1 2x −1 Mặt khác theo đề ta có: f (1) = 1  ln 2.1 − + C =  C = nên f ( x ) = ln x − + 2 b  f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) a b  • F ( b ) = F ( a ) +  f ( x )dx; a b • F ( a ) = F ( b ) −  f ( x )dx a 1 Do f ( ) = ln 2.5 − + = ln + = ln + 2 St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 2: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x thoả mãn F ( ) = Ta có F ( x ) Ⓐ x + 2x − ln Ⓑ x + − 2x ln Ⓒ.1 + ( x − 1) ln Ⓓ x2 + 2x − PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A  Casio: Thử đáp án 2x + C Do ln 20 +C =  C = − Theo giả thiết F ( ) =  + ln ln 2x 2x −1 − = x2 + Vậy F ( x ) = x + ln ln ln  Ta có:  ( x + x ) dx = x + Câu 3: Tìm nguyên hàm F x hàm số f x Ⓐ F ( x) cos( Ⓒ F ( x) cos( x) 2 x) sin  x thỏa mãn F Ⓓ F ( x) cos( x) PP nhanh trắc nghiệm  Casio: Thử đáp án sin   F x cos( x) Chọn B  Ⓑ F ( x) Lời giải  F   Vậy F ( x) 2 x dx C cos( x) cos  x C C 2 B - Bài tập rèn luyện: Câu Câu Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x3 − x + thỏa mãn F (1) = Ⓐ F ( x) = x − x + 5x − Ⓑ F ( x) = x4 − x2 + 5x + Ⓒ Ⓓ F ( x) = x − x + x + Hàm số f ( x ) = −5 x + x − có nguyên hàm F ( x ) thỏa F ( 3) = Tính F ( −3) Ⓐ F ( −3) = 226 Câu F ( x) = x − x − x + Ⓑ F ( −3) = −225 Ⓒ F ( −3) = 451 F ( −3) = 225 Ⓓ     Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x F   = Tính P = F   4 6 St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ P = Câu Ⓑ Ⓒ P = P =0 Ⓒ Câu F ( x ) = + cos x + 2sin x Ⓑ F ( x ) = x − cos x + 2sin x Ⓓ F ( x ) = x − cos x + 2sin x + Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x +   thỏa mãn F   = cos x 4 Ⓐ F ( x ) = − cos x + tan x + C Ⓑ F ( x ) = − cos x + tan x − + Ⓒ F ( x ) = cos x + tan x + − Ⓓ F ( x ) = − cos x + tan x + − 1 Biết F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = e2 x thỏa F (0) =  Giá trị F   2 Ⓐ Câu P= Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + sin x + 2cos x thỏa mãn F ( ) = Ⓐ F ( x ) = x + cos x + 2sin x − Câu Ⓓ e+2 Ⓑ e +1 Ⓒ 1 e+ 2 Ⓓ 2e + Kí hiệu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) F (1) = 28  Khẳng định 15 sau đúng? Ⓐ F ( x ) = x5 x3 + + x Ⓑ F ( x ) = x5 x3 + x + Ⓓ F ( x ) = + Ⓒ F ( x ) = x ( x + 1) Câu Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ F ( 3) =  Câu Ⓑ F ( 3) =  Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = Ⓐ F ( x ) = 2 x − Ⓒ x5 x3 + + x + C F ( x ) = 2x −1 + F ( ) = Tính F ( 3) x −1 Ⓒ F ( 3) = ln − Ⓓ F ( 3) = ln + thỏa mãn F ( 5) = 2x −1 Ⓑ F ( x ) = 2x −1 + Ⓓ F ( x ) = x − − 10 Câu 10 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) thỏa F ( ) = Tính giá trị biểu thức T = log 3F (1) − F ( )  Ⓐ T = Ⓑ T = Ⓒ T = 10 Ⓓ T = −4 BẢNG ĐÁP ÁN St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.B 10.A  Dạng ③: Phương pháp đổi biến số có đạo hàm liên tục trên -Định lí: Cho hàm số xác định liên tục cho Khi hàm số hàm số nguyên hàm , tức là: -Phương pháp: Từ ta có hai cách đổi biến số việc tính nguyên hàm sau:  Đặt biến số: đưa việc tính nguyên hàm  Suy ra: đơn giản  A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tìm họ nguyên hàm  cos x sin x dx ta kết Ⓐ − cos2 x + C Ⓑ cos3 x + C 3 Ⓒ − cos3 x + C Chọn C  cos  Casio: xét hiệu x sin x dx = −  cos x d ( cos x ) = − cos3 x + C Câu 2: Nguyên hàm x x Ⓐ − sin + C cos dx x x Ⓑ sin + C Lời giải Chọn A x Ⓒ −2sin + C x Ⓓ 2sin + C PP nhanh trắc nghiệm  Casio: xét hiệu 1 1 cos dx = −  cos d   = − sin + C x x x x dx Câu 3: Tính nguyên hàm I =  x ln x +  Ta có sin x + C PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Ⓓ x Ⓐ I = Ⓒ I = (ln x + 1)3 + C (ln x + 1) + C St-bs: Duong Hung Ⓑ I = ln x + + C Ⓓ I = ln x + + C 10 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ 3,14 Câu 10 Ⓑ 13 Ⓒ Ⓓ 8 Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = −1 x = , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( −1  x  1) tam giác vng cân có cạnh huyền − x Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 9.B Hướng dẫn giải Lời giải Câu Chọn C Ta có diện tích thiết diện S ( x ) = x − x 3 0 Vậy thể tích phần vật thể  là: V =  S ( x )dx =  x − xdx = 12 Câu Lời giải Chọn B x2 ( − x ) Diện tích thiết diện: S  = 2 x2 ( − x ) 32 4 3 dx =  V =  x ( − x ) dx = x ( − x ) dx =  x − x  =   3 0 4 2 Câu Lời giải Chọn C Tại vị trí có hồnh độ x ( −1  x  1) tam giác thiết diện có cạnh − x ( Do tam giác thiết diện có diện tích S ( x ) = − x = (1 − x ) Vậy thể tích V vật thể  −1 (1 − x ) dx = ) 4 Câu Lời giải Chọn C St-bs: Duong Hung 80 10.B Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung      Thể tích vật thể B V =  x cos xdx = x sin x −  sin xdx = x sin x 03 + cos x 03 = 0 3 − Câu Lời giải Chọn D ( sin x Diện tích tam giác S ( x ) =   0 ) = sin x Vậy thể tích V =  S ( x ) dx =  sin xdx = Câu Chọn C Lời giải 1 0 Ta có: V =  S ( x)dx =   x ( e x − 1)  dx =  x ( e x − 1) dx   u = x du = dx  Đặt:  x x dv = ( e − 1) dx v = e − x  x2  1 Do đó: V = x ( e − x ) −  ( e − x )dx = e − −  e x −  = e − − e + + = 0 2  x 1 x Câu Chọn B Lời giải    (1 + sin x ) cosxdx Ta tích vật thể V cần tính là: V =  S ( x ) dx = −  2 − Đặt t = sinx  dt = cosx dx Đổi cận: x = −   t = −1; x =   t = 1  t3   V =  (1 + t ) dt =  t +  =  −1  −1 Câu 10 Chọn B Lời giải St-bs: Duong Hung 81 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  − x4 Ta có diện tích thiết diện cho bằng: S ( x ) =     = (1 − x )    − x4 Ta có diện tích thiết diện cho bằng: S ( x ) =     = (1 − x )    Thể tích vật thể cần tìm là: V =  S ( x ) dx = −1  (1 − x ) dx = −1  Dạng ②: Bài tốn Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox  Phương pháp:  Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền quay quanh trục giới hạn ;  Phương pháp giải: áp dụng công thức: A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn a ;b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b (a  b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành tính theo cơng thức b b b b a a a a Ⓐ V =   f ( x)dx Ⓑ V =   f ( x)dx Ⓒ V =   f ( x)dx Ⓓ V = 2  f ( x)dx PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn B  Công thức b  x  [a; b] ta có V =   f ( x)dx a Câu 2: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2ln x, y = 0, x = 1, x = e Ⓐ  Ⓑ e − St-bs: Duong Hung Ⓒ  ( e − ) Ⓓ 4 ( e − ) 82 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio e  Có V = 4  ln xdx = 4 I 1  u = ln x du = ln x dx   Đặt  x d v = d x  v = x e  Suy I = x ln x − 2 ln xdx = e − 2I' e 1  u = ln x du = dx   Đặt  x dv = dx v = x  e  Suy I' = x ln x −  dx = e − e + = e  Suy I = e −  Vậy V = 4 ( e − ) Câu 3: Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường: y = sin x ; Ox ; x = ; x =  Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích Ⓐ 2 Ⓑ  Ⓒ  Ⓓ  PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A  Thể tích khối trịn xoay  V =   sin x.dx =    (1 − cos2 x ).dx =   x − sin x =  0 2 2   B - Bài tập rèn luyện: Câu Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường y = x ln x, trục Ox, x = 1, x = e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox Ⓐ  ( e2 + 1)  ( e − 1) Ⓑ St-bs: Duong Hung Ⓒ  ( e + 1) Ⓓ  ( e2 − 1) 83 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn y x quay xung quanh trục Ox Ⓐ 2ln Câu 4 Ⓑ V = 2 Ⓓ 2ln Ⓒ V = Ⓓ V = Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + sin x , trục hoành đường thẳng x = , x =  Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hoành tích V bao nhiêu? Ⓐ V = 2 Câu Ⓒ 2 ln  Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x + , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? Ⓐ V = Câu Ⓑ 2 ln  ln x , trục Ox đường thẳng Ⓑ V = 2 ( + 1) Ⓒ V = 2 Ⓓ V = ( + 1) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 Ⓐ V =   ( x + 3) dx Ⓑ V =   ( x + 3) dx 2 2 Ⓒ V =  ( x + 3) dx Ⓓ V =  ( x2 + 3) dx Câu 6: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường thẳng y = x + 2, y = 0, x = 1, x = Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 2 Ⓐ V =   ( x + ) dx Ⓑ V =  ( x + ) dx Ⓒ V =   ( x + ) dx Ⓓ V =  ( x + ) dx 2 1 Câu 7: 2 1 Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) , xung quanh trục Ox b Ⓐ V =   f ( x )dx a Câu 8: b Ⓑ V =  f ( x )dx a b b a a Ⓒ V =   f ( x )dx Ⓓ V =  f ( x ) dx Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox Ⓐ Câu 9: V = − 2e Ⓑ V = ( − 2e )  Ⓒ V = e2 − Ⓓ V = ( e2 − )  Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 3x − x , y = 16 16 81 16 Ⓐ Ⓑ  Ⓒ  Ⓓ 15 15 10 15 St-bs: Duong Hung 84 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 10: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , y = 0, x = 4    Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 7 Câu 11: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số xy = 9, y = 0, x = 1, x = Ⓐ 54 Ⓑ 6 Ⓒ 12 Ⓓ Câu 12: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos ( x ) , y = 0, x = 0, x =  ( + )  ( sin + )  sin +  +2 Ⓓ 8 Câu 13: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hồnh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos2 x, y = 0, x = 0, x =  Ⓐ Ⓑ 3 Ⓑ 2 Ⓐ 1.D 2.C A 11.A 12.B 13.C B Ⓒ  3 Ⓒ BẢNG ĐÁP ÁN A A 7.A Ⓓ 8.D 9.C 10.D  Dạng ③: Bài tốn Thể tích vật thể trịn xoay quanh trục Ox  Phương pháp:  Tính thể tích vật thể trịn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: trục ; quay quanh  Phương pháp giải: ① Giải phương trình: có nghiệm ② Khi thể tích cần tìm : ③ Casio: A - Bài tập minh họa: St-bs: Duong Hung 85 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 1: Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = x quay quanh trục Ox 2 Ⓑ   ( x2 − x ) dx Ⓐ   4x dx −   x dx 0 2 Ⓓ   ( x − x ) dx Ⓒ   4x dx +   x dx 0 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B  Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) d x = x2 = x   x = 2 ( ) 2 Thể tích khối tròn xoay   ( 2x ) − x  dx   2 0 =   4x 2dx −   x 4dx Câu 2: Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x − x , y = − x quanh quanh trục hoành là: Ⓐ 421  15 Ⓑ 27 Ⓒ 125  Ⓓ 30 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B  Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x = −1  x2 − 2x = − x2  2x2 − 2x − =   x =  Do quay quanh trục hồnh khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x , trục hoành, x = 0; x = nằm khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x , trục hoành, x = 0; x =  Vậy thể tích cần tính bằng:   2 2 V =    − x dx −   x − x dx  +   − x −1  −1  203 38 256 421 = − + =  15 15 15 15 ( ) ( ) ( )  Chú ý phần dễ thiếu phần V1 =   ( − x ) dx 2 dx B - Bài tập tham khảo rèn luyện: St-bs: Duong Hung 86 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Cho hình phẳng hình (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức nào? Câu 1: b Ⓐ V =   f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx a b Ⓑ V =    f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx a b Ⓒ V =    f 22 ( x ) − f12 ( x ) dx a b Ⓓ V =    f1 ( x ) − f ( x ) dx a Lời giải Chọn B Do f1 ( x )  f ( x ) x  ( a; b ) nên Chọn B Câu 2: Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = x quay xung quanh trục Ox Ⓐ   ( x2 − x ) dx 2 0 2 Ⓑ   x 2dx −   x 4dx Ⓓ   ( x − x ) dx Ⓒ   x 2dx +   x 4dx Lời giải Chọn A x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x =   x = 2 Vậy thể tích khối trịn xoay tính: V =   ( x − x ) dx Cho hình ( H ) giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol Câu 3: đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A ( 2; ) , hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox Ⓐ Ⓒ 16 15 2 32 22 Ⓓ Ⓑ Lời giải Chọn A Parabol có đỉnh gốc tọa độ hình vẽ qua A ( 2; ) nên có phương trình y = x Tiếp tuyến Parabol A ( 2; ) có phương trình y = ( x − ) + = x − Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V =   ( x (x ) 2 x dx = 32 ; = ) 2 dx −   ( x − ) dx 2  x3  16 1 ( x − ) dx = 161 ( x − x + 1) dx = 16  − x + x  = 2 St-bs: Duong Hung 87 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Vậy V =   ( x ) 2  32 16  16 dx −   ( x − ) dx =   −  =   15 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm 1− x số y = x, y = , y = (phần tơ đậm màu đen hình vẽ bên) x Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành 5 Ⓐ V =   − 2ln  Ⓑ V =   + 2ln  3 3   2 Ⓒ V =   ln −  Ⓓ V =   ln +  3 3   Lời giải Chọn A 1− x Phương trình hồnh độ giao điểm y = x y = là: x x   x  1− x   2x =  x=    x = x 2 2 x + x − =    x = −1 x  Phương trình hồnh độ giao điểm y = x y = là: x =    x = 2 x + x − = 1− x Phương trình hồnh độ giao điểm y = y = là: x x  x  1− x   x = =0  x x = 1 − x = Câu 4: 1 x3  1− x    1  d x =  +  − 1 dx =  +    − + 1 dx  V =   x dx +       x   1 x  1 x 1 x 2 2 2 Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y = x − , y = x − , x = , x = quanh trục Ox 32π 32π 32π 22π Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 15 5 Lời giải Chọn A Câu 5: 2 Ta có V1 = π  ( x − ) dx = 256 32 π , V2 = π  ( x − ) dx = π 15 0 32π Vậy thể tích cần tìm V = V1 − V2 = Câu 6: 2 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x , y = x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng: 32 Ⓐ 15 Ⓑ 64 15 St-bs: Duong Hung 88 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓒ 21 15 Ⓓ 16 15 Lời giải Chọn B x = Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − x =   x =  y = x2   y = 2x Khi quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay giới hạn  x =   x = 2 64 Do thể tích khối trịn xoay là: V =   ( x ) − ( x ) dx = 15 Tính thể tích V vật trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) giới hạn đường Câu 7: y = x ; y = x quanh trục Ox 9 3 Ⓐ V = Ⓑ V = 10 10 Ⓒ V =  10 Ⓓ V = 7 10 Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm x = x  x4 − x =  x ( x − 1) ( x + x + 1) =  x = x = Khi đó: Thể tích khối trịn xoay sinh hình ( H ) V = ( x ) dx −   ( x ) dx = 310 2 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = e x −1 , trục tọa độ phần đường thẳng y = − x với x  Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành Câu 8: e2 − Ⓐ V = + 2e Ⓑ V =  ( 5e2 − 3) 6e2 Ⓒ V = + e −1  e Ⓓ V = + e2 − 2e Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong y = e x −1 đường thẳng y = − x : e x−1 = − x  x = (Vì y = e x −1 hàm đồng biến nên phương trình có tối đa y = − x hàm nghịch biến tập xác định nghiệm Mặt khác x = thỏa mãn pt nên nghiệm pt đó) Đường thẳng y = − x cắt trục hoành x = V =   (e ) x −1 2 dx +   ( − x ) dx  ( 5e − 1)  x3  +   − 2x +  = 6e  1 = e x−2 Câu 9: Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị y = x − x + y = − x − x + Ⓐ  Ⓑ  −1 St-bs: Duong Hung Ⓒ 3 Ⓓ 2 89 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Lời giải Chọn C x = Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 − x + = − x − x +  x − x =   x = Thể tích vật thể trịn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị 1 V =   ( x − x − ) − ( − x − x + ) dx =   −12 x3 + 36 x − 24 x dx 2 2 0 =  ( −12 x ( + 36 x − 24 x ) dx =  −3x3 + 12 x3 − 12 x ) = 3 Câu 10: Gọi ( H ) hình giới hạn nhánh parabol y = x (với x  ), đường thẳng y = − x + trục hoành Thể tích khối trịn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox Ⓐ V = 52 15 Ⓑ V = 17 Ⓒ V = 51 17 Ⓓ V = 53 17 Lời giải Chọn A x = Phương trình hoành độ giao điểm: x = − x +   x = −  Thể tích khối trịn xoay tạo ( H ) : V =   ( − x + 3) dx +   x 4dx = 52  15 Câu 11: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x + y − = ; y = x ; y = quay quanh trục Ox 6 2 5 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 6 Lời giải Chọn D Hình phẳng cho chia làm phần sau: Phần : Hình phẳng giới hạn đường y = x ; y = ; x = ; x = Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích V1 =   x dx =  x2 =  Phần : Hình phẳng giới hạn đường y = − x ; y = ; x = ; x = Khi quay trục Ox phần ta khối trịn xoay tích V2 =   ( − x ) ( x − 2) dx =  2 =  Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V = V1 + V2 = 5 Câu 12: Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường x = y , y = − x + x = quay quanh trục Ox có giá trị kết sau đây? Ⓐ V =  Ⓑ V =  Ⓒ V = 32  15 Ⓓ V = 11  Lời giải Chọn C St-bs: Duong Hung 90 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung x = y  y = x2 ( x  0)   Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đường:  y = − x +   y = − x + x = x =    x = ( nhận ) Phương trình hồnh độ giao điểm: x = − x +  x2 + x − =    x = −2 ( loại ) Thể tích vật trịn xoay sinh hình ( H ) quay quanh trục Ox là: ( )  V =   ( − x + ) − ( x ) dx =   ( x − x + − x ) dx = 2 32  (đvtt) 15 Câu 13: Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung tròn có phương trình y = − x (− )  x  trục hoành (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox Ⓐ V = 8 − 2 Ⓑ V = 8 + 22 Ⓒ V = 8 − 22 Ⓓ V = 4 + 22 Lời giải Chọn D Cách Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích V =  = 8 Thể tích nửa khối cầu V1 = 4 ( ) x  x = − x2    x = x + x − = Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung Xét phương trình: trịn có phương trình y = − x , hai đường thẳng x = 0, x = quanh Ox V2 =   ( − x − x ) dx = 22 22 Cách Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu tích V1 =  = 8 x   Xét phương trình: x = − x    x = x + x − = Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = V1 + V2 = 4 + ( ) Thể tích khối trịn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung trịn có phương trình y = − x đường thẳng y = quanh Ox V2 =   xdx +  = 2 +  ( − x ) dx 2 12 − 28 22  = 4 − 3 St-bs: Duong Hung 91 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 22   22 Vậy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = V1 − V2 = 8 −  4 −  = 6 + 3   Câu 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường y = , y = x , y = x − Ⓐ 8 Ⓑ 16 3 Ⓒ 10 Ⓓ 8 Lời giải Chọn B 0 = x  x =  Ta có: 0 = x −  x =   x = x−2 x = Dựa vào hoành độ giao điểm ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần Phần thứ giới hạn y = x , y = x = 0; x = Phần thứ hai giới hạn y = x , y = x − x = 2; x = Thể tích vật thể bằng: V = ( ) x 4 ( ) dx +   ( x − ) − x dx =   xdx +   x − ( x − ) dx 2 2  x ( x − )3  x2 16 = +  −  =   3  2 Câu 15: Cho ( H ) hình phẳng giới hạn parabol y = x đường tròn x + y = (phần tơ đậm hình bên) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành Ⓐ V = 44 Ⓒ 15 5 V = Ⓑ V = 22  15 Ⓓ V = Lời giải Chọn A  x2 = x = Với y = x thay vào phương trình đường trịn ta x + x =    x = − x = −    y = − − x2 Hơn x + y =    y = − x  y = − x2   x = −1 Thể tích cần tìm thể tích vật thể trịn xoay ( H1 ) :  quay quanh Ox bỏ phần thể x =  Ox   y = x2   x = −1 tích ( H ) :  quay quanh Ox x =  Ox St-bs: Duong Hung 92 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 1 Do V =     −1 ( − x2 )  44 dx −  ( x ) dx  = −1  15 Câu 16: Cho hình phẳng ( H ) (phần gạch chéo hình vẽ) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục hoành Ⓐ V = 8 Ⓑ V = 10 8 Ⓒ V = Ⓓ V = 16 Lời giải Chọn D Gọi hình phẳng giới hạn đường x = , x = , f ( x ) = x trục hoành ( D2 ) hình phẳng giới hạn đường x = , x = , g ( x ) = x − trục hồnh Kí hiệu V1 , V2 tương ứng thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( D1 ) , ( D2 ) quanh trục hoành 4 4 Khi đó, V = V1 − V2 =   f ( x ) dx −   g ( x ) dx =   xdx −   ( x − ) dx = 8 − 0 2 8 16 = 3 Câu 17: Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn ( C ) : x + ( y − 3) = xung quanh trục hoành Ⓐ 6 Ⓑ 6 Ⓒ 3 Ⓓ 6 Lời giải Chọn A ( C ) : x + ( y − 3) =  ( y − 3) = − x 2  y − = − x2  y = + − x2    y − = − − x  y = − − x Thể tích V khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn ( C ) : x + ( y − 3) ( = xung quanh trục hoành V =   + 1− x −1 ) dx −   (3 − 2 −1 St-bs: Duong Hung ) dx =  6 = 6 1− x 2 93 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung 94 ... Nhận xét: Tích phân hàm số từ a đến b kí hiệu hay Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số  Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm hàm số thường gặp A - Bài tập... ②: Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa -Phương pháp: Xác định nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm cho Thế điều kiện tìm số C  Kết luận cho toán A - Bài tập... biến số có đạo hàm liên tục trên ? ?-? ?ịnh lí: Cho hàm số xác định liên tục cho Khi hàm số hàm số nguyên hàm , tức là: -Phương pháp: Từ ta có hai cách đổi biến số việc tính nguyên hàm sau:  Đặt