CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN docx

www.laisac.page.tl  Chuyên Đề:  N  U  Ê  H  M V  T  C  P    NG  Y  N HÀ  VÀ  TÍ  H  PH  N  GUYÊ À ÍC H TS. Lê Thống Nhất A. MỘT SỐ BÍ QUYẾT TÌM NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN  Rất nhiều bạn khá khó khăn khi tìm ngun hàm và tích phân mà ngun nhân chính là  thường khơng biết sử dụng phép biến đổi vi phân. Các bạn hãy đọc bài viết này và tự rèn luyện  theo hướng dẫn, chắc chắn các bạn sẽ thấy: tìm ngun hàm và tích phân thật là khơng đáng  ngại.  Định nghĩa: Vi phân của hàm số y = f(x) là biểu thức f’(x). d(x). Nếu ký hiệu dy hay d[f(x)] là vi  phân của y hay f(x) thì dy = f’(x) .dx hay d[f(x)] =  f’(x) . dx.  Chú ý: Nhiều bạn hiểu sai là: để tính vi phân f(x), ta tính f’(x) và viết thêm dx, sẽ có f’(x) dx.  Thực ra khơng phải là “viết thêm” mà là “nhân với”, nghĩa là f’(x) nhân với d(x), viết f’(x) . dx.  Các vi phân cơ bản:  1) d ( u a+1 ) = ( a + 1)  a du u 2) d (sin u) =  cos u . du  3) d (cos u) = ­ sin u du  4) d (tg u) =  du  sin 2  u u  u  6) d (e  ) = e   du  5) d (cotg u) =  -  7) d (ln u  ) =  du  ;  u  d(ln u) =  du    u  8) d ( au + bv ) = adu + b  dv 9) d ( u + c) = du   với c là hằng số.  Các phép biến đổi vi phân cơ bản:  ỉ u a+1  1)  u du = dỗ ữ ố a + ứ 2)cosu.du=d(sinu) 3)sinu.du=d(ưcosu) 4) a 5)  du  = d(-  cotgu)  sin 2  u 7)  du  = d(ln | u |)  u du  cos 2  u  du  = d(tgu)  cos 2  u u  u  6) e  du = d(e  )  Các thí dụ luyện phép biến đổi vi phân.  Thí dụ 1: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?  5  2. (x + 2)   dx  1.  x dx  4  3. cosx . sin  x . dx  Giải:  ỉ 1 +1  ỉ 2x ỉ 2x3 2 ỗ x ữ ỗ ữ = dỗ 1. x dx = x dx = d ç =d + C ÷ 1  ÷ ç ÷ ç ữ ỗ + 1ữ ố ứ ố ứ ố2 ø  1  2  6  é ( x + )6 ù é ( x + 2 )  ù 5  5  2. (x + 2)   dx = ( x + 2)  d(x +2) = d ê + C  ú =dê ú ú ê ê ú ë û ë û  é sin x ù é sin 5  x  ù 3. cosx . sin  x . dx = sin  x . d(sin x) =  d ê ú = d ê + C  ú ë û ë û  4  4  Thí dụ 2: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?  ỉ x + 1 ư ÷ dx  x ø  è 2  2. (2x + 1) (x  + x + 1) . dx  ỉ cosx ­ sinx  ÷ dx  è sinx + cosx ứ 4. 1. ỗ 3. ỗ x dx x + 1 Giải:  1  - 1  ỉ x + 1ử ổ ổ dx = ỗ x + dx = ỗ x + x ữ dx ữ ÷ x ø  è x ø  è è ø 1.  ç ỉ 3  1  2  ç 2x  ÷ + d ỉ 2x 2  =  x dx + x dx = d ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ø  2 ỉ 3  1  2  ç 2x  + 2x 2  + C ÷ =  d ç ÷ è ø  2  2. (2x + 1) (x  + x + 1) . dx  2  2  = (x  + x + 1).d (x  + x + 1)  é ( x 2  + x + 1  2  ù )  ú = d ê ê ú ë û  é ( x 2  + x + 1  2  )  + C ù = dê ú ê ú ë û  2  Lưu ý: d (x  + x + 1) = (2x +1) . dx 2  )  = d éln(x + 1) ù = d é 1 ln(x 2  + 1) + C ù x.dx d ( x + 1  = û ê2 ú x + x 2  + ë ë û  1  2  2  2  Lưu ý: d(x  + 1) = 2x . dx hay x . dx =  d(x  + 1)  Thí dụ 3: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?  1.  x.dx  (x + 1)3  2.  dx  x - 3x + 2 2  Giải:  1.  x.dx  (x + 1)3  = ( x + - 1) d ( x + 1  ) ( x + 1)  3  ­2  ­3  = (x + 1)   d(x + 1) – (x + 1)   d(x + 1)  é ( x + 1) -1 ù é ( x + 1  -2  ù )  = dê ú - d ê ú ê -1 ú ê -2 ú ë û ë û  é ù 1  + C ú 2  ê ( x + 1)  x + 1  ú ë û  = dê 2.  dx  x 2  - 3x + 2 1  ỉ ÷ dx  è x - x - ø  = ỗ = dx dx x - x -1 =  2(x - 2) 2(x - 1)  x-2 x - 1 = d [ ln | x - | - ln | x - 1|]  é =  d ê ln ë x - 2  ù + C  ú x -1 û  d ( ln x ) dx  = = d [ ln(ln x) + C  ]  x.ln x ln x Thí dụ 4: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?  1. cos x . cos3x . dx  5  2. sin  x .dx  Giải:  1.  cos x . cos3x . dx = 1  ( cos4x+cos2x ) .dx  3.  dx  x.ln x  = 1  [cos4x.dx +cos2x.dx ]  2  é1 1  ù =  ê cos4x.d(4x) + cos2x.d(2x)  ú ë4 û  é1 1  ù =  ê (sin4x) + d(sin 2x)  ú ë4 û  é1 ë8 1  ù û  =  d ê sin 4x + sin 2x + C  ú Lưu ý: Các cơng thức biến đổi tích thành tổng khi gặp tích các hàm số lượng giác.  5  4  4  2. sin  x . dx  = sin  x . sin x . dx = ­ sin  x . d(cosx)  2  2  = ­(1 – cos  x)   d(cosx)  2  4  = [ ­1 + 2cos  x – cos  x] .d(cosx)  2  4  = ­d (cosx) + 2cos  x .d(cosx) – cos  x . d(cosx)  é ë 1  ù û  =  d ê -cosx + cos3 x­ cos 5 x +C  ú Thí dụ dưới đây sẽ sử dụng nhiều sau này:  Thí dụ 5:  Tính.  1.  d é ln ë é x 2  + k + x ù û  2.  d ê ln  ë x - a  ù x-b ú û  Giải:  1.  d é ln ë d x + k + xù û  2  = =  =  Lưu ý:  dx  x 2  + k ( )  x 2  + k + x  x 2  + k + x é x  ù ê 2  + 1ú dx  x + k + x ë x + k û  dx  x 2  + k =  d é ln | x 2  + k + x |ự ỷ ổ x - aử dỗ ữ é x-a ù è x - b ø = x - b a - b dx = (a - b).dx  2.  d ê ln ú = x - a  x - a (x - b)2  (x - a)(x - b)  ë x-b û x-b Lưu ý: Nếu  a ¹ b thì  dx é x - a  ù = d êln  (x - a)(x - b) a - b ë x - b ú û  Thí dụ 6: Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?  1.  dx  x - 2x - 3 2.  2  dx  x 2  + 2x + 3 Giải.  1.  dx  dx  =  x - 2x - 3 (x + 1)(x - 3) = = 1ổ 1 ỗ ữ dx è x - x + ø  )  é d ( x - 3  2(x + 1) ù ê x - - x +1 ú 4ë û  é x - 3 ù ë û  =  d ê ln  x +1 ú é1 ë4 =  d ê ln 2.  dx  x 2  + 2x + 3 x - 3  ù + C  ú x +1 û  dx  = 2  ( x + 1)  = + 2 d ( x + 2 )  (x + 1)2  + 2 = d é ln ê ë ( x + 1)  + + (x + 1) + C ù ú 2  û  Bài tập tự luyện.  Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?  2  7  7  1. (2x + 1)(x  + x + 5)  dx  2. sin x . cos  x . dx  3  2  4. sin  x . cos  x . dx  3.  ln x.dx  x  2  6. tg  x . dx  5. tgx . dx  3  7. tg  x . dx  2  8. sin  x . dx  æ x 2  - x + 1ử 10. ỗ ữ dx x ứ è 11.  dx  x x + 1 3  9. cos  x . dx  12 x 2 .dx  (x 3  2  + 1)  13.  x dx  3  x 2  + 1 dx  x - 4 17.  19.  dx  sin x + cos x 20. (1 + tgx).  e x .dx  23.  x  e + 1 dx  22.  sin 4  x  dx  cos 2  x  24.  dx  sin x  21.  dx  sin 2x  dx  sin x.cos 2  x  18.  x 2  + 4x 16.  2  15.  dx  14.  dx  cos 4  x  e x .dx  e x  + 1 x 3 .dx  25.  4  x + 1 B.TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ  Các bạn xem định nghĩa, các tính chất của ngun hàm và bảng các ngun hàm cơ bản trong  SGK. Ở đây chỉ tổng kết các phương pháp tìm ngun hàm của một hàm số.  1. Sử dụng bảng ngun hàm cơ bản  Nếu  f1 (x) ,  f 2 (x) ,  ,  f n (x)  là các hàm có ngun hàm cơ bản thì  f (x) = a1f1(x) + a2 f (x) + + a  f n (x) có ngun hàm tìm được nhờ tính chất :  n ò f (x)dx = a1 ò f1(x)dx + a2 ò f2 (x)dx + + an ò fn (x)dx Khi sử dụng tính chất này cần lưu ý cách viết :  1  aa -a = a  1  k  a = a k  ;  Thí dụ 1 : Tìm các ngun hàm  1.  x 2  + 1  dx  ; 2.  3  x (x + 1)2 dx x ị  ị  Giải :  1  ỉ - ö x 2  + 2  2  ç ÷ 1.  dx = è x + x ø dx = x 2x + C  5  x 1ư 10 4  ỉ 3  (x + 2x + 1)dx = ỗ x + 2x + x ÷dx = x + x + 3 x 3  + C  2.  x (x + 1) = x è ø 10 ị ị  ị ị ị  2.Sử dụng vi phân để tìm ngun hàm  Bảng ngun hàm cơ bản vẫn đúng nếu thay ký hiệu đối số x, bởi bất cứ ký hiệu nào khác. Kết  hợp với phép tính vi phân, các bạn có thể tìm được ngun hàm của các lớp hàm phong phú hơn.  Thí dụ 2 : Tìm ngun hàm :  x 2 dx x 2 dx  ị x 2 -   é 1ỉ 1 ứ x - ổ = ỗ1 + + C ữ ỳdx = x + ln ữdx = ờ1 + ỗ x + 1  x2 -1 è x 2  - ø ë è x - x + øû é1 1 ứ 1 1  Chú ý :  ổ d(x - 1) d(x + 1) ỗ ữ údx = x -1 x +1 ë è x - x + øû Giải :  ò ò ò ò  ò 1 x - 1  = ln x - - ln x + = ln + C  2 x + 1 Thí dụ 3 : Tìm ngun hàm : ò  1.  x 2 dx  10  ò x 6 - ; 2.  ò x(x + 2) dx Giải :  x 2dx d(x ) 1ỉ 1 x 3 - 1  = d(x 3 ) = ln + C  (x )2 - ỗ x - x + ÷ 6  x 3  + è ø ò x6 -1 ò ò  2.  x(x + 2)10 dx = [(x + 2) - 2](x + 2)10 .d(x + 2) =  ò ò  2  = [(x + 2)11 - 2(x + 2)10 ]d(x + 2) = (x + 2)12 - (x + 2)11 + C  ò  12 11 1.  = Thí dụ 4 : Tìm ngun hàm  1.  sin 2xdx  dx  ị 1 + cos2 x ; 2.  ò sin 2x Giải :  sin 2xdx d(1 + cos 2  x)  2  ò + cos2 x = - ò  + cos2 x = - ln(1 + cos x) + C  dx dx dx d(tgx) 1  2.  = = = ò sin 2x ò sin x.cos x ò tgx.cos2 x ò  tgx = 2 ln | tgx | + C  1.  Thí dụ 5 : Tìm ngun hàm  (x 2  - 1)dx  ị  x + ổ ỗ1 - 2  ÷ dx  (x - 1)dx  Giải :  = è x  ø   4  1  x + 1  x 2  + x 2  1  1  ỉ 1  Đặt  u = x + ịdu= ỗ - ữ dx v x + 2  = u 2  - 2.  Do đó :  x x è x ø  2  ò ò ò  (x 2  - 1)dx x4 +1 = du ò u2 - = 1 ö u - 2  æ ln + C  ç ÷ du = 2 èu- u+ ø 2 u + 2  ò  1  - 2  1 x 2  - 2x + 1  x  = ln + C = ln + C  2  x 2  + 2x + 1  2  x + 1  +  2  x x+ 3. Phương pháp ngun hàm từng phần  ị ị  ị  Các bạn sử dụng cơng thức  udv = uv - vdu Như vậy để tìm  f (x)dx thì phải nhìn f(x)dx là  udv. Giả sử f(x)dx =  f1 (x).f 2 (x)dx  với  f1 (x)  là đa thức thì việc lựa chọn u, dv, hồn tồn phụ  thuộc vào  f 2 (x)  Nếu  f 2 (x)  là các hàm lượng giác ngược, hàm logarit, hàm vơ tỉ thì đặt  u = f 2 (x)   Nếu  f 2 (x)  là các hàm lượng giác, hàm mũ thì đặt u =  f1 (x)  Tuy nhiên, đó chỉ là gợi ý chính,  trong từng bài cụ thể và những tình huống phức tạp hơn các bạn phải thử vận dụng theo nhiều  cách để chọn cách thích hợp.  Thí dụ 6 : Tìm ngun hàm :  1.  ị  x2 -1dx 2.  ị x(ln x)2 dx Giải : 1. Đặt  u = x 2  - Þ  du = xdx  x 2  - 1 ; dv = dx Ü v = x (chú ý chiều mũi tên này, hiện nay đang bị  viết ngược rất nhiều !). Ta có :  I =  ị 2 x - 1dx = x x - - Lưu ý : d ( I= x 2  x 2 dx ò x2 -1 = x x2 -1 - ò x 2  - 1dx - dx  ị  x2 - dx d( x 2  - + x) + ữ dx ị = , ta có  ÷ 2  x2 -1 x 2  - + x è x -1 ø æ - + x ) = ç ç 1 x x2 -1 2 x  d( x 2  - + x) ò  2  = 1  x x - - ln 2  x 2  - + x + C  x -1 + x ln xdx  1  2. Đặt  u = (ln x)2  Þ  du =  ; dv = xdx Ü  v =  x 2 . Khi đó :  x 1  I = x(ln x) dx = (x ln x) 2  - x ln xdx.  dx  1  Lại đặt u = lnx Þ  du =  ; dv = xdx Ü  v =  x 2 , ta có :  x 1 1  x ln xdx = x ln x xdx = x ln x - x 2  + C  2 1 1  2  Vậy  I = (x ln x) - x ln x + x - C .  2 ò ò  ò ò  Bài tập tương tự  Tìm các nguyên hàm của các hàm số :  1.  f (x) = 2.  f (x) = 3.  f (x) = 5  x  x 6  + 1 ;  x 2  + 1  x - 2x - x 2  + 2x + 1 sin x cos x  ;  a sin x - b cos2  x 4. f(x) =  sin( x ) ;  5.  f (x) = 6.  f (x) = 7.  f (x) =  3  x  x 2  - 4x + 3   1999  x  x 2000 - 2x1000  - 3 1  cos4  x ;    C.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN  Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây.  1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton ­ Leibnitz)  Ÿ Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là một ngun hàm của f(x)  b  ị b  f (x)dx = F(x) a  = F(b) - F(a) a  Ÿ Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định  lý. Nhiều bạn cứ tưởng có được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :  3  p 4  dx  ị cos2 x I= 3  p 4  = tgx 0  = -1  (?)  0  Lưu ý :  f (x) =  1  p é 3  ù p không xác định tại  x = Ỵ ê0;  ú nên I khơng tồn tại.  ë û  cos x 2  7  3  Thí dụ 1 : Tính  I = (x + 1)dx  ị 3 3x + (Đề ĐH Ngoại ngữ HN ­ 1999)  0  Giải :  7  3  ò ò  0  1  [(3x + 1) + 2]dx 1  I= = [(3x + 1) + 2(3x + 1) 3 ]d(3x + 1)  3 3x + 9  7  2 ù é ê3 3  46  = (3x + 1) + 3(3x + 1) 3 ú = ê5 ú 0  15 9ë û  1  Thí dụ 2 : Tính  I = dx  ị (x + 3x + 2)2  (Đề ĐH Ngoại thương HN ­ 1999)  0  Giải :  I= ò ù é ê x + - x + ú dx = ë û 1 dx ò (x + 1) ò + 0 1  dx 1  ù é -2 ê dx  ë x + x + 2 ú û (x + 2) 2  ò  0  é x + ù 1  3  = ê -(x + 1)-1 - (x + 2)-1 - 2ln ú 0  = + 2ln 4   x + û  ë Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách cận tích phân để khử dấu trị  tuyệt đối.  3  Thí dụ 3 : Tính  I = ò x x 2  - 2x dx -1  Giải :  I = òxx - 2x dx = -1 ò x (x -1 ò ) ò ( ò 2 3  - 2x dx + x x - 2x dx + x x 2  - 2x dx -1 = òx x 2 2  3  ) ò  ( )  - 2x dx + x - x + 2x dx + x x 2  - 2x dx  2  3  ỉ x 2x ỉ x 2x ỉ x 2x =ỗ + ữ +ỗữ +ỗ ữ = ỗ ữ -1 ỗ ữ0 ỗ ữ ố ứ ố ứ è ø 2. Phương pháp biến đổi số : u(b)  b  ị ị  f (t)dt Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì  f[u(x)].u'(x)dx = a 4  dx  ị x Thí dụ 4 : Tính  I = u(a)  (Đề Học viện KTQS ­ 1999)  2  x +9 7  dt  1  1  Û  x  = Þ  dx = -  2    x t t 1  1  Đổi cận :  x = Þ  t =  ; x = 4 Þ  t  =    Giải : Đặt  t  = Do đó :  1  1  4  - dt ò I= 9t + = 1  7  d(3t) 7  1 7  = ln é (3t)2  + + 3t ù ë û 1  = ln = ln 4  (3t)2  + ò  1  4  4  7  1  x 4 dx  ị 1 + 2x  (Đề Học viện BCVT ­ 1999)  Thí dụ 5 : Tính  I = -1  Giải : Đặt t = -x Û x = -t Þ dx = -dt.  Đổi cận : x = -1 Þ t = 1 ; x = 1 Þ t = -1 ta có :  -1 ò I= ( - t) (- dt) 1+ 1  4  t dt 5  1  2  1  - I = - I  Þ  I =    -1  5  ò + 2t = ò t dt - ò + 2t  = t = t t dt -1 b  -1 -1  ị  Chú ý : ­ Để tính  f (x)dx khơng nhất thiết phải tìm ngun hàm F(x) của f(x).  a  a ­ Cách tích phân dạng  g(x)dx  ò  a x  + với a > 0 và g(x) là hàm số chẵn, đều làm như trên.  -a 1  ò  Thí dụ 6 : Tính  ln - x  dx  2+ x -1  Giải : Đặt t = ­ x thì dx = ­ dt. Với x = ­1 thì t = 1, với x = 1 thì t = ­1.Do đó :  I= ị -1 = ị -1 2- x ln dx = 2+x -1 ò 2+t ln (-dt) = 2-t -1  1  ò ln + t  dt  - t  -1  1  ỉ 2-t ỉ - tử ln ỗ ữ dt = - ln ç + t ÷dt = - I.  è 2+ t ø è ø ị  -1  Suy ra : I = 0.  Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ ln bằng 0.  + Tích phân khơng phụ thuộc ký hiệu đối số : b b b  ò f (x)dx = ò f (u)du = ò f (t)dt =    a a a  p Thí dụ 7 : Tính  x  ò 1 + s inx dx  0  Giải : Đổi biến số u =  p - x Û x = p - u  Ta có :  x = Þ u = p; x = p Þ u = 0 Mặt khác : dx = ­du p 0  ò ò (p - u ) x I= dx = + s inx 0  p = p p p 1  (-du)  + sin ( p - u )  u  ò + s inu du -ò 1 + s inu du  0  p = 2p ũổ ỗ sin ố p =p ổ uử d -I ỗ ữ uử ố 2ứ u + cos ÷ 2 ø ỉ u  p ị cos 2 ỉ u - p d ỗố - 4ữứ -I ỗ è2 ÷ 4ø u  p p Do đó : I =  = ptg ỉ - = p ỗ ữ ố2 ø  0  b  ị  Chú ý : Nếu gặp tích phân  f (x)dx mà tính mãi khơng được, các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến  a  số u = a + b ­ x. Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng.  Thí dụ 8 : Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần hồn với chu kỳ T thì với mọi a ta  có :  a +T ị T  ị  f (x)dx = f (x)dx a 0  a +T T a + T  ò f (x)dx = f (x)dx + ò ò  f (x)dx (*)  a Giải : Ta có  a T  a + T  Xét  J = ị  f (x)dx , đặt u = x ­ T Û x = u + T Þ dx = du.  T  Đổi cận : x = T Þ u = 0 ; x = a + T Þ u = a, do đó :  a a a  ị ị ị  0 0  J = f (u + T).du = f (u)du = f (x)dx   Thay vào (*) ta có đpcm.  Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của hàm số tuần hồn 2007 p ò  s inx dx Thí dụ 9 : Tính  0  Giải :  Chứng minh dễ dàng hàm số y =  s inx  là hàm số tuần hồn với chu kỳ là p Do đó :  2007 p ị p s inx dx = 2p 2007  p ò s inx dx + ò s inx dx + + ò p p ò  2006  p p ò s inx dx  0  = 2007 s inx dx = 2007 s inx.dx = - 2007cosx p = 5014  3. Sử dụng cơng thức tích phân từng phần :  b Ta có :  ò b  b  udv = u.v a  - a ò vdu a  Ngun tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp ngun hàm từng phần, chỉ  lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến :  p 2  Thí dụ 10 : Tính  I = ị sin xdx (Đề ĐH Đà Lạt ­ 1999)  0  Giải : Đặt  t = x Û  x = t 2  Þ dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 Þ t = 0 ;  x = p2  Þ t = p nên :  p p p é ù p p I = t sin tdt = -2 t.d(cos t) = -2 ê t cos t 0  - cos tdt ú =  -2 é -p - sin t 0 ù = p   ë û  ê ú ê ú 0 0  ë û ò ò ò  1  Thí dụ 11 : Tính  I =  x e x .dx ò  0  1  Giải : Xét  I n  = x n e x .dx  Đặt  u = x n Þ du = nu n -1; dv = e x dx Ü v = e x .  ị  0  Theo cơng thức tích phân từng phần ta có :  1 1  ị ị ị 0 0  1  In  = x n e x .dx = udv = uv - vdu  0  1  = x n e x 1  - n x n -1e x dx = e - nI  -1  n ò  0  với mọi n nguyên và n >1.  ò x Ta có :  I1  = x.e dx = xe x 1  1  - e x dx = e -e x  = 1 .  0 ò  0  I2 = e - 2I1 = e - 2; I3 = e - 3I2  = e - 3(e - 2) = - 2e;  I4 = e - 4I3 = e - 4(6 - 2e) = 9e - 24; I = I5 = e - 5I4  = e - 5(9e - 24) = 120 - 44e Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương tự nhau, ta làm một lần tổng qt  rồi áp dụng lần lượt cho n = 2;3;4;5.  Bài tập :  0  1.  (1 + x 2 )dx  ò x 2 - 4x + -1  p 2  2.  sin x sin 2x cos 5x dx  ò  p e x  + - 2  1  2  3.  (2x - 1)1999 e x - x  dx  ò  0  3  4.  (x + 1)dx  ò x + x 2 + ;  1  p 3  5.  (cos x + sin x)dx  ;  + sin 2x ò  p 4  1  6.  ò x dx  ;  2  (x + 1) 0  2008  p 7*.  ò  sin 2007  x.dx 0  1  8.  ln ỉ x 2  + - x dx ỗ ữ ũ -1 9. ố ứ x ò ex  + dx  -1  Bài này laisac sưu tầm trên nguồn Internet và tổng hợp lại ... Thay vào (*) ta có đpcm.  Chú ý? ?:? ?Có thể áp dụng kết quả trên để tính các? ?tích? ?phân? ?của? ?hàm? ?số tuần hồn 2007 p ò  s inx dx Thí dụ 9? ?:? ?Tính  0  Giải? ?:? ? Chứng minh dễ dàng? ?hàm? ?số y =  s inx  là? ?hàm? ?số tuần hồn với chu kỳ là... Chú ý? ?:? ?­ Để tính  f (x)dx khơng nhất thiết phải tìm ngun? ?hàm? ?F(x) của f(x).  a  a ­ Cách? ?tích? ?phân? ?dạng  g(x)dx  ò  a x  + với a > 0? ?và? ?g(x) là? ?hàm? ?số chẵn, đều làm như trên.  -a 1  ò  Thí dụ 6? ?:? ?Tính ... - I.  è 2+ t ø è ø ị  -1  Suy ra? ?:? ?I = 0.  Chú ý? ?:? ?+? ?Tích? ?phân? ?trên một miền đối xứng của một? ?hàm? ?số lẻ ln bằng 0.  +? ?Tích? ?phân? ?khơng phụ thuộc ký hiệu đối số? ?: b b b  ò f (x)dx = ò f (u)du =