ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V §1. Khái niệm đạo hàm: • Định nghĩa: . x y lim )(x 'y 0 x 0 ∆ ∆ = →∆ Trong đó ).f(x - x) f(x y ; x- x x 000 ∆+=∆=∆ • Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Bước 1: Cho x một số gia ∆x rồi tính ∆y = f(x 0 + ∆x) – f(x 0 ). Bước 2: Tìm giới hạn . x y lim 0 x ∆ ∆ →∆ • Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )). Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) có phương trình y = f ’(x 0 )(x – x 0 ) + f(x 0 ). • Ý nghĩa cơ học của đạo hàm: v(t 0 ) = s’(t 0 ). • Đạo hàm của hàm số trên một khoảng: + Hàm số f(x) gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f ’(x) tại ∀x ∈ J. + Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên J thì hàm số f ’(x) xác định bởi R J :'f (x)' f x → → gọi là đạo hàm của hàm số f(x). • Đạo hàm của vài hàm số thường gặp: . x2 1 'y x y d) 2; n N, n nx 'y xy c) 1; 'y x y b) 0; 'y c y a) 1-nn ==≥∈∀=⇒==⇒==⇒= Bài tập áp dụng: 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hạm của mỗi hàm số sau tại điểm x 0 đã chỉ ra. a) y = 3- 5x với x 0 = - 1, x 0 = 2, x 0 = 5; b) y = 3x 2 – 4x + 1 với x 0 = - 1, x 0 = 2 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x 0 (a, b, c - hằng số) a) y = ax + b ; b) y = ax 2 + bx + c ; c) y = ax 3 . 3. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x 0 ∈ TXĐ. 1 x y d) ; x-2 y c) ; 3x - 2 x 3 y b) ; x 2 y a) 2 +== + == 4. Chứng minh rằng hàm số 1 x x y + = liên tục tại x 0 = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. 5. Tìm b, c sao cho đồ thị hàm số y = x 2 + bx + c tiếp xúc với đường thẳng y = x tại điểm (1 ; 1). 6. Cho hai hàm số 2 x y và 2x 1 y 2 == . Viết phương trình tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số đó tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến trên. Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 1 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V §2. Các quy tắc tính đạo hàm (c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1 (x n )’ = nx n-1 ( ) .u'n.u u 1-n'n = 2 ' x 1 - x 1 = 2 ' u 'u - u 1 = ( ) x2 1 x ' = ( ) u2 'u u ' = ( ) ' v u' vu ' ±=± (uv)’ = u’v + uv’ (ku)’ = ku’ (k là hằng số) 2 v 'uv - v'u v u ' = 2 v 'kv - v k ' = (k là hằng số) ' x ' u ' x u.y y = Bài tập áp dụng : 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: ( ) 1 2t 1 -2t - 3t y c) );3x - 5)(2 )(3x2x - (1 y b) ;1 x - 2x - xx y a) 2 42323 + =+=+= 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: ( ) ; 2x- 1 3x - 1 y c) ;5t t 1 - t y b) ;2x - 1 y a) 7 3 100 = +== 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = f(x 2 ) ; b) y = f(a – x) + g(a + x) ; c) (x)g (x)f y 22 += 4. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x 3 – 5x 2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó a) Song song với đường thẳng y = - 3x + 1 b) Vuông góc với đường thẳng 4 -x 7 1 y = c) Đi qua điểm (0 ; 2) 5. Cho hàm số 1 x 1 x 2x y 2 + ++ = có đồ thị (C). Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 6. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 – 9x + 3 có đồ thị (C). Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến của (C) có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến đó. Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 2 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V §3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác • 1 x sinx lim 0 x = → • (sinx)’ = cosx; (sinu)’ = u’cosu • (cosx)’ = - sinx; (cosu)’ = - u’sinu • ( ) ( ) ucos 'u tanu ; xcos 1 tanx 2 ' 2 ' == • ( ) ( ) usin 'u - cotu ; xsin 1 - cotx 2 ' 2 ' == Bài tập áp dụng: 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau : a) y = xcotx ; ; 2 1 x tany c) ; sinx x x sinx y b) 2 + =+= ; x x 1 cot y g) ; x- 1sin y e) ; tanx 1 xsinx y d) 2 2 + == + = h) y = sin(sin 2 x); i) y = cos 3 (sin 2 3x); .4xcot 1 tany k) 2 −= 2. Tính đạo hàm của các hàm số f(cosx) + f(sinx) và f(cos 2 x) + f(sin 2 x) 3. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x: a) y = sin 6 x + cos 6 x + 3sin 2 xcos 2 x x 2sin - x 3 2 cos x- 3 2 cos x 3 cos x- 3 cos )b 22222 + π + π + + π + π 4. Cho biết y là hàm số của x xác định bởi phương trình : a) xy = x 2 y 3 + 1. Tính y’ x . b) 2y = 1 + xy 3 . Tính y’ x tại điểm (1 ; 1). 5. Tính các tổng sau: S 1 (x) = cosx + 2cos2x + 3cos3x + . . . + ncosnx S 2 (x) = sinx + 2sin2x + 3sin3x + . . . + nsinnx 6. Cho hàm số . 7 sin7x 5 sin5x 3 sin3x sinx f(x) +++= Chứng minh rằng . 2 1 ) 9 (' f = π 7. Tìm hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện ban đầu tại x = x 0 sau đây: a) f ’(x) = 3x 2 – 2x + 1, f(0) = 1 b) f ’(x) = cosx + sinx, f(0) = 1 c) f ’(x) = x 2 cos 1 , f(0) = -1. Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 3 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V §4. Vi phân • Vi phân của hàm số tại một điểm ứng với số gia ∆x: df(x 0 ) = f ’(x 0 )∆x. • Vi phân của hàm số: df(x) = f ’(x)∆x hay dy = y’∆x. • Ứng dụng của vi phân: f(x 0 + ∆x) ≈ f(x 0 ) + f ’(x 0 ).∆x Bài tập áp dụng: 1. Tính vi phân của mỗi hàm số sau: ( ) ( ) ( ) .1-3x y c) ;x - x1 4x x y b) ; b a x y a) 20 22 =++= + = 2. CMR: nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại điểm đã định thì d(u ± v) = du ± dv; d(uv) = udv + vdu; 0). (v v udv -vdu v u d 2 ≠= 3. Tính vi phân của các hàm số sau: . x- 1 cos2x y c) x;sin y b) x; tany a) 2 102 === . x- 1 3xcos y g) 3x;cos y e) 2x;cot y d) 2 2 102 === . x- 1 3xcos - 1 y k) ;3xcos - 1 y i) ; x- 1cot y h) 2 2 1022 === . x- 1 2 -3x - x y n) ;1 x- 2x y m) ;3x - 1 y l) 2 2 232 =+== 4. Tính gần đúng các giá trị sau: .cos61 c) ;25,01 b) ;65 a) 0 3 . tan46g) ;sin29 e) ;215 d) 00 3 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 4 . của đạo hàm: v(t 0 ) = s’(t 0 ). • Đạo hàm của hàm số trên một khoảng: + Hàm số f(x) gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f ’(x) tại ∀x ∈ J. + Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên J thì hàm. 3 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ - CHƯƠNG V §4. Vi phân • Vi phân của hàm số tại một điểm ứng với số gia ∆x: df(x 0 ) = f ’(x 0 )∆x. • Vi phân của hàm số: df(x) = f ’(x)∆x. .4xcot 1 tany k) 2 −= 2. Tính đạo hàm của các hàm số f(cosx) + f(sinx) và f(cos 2 x) + f(sin 2 x) 3. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x: a) y = sin 6 x + cos 6 x