Chuyên đề NGUYÊN hàm và TÍCH PHÂN

nội dung Nguyên hàm tích phân là một chương khó, tuy nhiên qua tài liệu này nội dung đã được tóm tắt ngắn gọn, dễ dàng tiếp cận, qua đó người học có thể hiểu và vận dụng vào giải bài tập một cách dễ dàng và hiệu quả

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I NGUYÊN HÀM Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K, F '( x ) = f ( x ) , với x  K Định lý Giả sử F( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G( x ) = F( x ) + C nguyên hàm f ( x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f ( x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f ( x) , F( x) nguyên hàm f ( x) , C số d Bảng nguyên hàm Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp u = u( x)  kdx = kx + C , k  R x    dx =  kdu = ku + C, k  R x +1 + C (  −1) 1+  u dx = ln x + C ( x  ) x dx e x x  = x +C  dx = e x + C du = u +1 + C (  −1) 1+ du = ln u + C ( x  ) u du e u u = u +C du = eu + C ax  a dx = ln a + C (0  a  1) au  a du = ln a + C (0  a  1)  cos xdx = sin x + C  cos udu = sin u + C  sin xdx = − cos x + C  sin udu = − cos u + C x u dx dx  cos2 x = tan x + C ;  sin2 x = − cot x + C du  cos2 u = tan u + C ; du  sin2 u = − cot u + C Ngồi cịn số công thức thường gặp (ax + b)k +1  (ax + b) dx = a k + + C ,(a  0, k  −1); ax +b ax + b  e dx = a e + C ;  sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C k 1  ax + b dx = a ln ax + b + C, a   cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C Một số tính chất nguyên hàm Định lý Nếu F( x ), G( x ) tương ứng nguyên hàm f ( x), g( x) a  f '( x )dx = f ( x ) + C b  [ f ( x )  g( x )]dx =  f ( x )dx   g( x )dx = F ( x )  G( x ) + C ; c  a.f(x)dx = a  f ( x )dx = aF ( x ) + C (a  0) Một số phương pháp tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u = u( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f (u) liên tục cho f [u( x )] xác định K Khi F nguyên hàm f, tức  f (u)du = F (u) + C  f [u( x )]dx=F[u(x)]+C b Phương pháp tích phân phần Một số dạng thường gặp: Dạng  P( x ).eax +b dx ,  P( x )sin(ax + b)dx ,  P( x )cos(ax + b)dx Cách giải: Đặt u = P( x ), dv = eax +b dx (hoaë c dv = sin(ax + b)dx , dv = cos(ax + b)dx ) Dạng  P( x )ln(ax + b)dx Cách giải: Đặt u = ln(ax + b), dv = P( x)dx I TÍCH PHÂN Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F( x) nguyên hàm f ( x) hiệu số F(b) − F(a) gọi tích phân f ( x) từ a đến b ký hiệu b  f ( x )dx Trong trường hợp a  b a b  f ( x )dx a tích phân f  a; b  Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x), g( x) liên tục K a, b, c ba số thuộc K a •  f ( x )dx = a b a •  f ( x )dx = −  f ( x )dx a b c b b •  f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx a b a c b •  k f ( x )dx = k  f ( x )dx a b a b b a a •  [ f ( x )  g( x )]dx =  f ( x )dx   g( x )dx a Một số phương pháp tính tích phân • Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số b u( b ) a u( a )  f [u( x)]u '( x)dx =  f (u)du Trong f ( x) hàm số liên tục u( x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm hợp f [u( x )] xác định J; a, b  J Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách Đặt ẩn phụ u = u( x) ( u hàm x) Cách Đặt ẩn phụ x = x(t) ( x hàm số t) • Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u( x ), v( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K b b a a b  u( x)v '( x)dx = u( x)v( x) a − v( x)u '( x )dx Ứng dụng tích phân • Tính diện tích hình phẳng • Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục  a; b  diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b b S =  f ( x ) dx a • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g( x) hai đường thẳng x = a, x = b b S =  f ( x ) − g( x ) dx a • Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vng góc với b trục Ox điểm a, b V =  S( x )dx Trong S(x) diện tích thiết diện a vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  a; b  S(x) hàm liên tục • Tính thể tích khối trịn xoay • Hàm số y = f ( x ) liên tục không âm  a; b  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hồnh tạo nên khối trịn xoay Thể tích V tính cơng thức b V =   f ( x )dx a • Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) , trục tung hai đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục tung tạo nên khối trịn xoay d Thể tích V tính công thức V =   g2 ( y )dy c CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần Tìm nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số + x )dx a  ( x + 2)( x − x + 4)dx b d  sin xdx e  tan4 xdx g  sin x.cos xdx k  n  x3 − x + x dx + ln x dx x h (  10 x 2x x c  sin x dx i  o  xe x dx p x dx  (1 − x )4 Phương pháp Đổi biến t =  ( x ) , rút x theo t +) Xác định vi phân: dx =  '(t)dt +) Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f ( x)dx = g(t )dt Khi I =  g(t )dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t mẫu Hàm f ( x,  ( x )) Đặt t =  ( x ) Hàm f ( x, n  ( x ), m  ( x )) Đặt t = mn  ( x ) xdx m  (1 + x )10 xdx l  sin(2 x + 1)dx Đặt t = tan  cot ( x − 1)( x + 3) Tính tích phân I =  f ( x )dx a sin x + b cos x c sin x + d cos x + e xdx f Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến Hàm f ( x ) = x dx Hàm lẻ với sinx Đặt t = cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t = s inx Hàm chẵn với sinx cosx t =tanx Phương pháp Đổi biến x =  (t ) +) Lấy vi phân dx =  '(t)dt +) Biểu thị f(x) theo t dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt Khi I =  g(t )dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn a2 − x     x =| a | sin t, −  t    x =| a | cost ,0  t   x − a2  |a|    x = sin t , −  t  ; t    x = | a | ,0  t   ; t    cost x + a2     x =| a | tan t, −  t    x =| a | cott,0  t   a+ x a−x Đặt x = a cos2t a−x a+ x Đặt x = a + (b − a)sin2 t ( x − a)(b − x) Bài Tìm nguyên hàm hàm số b 3 d  sin(7 x + 6)dx e 1+ x  xe dx 2x −1 x − x + 2012 z +5 dz c  x( x + 1)dx g  sin2012 x.cos xdx  2z a  (2 x + 1)3 dx h dx f  + e− x dx 2x  x + x + dx k l   9x2 1− x x (1 + x ) o  sin m  x 1− x dx dx n dx  cos2 (5x + 2) dx 1 p  x sin x cos x dx s  x4 − 2x2 − q x.cos xdx r sin(3 x + 1)  cos2 (3x + 1) dx u v xdx t xdx  x2 − 4x − x2  (1 − x)39 dx Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp phần Bài Tìm nguyên hàm hàm số a  xe x dx b  x cos xdx d  x ln xdx e  h  sin g x  cos x dx x ln( x + x + 1) x +1 c  ( x + 1).ln xdx dx f  e x cos xdx dx x Dạng Nguyên hàm số hàm phân thức hữu tỷ Bài Tìm nguyên hàm a d g i dx  2x +  x + 3x + dx x+3  x + 3x + dx x2 + 5x +  x3 + x − dx x2 − 4x + b  x + dx e x h k 2x − dx − 5x + dx c  (2 x − 1) f x 2 4x − dx − 3x +  4x + dx x + x +1 3x3 − 14 x + 13x + h  dx x2 − 5x +  x2 + x + dx ( x − 1)3 l Dạng Nguyên hàm số hàm số lượng giác Các toán bản: a) Nguyên hàm hàm số có dạng: xdx +3 x  f ( x) = cos ax.cos bx  f ( x) = sin ax.sin bx  f ( x) = sin ax.cos bx  f ( x) = sin ax; cos2bx Phương pháp chung: Dùng công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa tổng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm: b  s inx.cos 2 xdx a  cos3x.cos xdx c  cos3 x.sin xdx b) Nguyên hàm hàm số có dạng: f ( x) = sin n x.cosm x Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ m, n để biến đổi đặt ẩn phụ cho phù hợp Bài Tìm nguyên hàm a  (sin x + cos x)dx d dx  sin x sin x g  dx cos x b  (sin x + cos x)dx cos3 x c  dx sin x e  sin 2xdx f 5 dx  sin x h tan x  cos2 x dx Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến lượng giác Bài Tìm nguyên hàm a  a − x dx b  x − a dx c  x + a dx d  a+x dx a−x e  ( x − a)(b − x)dx f  dx ( x + a )( x + b) dx g  2 x +a l h dx  ( x + a ) ( x + b) 2 với ( a  b )  m (a + x )2 k +1 (a1 x + b1 x + c1 )dx k  ( x − d )(ax + bx + c ) 4sin x + 3cos x dx s inx + cos x n  dx  8cos xdx + sin x − cos2 x Bài Tìm nguyên hàm dx a  d cos2 x  sin x dx (1 − x )3 b  e  x2 x2 −1 dx dx ( x + 2)( x + 1) dx c  f  x+ (1 + x )3 2x x2 −1 dx g xdx  x + 1 + + x h dx s inx + cos x  Dạng Nguyên hàm số hàm số mũ lơgarit Bài Tìm ngun hàm a dx  e (3 + e x −x ) d  x.ln xdx b  x ln x dx + ln x c  ( x + 1).e x −1dx e e dx + ex − f 2x + ln x dx x  Phần Tính tích phân • Dạng Dùng định nghĩa tính chất tích phân Bài 10 Tính tích phân a  ( x − 3x + 1)dx −2 x b  ( x + )2 dx c  ( x x + 1)dx  d  x − x + dx 16 e 1 dx x+9 − x  f  tan xdx  g  − ( − 4sin x + cos x)dx cos2 x 2 x2 + x + 0 x + dx h i  − cos2 xdx    x x k  (sin − cos4 )dx 2 cos x + s inx.cos x l  dx + s inx m   sin dx (5 x + 6) n   2  cos5x.sin3xdx −  o  s inx.cos ( x − )dx • Dạng Tính tích phân phương pháp phân tích Bài 11 Tính tích phân p ( x + 1)dx + x ln x x  1 x dx b  x +1 xdx a  ( x + 1)2 c  cos3 xdx    sin xdx e  cos x + s inx dx d  cos x f s inx − cos x +  s inx + 2cos x + dx  g  cos x.sin xdx h dx  x ( x + 1) • Dạng Tính tích phân phương pháp đổi biến Bài 12 Tính tích phân sau a  ( x − 1)25 xdx d  2x +1 x2 + x + 1 b  x5 x6 + 1dx x   dx e  ecos x s inx.cos xdx c x+2 dx + 4x + cos3 x  dx  sin x f   g  sin xdx h  − cos3 x s inx.cos5 xdx i + ln x 1 x dx e  ln k  (sin x + es inx ).cos xdx l  (3 + e x )5 e x dx  m 0 e x x dx Bài 13 Tính tích phân dx a  + x2 d  dx − x2 2 b  − x dx c + 3x dx x2 e x  f  −a dx x2 −1 a+x dx , (a  0) a−x  sin xdx g  2sin x + cos2 x h x dx x2 + Bài 14 Tính tích phân  a 2012  x sin xdx −1 cos4 x 0 sin x + cos4 x dx b 10 c cos xdx ex + −1  d   1− x  −1 x ln  + x  dx e x sin xdx 0 + cos2 x  ln( x + f x + 1)dx −1   2 sin xdx g  x +1 − h  ln(1 + t anx)dx  x.cos xdx i 0  + s inx )dx + cos x k  ln( l dx 0 e2 x + e m dx + ex 2x • Dạng Tính tích phân phương pháp tích phân phần Bài 15 Tính tích phân  b  x e2 x dx a  ( x + 1)e2 x dx  d  x ln( x − 1)dx c  (1 − x)sin 3xdx e e  e x cos xdx f  cos(ln x)dx 0  ln(1 + x) 1 x2 dx g h  cos x.ln(1 + cos x)dx • Dạng Liên kết phương pháp đổi biến số tích phân phần Bài 16 Tính tích phân  e5 a  x (e2 x + x3 + 1)dx b ln x.ln(ln x)dx 2 x e c  ( x + sin x + es inx ).cos xdx • Dạng Lập cơng thức tích phân truy hồi Bài 17 Lập cơng thức tích phân truy hồi cho tích phân sau  a I n =  sin n xdx b I n =  x n − xdx với n số nguyên dương • Dạng Ứng dụng tích phân Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số sau a y = x − x trục hoành 11 b y = x3 − 3x + đường thẳng x − y + = c y = sin x cos3 x ; y = x = 0; x =  d y = − x + x ; y = −3x e y = x ; y = x2 ;y= x f y = x − x + ; y = − x Bài 19 Tính thể tích khối trịn xoay quay quanh trục hình phẳng giới hạn a y = ln x ; trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = b y = xex , trục hoành đường thẳng x = c y = cos2 x + x sin x , y = 0, x = 0, x = d y = x2 , y = 2, y = Phần Bài tập tổng hợp Bài 20 Tính tích phân (ln x + 2013) dx 1 x e a 3x 0 ( x2 + 3)2 dx b d  s inx o + cos x dx  x5 + x dx e g    sin x cos2 x + 2sin x dx  k  (es inx + cos x) cos xdx f dx  4sin x + 3cos x +  dx 0 (s inx + 3cos x)2 h dx x4 + 1  x3  c i  cos x cos x − cos3 xdx  cos xdx sin x + 4sin x + l  x m x dx + 3x + Bài 21 Tính tích phân  e ln x a  dx x 3x x b  x.cos cos dx 2 c  x3 ln( x + 1)dx  d  x ln( x + x + 1)dx ln3 e  x.tan xdx 12 f  xe x ex + dx x3 − x − x − g  dx x2 − x − e3 h  e dx x ln x ln(ln x) ln e2 x  i ex + dx  2(2 x − 1) k  dx ( x + 2)( x + 1) e4 l   dx x sin (ln x) x2 −1 1 x4 + dx m e2  3 n  x − dx o  x3 − x − x + dx p −2 −3   sin dx x cot x Bài 22 Tính tích phân ln (e + 1) x ln e x − e− x 0 ex + e− x dx c x4 + 0 x6 + dx f e x dx  a b ln e x ln dx + 2e− x −  ln(t anx)  sin x dx 3 d e dx  x (1 + x ) ln  2(e g x h + 1) e + x x2 0 (1 + x2 )2 i 1− x dx 1− x  2x − x dx l x 0 + x8 dx m    n   k e x dx x x2 + cos x + 4sin x dx  tan x o  dx (B-08) c os x dx sin x − 2sin x 0 + sin x dx p  sin x + s inx dx + 3cos x e q (A-05)  r ln x 1 x(2 + ln x)2 dx e s   x + e x + x 2e x u  dx + 2e x t  ln( x − x)dx Bài 23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a y − y + x = 0, x + y = b y = + x − x , y = x +  3 c y = 0, y = s inx, x = , x = 2 d y = x − x + , x = 2, y = x + , y = 2− x , x = e f y = x , y = x − x , x = e y = −2 x 13 + 3ln x ln x dx x  sin( x − ) dx v  sin x + 2(1 + s inx + cos x) g y = (e + 1) x, y = (1 + e x ) x x2 x2 , y= 4 i y = x − x + , y = x + h y = − Bài 24 Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a y = x, y = x b y = x ln x, y = 0, x = e  c y = 0, y = cos x + x s in x , x = 0, x = Bài 25 Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: y = 0, y = x − x Bài 26 Tính tích phân  sin 2012 x a  2012 dx sin x + cos2012 x b  sin x c  dx + 2012x −  x sin x + ( x + 1) cos x d  dx x sin x + cos x + x sin x e  dx cos2 x cot x + cos xdx g   sin x h  − x2   x ln( x + 2) dx  4x −1 dx 2x +1 + x3 + x + x  − + x )dx −1  k  ln( x + f i  x2 + x + dx  cos2 x dx + ex ( x + 1)(1 − 2sin x) + cos2 x x cos x + cos2 x l  Bài 27 Tính tích phân  x3 a  dx x + x + 0 + ln(1 + x) dx x2 b  x(1 + sin x)dx c  Bài 28 Tính tích phân x2 −1 a  ln xdx x b  x − x dx ( x + 1)2 c  dx x +1 TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013 14  KQ:  − KQ: 27 (3 + ln ) 16 Bài 1: Tính I =  (cos3 x − 1) cos xdx - ĐHKA-2009 Bài 2: Tính I = + ln x  (x + 1) Bài 3: Tính I = e 1 Bài 4: Tính I = dx - ĐHKD-2009 −1 KQ: ln(e2+e+1) – x + e x + x 2e x 0 + 2e x dx - ĐHKA-2010 e Bài 5: Tính I = x dx - ĐHKB-2009 ln xdx  x(2 + ln x) 1  + 2e  + ln     KQ: − + ln - ĐHKB-2010 KQ: Bài 6: Tính I = I =   x −  ln xdx - ĐHKD-2010 x e   KQ:  Bài 7: Tính I =  x sin x + ( x + 1) cos x dx - ĐHKA-2011 x sin x + cos x KQ: e2 −1    + ln   + 1       + x sin x dx cos x Bài 8: Tính I =  Bài 9: Tính I =  4x −1 dx 2x +1 + - ĐHKD-2011 KQ: 34 + 10 ln KQ: −2 + ln + ln 3 KQ: ( 2ln − 3ln ) + ln( x + 1) dx - KA-2012 x2 Tính tích phân I =  Bài 11: Tính tích phân I =  x3 dx - ĐHKB-2012 x + 3x + 2 / Bài 12: Tính tích phân I = x2 − ln xdx - ĐHKA-2013 x2 KQ: ln − 2 KQ: 2 −1 Tính tích phân I =  1 Tính tích phân I =  x − x dx - ĐHKB-2013 ( x + 1) dx - ĐHKD-2013 x + 1 Bài 15: KQ: Bài 14: +  x(1 + sin 2x)dx - ĐHKD-2012 Bài 13: 2 + ln(2 − 3) KQ: Bài 10: 3+ - ĐHKB-2011 Tính tích phân I =  15 32 KQ: + ln ... khối tròn xoay d Thể tích V tính cơng thức V =   g2 ( y )dy c CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Phần Tìm ngun hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số + x )dx a ... bậc để đưa tổng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm: b  s inx.cos 2 xdx a  cos3x.cos xdx c  cos3 x.sin xdx b) Nguyên hàm hàm số có dạng: f ( x) = sin n x.cosm x Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn... tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u = u( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f (u) liên tục cho f [u( x )] xác định K Khi F nguyên hàm