Chuyên đề đạo hàm và vi phân

Chương Đạo hàm vi phân: 4/ Đạo hàm hàm ẩn: 10 Công thức Maclaurin 14 Công thức Maclaurin số hàm bản: 14 8/ Tính đạo hàm dạng: 20 Bài tập: 20 1/ Bài tập tính đạo hàm dạng: 20 2/ Bài tập tính đạo hàm hàm ẩn: 25 3/ Bài tập định lí trung bình: 26 4/ Bài tập khai triển Maclaurin 27 5/ Bài tập tính giới hạn = cơng thức Taylor: 28 6/ Bài tập tính giới hạn = qui tắc L’Hopital: 30 7/ Bài tập tính giới hạn ko dùng qui tắc L’Hopital: 33 f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) ∆y = lim ∆x → ∆x ∆x → ∆x 1/ Định nghĩa: f ' ( x o ) = lim ( u + v) ' ' =u +v y'x = y 'u u 'x ' ( u.v ) ' y'x = ' = u v + u.v ' ' '  u  u v − u.v  ÷= v v2 ' x'y Nếu hàm số f(x) có đạo hàm điểm x o liên tục điểm ấy, ngược lại không VD: hàm số y = x liên tục x = khơng có đạo hàm điểm x + ∆x − x ∆x x + ∆x − x ∆x lim = lim = ≠ lim = lim = −1 + + − − ∆x ∆x ∆x → ∆x → ∆x ∆x → ∆x → ∆x 1/ Bảng đạo hàm hàm sơ cấp bản: ( ) ' ( ) ' 1 1 / C = ( C la hang so ) / x = a.x ⇒  ÷ = − x = x x x ' ' 1 ' ' / a x = a x ln a ⇒ e x = e x / ( log a x ) = ⇒ ( ln x ) = x.ln a x ' ' ' / ( sin x ) = cos x ( cos x ) = − sin x ( tgx ) = = + tg x cos x ( cot gx ) ' = − = − + cot g x sin x −1 ' ' / ( arcsin x ) = arccos x ) = ( − x2 − x2 −1 ( arc tgx ) ' = ( arccotgx ) ' = x +1 x +1 a ' ' ( ) a −1 ( ) ( ) '   / ( sec x ) =  ÷ = sec x.tgx  cos x  ' ' / ( shx ) = chx ' '  −1  ( arccsecx ) =  arcsin  ÷÷ =  x   x x2 −1     / ( arcsecx ) =  arccos  ÷÷ =  x   x x2 −1  ' '  ( csec x ) =  ÷ = −csec x.tgx  sin x  ' ' ( chx ) ' = shx ( thx ) ' = sech x ( coth x ) ' = −csch x ( sechx ) ' = sechx.thx ( cschx ) ' = −cschx.cothx 10 / ( arg shx ) = ' ( arg chx ) ' = 1 + x2 x2 −1 e x − e− x ex + e− x Sin hyperbolic: shx = cosin hyperbolic: chx = 2 2 = x −x = x −x csc hyperbolic: cschx = sec hyperbolic: sechx = shx e − e chx e + e shx e x − e− x chx e x + e − x tang hyperbolic: thx = cotang hyperbolic: cothx = = = chx e x + e − x shx e x − e− x  e x + e− x ch x =      ex − e− x e2x + e −2x + 2 = , sh x =  ÷ ÷    ⇒ ch x = + sh x, sh x = ch x − ' Chứng minh công thức 5/ ( arcsin x ) = 1− x2  e 2x + e −2x − = ÷ ÷  π π ≤y≤ 2 Lấy đạo hàm theo x hàm hợp x = sin y ta được: 1 ' cos y.y'x = ⇒ y'x = ⇒ ( arcsin x ) = = sec ( arcsin x ) cos y cos ( arcsin x ) Cách 1: Đặt y = arcsin x ⇒ x = sin y − π π ' ≤ y ≤ ⇒ cos y ≥ ⇒ cos y = − s in y = − x ⇒ ( arcsin x ) = y 'x = 2 1− x2 1 Cach : dat y ( x ) = shx ⇒ y' ( x ) = chx ⇒ x ' ( y ) = ' = y ( x ) chx Vì − = 1 + sh x = ( arccos x ) ' = ⇒ ( arg shx ) = ' + y2 −1 1+ x2 dat y = arccos x ⇒ x = cos y 0≤y≤π 1− x Lấy đạo hàm theo x hàm hợp x = cos y ta được: −1 −1 ' − sin y.y'x = ⇒ y'x = ⇒ ( arccos x ) = = − csc ( arcsin x ) sin y sin ( arccos x ) Vì ≤ y ≤ π ⇒ sin y ≥ ⇒ sin y = − cos y = − x ⇒ ( arccos x ) = y 'x = ' dat y = arc tgx ⇒ x = tgy − ∞ ≤ y ≤ ∞ x2 +1 Lấy đạo hàm theo x hàm hợp x = tgy ta được: ( arc tgx ) ' = −1 1− x2 y'x = ⇒ y'x = cos y ⇒ ( arc tgx ) = cos ( arc tgx ) ' cos y ( arctgx ) ' = y'x = cos y = 1 = + tg y + x ' ' x2  1  − ÷ = =  x  x x2 −1 x x2 −1 1− x 1 Cm cong thuc9 : dat y ( x ) = shx ⇒ y ' ( x ) = chx ⇒ x ' ( y ) = ' = y ( x ) chx −1    Cm cong thuc : ( arcsecx ) =  arccos  ÷÷ =  x   ' = 1 + sh x = ⇒ ( arg shx ) = ' + y2 1+ x2 dat y ( x ) = chx ⇒ y' ( x ) = shx ⇒ x ' ( y ) = = = ⇒ ( arg chx ) = ' y' ( x ) = shx ch x − y2 − x −1 2/ Các trường hợp phải dùng định nghĩa tính đạo hàm:  1  x sin  ÷, x ≠ a/ f ( x ) =  Dễ thấy f(x) liên tục x o = Tại x ≠ ta có: x 0, x=0  1 1 f ' ( x ) = 2x.sin  ÷− cos  ÷ x x Vậy hỏi hàm f(x) có đạo hàm x o = ? Ta tính theo định nghĩa: f ( + ∆x ) − f ( )       f ' ( ) = lim = lim ∆x.sin  ÷ =  Vì − ≤ sin  ÷≤ 1÷ ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆ x ∆ x       Như ta thấy f ' ( ) khơng thể tính từ cơng thức f ' ( x ) cho x = or x→0 b/ Tính đạo hàm hàm y = [ x ] x với [x] phần nguyên x Giải: hàm y = [ x ] x xác định với x thuộc R Voi k ∈ Z, x ∈  k , k + 1 ⇒ y ( x ) = kx ⇒ y' = k , x ∈  k , k + 1 ( ) Khi x = k , k ∈ Z : f ' k − = lim ' ( ) = lim f k + x →k + f ( x) − f ( k) x−k x →k − f ( x) − f ( k) x−k = x.k − k = lim =k + x − k x →k k − 1) x − k − k − ( lim = = +∞ x →k − x−k 0− Vậy f ' ( k ) ( k ∈ Z ) ko tồn c/ f ( x ) = x − a g ( x ) , g(x) hàm liên tục a g ( a ) ≠ Cm f(x) ko có đạo hàm a f ( x) − f ( a) x − a g( x) − ' ± = lim = ± lim g ( x ) = ±g ( a ) Giải: f a = lim ± ± x − a x − a x →a x →a x →a ± Do g ( a ) ≠ nên f '+ ( a ) ≠ f '− ( a ) ⇒ hàm số ko có đạo hàm x = a ( ) 2/ Vi phân: định lí: hàm f(x) khả vi x o có đạo hàm x o ∆f ( x o ) ∆f ( x o ) Cm : ∃ lim = f ' ( x o ) ⇒ α = o ( ∆x ) = − f ' ( x o ) → ( ∆x → ) ∆x →0 ∆x ∆x ⇒ ∆f ( x o ) = f ' ( x o ) ∆x + o ( ∆x ) Vi phân hàm hợp, tính bất biến dạng vi phân cấp 1: Cho y = f ( x ) ⇒ dy = y'x dx ( 1) Bây có x = g ( t ) , ta có hàm hợp y = f ( g ( t ) ) Với biến độc lập t, ta có vi phân: dy = y't dt Mà y't = y'x x 't ⇒ dy = y'x x 't dt = y'x dx Như ta quay lại công thức (1) biết Điều có nghĩa là: dạng vi phân cấp không thay đổi dù x biến độc lập hay hàm số Tính chất gọi tính bất biến dạng vi phân cấp Vi phân cấp cao: để tính vi phân cấp cao, cần biết dx số không phụ thuộc x, đạo hàm (or vi phân 0) d y = d ( dy ) = d y'x dx = d y ' x dx + d ( dx ) y 'x = d y ' x dx = y ''x dx ( ) ( ) ( ) tương tự: d n y = y( n ) dx n Khác với vi phân cấp 1, công thức vi phân cấp cao khơng có tính bất biến x khơng phải biến độc lập mà hàm số Giả sử x = x ( t ) , dx số mà phụ thuộc t nên d ( dx ) = d x ≠ Khi ấy: ( ) ( ) d y = d y'x dx = d y'x dx + d ( dx ) y 'x = y ''x dx + y 'x d x Ứng dụng vi phân tính gần đúng: cho hàm số f(x) khả vi x o : f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) = f ' ( x o ) + ( ∆x ) Nếu bỏ phần vô bé cấp cao ( ∆x ) ta có cơng thức tính gần đúng: f ( x o + ∆x ) = f ( x o ) + f ' ( x o ) VD: tính gần số s in29o Giải: Xét hàm số π π y = sin x, x o = , ∆x = − 180 π π y ' = cos x, y '  ÷ = cos  ÷ = 6 6 π π π  π ⇒ s in29o = sin  − ≈ 0, 484 ÷ = sin  ÷− 180 180     tính gần 28 Ta có: 28 = 27 + = 33 + Xét hàm số 27 1 y = x, x o = 1, ∆x = y ( x o ) = 1, y ' ( x o ) = 27  1  ⇒ 28 = y ( x o ) + y' ( x o ) ∆x = 1 + ÷ = + ≈ 3, 04 27  27  ( ) 3/ Công thức Leibnitz tính đạo hàm cấp n: n n! ( n) k ( k ) ( n −k ) fg = ; Ckn = ( ) ∑ Cn f g (1) k!( n − k ) ! k =0 Giả sử (1) đói với n = k, Ta chứng minh (1) n = k + 1: k n +1− k ) ( n +1) n +1 k = ∑ Cn +1.f ( ) g ( ( fg ) ( fg ) ( n +1) k =0 n = ∑ k =0 k n −k Ckn f ( ) g( )  ' n n  = ∑ Ck f ( k +1) g ( n −k ) + ∑ Ck f ( k ) g ( n −k +1) n  k =0 n k =0 Dat k1 = k + k = ⇒ k1 = k = n ⇒ k1 = n + n k ( ∑ Cn f k +1) n k +1) k =0 k ( ∑ Cn f k =0 n +1 n −k ) g( n −k ) n +1 n +1 k n − k +1 k n −k +1) = ∑ C nk1−1.f ( ) g ( ) = ∑ C kn −1.f ( ) g ( k1=1 n ( k =1 k n − k +1) + ∑ Ckn f ( ) g ( k =0 k n − k +1) Ckn −1.f ( ) g ( = ∑ k =1 n g( n + ∑ Ckn f ( k =1 k +1) g( n − k +1) n +1 + C0n f ( ) g ( ) ( k = ) ) k n − k +1) n +1 = ∑ Ckn −1 + Ckn f ( ) g ( + C0n f ( ) g ( ) ( k = ) k =1 +Cnn +1.f ( n +1) g ( ) ( k = n + 1) ( Ckn−1 + Ckn = Ckn +1 ) n k n − k +1) n +1 n +1 = ∑ Ckn +1.f ( ) g( + C0n f ( ) g ( ) ( k = ) + Cnn +1.f ( ) g ( ) ( k = n + 1) k =1 n +1 = ∑ k =0 k n +1− k ) Ckn +1.f ( ) g ( Chú ý: ta ko có: n +a  n   ∑ a k = ∑ ( i = k + a ) ÷  k =0 i =a  y'x = y 'u u 'x ⇒ y( n +1) x ( = y 'u u 'x ) ( n) n x = ∑ C nk y( n +1) k =0 u u ( n −k +1) x (sai) Trong công thức Leibnitz, f g hàm theo biến độc lập x, y hàm theo biến phụ thuộc u ( y'u u 'x ) ' = y''u u 'x ( ''  =  y''u u 'x  ' ' y u u x ) ( ) ( ) = y( ) u u ' x ( ) + y'u u ''x ' ( ) ' ( 2   + y u u x ÷ =  y''u u 'x ÷ + y'u u ''x    3 + 2u 'x u ''x y''u + y'u u ( ) x + y''u u 'x u ''x ' '' ) ' (óe, cơng thức ghê q, bít dạng tổng qt hem?) n n k n k n −k k k i k −i  n −k a + b + c = C a + b c = C ( ) ) ∑ n( ∑ n  ∑ a b ÷.c k =0 k =0  i =0  n k ( a.b.c ) ( n ) = ∑ Ckn  ∑ a ( i ) b( k −i ) ÷.c( n −k ) k =0  i =0  Đạo hàm cấp cao số hàm bản: ( ) a / xk ( n) = k ( k − 1) ( k − ) ( k − n + 1) x k −n =  k1 k1 Dat k = ta có :  x k  k2  = = ( n) k1  −n      k k k k − − n −1 x k2 ÷ = 1 −1 )÷ ÷ k ( ÷ k  k ÷ k      k1 ( k1 − k ) ( k1 − 2k ) ( k1 − ( n − 1) k ) k 2n n −1 ∏ ( k1 − i.k ) i =0 n k2 x k! x k −n = A kn x k −n ( k − n) ! k2 x k1−nk = k1 k2 k2 An x k1−nk k1 −n k2 ( n) −1 ( n )   b/ = ax + b = a n ( −1) ( −2 ) ( −n ) ( ) ÷  ax + b  ( ax + b ) n +1 ( =a n ( −1) n c / f ( x) = ) n! ( ax + b ) n +1 ( n) a n n!    ÷ =  b − ax  ( b − ax ) n +1 ( 1+ x ) + ( 1− x ) =  +  1 = =  ÷ 1− x2 ( 1− x ) ( 1+ x ) ( 1− x ) ( 1+ x ) 1+ x 1− x  n  n!  ( −1) n) ( ⇒ f ( x) =  +   ( + x ) n +1 ( − x ) n +1    d / f ( x ) = ( ax + b ) ⇒ f ' ( x ) = ak ( ax + b ) k k −1 , f '' ( x ) = a k ( k − 1) ( ax + b ) n ( n) a k! k k −n n) ( f ( x ) = ( ax + b )  = ax + b ) (   ( k − n) ! k1  k2  e /  ( ax + b )   ( n ) n −1 k1  −n k1 − i.k ) ( ∏ k2 ÷ i =0 a n ( ax + b ) ÷ = n k2 ÷  π '  f / f ( x ) = sin ax ⇒ f ' ( x ) = ( sin ax ) = a cos ax = a sin  ax + ÷ 2  ' π  π π  ( sin ax ) = a  sin  ax + ÷÷ = a cos  ax + ÷ = a sin  ax + ÷  2 2     '' k −2 ( Giả sử đúng, ta cm f n +1) ( x ) = a n +1 sin  ax + ( n + 1)  π ÷ 2 ' π  π π     n +1 f ( ) ( x ) = a n  sin  ax + n ÷÷ = a n a cos  ax + n ÷ = a n +1 sin  ax + ( n + 1) ÷  2 2     g / f ( x ) = cos ax ⇒ f ' ( x ) = ( cos ax ) = −a.sin ax = a.sin ( ax + π ) ' π π π    = a.cos  − ax − π ÷ = a.cos  −ax − ÷ = a.cos  ax + ÷ 2 2 2    ' π  π π π π  ( cos ax ) = a  cos  ax + ÷÷ = −a sin  ax + ÷ = a sin  ax + ÷ = a cos  − ax − ÷  2 2 2    2  π  = a cos ( −ax − π ) = a cos  ax + ÷ 2  π  ( n) ( n +1) x = a n +1 cos  ax + n + π  n ( ) ( ) ÷ Giả sử f ( x ) = a cos  ax + n ÷ đúng, ta cm f  2    '' ' π  π π     n +1 f ( ) ( x ) = a n  cos  ax + n ÷÷ = −a n a sin  ax + n ÷ = a n +1 sin  ax + ( n + ) ÷  2 2     π  = a n +1 cos  ax + ( n + 1) ÷ 2  h / f ( x ) = ln ( ax + b ) ⇒ f ' ' ax + b ) ( a = ( x) = ( ax + b ) ( ax + b ) '   ( n +1) ( n −1) n ÷ = ( −1) a ( n − 1) ! ln ( ax + b )   ( ax + b ) n ÷   = ( −1) ( n −1) a n ( n − 1) ! ( ( −1) ( ax + b ) ( ax + b ) 2n ) n ' = ( −1) ( n) a n ( n − 1) ! n ( ax + b ) n −1 ( ax + b ) ' ( ax + b ) 2n n −1) ( ) a n +1 ( n ) ! ( = ( ax + b ) n +1 ( n) cos ( 2ax ) π n  − ⇒ sin ( ax ) = − ( 2a ) cos  2ax + n ÷ 2 2  ( n) 1 cos ( 2ax ) π n  f ( x ) = cos ( ax ) = + ⇒ cos ( ax ) = ( 2a ) cos  2ax + n ÷ 2 2  ( g / f ( x ) = sin ( ax ) = ( ) ) 4/ Đạo hàm hàm ẩn: Nếu hàm số y = f(x) thỏa pt F ( x, y ) = 0, x ∈ ( a,b ) VD: Viết pt tiếp tuyến elip x2 + y2 a b Giải: lấy đạo hàm vế theo x, ta được: = điểm ( x o , yo ) elip '  x y  2x 2y.y'x ' ' = Cho x = x thi y = y va y = y ( xo )  2+ 2÷= + o o o b  a b a ⇒ 2x o a2 + 2yo y' ( x o ) b2 = ⇒ y ( xo ) = − ' ta dc pt tiep tuyen : y − y o = − ⇔ x o x a + yo y b = x o2 a + y o2 b b x o a yo b x o a y o ( x − x o ) ⇒ a y o y + b 2.x o x = a 2.y o2 + b 2.x o2 =1 x o x + yo y =1 a2 b2 5/ Các định lí giá trị trung bình: 1/ Định nghĩa: hàm f(x) gọi đồng biến khoảng (a, b) x > x1 ⇒ f ( x ) > f ( x1 ) hay ∆x > ⇒ f ( x o + ∆x ) > f ( x o ) Vậy pt tiếp tuyến có dạng: ' f(x) đồng biến khoảng (a, b) ⇒ f ( x o ) > ∀x ∈ ( a, b ) f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) f ' x o + = lim > ( Vì f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) > 0, ∆x > ) + ∆ x ∆x → ( ) ∆x < ⇒ f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) < ( ham f ( x ) dong bien ) f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) >0 − ∆ x ∆x → hàm f(x) gọi nghịch biến khoảng (a, b) x > x1 ⇒ f ( x ) < f ( x1 ) hay ∆x > ⇒ f ( x o + ∆x ) < f ( x o ) ( ) ⇒ f ' x o − = lim ' f(x) nghịch biến khoảng (a, b) ⇒ f ( x o ) < ∀x ∈ ( a, b ) f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) f ' x o + = lim < ( Vì f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) < 0, ∆x > ) + ∆ x ∆x → ( ) ∆x < ⇒ f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) > ( ham f ( x ) nghich bien ) ( ) f ( x o + ∆x ) − f ( x o ) 0, v ( x ) > 0,u ( x ) ≠ 1) ∏ ( k1 − i.k ) k1 −n k2  k1  x k2   v'x u 'x ln u − ln v ln v  v' ln v u '  ' v u y ( x ) = log u( x ) v ( x ) = ⇒ y ( x) = = ÷  − ln u ln u v ln u u ln u   v' ln v u '  ln v ⇒∫ ÷dx = log u( x ) v ( x ) =  − ln u  v ln u u  ln u Cho v = sin x, u = cos x ⇒∫  cos x ln ( sin x ) ( − sin x )  ln ( cos x ) − dx = log cos x =  ÷ sin x ln ( cos x )  sin x ln ( cos x ) cos x  ln ( sin x ) Cho v = sin n x, u = cos m x  n sin x n −1 cos x ln sin n x m.cos m−1 x − sin x  ) ( ) ÷dx  ( ⇒∫ − ÷ sin n x cos m x ln cos m x  ln cos m x   ( = log ) sin n x m cos x = n ( ) ln ( sin n x ) ) ) ln cos m x m k Cho v = ∑ a i x , u = ∑ b k x i =0 i ( ( k =0 n   n i m i −1 k −1  ln a x ∑ i.a x k.b x ∑ ∑ i ÷   ÷ i k   i = i = k =  ÷dx ⇒∫ − m n m  m    i k ln  ∑ b k x k ÷ ∑ a i x ln  ∑ b k x k ÷ ∑ b k x ÷ ÷  k =0   i =0  k =0  k =0   n i ln a x ∑ i ÷   n i  i =0  = log m ∑ aix ÷=   k  i =0  ln  m b x k   ∑ b k x ÷ ÷ ∑ k ÷  k =0   k =0  dv du ln u − ln v ln v  dv ln v du  u y = log u v = ⇒ dy = v = ÷  − ln u ln u v ln u u   ln u  dv ln v du  ln v ⇒∫ ÷=  − ln u  v ln u u  ln u 2/ Bài tập tính đạo hàm hàm ẩn: 1/ Tính đạo hàm y' ( ) hàm ẩn y(x) cho pt: x + ln y − x 2e y = Lấy đạo hàm vế theo biến x, ta được: y' 2xe y − 3x 2 y y ' ' 3x + − 2xe − x e y = ⇒ y = y − x 2e y y Khi x = 0, từ pt x + ln y − x 2e y = ⇒ ln  y ( )  = ⇒ y ( ) = y 2xe ( ) − 3x y ( 0) = =0 Thế x = 0, y(0) = vào biểu thức y ( ) − x 2e y ( 0) ' y 2 2/ Tính dy hàm y = y(x) cho dạng ẩn pt: ln  ÷ = x y x Lấy vi phân vế ta được:   y   y  x  xdy − ydx  dy dx d  ln  ÷÷ = d  ÷ =  − ÷= x y / x x y y x     x    ( ) ( ) ( ) d x y = x d y + y d x = 2x ydy + 2xy 2dx ⇒  dy dx 1 1  − = 2x ydy + 2xy 2dx ⇔ dy  2x y − ÷ = −dx  2xy + ÷ y x y x    2x y −   2x y +  y  2x y +  ⇔ dy  ÷ = −dx  ÷ ⇔ dy = −  2 ÷ y x x  2x y −      3/ Bài tập định lí trung bình: 1/ Có thể áp dụng định lí Rolle đoạn [ −1, 1] cho hàm f ( x ) = x ko? ' Dù f ( −1) = f ( 1) = khoảng (–1, 1) đạo hàm f ( x ) = ko có nghiệm x Ko tồn c ∈ [ −1, 1] cho f ' ( c ) = Hàm f(x) ko có đạo hàm x = ∈ [ −1, 1] nên ko áp dụng định lí Rolle Định lí Rolle: : cho hàm số f(x): 1/ liên tục đoạn [a, b] 2/ Khả vi khoảng (a, b) 3/ f(a) = f(b) Khi ∃c ∈ ( a, b ) cho f ' ( c ) = 2/ Viết công thức Larrange cho hàm số f ( x ) = x đoạn [1, 4] tìm giá trị điểm c ' Ta có: f ( 1) = 1, f ( ) = 2, f ( x ) = x ⇒ c = ∈ ( 1, ) Công thức Larrange cho ta: − = ( − 1) c 3/ Cm bất đẳng thức sin x − sin y ≤ x − y Hàm f(x) = sinx thỏa định lí Larrange khoảng nên: sin x − sin y = ( x − y ) cos c ⇒ sin x − sin y = x − y cos c ≤ x − y 4/ Cho hàm f(x) liên tục [a, b] khả vi (a, b) giả sử f ( x ) ≠ ∀x ∈ [ a, b ] f '( c) ( a −b ) f ( c) Cm: ∃c ∈ ( a,b ) cho f ( a ) = e f ( b) Xét hàm g ( x ) = ln f liên tục [a, b] khả vi (a, b) Theo định lí Larrange: f ( b) f ' ( c) ∃c ∈ ( a, b ) cho g ( b ) − g ( a ) = ( b − a ) g ( c ) ⇒ ln = ( b −a) f ( a) f ( c) Vì hàm f(x) liên tục ko triệt tiêu [a, b] nên f(x) ko đổi dấu [a, b] f '( c) f '( c) ( b−a ) ( a −b ) f ( b) f ( b) f ( a) f ( c) f ( c) ⇒ = =e ⇒ =e f ( a) f ( a) f ( b) 4/ Bài tập khai triển Maclaurin 1/ Khai triển Maclaurin đến số hạng x cua hàm f ( x ) = cos x 1 x2 x4 Ta có : = Dat W = cos x − = − + + Khi x = W = cos x + ( cos x − 1) 2! 4! '  x2 x4   x2 x4  1 ⇒ = = − W + W − W + W + = −  − +  +  − +  cos x + W  2! 4!   2! 4!  x 5x = 1+ + 2! 4! 2/ Khai triển đến số hạng x lân cận x o = cua hàm f ( x ) = ecos x Ta có : cos x = − ( ) 1− x x + + o x ⇒ ecos x = e 2! 4! ( ) = e.e x2 x4 + +o x 2! 4! − ( ) x2 x4 + +o x 2! 4! x2 x4 u2 u Dat u = − + + o x ta dc e = + u + + o u2 2! 4!   4 2    x2 x4   x4    x x x x cos x   ⇒e = e +  − + ÷+  − + ÷ = e 1 +  − + ÷+  ÷+ o x    2! 4!   2! 4!      2! 4!       x2 x4  = e 1 − +  2! 6  3/ Viết công thức Taylor cho hàm f ( x ) = x tới số hạng bậc (x – 1) ( ) ( ) ( ) Viet 13 x = 1 + ( x − 1)  = 1+ 1 1 ( x − 1) +  − 1÷ ( x − 1) 3   2! ( )   3  +  − 1÷ − ÷ ( x − 1) + o ( x − 1) 3   3!   n f ( k) ( 0) n n a! a k k k k  ( 1+ x ) = ∑ x = ∑ x = ∑ Ca x ÷ k! k! a − k ! ) k =0 k =0 ( k =0  ÷  ÷ a a − a a − a − ( ) ( ) ( )  = + a.x + ÷ x + x + ÷  2! 3!  Ta có : f ( x ) = x ⇒ f ( 1) = −3 f ( x ) = x ⇒ f ' ( 1) = 3 '   −3 f ( x ) =  − ÷x ⇒ f '' ( 1) = 3 3 '' 10    − 3 f ( ) ( x ) =  − ÷ − ÷x ⇒ f ( ) ( 1) = 27    x − x − x − ( ) ( ) ( ) 10 Vay x = + − + +o 1.3! 2! 27 3! 5/ Bài tập tính giới hạn = công thức Taylor: 1/ Tinh lim ( a − cos3 x x →0 bx ( x4 ) ) + cx + dx ( ) Ta có x → :1 − cos3 x = ( − cos x ) + cos x + cos x = ( − cos x ) bx + cx + dx : bx ⇒ lim ( a − cos3 x x →0 bx ) + cx + dx = lim x →0 3a ( − cos x ) bx x2 mà cos x = − + o x2 2! x2 + o x2 3a ( − cos x ) 3a 3a 2! ⇒ lim = lim = x →0 2b x →0 2b bx x2 ( ) ( ) x2 x4 cos x − + − 2! 4! / Tinh lim x →0 a.sin x + b.sin x + c.sin x Ta có x → : a.sin x + b.sin x + c.sin x : a.sin x : a.x ( Vì sin x : x ) x2 x4 x6 x2 x4 x6 cos x = − + − ⇒ cos x − + − =− 2! 4! 6! 2! 4! 6! x2 x4 x6 cos x − + − − 2! 4! 6! = − ⇒ lim = lim x →0 a.sin x + b.sin x + c.sin x x →0 a.x a.6! x − − sin ( 2x − ) / Tinh lim x →1 x − + sin ( 3x − ) Ta có: sin ( 2x − ) = sin2 ( x − 1) = ( x − 1) + o ( x − 1) 1! ( x − 1) + o ( x − 1) 1! x − − sin ( 2x − ) x − − ( x − 1) − ( x − 1) ⇒ lim = lim = lim =− x →1 x − + sin ( 3x − ) x →1 x − + ( x − 1) x →1 ( x − 1) sin ( 3x − 3) = sin3 ( x − 1) =    / Tinh lim  x − x ln 1 + ÷÷ x →∞   x    1     ln 1 + ÷ = − + o  ÷⇒ lim  x − x ln 1 + ÷÷  x  x 2x  x  x →∞   x   1 1      = lim  x − x  − + o  ÷÷ = lim  + x o  ÷÷ = x →∞   x    x →∞   x   x 2x tgx − sin x x →0 x − x / Tinh lim x3 tgx = x + x3 sin x = x − 3! Khi x → : x − x : x x3  x3  x + −x − ÷  3!  tgx − sin x = lim x →0 x − x x →0 1+ x − 1− x / Tinh lim x →0 x x Ta có : + x = + + o ( x ) ⇒ lim x3 x3 x3 + =1 = lim x →0 x3 1− x = 1− x + o( x) x  x −− ÷ 1+ x − 1− x  2 ⇒ lim = lim =1 x →0 x →0 x x 11  cos x   sin x − x.cos x   / lim  − cot gx ÷ = lim  − = lim ÷  ÷ x →0 x  x  x →0 x  x sin x  x →0  x sin x    x2   x3 x3  x − − x 1 − ÷÷ ÷  =1 == lim  = lim ÷ x →0 x 3 x →0 x3  ÷  ÷   / lim − ( cos x ) x →0 = lim sin x x3 ( ( ) ) = lim −x.ln ( cos x ) + o ( x3 ) − + sin x.ln ( cos x ) + o x x3 x →0 = lim ln cos x ) sin x sin x.ln ( cos x ) 1− e ( 1− e = lim = lim x →0 x →0 x3 x3 ( ) = lim − ln ( − ln ( cos x ) + o x x →0 ( x2 x →0 ( ) − sin x + o x x →0 ) ( ) ) x3 ( x2 ) ( ) 1 − ln − sin x + o x − − sin x + o x x2 2 = lim = lim lim = 2 x →0 x → x →0 2x x x 6/ Bài tập tính giới hạn = qui tắc L’Hopital: x − sin x 1/ Tinh lim x →0 x sin x 0  dang  ÷ 0  Có thể dùng qui tắc L’Hopital, để đơn giản hơn, trước dùng qui tắc L’Hopital ta sử dụng vô bé tương đương Khi x → : x sin x : x x − sin x x − sin x 2x − 2sin x.cos x 2x − sin2x ⇒ lim = lim = lim = lim x →0 x sin x x →0 x →0 x →0 x4 4x 4x − cos 2x 4sin 2x 4.2x = lim = lim = lim = x →0 x → x → 24x 24x 12x x x ( + ln x ) − x x +1 ( + ln x ) − x xx − x / lim = lim = lim x →1 ln x − x + x →1 x →1 1− x −1 x 2    x x +1 1 + ln x 1 + + ln x ÷+ ln x + ÷− x  x   = lim = −2 x →1 −1 ln  x x +1 ( + ln x )  = ln x x +1 + ln ( + ln x ) = ( x + 1) ln x + ln ( + ln x )   ( ) '  x x +1 ( + ln x )  '  = ( x + 1) ln x + ln ( + ln x ) ' ⇒ ln  x x +1 ( + ln x )  =  x +1 ( )    x ( + ln x )    ' + ( + ln x ) = ln x + x + ' ' x = ln x + + x + = ( x ) ln x + ( ln x ) x + + ln x x + ln x x ( + ln x ) ( ) '  x +1  ⇒  x x +1 ( + ln x )  = x x +1 ( + ln x )  ln x + + ÷   x + ln x ( )   x +1 x +1  x +1  = x x +1  ( ln x + 1) + lim x ln x + + ( ) ÷  ÷ = ( + 1) + = x  x →1 x    ( ) ( ) ax a x ln a a x ln a / Cho a > 1, b > : lim b = lim = lim x →+∞ x x →+∞ b.x b −1 x →+∞ b ( b − 1) x b −2 a x ln k a ln k a = lim = lim a x x k −b = ∞ b − k x →+∞ b ( b − 1) ( b − k + 1) x b ( b − 1) ( b − k + 1) x →+∞ ( k − b > 0) sin ( x − 1) cos ( x − 1) πx = lim =− ( dang 0.∞ ) = lim πx x →1 π x →1 x →1 π cot g − 2 sin πx ln m x  n m n / lim x − ln x ( dang ∞ − ∞ ) = lim x 1 − n ÷ x →+∞ x →+∞ x   / lim sin ( x − 1) tg ( ) m.ln m −1 x m ( m − 1) ln m−2 x ln m x m.ln m −1 x x Ta có : lim = lim = lim = lim n x →+∞ x n x →+∞ n.x n −1 x →+∞ x →+∞ n.x n x n m! = lim m+1 n = ⇒ lim x n − ln m x = +∞ x →+∞ n x →+∞ x ( / Tinh lim x 1− x x →1 ) ( dang 1∞ )   ln x lim ln  x 1− x ÷ = lim = lim x = −1 ÷ x →1 − x x →1 −1 x →1    ⇒ lim x 1− x x →1 = e −1 ( x →+∞ d cx x ax + b ) ( dang ∞0 ) cx cx ' d d.ln ( ax + b ) ( ax + b ) lim ln ( ax + bcx ) x = lim = d lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ ax + b cx x ( ) / Tinh lim a + c.bcx ln b = d lim x →+∞ ( x →+∞ ⇒ lim ( ax + b ) ) x →+∞ = lim x →+∞ ( ax + b ) ( x →+∞ ⇒ lim x ) ( = lim ax + b x x = d lim bcx ( c.ln b ) ( c.ln b ) x →+∞ b cx = d.c.ln b = ed.c.ln b = ec.d eln b = b.ec.d Neu c = 1, d = 1: lim ln a + b x ln b x →+∞ a + c.b cx ln b cx d cx x ax + b = d lim bcx ( c.ln b ) x x ax + b ) b x ( ln b ) = lim ( ln ax + b x x x →+∞ x →+∞ a + b x ln b = lim ) = d lim ( ) x →+∞ ax + b x ( ) ax + b x b x ( ln b ) ( ln b ) x →+∞ b x = ln b = eln b = b 7/ Bài tập tính giới hạn ko dùng qui tắc L’Hopital: x sin 0  x 1/ lim  dang ÷ x →0 sin x 0  dùng qui tắc L’Hopital để khử dạng vô định ko? ' 1  1  x sin ÷ 2x.sin − cos x x x ko có gioi han x → Ta có :  = ' cos x ( sin x ) 1 , x 'n = ⇒ lim x n = lim x 'n = dó : 1 x →∞ x →∞ 2nπ   2n + ÷π 2    = cos  ÷ = cos ( 2nπ ) = ⇒ lim f ( x n ) = n →∞  xn    π  ' = cos  ' ÷ = cos 2n π +  ÷ = ⇒ lim f x n = ÷ n →∞ 2  xn  Xet day : x n = f ( xn ) ( ) f x 'n ( ) ' { } ' dãy { x n } , x n có giới hạn dãy hàm tương ứng {f ( x n) , 1 cos  ÷ khơng tồn ( ) } có giới hạn khác nên xlim →0 x f x 'n x sin Ta có : lim x →0 sin x  : lim x.sin  x →0 x  x − sin x / lim x →∞ x + sin x x = lim x  1 x.sin  ÷ = 1.0 = x →0 sin x  x 1   ≤ lim x = ⇒ lim  x.sin ÷ = ÷ x →0 x →0  x  ∞   dang ÷ ∞  ( x − sin x ) ' = − cos x ( x + sin x ) ' + cos x ko có gioi han x → ∞ nen ko dùng dc qui tac L 'Hopital sin x x − sin x x =1 lim = lim sin x x →∞ x + sin x x →∞ 1+ x 1− ( arcsin x ) ' =  ( arcsin x ) =   − x2 (  − 1− x = ÷ ÷ − x2    x ( 3)  ( arcsin x ) =   − x2  ( −1 ( arccos x ) ' = − x2 '' sin x   Vì lim = 0÷   x →∞ x  ' ' )  ÷ ÷= ÷ ÷  ( − x2 )= ' 2 1− x ) ( − ( − x2 ) ' − x2 = − x2  − x  − x  ( − x2 ) ) x ( ' 2  2 1− x ) (  − x  − x  − x2 ) = ( ( − x2 ) ) ' 2  (thơi em bó tay rồi) Làm giúp em này: n n n n n n Tim : ( arcsin x ) ( ) , ( arccos x ) ( ) , ( tgx ) ( ) , ( cot gx ) ( ) , ( arctgx ) ( ) , ( arc cot gx ) ( ) ( sec x ) ( n ) , ( cs ecx ) ( n ) , ( arcsec x ) ( n ) , ( arcc sec x ) ( n ) , ( thx ) ( n ) , ( coth x ) ( n ) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) m m arg shx , arg chx , sec hx , csc hx , sin x , cos x ( ) ( ) ( ) ( ) ( 11   − cot gx ÷ x →0 x  x  1/ Tinh lim e − ( 1+ x ) x →0 x / lim x / lim x →0 − ( cos x ) sin x x3 tg ( tgx ) − sin ( sin x ) x →0 tgx − sin x / lim ) ( + x x ) −1 ( / lim x →0 sin x ) ... dạng vi phân cấp khơng thay đổi dù x biến độc lập hay hàm số Tính chất gọi tính bất biến dạng vi phân cấp Vi phân cấp cao: để tính vi phân cấp cao, cần biết dx số không phụ thuộc x, đạo hàm (or vi. .. ∆x + o ( ∆x ) Vi phân hàm hợp, tính bất biến dạng vi phân cấp 1: Cho y = f ( x ) ⇒ dy = y'x dx ( 1) Bây có x = g ( t ) , ta có hàm hợp y = f ( g ( t ) ) Với biến độc lập t, ta có vi phân: dy =... →a ± Do g ( a ) ≠ nên f '+ ( a ) ≠ f '− ( a ) ⇒ hàm số ko có đạo hàm x = a ( ) 2/ Vi phân: định lí: hàm f(x) khả vi x o có đạo hàm x o ∆f ( x o ) ∆f ( x o ) Cm : ∃ lim = f ' ( x o ) ⇒ α = o (