Phương trình vi phân cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP Phạm Đình Đồng Ngày 08 tháng 08 năm 2008 Tài liệu [1] Laurence D Hoffmann, Gerald L Bradley, Calculus, McGrall-Hill, 2004 [2] Lê Đình Thúy, Tốn cao cấp cho nhà kinh tế (Phần 2, Giải tích tốn học), NXB Thống kê, 2004 1 Phương trình tách biến Phương trình dạng p(x)dx + q(y)dy = (1) gọi phương trình tách biến Cách giải: Lấy tích phân hai vế phương trình (1) ta tích phân tổng qt p(x)dx + q(y)dy = C Ví dụ Giải phương trình √ xdx + − x2 ydy − y2 =0 Giải Lấy tích phân hai vế ta − x2 + − y2 = C Ví dụ Giải phương trình dy dx = y ln y sin x Giải Lấy tích phân hai vế phương trình ta x ln | ln y| = ln |tg | + C Phương trình đưa dạng tách biến M1 (x)M2 (y)dx + N1 (x)N2 (y)dy = Cách giải: Chia hai vế phương trình cho M2 (y)N1 (x) ta có M1 (x) N2 (y) dx + dy = N1 (x) M2 (y) Trong trình biến đổi ta để nghiệm dạng: x = x0 , y = y0 x0 nghiệm phương trình N1 (x) = 0, y0 nghiệm phương trình M2 (y) = Ví dụ Giải phương trình − x2 dy = √ Giải Chia hai vế phương trình cho − x2 − y Các nghiệm để trình biến đổi là: x = ±1 (xem x hàm y); y = ±1 (xem y hàm x) x − y dx + y Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng dy + p(x)y = q(x) dx (2) p(x), q(x) hàm số liên tục cho trước Phương trình vi phân tuyến tính phương trình có dạng dy + p(x)y = (q(x) = 0) dx (3) Cách giải phương trình • Rõ ràng y = nghiệm phương trình (3) • Ta tìm y = Ta đưa dạng tách biến dy = −p(x)dx Từ ta y có ln |y| = − p(x)dx + C1 hay y = C.e− p(x)dx (4) C = ±eC1 = Ta thấy nghiệm y = thu từ biểu thức (4) với C = nên ta suy nghiệm tổng quát phương trình y = C.e− C số tuỳ ý p(x)dx 2.2 Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp Bước 1: Giải phương trình tương ứng Bước 2: Dùng phương pháp biến thiên số Trong (4) xem C hàm số x, C = C(x), tức ta tìm nghiệm phương trình dạng y = C(x).e− p(x)dx Thay vào (2) ta có C(x) = q(x).e p(x)dx dx + C Vậy nghiệm tổng quát (2) y = e− p(x)dx q(x).e p(x)dx dx + C (5) Ví dụ Giải phương trình dy dx + y = ex dy dx + my = n m, n số dy dx + xy = x Giải Giải phương trình tương ứng có nghiệm y = C.e−x dy dx + y = Phương trình Xem C = C(x), dùng phương pháp biến thiên số ta có C (x)e−x = ex , tích phân hai vế ta có C(x) = e2x + C Vậy nghiệm phương trình cho y = e−x y = n C + mx m e y = + C e2x 2x e +C 2.3 Phương trình Bernoulli Phương trình Bernoulli phương trình dạng dy + p(x)y = y α q(x) dx (6) α = 0, α = Nhận xét: y = nghiệm (6) Cách giải: Chia hai vế (6) cho y α ta có y −α y + p(x)y 1−α = q(x) Đặt z = y 1−α ta có z + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp với hàm phải tìm z Ví dụ Giải phương trình y − 2xy = 2x3 y Giải Chia hai vế cho y ta y −2 y − 2xy −1 = 2x3 Đặt z = y −1 ta có z + 2xz = −2x3 Giải phương trình tương ứng ta có z = C.e−x Dùng phương pháp biến thiên số ta 2 2 2x3 ex dx = −x2 ex + ex + C C(x) = − 2 Do z = −x2 ex + ex + C e−x Nghiệm phương trình y= −x2 Ce + − x2 ... đổi là: x = 1 (xem x hàm y); y = 1 (xem y hàm x) x − y dx + y Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 .1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng dy + p(x)y = q(x) dx.. .1 Phương trình tách biến Phương trình dạng p(x)dx + q(y)dy = (1) gọi phương trình tách biến Cách giải: Lấy tích phân hai vế phương trình (1) ta tích phân tổng quát p(x)dx... x0 nghiệm phương trình N1 (x) = 0, y0 nghiệm phương trình M2 (y) = Ví dụ Giải phương trình − x2 dy = √ Giải Chia hai vế phương trình cho − x2 − y Các nghiệm để trình biến đổi là: x = 1 (xem x