Hệ phương trình vi phân

Chương Hệ phương trình vi phân 8(6-2-0) A Mục tiêu chương Về kiến thức: nắm vững định nghĩa, nhận dạng, tồn nghiệm, phương pháp giải hệ ODE biết; Về kỹ năng: hiểu biết vận dụng thuật tốn xây dựng, tìm nghiệm hệ ODE Hiểu khái niệm bản, phương pháp chứng minh Vận dụng khảo sát hệ ODE qua ví dụ B.Nội dung Hệ ODE; Ý nghĩa Cơ học; Quan hệ ODE cấp n hệ n ODE cấp một; Phương pháp tổ hợp tích phân; Các loại nghiệm hệ ODE; Định lý tồn nghiệm; Các loại nghiệm; Hệ ODE tuyến tính (thuần nhất, khơng nhất, hệ số hằng) C Nội dung chi tiết §6.1 Các khái niệm mở đầu Định nghĩa (a).Hệ n ODE cấp dạng chuẩn tắc có dạng: ⎧ dy1 ⎪ dx = f ( x, y1 , y , , y n ) ⎪ ⎪ dy = f ( x , y , y , , y ) ⎪ 1 n ⎨ dx ⎪ ⎪ ⎪ dy n = f ( x, y , y , , y ) 1 n ⎪⎩ dx hay dạng ma trận dY = F( x , Y) dx (6.1) x biến số độc lập, hàm phải tìm http://www.ebook.edu.vn y1 = y1 ( x ), y = y ( x ), , y n = y n ( x ) hay Y = Y( x ) = (y1 ( x ), y ( x ), , y n ( x ) ) ∀x ∈ (a , b) ∈ R = (− ∞, ∞ ) ký hiệu dY := (y1′ ( x ), y′2 ( x ), , y ′n ( x ) ), F( x , Y) := (f1 ( x , Y), f ( x , Y), , f n ( x, Y) ) dx Các hàm f j ( x, y1 , y , , y n ), ( j = 1,2, , , , n ), xác định (a , b) xR n (không gian n+1 chiều) (b Hệ n hàm khả vi Φ ( x ) = (y1 = ϕ1 ( x ), y = ϕ ( x ), , y n = ϕ n ( x ) ), ∀x ∈ (a , b) ) nghiệm hệ ODE (6.1) ∀x ∈ (a , b) điểm (x, Φ( x ) ) ∈ G ⊆ R n +1 biến hệ dΦ = F( x, Φ ), ∀x ∈ (a , b) ) dx (c) Tập hợp điểm Γ = {(x, ϕ1 ( x ), ϕ ( x ), , ϕ n ( x ) ), x ∈ (a , b)} ⊆ R n +1 gọi (6.1) thành đồng thức ( đường cong tích phân ứng với nghiệm Φ ( x ) = (ϕ1 ( x ), ϕ ( x ), , ϕ n ( x ) ) (d) Không gian pha hệ ODE (6.1) không gian n chiều Rn chứa tập hợp nghiệm hệ ODE (e) Đường cong pha (quỹ đạo pha) tập hợp nghiệm hệ ODE (6.1): γ = {(ϕ1 ( x ), ϕ ( x ), , ϕ n ( x ) ), x ∈ (a , b)} Bài tốn Cơ si Cho điểm ( x , y10 , y 02 , , y 0n ) ≡ (z, Y ) ∈ G ⊆ R n +1 Tìm nghiệm Y( x ) = (y1 ( x ), y ( x ), , y n ( x ) ) hệ (6.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu; (y1 ( x ), y ( x ), , y n ( x ) ) = (y10 , y 02 , , y 0n ) hay Y( x ) = Y Ý nghĩa Cơ học Coi t biến độc lập, x , x , , x n tọa độ điểm không gian pha Rn Khi hệ ODE cấp ⎧ dx ⎪ dt = F1 ( t , x , x , , x n ) ⎪ ⎪ dx = F ( t , x , x , , x ) ⎪ 1 n ⎨ dt ⎪ ⎪ ⎪ dx n = F ( t , x , x , , x ) 1 n ⎪⎩ dt (6.2) Hay http://www.ebook.edu.vn dX = F( t , X), dt X := (x , x , , x n ), F( t , X) := (F1 ( t , X), F2 ( t , X), , Fn ( t , X) ) hệ phương trình chuyển động điểm không gian pha Rn mà véc tơ vận tốc điểm V = ⎛⎜ dx dx dx , , , n dt ⎝ dt dt ⎞ ⎟ ⎠ Hệ (6.2) xác định trường vận tốc không dừng điểm không gian pha vận tốc điểm thay đổi theo thời gian Khi hệ gọi hệ khơng dừng (khơng Ơ tô nôm) Khi vế phải hệ (6.2) không phụ thuộc thời gian t, ta có hệ dừng, hay hệ Ô tô nôm ⎧ dx ⎪ dt = F1 ( x , x , , x n ) ⎪ ⎪ dx = F ( x , x , , x ) ⎪ 1 n ⎨ dt ⎪ ⎪ ⎪ dx n = F ( x , x , , x ) 1 n ⎪⎩ dt (6.3) (vận tốc không thay đổi theo thời gian) Ví dụ Xét hệ ODE ⎧ dx ⎪⎪ dt = y ⎨ ⎪ dy = x ⎪⎩ dt Không gian pha mặt phẳng (x,y) Nghiệm hệ xét (kiểm tra) : ⎧x = C1 cos( t − C ) với C1 , C số ⎨ ⎩ y = −C1 sin( t − C ) tùy ý Để mô tả chuyển động không gian pha (x,y), cần khử tham số thời gian t biểu thức nghiệm, nhận đượcquỹ đạo chuyển động không gian pha http://www.ebook.edu.vn y O x Cụ thể, ta có x + y = C12 nên không gian pha chuyển động (điểm) hệ thực đường tròn tâm O (gốc tọa độ) bán kính |C1| gọi quỹ đạo chuyển động Nếu cố định C1 cho C2 tùy ý ta có vơ số chuyển động thực quỹ đạo Tổng quát: Đối với hệ (6.3), chuyển động X( t ) = (x ( t ), x ( t ), , x n ( t ) ) xác định không gian Rn quỹ đạo dọc theo quỹ đạo có vơ số chuyển động dạng X( t + C) = (x ( t + C), x ( t + C), , x n ( t + C) ) §6.2 Quan hệ phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Mệnh đề 1: ODE cấp n y ( n ) = f ( x , y, y′, , y ( n −1) ) (6.3) đưa hệ n ODE cấp Chứng minh: Đặt: y = y1 y′ = y y ′′ = y y ( k ) = y k +1 (k = 0,1,2, , , , n − 1) y ( n −1) = y n ta nhận hệ n ODE cấp sau: http://www.ebook.edu.vn dy dy1 dy = = y′ = y ⇒ , dx dx dx dy′ dy dy′ = = y′′ = y ⇒ dx dx dx dy1 = y2 dx dy = y3 dx (đpcm1) dy n dy dy ( n −1) = y ( n ) = f ( x, y1 , y , , y n ) ⇒ n = f ( x, y1 , y , , y n ) dx dx dx (6.4) Từ ta có: y = y( x ) nghiệm ⇔ y1 = y( x ), y = y ′( x ), , y n = y ( n −1) ODE cấp n (6.3) ( x ) nghiệm hệ n ODE (6.4) Bài tốn tìm nghiệm y = y( x ) ODE cấp n (6.3) thỏa mãn y( x ) = y , y′( x ) = y′0 , y ′′( x ) = y ′0′ , , y ( n −1) ( x ) = y (0n −1) tương đương tốn tìm nghiệm y1 ( x ), y ( x ), , y n ( x ) hệ (6.4) thỏa mãn y1 ( x ) = y , y ( x ) = y′0 , y ( x ) = y′0′ , , y n ( x ) = y (0n −1) Đưa hệ phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp cao Ta đưa hệ n ODE cấp ODE cấp n tương đương S1 Đưa ODE cấp n Xét hệ n ODE cấp một: ⎧ dx ⎪ dt = f ( t , x , x , , x n ) ⎪ ⎪ dx = f ( t , x , x , , x ) ⎪ 2 n ⎨ dt ⎪ ⎪ ⎪ dx n = f ( t , x , x , , x ) n n ⎪⎩ dt (6.5) Giả thiết: hàm f k (k = 1,2, , n ) liên tục, khả vi đến cấp n-1 miền G ⊂ R n theo tất biến Giả sử (x ( t ), x ( t ), , x n ( t ) ) nghiệm http://www.ebook.edu.vn thay vào ODE (6.5)ta đồng thức Xét đồng thức bất kỳ: dx ( t ) ≡ f ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) dt (a1) vi phân đồng thức theo t, ta có n n n ∂f dx k ∂f ∂f ∂f ∂f d x ∂f , đặt = + = + f + f k = F2 ( t , x , x , , x n ) ∑ ∑ ∑ k ∂t k =1 ∂x k dt ∂t k =1 ∂x k ∂t k =1 ∂x k dt suy d x1 ≡ F2 ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) dt Tương tự, ta có: (a2) n n n ∂F2 dx k ∂F2 ∂F2 d x ∂F2 ∂F2 ∂F2 , đặt f k = F3 ( t , x , x , , x n ) + = + = + f ∑ ∑ ∑ k ∂t k =1 ∂x k ∂t k =1 ∂x k dt ∂t k =1 ∂x k dt suy d x1 ≡ F3 ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) dt (a3) Tiếp tục q trình đến n-2 lần, ta có d n −1 x ≡ Fn −1 ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) dt n −1 (an-1) n n ∂Fn −1 dx k ∂Fn −1 ∂Fn −1 d n x ∂Fn −1 = + = + f k , đặt ∑ ∑ n ∂t ∂t dt dt k =1 ∂x k k =1 ∂x k n ∂Fn −1 ∂F + ∑ n −1 f k = Fn ( t , x , x , , x n ) , ta có ∂t k =1 ∂x k d n x1 ≡ Fn ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) dt n (an) Từ (a1), (a2),… (an-1) lập hệ ODE: http://www.ebook.edu.vn ⎧ dx ( t ) ⎪ dt ≡ f ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) ⎪ ⎪ d x (t) ≡ F2 ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) ⎪ ⎨ dt ⎪ ⎪ n −1 ⎪ d x (t) ⎪⎩ dt n −1 ≡ Fn −1 ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) (6.6) Giả sử định thức D(f , F2 , , Fn −1 ) ≠ miền biến D( x , x , , x n ) ( t , x , x , , x n ) Khi từ hệ (6.6), ta tìm biểu diễn x , x , , x n dạng sau; dx d x d n −1 x x = x (t, x , , , , n −1 ) dt dt dt dx d x d n −1 x x = x ( t , x , , , , n −11 ) dt dt dt dx d x d n −1 x x n = x n ( t, x , , , , n −1 ) dt dt dt Thay giá trị vào biểu thức (an) ta nhận ODE cấp n hàm cần tìm x d n x1 ≡ Fn ( t , x ( t ), x ( t , x 1′ , x 1′′, , x 1( n ) ), , x n ( t , x 1′ , x 1′′, , x 1( n ) )) dt n (đpcm) (6.7) Từ lý luận x ( t ) nghiệm ODE cấp n (6.7) Thay x , x 1′ , , x 1( n −1) vào hệ (6.6) xác x = x ( t ), x = x ( t ), , x n = x n ( t ) định S2 Nghiệm ODE đích nghiệm ODE nguồn ngược lại Hệ hàm thu x ( t ), x ( t ), x ( t ), , x n ( t ) nghiệm hệ ODE (6.50) Thật vậy, thay chúng vào hệ (6.6) ta hệ đồng thức Xét đồng thức bất kỳ, dx ( t ) ≡ f1 ( t , x ( t ), x ( t ), , x n ( t )) dt http://www.ebook.edu.vn Vi phân đồng thức theo t, n d x ∂f ∂f1 dx k + = ∑ ∂t k =1 ∂x k dt dt hệ (6.6) d x1 = F2 ( t , x , x , , x n ) dt cách đặt hàm F2 F2 ( t , x , x , , x n ) = n ∂f ∂f + ∑ fk ∂t k =1 ∂x k ta nhận ý x thỏa mãn đồng thức kể trên: n ∂f ⎛ dx k ⎞ − fk ⎟ ≡ ⎜ ⎠ k ⎝ dt ∑ ∂x k =2 (b1) Thực tương tự, cho đồng thức thứ hai thứ n-1 hệ (6.6), ta có: n ∂F2 ⎛ dx k ⎞ − fk ⎟ ≡ ⎜ ⎠ k ⎝ dt ∑ ∂x k =2 … (b2) ∂Fn −1 ⎛ dx k ⎞ − fk ⎟ ≡ ⎜ ⎠ k =2 k ⎝ dt n ∑ ∂x (bn-1) Kết hợp (b1),(b2),…, (bn-1), ta nhận hệ n – phương trình đại số dx tuyến tính với n – ẩn ⎛⎜ k − f k ⎞⎟, k = 2,3, , n sau: ⎝ dt http://www.ebook.edu.vn ⎠ ⎧ n ∂f1 ⎛ dx k ⎞ ⎪∑ ∂x ⎜ dt − f k ⎟ = ⎠ ⎪k =2 k ⎝ n ⎪ ∂F2 ⎛ dx k ⎞ − fk ⎟ = ⎜ ⎪∑ ⎠ ⎨ k = ∂x k ⎝ dt ⎪ ⎪ ⎪ n ∂Fn −1 ⎛ dx k ⎞ − fk ⎟ = ⎜ ⎪∑ ⎠ ⎩ k = ∂x k ⎝ dt Định thức hệ D(f , F2 , , Fn −1 ) ≠ Do hệ có D( x , x , , x n ) dx k −f k≡ 0, k = 2,3, , n (đpcm) dt Chú ý: chứng minh trên, khử hàm x , x , , x n ta giả nghiệm tầm thường, tức thiết: D(f , F2 , , Fn −1 ) ≠0 D( x , x , , x n ) Nếu điều không thỏa mãn, ta thực thuật toán cho x k ,2 ≤ k ≤ n Nếu định thức không thỏa mãn với cách chọn hàm x , x , , x n phương trình chứa đạo hàm ứng với hàm tích phân riêng Ví dụ 1: ⎧ dx = f1 ( t, x ) ⎪ dt ⎪ ⎪ dx = f (t, x , x ) ⎨ ⎪ dt ∂f ⎪ dx ⎪ dt = f ( t , x , x ), ∂x ≠ ⎩ Hai ODE cuối đưa ODE cấp hai phương pháp ODE đầu chứa x x không tham gia vào hai ODE sau nên tích phân ODE đầu riêng Ví dụ http://www.ebook.edu.vn ⎧ dx ⎪ dt = f1 ( t , x ) ⎪ ⎪ dx = f ( t, x ) ⎨ ⎪ dt ⎪ dx ⎪ dt = f ( t , x ) ⎩ Hệ ba ODE đưa ODE cấp hàm Do phải tích phân riêng ODE Ví dụ Giải hệ ODE ⎧ dx ⎪⎪ dt = 3x − y ⎨ ⎪ dy = x − y ⎪⎩ dt Vi phân hai vế ODE đầu: d2x dx dy dx dx dx dx =3 −2 = − 2(2x − y) = − x − (3x − y) = − x − ⇔ dt dt dt dt dt dt dt d2x dx ⇔ −2 +x=0 dt dt Phương trình đặc trưng F(λ) = λ2 − 2λ + = có nghiệm λ = bội hai Do x ( t ) = C1 exp( t ) + C t exp( t ) y( t ) = 1⎛ dx ⎞ ⎜ 3x − ⎟ = [3(C1 exp( t ) + C t exp( t ) ) − C1 exp( t ) − C exp( t ) − C t exp( t )] = 2⎝ dt ⎠ C ⎛ ⎞ = exp( t )⎜ C1 − + C t ⎟ ⎠ ⎝ Vậy nghiệm tổng quát là: ⎧x ( t ) = C1 exp( t ) + C t exp( t ) ⎪ C2 ⎞ ⎛ ⎨ ⎪ y( t ) = ⎜ C1 − ⎟ exp( t ) + C t exp( t ) ⎝ ⎠ ⎩ §6.3 Phương pháp tổ hợp tích phân Để giải hệ ODE dùng thuật toán đưa ODE cấp cao Dưới thuật tốn khác: tìm tích phân đầu dùng thuật tốn tổ hợp tích phân http://www.ebook.edu.vn 10 ⎛ y1 j ( x ) ⎞ ⎜ ⎟ dYj ⎜ y j (x) ⎟ = P( x )Y j , Y j ( x ) = ⎜ , j = 1,2, , n M ⎟ dx ⎜ ⎟ ⎜ y (x) ⎟ ⎝ nj ⎠ hay tương đương ⎛ dy1 j ( x ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dx ⎟ ⎛⎜ p11 ( x ) p12 ( x ) ⎜ dy j ( x ) ⎟ ⎜ p ( x ) p ( x ) 22 ⎜ dx ⎟ = ⎜ 21 K ⎜ ⎟ ⎜ K ⎜ dy M ( x ) ⎟ ⎜ p ( x ) p ( x ) n2 ⎜⎜ nj ⎟⎟ ⎝ n1 ⎝ dx ⎠ K p1n ( x ) ⎞ ⎛ y1 j ( x ) ⎞ ⎟ ⎟⎜ K p 2n (x) ⎟ ⎜ y j (x) ⎟ , j = 1,2, , n K K ⎟⎜ M ⎟ ⎟ ⎟⎜ K p nn ( x ) ⎟⎠ ⎜⎝ y nj ( x ) ⎟⎠ hay dy ij ( x ) dx n = ∑ p ik ( x ) y kj ( x ); i, j = 1,2 , n (a) k =1 Từ hệ véc tơ nghiệm Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x ) , lập định thức Vronski (theo cột) W ( x ) = W[Y1 , Y2 , , Yn ] = y11 ( x ) y12 ( x ) L y1n ( x ) y 21 ( x ) L y 22 ( x ) L y n ( x ) L L L y n1 ( x ) y n ( x ) L y nn ( x ) Lấy đạo hàm hai vế, theo qui tắc đạo hàm định thức ta có dy11 ( x ) dx dW ( x ) y = 21 ( x ) dx L + y n1 ( x ) dy12 ( x ) dy1n ( x ) y11 ( x ) L dy 21 ( x ) dx dx y 22 ( x ) L y n ( x ) + dx L L L L y n1 ( x ) y n ( x ) L y nn ( x ) y11 ( x ) y12 ( x ) L y 1n ( x ) y 21 ( x ) y 22 ( x ) L y 2n (x) L dy n1 ( x ) dx L L L dy n ( x ) dy nn ( x ) L dx dx y12 ( x ) L y1n ( x ) dy 22 ( x ) dy n ( x ) L + + dx dx L L L y n (x) L y nn ( x ) (b n = ∑ p kk ( x )W ( x ) k =1 ) http://www.ebook.edu.vn 31 Đây ODE tuyến tính cấp hàm phải tìm W ( x ) Tích phân ODE ta đpcm Ta cần chứng minh công thức (b) Từ vế phải (b), Thay đạo hàm theo công thức (a), xét dy11 ( x ) dx y Δ = 21 ( x ) L dy12 ( x ) dy1n ( x ) L dx dx y 22 ( x ) L y n ( x ) = L L L y n1 ( x ) n ∑p k =1 = n ∑p k =1 n ∑p k =1 1k y n (x) ( x ) y k1 ( x ) y 21 ( x ) y nn ( x ) L n ∑p k =1 1k (x) y k (x) L n ∑p k =1 1k ( x ) y kn ( x ) y 22 ( x ) L y 2n (x) L L L L y n1 ( x ) y n (x) L y nn ( x ) n 1k ( x ) y k1 ( x ) = p11 ( x ) y11 ( x ) + ∑ p1k ( x ) y k1 ( x ) k =2 n 1k ( x ) y k ( x ) = p 11 ( x ) y 12 ( x ) + ∑ p 1k ( x ) y k ( x ) k =2 n ∑p k =1 n 1k ( x ) y kn ( x ) = p11 ( x ) y1n ( x ) + ∑ p1k ( x ) y kn ( x ) k =2 Theo tính chất định thức ta có Δ = p11 ( x ) y11 ( x ) y 21 ( x ) y12 ( x ) L y1n ( x ) y 22 ( x ) L y n ( x ) L L L L + y n1 ( x ) y n ( x ) L y nn ( x ) n ∑ p 1k ( x ) y k ( x ) + k =2 y 21 ( x ) n ∑ p1k (x ) y k (x ) L k =2 n ∑p k =2 1k ( x ) y kn ( x ) y 22 ( x ) L L L L L y n1 ( x ) y n (x) L y nn ( x ) http://www.ebook.edu.vn y 2n (x) 32 n ∑p k =2 n 1k ( x ) y k1 ( x ) = p12 ( x ) y 21 ( x ) + ∑ p1k ( x ) y k1 ( x ) k =3 n n k =2 k =3 ∑ p1k (x ) y k (x ) = p12 (x ) y 22 (x ) + ∑ p1k (x ) y k (x ) n n k =2 k =3 ∑ p1k (x ) y kn (x ) = p12 (x ) y 2n (x ) + ∑ p1k (x ) y kn (x ) Δ = p11 ( x ) W ( x ) + p12 ( x ) y 21 ( x ) y 22 ( x ) L y n ( x ) y 21 ( x ) y 22 ( x ) L y n ( x ) L L L L + y n1 ( x ) y n ( x ) L y nn ( x ) n ∑p + k =3 n 1k ( x ) y k1 ( x ) y 21 ( x ) ∑p k =3 n 1k L y n1 ( x ) (x ) y k (x ) L 1k ( x ) y kn ( x ) L y 2n (x) L y n (x) L L L y nn ( x ) ∑ p1k (x) y k1 (x) = p11 ( x ) W ( x ) + k =3 y 22 ( x ) n k =3 ∑p y 21 ( x ) n ∑ p 1k ( x ) y k ( x ) L k =3 = n ∑p k =3 1k ( x ) y kn ( x ) y 22 ( x ) L y 2n (x ) L L L L y n1 ( x ) y n (x) L y nn ( x ) Tiếp tục ta nhận Δ = p11 ( x ) W ( x ) Tương tự Δ k = p kk ( x ) W ( x ), k = 2,3, n , y11 ( x ) y12 ( x ) y 21 ( x ) L Δ k = dy k1 ( x ) dx L y 22 ( x ) L dy k ( x ) dx L y 2n (x) L dy kn ( x ) L dx L L y n1 ( x ) y n (x) L L y1n ( x ) L L y nn ( x ) Và ta có: n n dW ( x ) = ∑ Δ k = ∑ p kk ( x )W ( x ) dx k =1 k =1 (đpcm) Định thức Vronski dạng Cô si Từ http://www.ebook.edu.vn 33 n n dW ( x ) dW ( x ) = ∑ p kk ( x )W ( x ) ⇒ = ∑ p kk ( x ) ⇒ dx W ( x ) k =1 k =1 ⎛x n ⎞ ⇒ ln W ( x ) = ln W ( x ) + ∫ ∑ p kk ( t )dt ⇒ W ( x ) = W ( x ) exp⎜ ∫ ∑ p kk ( t )dt ⎟ ⎜ x k =1 ⎟ x k =1 ⎝ ⎠ x n (đpcm) (Định thức Vronski khác khơng khơng mội điểm (a,b) §6.7 Hệ ODE tuyến tính khơng Hệ ODE tuyến tính khơng có dạng sau đây: ⎧ dy1 ⎪ dx = p11 ( x ) y1 + p12 ( x ) y + + p1n ( x ) y n + f ( x ) ⎪ ⎪ dy = p ( x ) y + p ( x ) y + + p ( x ) y + f ( x ) ⎪ 21 22 2n n ⎨ dx ⎪ ⎪ ⎪ dy n = p ( x ) y + p ( x ) y + + p ( x ) y + f ( x ) n1 n2 nn n n ⎪⎩ dx (6.29) Ký hiệu: ⎛ dy1 ( x ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎛ p11 ( x ) p12 ( x ) ⎛ f1 ( x ) ⎞ ⎛ y1 ( x ) ⎞ dx ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy ( x ) ⎟ ⎜ p 21 ( x ) p 22 ( x ) ⎜ f (x ) ⎟ ⎜ y ( x ) ⎟ dY ⎜ ; P ( = ; F( x ) = ⎜ ; Y = = x ) : ⎟ ⎜ dx ⎜ K ⎜ M ⎟ dx K M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ f (x) ⎟ ⎜ y (x) ⎟ ⎟ ⎜ dy n ( x ) ⎝ p n1 ( x ) p n ( x ) ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ dx ⎠ K p1n ( x ) ⎞ ⎟ K p 2n (x) ⎟ K K ⎟ ⎟ K p nn ( x ) ⎟⎠ Dạng véc tơ tương đương (6.29) là: dY = P( x )Y + F( x ) dx (6.30) Dạng toán tử: L[Y ] = F( x ) (6.31) Điều kiện tồn nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu Giả thiết hàm p ij ( x ), f i ( x )∈ C(a , b), i, j = 1,2, , n http://www.ebook.edu.vn 34 Với x ∈ (a , b); (y10 , y 02 , , y 0n ) ∈ R n , hệ ODE (6.29) tồn nghiệm: y( x ) = (y1 ( x ), y ( x ), , y n ( x ) ), ∀x ∈ (a , b) thỏa mãn điều kiện đầu: y( x ) = (y1 ( x ), y ( x ), , y n ( x ) ) = (y10 , y 02 , , y 0n ) Chứng minh: Từ giả thiết tính liên tuc, vế phải ODE (6.29) thõa mãn điều kiện Lip sit theo hàm phải tìm điều kiện tồn nghiệm thỏa mãn (đpcm) Các tính chất nghiệm hệ ODE khơng Định lý Nếu Y * ( x ) nghiệm hệ ODE tuyến tính khơng nhất, Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x ) hệ nghiệm hệ ODE tuyến tính tương ứng nghiệm tổng qt hệ ODE tuyến tính khơng có dạng: n Y( x ) = ∑ C k Yk ( x ) + Y * ( x ) k =1 C1 , C , , C n số tùy ý Chứng minh: Y( x ) nghiệm vì: ⎡n ⎤ n L[Y( x )] = L ⎢∑ C k Yk ( x ) + Y * ( x )⎥ = ∑ C k L[Yk ( x )] + L[Y * ( x )] = + L[Y * ( x )] = F( x ) ⎣ k =1 ⎦ k =1 Từ biểu thức nghiệm tổng quát, xác định số tích phân Thật vậy, lấy x ∈ (a , b); (y10 , y 02 , , y 0n ) ∈ R n , xét hệ phương trình n Y( x ) = ∑ C k Yk ( x ) + Y * ( x ) ⇔ k =1 ⎛ y ⎞ ⎛ y11 ( x ) y12 ( x ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y ⎟ ⎜ y 21 ( x ) y 22 ( x ) ⎜ M ⎟=⎜ K K ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y ⎟ ⎜ y (x ) y (x ) n2 ⎝ ⎠ ⎝ n1 0 K y1n ( x ) ⎞⎛ C1 ⎞ ⎛ f ( x ) ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ K y n ( x ) ⎟⎜ C ⎟ ⎜ f ( x ) ⎟ + K K ⎟⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ K y nn ( x ) ⎟⎠⎜⎝ C n ⎟⎠ ⎜⎝ f n ( x ) ⎟⎠ Đây hệ phương trình đại số tuyến tính khơng với ẩn các hệ số tích phân phải tìm Đinh thức hệ định thức http://www.ebook.edu.vn 35 Vronski điểm x0 hệ nghiệm Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x ) nên khác khơng Do từ hệ giải nhất: C j = ϕ j ( x , y10 , y 02 , , y 0n ) (đpcm) Định lý 2: Nếu Y1 ( x ), Y2 ( x ) : L[Y1 ] = F1 ( x ), L[Y2 ] = F2 ( x ) Thì Y( x ) = Y1 ( x ) + Y2 ( x ) : L[Y ] = F1 ( x ) + F2 ( x ) Chứng minh: tính tuyến tính L Định lý 3: Nếu hệ ODE tuyến tính: L[Y ] = U ( x ) + iV ( x ) ⎛ u1 (x) ⎞ ⎛ v1 ( x ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u (x) ⎟ ⎜ v (x) ⎟ U( x ) = ⎜ ; V( x ) = ⎜ M ⎟ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u (x) ⎟ ⎜ v (x) ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ với ma trận thực P( x ) , có nghiệm phức Y( x ) = X( x ) + iZ( x ) phần thực X( x ) phần ảo Z( x ) nghiệm thực hệ ODE: L[X ] = U ( x ), L[Z] = V ( x ) Chứng minh: dễ dàng nhờ tính tuyến tính toán tử L Phương pháp biến thiên số Cách tìm nghiệm riêng hệ ODE tuyến tính khơng từ nghiệm tổng quát hệ Giả sử, hệ ODE tuyến tính L[Y ] = có n véc tơ nghiệm là: ⎛ y1n ( x ) ⎞ ⎛ y12 ( x ) ⎞ ⎛ y11 ( x ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y 2n (x) ⎟ ⎜ y 22 ( x ) ⎟ ⎜ y 21 ( x ) ⎟ Y1 ( x ) = ⎜ ; Y2 ( x ) = ⎜ ; ; Yn ( x ) = ⎜ M ⎟ M ⎟ M ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y (x) ⎟ ⎜ y (x) ⎟ ⎜ y (x) ⎟ ⎠ ⎝ nn ⎝ n2 ⎠ ⎝ n1 ⎠ http://www.ebook.edu.vn 36 Ta tìm nghiệm riêng hệ ODE tuyến tính khơng dạng: Y * ( x ) = C1 ( x )Y1 ( x ) + C ( x )Y2 ( x ) + + C n ( x )Yn ( x ) (6.32) hay ⎛ y1* ( x ) ⎞ ⎛ y11 ( x ) y12 ( x ) ⎜ * ⎟ ⎜ ⎜ y ( x ) ⎟ ⎜ y 21 ( x ) y 22 ( x ) ⎜ M ⎟=⎜ K K ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y* (x ) ⎟ ⎜ y (x) y (x) n2 ⎝ n ⎠ ⎝ n1 K y1n ( x ) ⎞⎛ C1′ ⎞ ⎟⎜ ⎟ K y n ( x ) ⎟⎜ C′2 ⎟ K K ⎟⎜ M ⎟ ⎟⎜ ⎟ K y nn ( x ) ⎟⎠⎜⎝ C′n ⎟⎠ Các hàm cần xác định C j ( x ), j = 1,2, , n cho Y*(x) thỏa mãn hệ không xét, tức dY * ( x ) = P( x )Y * ( x ) + F( x ) dx hay n dC j ( x ) j=1 dx ∑ n dYj ( x ) j=1 dx Yj ( x ) + ∑ n C j ( x ) = P( x )∑ C j ( x )Yj ( x ) + F( x ) (a) j=1 Do Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x ) hệ nghiệm hệ tuyến tính nhất, nên: dYj ( x ) dx = P( x )Yj ( x ), j = 1,2, , n Từ đó, (a) trở thành n dC j ( x ) j=1 dx ∑ Yj ( x ) = F( x ) hay ⎛ y11 ( x ) y12 ( x ) ⎜ ⎜ y 21 ( x ) y 22 ( x ) ⎜ K K ⎜ ⎜ y (x) y (x) n2 ⎝ n1 K y1n ( x ) ⎞⎛ C1′ ⎞ ⎛ f ( x ) ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ K y n ( x ) ⎟⎜ C′2 ⎟ ⎜ f ( x ) ⎟ = K K ⎟⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ K y nn ( x ) ⎟⎠⎜⎝ C′n ⎟⎠ ⎜⎝ f n ( x ) ⎟⎠ (6.33) Đây hệ phương trình đại số tuyến tính mà định thức Crame hệ định thức Vronski khác khơng (a,b) Giải hệ ta C′j ( x ) = ψ j ( x ), j = 1,2, , n , đó: C j ( x ) = ∫ ψ j ( x )dx, j = 1,2, , n (6.34) http://www.ebook.edu.vn 37 Ví dụ: Tìm nghiệm tổng qt hệ ODE ⎧ dy ⎪⎪ dx = z ⎨ ⎪ dz = − y + ⎪⎩ dx cos x Hệ tương ứng: ⎧ dy ⎪⎪ dx = z ⎨ ⎪ dz = − y ⎪⎩ dx Đưa ODE tuyến tính cấp hai, nghiệm tổng quát hệ là: ⎧ y( x ) = C1 cos x + C sin x ⎨ ⎩z( x ) = −C1 sin x + C cos x Nghiệm riêng hệ không tìm dạng: ⎧ y * ( x ) = C1 ( x ) cos x + C ( x ) sin x ⎨ ⎩z * ( x ) = −C1 ( x ) sin x + C ( x ) cos x C1 ( x ), C ( x ) xác định từ hệ phương trình: ⎧C1′ ( x ) cos x + C′2 ( x ) sin x = sin x ⎪ , C′2 = ⇒ C1 = ln | cos x |, C = x ⎨ ⇒ C1′ = − cos x ⎪⎩− C1′ ( x ) sin x + C′2 ( x ) cos x = cos x Do nghiệm riêng phải tìm ⎧⎪ y * ( x ) = cos x ln cos x + x sin x ⎨ ⎪⎩z * ( x ) = − sin x ln cos x + x cos x Nghiệm tổng quát cần tìm là: ⎧⎪ y( x ) = C1 cos x + C sin x + cos x ln cos x + x sin x ⎨ ⎪⎩z( x ) = −C1 sin x + C cos x − sin x ln cos x + x cos x với C1, C2 số tùy ý http://www.ebook.edu.vn 38 §6.8 Hệ ODE khơng với hệ số số Hệ ODE tuyến tính khơng có dạng sau ⎧ dy1 ⎪ dx = a 11 y1 + a 12 y + + a 1n y n + f ( x ) ⎪ ⎪ dy = a y + a y + + a y + f ( x ) ⎪ 21 22 2n n ⎨ dx ⎪ ⎪ ⎪ dy n = a y + a y + + a y + f ( x ) n1 n2 nn n n ⎪⎩ dx (6.35) Ký hiệu: ⎛ dy1 ( x ) ⎞ ⎟ ⎜ f ( x ) y ( x ) ⎛ a 11 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ dx ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎜ f (x) ⎟ ⎜ y ( x ) ⎟ dY ⎜ dy ( x ) ⎟ F( x ) = ⎜ ;Y = ⎜ ; = ⎜ dx ⎟; A := ⎜ 21 ⎟ ⎟ M M K dx ⎜ M ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ f (x) ⎟ ⎜ y (x) ⎟ ⎜ dy n ( x ) ⎟ ⎝ a n1 ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ dx ⎠ a 12 a 22 K a n2 K a 1n ⎞ ⎟ K a 2n ⎟ K K⎟ ⎟ K a nn ⎟⎠ Dạng véc tơ tương đương (6.35) là: dY = AY + F( x ) dx (6.36) Phương pháp tích phân hệ (6.36): S1.Tìm nghiệm tổng qt hệ tương ứng Xét hệ tương ứng hệ ODE (6.36) dY = AY dx (8.37) Y = nghiệm tầm thường hệ ODE tuyến tính Ta tìm nghiệm hệ dạng: ⎛ ω1 ⎞ ⎛ ω1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ω2 ⎟ ⎜ω ⎟ Ω = ⎜ ⎟ , Y( x ) = ⎜ ⎟ exp(λx ) = Ω exp(λx ), M M ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ n với việc chọn ω1 , ω , , ω n , λ : ∑ ω 2k ≠ để Y( x ) nghiệm (không tầm k =1 thường) http://www.ebook.edu.vn 39 Thay vào hệ (8.37) ta có Ωλ exp(λx ) = AΩ exp(λx ) , tức là: AΩ = λΩ (8.38) Hệ (8.38) có nghiệm khác khơng định thức Crame hệ không, tức là: det (A − λI ) = (8.39) I = (u jk )nxn : u kk = 1, u jk = ∀j ≠ k; j, k = 1,2, , n ma trận đơn vị Phương trình (8.39) gọi phương trình đặc trưng hệ xét, với tham số λ cần tìm Với λ j , j ∈ {1,2, , n} nghiệm phương trình đặc trưng (8.39) thay vào phương trình (8.38) ta tìm véc tơ Ω j = (ω1 j , ω j , , ω nj )T nghiệm cần tìm có dạng: ⎛ ω1 j ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ω2 j ⎟ Yj ( x ) = Ω j exp(λ j x ) = ⎜ exp(λ j x ) M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ nj ⎠ Trường hợp Phương trình đặc trưng (8.39) có n nghiệm thực khác nhau; ∀j = 1,2, , n λ j ∈ R ; λ ≠ λ ≠, , ≠ λ n Xác định véc tơ Ω j = (ω1 j , ω j , , ω nj )T ≠ : (A − λ j I )Ω j = ( I ma trận đơn vị.) Hệ nghiệm nhận Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x ) với: ⎛ ω1 j ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ω2 j ⎟ Yj ( x ) = Ω j exp(λ j x ) = ⎜ exp(λ j x ), j = 1,2, , n M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⎟ nj ⎝ ⎠ Nghiệm tổng quát hệ là: n Y( x ) = ∑ C j Yj ( x ); C j = const , j = 1,2, , n j=1 http://www.ebook.edu.vn 40 Do λ thỏa mãn (8.39) nên hệ véc tơ hàm Yj ( x ) = Ω j exp(λ j x ) j = 1,2, , n nghiệm hệ (8.38) Hệ {Yj ( x ), j = 1,2, , n}độc lập tuyến tính xét hệ thức n n ∑ β Y (x) = ⇒ ∑ β Ω j=1 j j j=1 j j exp(λ j x ) = Do hệ {exp(λ j x ) : j = 1,2, , n} độc lập tuyến tính nên từ đẳng thức suy β j Ω j = ∀j = 1,2, , n Do véc tơ ∀j = 1,2, , n Ω j ≠ (vì có thành phần khác không, ngược lại nghiệm Y nghiệm tầm thường, vô lý) nên ∀j = 1,2, , n, β j = suy hệ {Yj ( x ), j = 1,2, , n} độc lập tuyến tính (đpcm) Trường hợp Phương trình đặc trưng (8.39) có cặp nghiệm phức liên hợp λ j = p + iq, λ*j = p − iq, Xác định véc tơ Ω j = (ω1 j , ω j , , ω nj )T ≠ : (A − λ j I )Ω j = ( I ma trận đơn vị.) Thường nhận Ω j = K j + iM j Ứng với nghiệm phức liên hợp λ j = p + iq ta tìm nghiệm dạng Yj ( x ) = Ω j exp((p + iq ) x ) = Ω j exp(px ) exp(iqx ) = Ω j exp(px )(cos qx + i sin qx ) Ta có: Yj ( x ) = (K j + iM j )exp(px )(cos qx + i sin qx ) = = exp(px )(K j cos qx − M j sin qx + i(K j sin qx + M j cos qx )) = = exp(px )(K j cos qx − M j sin qx ) + i exp(px )(K j sin qx + M j cos qx ) = = U j ( x ) + iV j ( x ) Suy ứng với cặp nghiệm phức liên hợp, hai nghiệm thực cần tìm U j ( x ), Vj ( x ) Dễ kiểm tra hai nghiệm độc lập tuyến tính Với cặp nghiệm phức liên hợp khác ta làm tương tự để xây dựng hệ n nghiệm xây dựng nghiệm tổng quát Hai véc tơ hàm hai nghiệm thực ứng với cặp nghiệm phức liên hợp là: http://www.ebook.edu.vn 41 U j ( x ) = exp(px )(K j cos qx − M j sin qx ); Vj ( x ) = exp(px )(M j cos qx + K j sin qx ) Trường hợp Phương trình đặc trưng (8.39) có nghiệm λ thực, bội k Tìm nghiệm Y( x ) = (y1 ( x ), y ( x ), , y n ( x ) )T dạng: ( Y( x ) = ΔX k −1 exp(λx ) : Δ = (δ rs )nxk , X k −1 = 1, x, x , , x k −1 ) T hay ⎛ y1 ⎞ ⎛ δ11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y ⎟ ⎜ δ12 ⎜ M ⎟=⎜L ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ y ⎟ ⎜δ ⎝ n ⎠ ⎝ 1n δ 21 δ 22 L δ 2n L δ k1 ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟ L δ k ⎟⎜ x ⎟ exp(λx ) L L ⎟⎜ M ⎟ ⎟⎜ ⎟ L δ kn ⎟⎠⎜⎝ x k −1 ⎟⎠ Thay vào hệ (8.37), xác đinh Δ = (δ rs )nxk Có thể chứng minh số δ rs có k số chọn Trường hơp Phương trình đặc trưng (8.39) có cặp nghiệm phức liên hợp, bội k Nghiệm tìm dạng tương tự trường hợp Nói chung xác định δ rs ta số phức Tách phần thực, phần ảo ta nghiệm dạng : Yj ( x ) = U j ( x ) + iVj ( x ) Do hai nghiệm thực U j ( x ), Vj ( x ) S2 Tìm nghiệm riêng hệ tuyến tính khơng Áp dụng phương pháp biến thiên số cho nghiệm tổng quát hệ ta nhậ nghiệm riêng hệ không S3 Lấy tổng hai nghiệm tìm Nghiệm tổng quát cần tìm tổng nghiệm tổng quát hệ với nghiệm riêng hệ khơng Ví dụ Xét hệ ODE ⎧ dy ⎪⎪ dx = y + z ⎛2 1⎞ ⎛ y⎞ dY ⎟⎟, Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ; ⇒ A = ⎜⎜ = AY ⎨ dx ⎝1 2⎠ ⎝z⎠ ⎪ dz = y + 2z ⎩⎪ dx http://www.ebook.edu.vn 42 Phương trình đặc trưng: det (A − λI ) = ⇒ 2−λ = ⇔ λ2 − 4λ + = 2−λ có hai nghiệm thực khác λ1 = 1, λ = Hệ hai nghiệm tìm dạng: ⎛y ⎞ ⎛y ⎞ Y1 ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ exp( x ) ; Y2 ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ exp(3x ) ⎝ z1 ⎠ ⎝ z2 ⎠ Với λ = : ⎞⎛ y1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎧2 y + z = y ⎧y + z1 = ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎝ ⎠⎝ z1 ⎠ ⎝ z ⎠ ⎩ y + 2z = z ⎩ y1 + z1 = (A − λ1I )Y1 = ⇒ ⎛⎜⎜ ⎛1⎞ ⎟⎟ exp(x ) ⎝ − 1⎠ Chọn y1 = ⇒ z1 = −1 ⇒ Y1 ( x ) = ⎜⎜ Với λ = : ⎧2 y + z = y ⎧− y + z = ⎛ ⎞⎛ y ⎞ ⎛ 3y ⎞ ⎟⎟ ⇔ ⎨ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ = ⇒ ⎜⎜ ⇔⎨ ⎝ ⎠⎝ z ⎠ ⎝ 3z ⎠ ⎩ y + 2z = 3z ⎩ y2 − z2 = ⎛ 1⎞ Chọn y = ⇒ z1 = ⇒ Y2 ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ exp(3x ) ⎝ 1⎠ (A − λ I )Y2 Vậy nghiệm tổng quát cần tìm ⎧ y( x ) = C1 exp(x ) + C exp(3x ) ⎨ ⎩z( x ) = −C1 exp(x ) + C exp(3x ) Ví dụ Xét hệ ODE ⎧ dy ⎪⎪ dx = y − z ⎛ − 1⎞ ⎛ y⎞ dY ⎟⎟, Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ; ⇒ A = ⎜⎜ = AY ⎨ dx ⎝1 ⎠ ⎝z⎠ ⎪ dz = y + 2z ⎪⎩ dx Phương trình đặc trưng: det (A − λI ) = ⇒ − λ −1 = ⇔ λ2 − 4λ + = 2−λ có hai nghiệm phức liên hợp λ1 = + i, λ = − i Với nghiệm phức λ1 = + i = p + qi , tìm nghiệm tương ứng với dạng ⎛y ⎞ Y( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ exp(2 x )(cos x + i sin x ) ⎝ z1 ⎠ y1 , z1 xác định thay Y( x ) vào hệ ODE, hay từ công thức: http://www.ebook.edu.vn 43 − i − 1⎞⎛ y1 ⎞ ⎧− iy1 − z1 = ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⇔ ⎨ i ⎠⎝ z ⎠ ⎝1 ⎩ y1 − iz = Chọn y1 = ⇒ z1 = −i ⇒ (A − λ1I )Y = ⇒ ⎛⎜⎜ ⎛⎛ ⎞ ⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⇒ Y( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ exp(2x )(cos x + i sin x ) ⇔ Y( x ) = exp(2 x )⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ cos x + ⎜⎜ ⎟⎟i sin x ⎟⎟ ⇔ ⎝− i⎠ ⎝− i⎠ ⎝⎝ − i⎠ ⎠ ⎡⎛ cos x + i sin x ⎞⎤ ⎡⎛ cos x ⎞ ⎛ i sin x ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⇔ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⇔ Y( x ) = exp(2 x ) ⎢⎜⎜ ⇔ Y( x ) = exp(2x ) ⎢⎜⎜ ⎣⎝ sin x − i cos x ) ⎠⎦ ⎣⎝ − i cos x ⎠ ⎝ sin x ⎠⎦ ⎛ cos x ⎞ ⎛ sin x ⎞ ⎟⎟ + i exp(2x ) ⎜⎜ ⇔ Y( x ) = exp(2x ) ⎜⎜ ⎟⎟ = U( x ) + iV ( x ) ⎝ sin x ⎠ ⎝ − cos x ⎠ Hệ nghiệm gồm véc tơ hàm thực sau: ⎛ cos x ⎞ ⎛ sin x ⎞ ⎟⎟, V( x ) = exp(2 x ) ⎜⎜ ⎟⎟ U( x ) = exp(2x ) ⎜⎜ ⎝ sin x ⎠ ⎝ − cos x ⎠ Nghiệm tổng quát cần tìm là: ⎡ ⎛ cos x ⎞ ⎟⎟ + C Y( x ) = C1 U( x ) + C V( x ) = exp(2 x ) ⎢C1 ⎜⎜ sin x ⎠ ⎝ ⎣ ⎛ sin x ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎜⎜ ⎝ − cos x ⎠⎦ Ví dụ 3: Xét hệ ODE ⎧ dy ⎪⎪ dx = y − z ⎛1 − 1⎞ ⎛ y⎞ dY ⎟⎟, Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ; ⇒ A = ⎜⎜ = AY ⎨ dx ⎝1 ⎠ ⎝z⎠ ⎪ dz = y + 3z ⎪⎩ dx Phương trình đặc trưng: det (A − λI ) = ⇒ 1− λ −1 = ⇔ λ2 − 4λ + = 3−λ có nghiệm thực λ = , bội Tìm nghiệm Y( x ) = (y( x ), z( x ) )T dạng: ⎛ y⎞ ⎛ α Y = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ z ⎠ ⎝α2 β1 ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟ exp(2 x ) β ⎟⎠⎜⎝ x ⎟⎠ Thay vào hệ ODE rút gọn, ta ⎧α = −α − β1 2α1 + β1 + 2β1 x ≡ α1 + β1 x − α − β x ⇒ ⎨ ⎩β = −β1 Chọn α1 = C1 , β1 = C ta nhận nghiệm tổng quát http://www.ebook.edu.vn 44 C1 C ⎞⎛ ⎞ ⎛ y⎞ ⎛ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ exp(2x ) Y = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ z ⎠ ⎝ − (C1 + C ) − C ⎠⎝ x ⎠ Bài tập nhà: (nộp chấm): Hãy tóm tắt kết chương theo quan điểm cá nhân cách đủ ngắn Bài tập chương Tài liệu tham khảo cho chương đến chương 6: [1], [2]*, [3], [5], [6] http://www.ebook.edu.vn 45 ... x ( t + C), , x n ( t + C) ) §6.2 Quan hệ phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp Mệnh đề 1: ODE cấp n y ( n ) =... Thay vào hệ ODE ban đầu ta hạ k cấp hệ, tức đưa hệ n-k phương trình • Nếu k = n, tích phân đầu độc lập hàm cần tìm xác định từ hệ phương trình tích phân đầu (6.10) Coi tích phân xong hệ cho Ví... x ), , y n ( x ) hệ (6.4) thỏa mãn y1 ( x ) = y , y ( x ) = y′0 , y ( x ) = y′0′ , , y n ( x ) = y (0n −1) Đưa hệ phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp cao Ta đưa hệ n ODE cấp ODE