Bài tập phương trình vi phân

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BỔ SUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Phương trình biến số phân ly, phương trình ′ Câu ∗ Phương trình y = y +1 x4 +1 phân ly biến số tích phân nhận biểu diễn qua hàm sơ cấp Bằng cách nghiên cứu hội tụ tích phân chứng minh đường cong tích phân có hai tiệm cận ngang Câu ∗ Tìm tất hàm f (x) cho f (x + y) = f (x) + f (y) − f (x)f (y) Câu Giải phương trình sau (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy, (2x + y + 1)dx − (4x + 2y − 3)dy =, ′ x − y − + (y − x + 2)y = 0, ′ (x + 4y)y = 2x + 3y − 5, ′ (y + 1) ln y+x = x+3 y+x x+3 Câu a Tìm đường cong mà giao điểm tiếp tuyến với trục hoành cách tiếp điểm gốc toạ độ b Tìm đường cong cho khoảng cách tiếp tuyến tới gốc toạ độ hồnh độ tiếp điểm Câu a Tìm đường cong cho tỷ số đoạn thẳng trục Oy bị cắt tiếp tuyến đoạn thẳng trục Ox bị cắt pháp tuyến kẻ từ tiếp điểm đại lượng khơng đổi b Tìm đường cong mà tỷ số đoạn thẳng bị cắt pháp tuyến trục Ox bán kính véctơ tiếp điểm đại lượng khơng đổi Câu Chứng minh đường cong nhận từ đường cong tích phân phương trình phép biến đổi đồng dạng, tâm gốc toạ độ đường cong tích phân Phương trình tuyến tính, phương trình Bernoulli Câu Chứng minh rằng, phương trình ′ y + ay = P (x), a = const, P (x) đa thức cấp m x, có nghiệm riêng dạng y1 = Q(x), Q(x) đa thức cấp m Câu Chứng minh phương trình tuyến tính ′ y + p(x)y = q(x) có nghiệm riêng dạng y1 = b, phương trình biến số phân ly Câu Giải phương trình tích phân sau: x y(x) = y(t)dt + + x, x x 0 (x − t)y(t)dt = 2x + y(t)dt, x x 0 x y(t)dt = (x + 1) ty(t)dt Câu 10 Chứng minh nghiệm phương trình tuyến tính ′ y + p(x)y = q(x) thoả mãn điều kiện đầu y(x0 ) = y0 viết dạng − y=e x x p(t)dt [y0 + x0 − q(t)e t p(s)ds x0 ] x0 Câu 11 Chứng minh phương trình tuyến tính ′ y = ky + f (x), k ̸= 0, f (x) hàm tuần hồn chu kỳ T có nghiệm riêng hàm tuần hoàn chu kỳ T Hãy tìm nghiệm riêng Câu 12 Cho y1 , y2 hai nghiệm khác phương trình tuyến tính cấp Hãy biểu diễn nghiệm tổng qt phương trình qua hai nghiệm Câu 13 Chứng minh nghiệm phương trình ′ y + ky = kq(x), (0 ≤ x < +∞) k số, biểu thức y(x) = k ∞ q(x − t)e−kt dt (với điều kiện tích phân tồn tại) Câu 14 Dựa vào dạng phương trình Bernoulli chứng tỏ trục Ox đường cong cho ta nghiệm kỳ dị phương trình Phương trình vi phân tồn phần Câu 15 Giải phương trình sau đây, biết chúng có thừa số tích phân dạng α(x) α(y): (x2 + y)dx = xdy, (2xy − y)dx + (y + x + y)dy = 0, ( xy + 1)dx + ( xy − 1)dy = 0, (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = Câu 16 Tìm thừa số tích phân dạng α(x + y) giải phương trình: (2x3 + 3x2 y + y − y )dx + (2y + 3xy + x2 − x3 )dy = Bài toán quỹ đạo Câu 17 Lập phương trình vi phân nhận họ đường cong sau làm họ nghiệm y = Cx3 , y = sin(x + C), Cy − sin(Cx) = 0, (x − C)2 + y = 1, x = y + 2y + C Câu 18 a Lập phương trình vi phân họ đường tròn bán kính tâm nằm đường thẳng y = 2x b Lập phương trình vi phân đường tròn tiếp súc với hai trục toạ độ c Lập phương trình vi phân parabol có trục song song với Oy tiếp súc với đường thẳng y = y = x Câu 19 Hãy viết phương trình quỹ tích điểm (x, y) điểm cực đại ′ điểm cực tiểu nghiệm phương trình y = f (x, y) Làm để phân biệt điểm cực đại điểm cực tiểu Câu 20 Tìm quỹ đạo trực giao họ đường cong sau: (x2 + y )2 = λ2 xy, x2 a2 + y2 b2 = λ, (a, b cho trước), (x − λ)2 + y = a2 , (a cho trước), x(x2 + y ) = λ(x2 − y ), x3 + (x − 2λ)y , r = ln tgφ + λ, r 2n − 2r n an cos(nφ) + a2n = b2n , (a, n cho trước) CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Câu 21 Giải phương trình sau: x + sin y ′′ + 2y ′′ = 0, ′′ x = e−y + y ′′ , y ′′ + y ′ = xy ′′ , (1 − x2 )y ′′ + xy ′ = 2, ′ xy ′′ = y ′ + x sin yx Câu 22 Giải phương trình sau: y ′′ = 2yy ′ , yy ′′ + = y ′ , y ′ (1 + y ′ ) = ay ′′ , y ′ = (3y − 2y ′ )y ′′ , (y ′ + 2y)y ′′ = y ′ Câu 23 Giải phương trình sau: xyy ′′ − xy ′ = yy ′ , (1 + x2 )(y ′ − yy ′′ ) = xyy ′ , √ yy ′′ = y ′ + 15y x, x2 yy ′′ = (y − xy ′ )2 , y ′′ + y′ x + y x2 = y′ y Câu 24 Cho hệ hàm y1 (x), y2 (x), , yk (x) liên tục đoạn [a, b] Chứng minh hệ hàm phụ thuộc tuyến tính đoạn b a b a y12 (x)dx b a b y2 (x)y1 (x)dx a b a yk (x)y1 (x)dx y1 (x)y2 (x)dx y22 (x)dx b a b a b a y1 (x)yk (x)dx y2 (x)yk (x)dx yk (x)y2 (x)dx = b a yk2 (x)dx Câu 25 Chứng minh phương trình vi phân tuyến tính khơng cấp n với hệ số liên tục (a, b) có n + nghiệm độc lập tuyến tính (a, b) Câu 26 Tìm phương trình vi phân tuyến tính nhận hệ hàm sau làm hệ nghiệm bản: 1, x, x2 ; cos2 x, sin2 x Câu 27 Giải phương trình sau biết nghiệm riêng phương trình tương ứng y ′′ + x2 y ′ + y = 0, y1 = sin x x y ′′ sin2 x − 2y = 0, y1 = cotgx x2 y ′′ − 2xy ′ + 2y = 2x3 , y1 = x y ′′ + x y′ 1−x − y 1−x = x − 1, y1 = ex Câu 28 Tìm nghiệm tổng quát phương trình x3 y ′′′ − 3x2 y ′′ + 6xy ′ − 6y = 0, biết hai nghiệm riêng y1 = x, y2 = x2 Câu 29 Chứng minh nghiệm y(x) phương trình y ′′ + λ2 y = f (x) ′ với điều kiện đầu y(0) = y (0) = có dạng x sin λ(x − t)f (t)dt y(x) = Câu 30 Cho phương trình y ′′ + ay ′ + by = Tìm điều kiện số a, b thoả mãn Mọi nghiệm phương trình bị chặn [0, +∞) Mọi nghiệm phương trình dần đến x → +∞ Câu 31 Tìm giá trị p, q nghiệm phương trình y ′′ + py ′ + qy = hàm tuần hoàn x Câu 32 Với giá trị k ω phương trình y ′′ + k2 y = sin(ωx) có nghiệm tuần hoàn  ... C Câu 18 a Lập phương trình vi phân họ đường tròn bán kính tâm nằm đường thẳng y = 2x b Lập phương trình vi phân đường tròn tiếp súc với hai trục toạ độ c Lập phương trình vi phân parabol có... điều kiện tích phân tồn tại) Câu 14 Dựa vào dạng phương trình Bernoulli chứng tỏ trục Ox đường cong cho ta nghiệm kỳ dị phương trình Phương trình vi phân tồn phần Câu 15 Giải phương trình sau đây,...Câu Chứng minh phương trình tuyến tính ′ y + p(x)y = q(x) có nghiệm riêng dạng y1 = b, phương trình biến số phân ly Câu Giải phương trình tích phân sau: x y(x) = y(t)dt + + x,